CC BY
6
2023
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 83
Научная статья
УДК 515.12 MSC: 54F45; 54E45
doi: 10.17223/19988621/83/3
О емкостной размерности подмножеств метрического компакта
Александр Владимирович Иванов
Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН, Петрозаводск, Россия, [email protected]
Аннотация. Рассматривается вопрос о возможных значениях нижней емкостной размерности dim„ подмножеств метрического компакта X. Введено понятие размерности f dimX , характеризующее асимптотику нижней емкостной размерности замкнутых g-окрестностей конечных подмножеств компакта X при s ^ 0 . Для широкого класса метрических компактов размерность f dimX совпадает с dimX. Доказана следующая теорема: для любого неотрицательного числа r < f dimX существует замкнутое подмножество Zr с X, для которого dim Z = r. Ключевые слова: метрический компакт, емкостная размерность, размерность квантования, теорема о промежуточных значениях емкостной размерности
Благодарности: Финансовое обеспечение исследования осуществлялось из средств федерального бюджета на выполнение государственного задания КарНЦ РАН (Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН)
Для цитирования: Иванов А.В. О емкостной размерности подмножеств метрического компакта // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 83. С. 24-30. doi: 10.17223/19988621/83/3
Original article
On the box dimension of subsets of a metric compact space
Aleksandr V. Ivanov
Institute of Applied Mathematics of the Karelian Scientific Center of Russian Academy of Sciences, Petrozavodsk, Russian Federation, [email protected]
Abstract. The question about the range of the capacitarian dimension of subsets of a metric compact space is motivated by a number of well-known mathematical facts. For example, if the measure ц on the set P has no atoms, then for any non-negative real num-
© А.В. Иванов, 2023
ber r < |(P) there exists a measurable subset Yr с P with a measure i(Yr) = r . In the topological dimension theory, the question of intermediate values of the dimension of closed subsets of a given compact space is known. Namely, is it true that a compact space X of Lebesgue dimension dimX = n contains a closed subset of any given dimension k<n ? The answer to this question is yes for compact metric spaces, although in the general case this is not true (as shown by V.V. Fedorchuk [1]). Similar results also include the theorem about intermediate values of the upper quantization dimension D(|) of probability measures proved in [2]. According to this theorem, for any non-negative real number r not exceeding the upper capacitarían dimension dim^X of X, there exists a probability measure Цг on X of dimension D(|) = r with a support equal to X.
For the capacitarían dimensions (upper and lower ones dimB and dim , respectively),
the question of intermediate values in general is formulated as follows: is it true that for any nonnegative real number r not exceeding the capacitarían dimension of X (upper or lower respectively), the space X contains a closed subset of the corresponding capacitarian dimension equals to r?
For dim в , this question was answered positively (see [2]). For the lower capacitarían dimension, a partial result was obtained in [3. Theorem 5.5] under some essential restrictions on the metric of X.
In this paper, the question of intermediate values of the lower capacitarian dimension is answered positively for r e[0,fdimX) for any metric compact space X, where
fdimX is a quantity, which characterize the asymptotic behavior of the lower capacitarían dimension of closed s-neighborhoods of finite subsets ofX when e ^ 0 . Namely, f dim X = sup I f dim (A,X):A с X,\A\< ю0} ,
where
dim,, (A,X) = inf {dimB(A,e): e > 0}, and B(A, e) is the closed s-ball of the set A.
For a wide class of metric compact spaces, the equality f dimX = dimX holds. The theorem proved in this paper is the strengthening of Theorem 5.5 from [3]. Keywords: metric compact space, capacitarían dimension, quantization dimension, intermediate value theorem for the capacitarian dimension
Acknowledgments: The study was carried out under state order to the Karelian Research Centre of the Russian Academy of Sciences (Institute of Applied Mathematical Research KarRC RAS).
For citation: Ivanov, A. V. (2023) On the box dimension of subsets of a metric compact space. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 83. pp. 24-30. doi: 10.17223/19988621/83/3
Вопрос о множестве значений емкостной размерности подмножеств метрического компакта мотивирован рядом известных математических фактов. Например, если мера заданная на множестве P, не имеет атомов, то для любого неотрицательного числа r < |(P) существует измеримое подмножество Yr с P
с мерой |(Y) = r . В топологической теории размерности известен вопрос о про-
межуточных значениях размерности замкнутых подмножеств данного компакта, а именно: верно ли, что в компакте X лебеговой размерности dimx = n есть замкнутое подмножество любой наперед заданной размерности k<n ? Для метрических компактов ответ на этот вопрос положительный, хотя в общем случае это неверно, как показал В.В. Федорчук [1]. К числу аналогичных результатов относится также теорема о промежуточных значениях верхней размерности квантования -О(ц) вероятностных мер, доказанная в [2]. Согласно этой теореме для любого числа r, не превосходящего верхней емкостной размерности dimbX компакта X, на X существует вероятностная мера размерности -0(цг) = r с носителем, равным X.
Для емкостных размерностей (верхней dim в и нижней dim „ ) вопрос о промежуточных значениях в общем виде формулируется так:
Верно ли, что для любого неотрицательного числа r, не превосходящего емкостной размерности X (соответственно верхней или нижней), в X существует замкнутое подмножество соответствующей емкостной размерности r?
Для dim в этот вопрос решен положительно (см.: [2]). Для нижней емкостной размерности в [3. Теорема 5.5] получен частичный результат при некоторых существенных ограничениях на метрику компакта X. В настоящей работе дано положительное решение вопроса для dim- в диапазоне r £ [0,f dim;X) для
любого метрического компакта X, где f dim^X - размерностная характеристика Х, равная супремуму значений inf {dimB(A, s): s> 0} по непустым конечным подмножествам A с X, где B(A, s) = {x: р(x,A) < s} - замкнутый s-шар A.
Полученный результат является усилением упомянутой теоремы 5.5 из [3].
Пусть (X, р) - метрический компакт, A с X и s > 0. Подмножество A называется s-сетью в X, если B(A, s) = X . Для метрического компакта (X, р) и числа s > 0 через N(X, s) обозначается наименьшее число точек в s-сети X. Верхняя и нижняя емкостные размерности компакта X определяются соответственно по формулам:
— ^ — logN (X, s)
dimBX = lims^0 -
dim bx = Ms^
log(1/ s)
logN (X, s)
log(1/ s)
(если имеет место равенство dim bX = dim X, то используют обозначение dim BX).
Определение 1. Пусть (X, р) - метрический компакт и A - замкнутое подмножество X. Положим
dim (A, X) = inf {dimB(A, 5): 5 > 0},
f dimx = sup {dim (A, x): a с x, | a < ю0}. (1)
В силу монотонности нижней емкостной размерности для любого X имеет место неравенство:
f dim x < dim X .
Если в формуле (1) в качестве A рассматривать только одноточечные подмножества, то мы получим определение локальной нижней емкостной размерности ldimBX, введенное в [3]. Очевидно, что всегда
l dim x < f dim x. (2)
Предложение 1. Если множество предельных точек X' компакта X конечно, то dim ,,X = f dim X.
Доказательство. Положим A = X'. Для любого 5 > 0 множество X \ B(A, 5)
конечно. Обозначим его мощность через n. Для любого е имеет место неравенство N(B(A, 5), е) + n > N(X, е), из которого следует, что dimB(A, 5) > dimX.
Очевидно, что равенство dimX = f dimX справедливо для самоподобных компактов (фракталов). Автору неизвестен пример компакта X с несовпадающими размерностями dimX и f dimX.
Предложение 2. Существует метрический компакт (X, р), для которого неравенство (2) является строгим.
Доказательство. В монографии Я. Песина [4. Гл. 2, пример 6.2] построен пример компакта X, который является объединением двух непересекающихся счетных замкнутых подмножеств F\ и F2, и при этом
dim F = dim F < dim X.
В [3. Пример 5.3] показано, что dimF = ldimX, i = \, 2. КомпактX имеет ровно две предельные точки. Следовательно, в силу Предложения 1 l dim х< f dim x = dim X.
Замечание 1. Аналог определения 1 для верхней емкостной размерности не представляет интереса, поскольку всегда f dimBX = dimBX в силу того, что для верхней емкостной размерности выполнена теорема суммы (см.: [3]).
Следующая теорема является усилением теоремы 5.5 из [3]. В ее формулировке удалось избавиться от существенного ограничения на метрику компакта X, которое использовалось в [3], и расширен диапазон значений параметра r от r < ldim X до r < f dimх.
Теорема 1. Пусть (X, р) - метрический компакт. Для любого неотрицательного числа r < f dimX существует замкнутое подмножество Zr с X , для которого dim Z = f dim Z = r .
Доказательство. Фиксируем положительное r < f dimX (для r = 0 утверждение теоремы очевидно). Выберем конечное подмножество A с X, для которого dimB(A, X) = a > r . Пусть |A| = n . Поскольку dimX > r , при достаточно малых е выполняется неравенство
N(X, е) > (1/ e)r. (3)
Фиксируем положительное число е0 < (1 / n)1/r так, что для любого е < е0 имеет место неравенство (3). Для k 6 N положим ек = е0 / 2k.
Пусть б0 = diam(X). Положим
б, = sup {б : N(B( A, б), еА) < (1/ st )r}. (4)
В силу неравенства (3) бк < б0 для любого k. Кроме того, очевидно, что N(B(A, ek), гк) < n. В силу выбора числа s0
n < (1/ e«)r <(1/ гк)r.
Следовательно, 6t >et.
Покажем, что lim^,^ = 0. Предположим противное. Тогда для некоторого числа b> 0 множество D = {к: бк > b} бесконечно. В силу выбора множества A имеют место неравенства dimB(A, b) > a > r . Следовательно, при малых e
N(B(A, b), e) > (1/ e)r. Таким образом, существует к £ D, для которого N(B(A, b), ek) > (1/ ek )r. Отсюда следует, что бк < b - получено противоречие.
Определим теперь числа б \ следующим образом. Если бк = б0 , то б \ = бк. При бк < б положим
б 'к = 1(бк + mm {б,. : i < к, б,. > }).
Из определения следует, что всегда б \ > бк, и если б \ = бк, то б \ = б0. Поэтому для любого k выполняется неравенство
N(B(A, б), e,) > (1/ e, )r. (5)
Кроме того, limt->„б \ = 0 .
Напомним, что множество A с X называется е-разделенным, если р(x, y) > e для любых двух различных точек x,y £ A . Поскольку максимальное (по включению) e-разделенное подмножество компакта является его e-сетью, в силу неравенства (5) для каждого к £ N в множестве B(A, б \) существует ek-разделенное
подмножество Ek мощности [(1 / ek )r ] (квадратные скобки означают здесь целую
часть числа).
Рассмотрим множество
M = {к : б < бк при i > к}. Легко показать, что M бесконечно. Для каждого к £ M положим
б "к = max {б \ : i > к}. Поскольку б "к < бд. , имеет место неравенство
N(B(A, б \ ), eк ) < (1/ek )r. Следовательно, при к £ M в множестве B(A, б "к) можно выбрать e/t-сеть Ck мощности | C 1< (1/ ek)r. При к gM будем считать, что множество Ck пусто. Определим теперь искомое подмножество Zr с X по формуле
Zr = A и и кем C ^Ек ).
Из построения множеств Ek, Ck следует, что Zr - замкнутое подмножество X, предельными точками которого являются точки множества A. Для каждого к £ N множество Zr содержит ^ -разделенное подмножество Ek мощности [(1 / вк )г ]. Следовательно, ~М(ХГ, вк /2) > [(1 / вк )г ]. Таким образом,
Юе * ^, вк/2; > 11т ЮЕ[(1/вк)г ] = ^
—1ОЕ(2/в к) —1ОЕ(2/в к) При этом в силу [4. Теорема 2.3] и соотношений вк+1 = вк /2 получаем
ьk+i °k'
logN ( Z е
dim Z = lim.
logN(Z, е* /2)
1ое(2/вк) •
Итак, &тв2г > г . Докажем обратное неравенство. Занумеруем точки M в порядке возрастания: М = {кг-: ' £ N}. Покажем, что множество
Р 1 )
является вк -сетью в Zr. По построению при к £ N
С] и Е с В(А, 5) с В( А, 5 \ ) и С является вк -сетью в В(А, 5''к).
г ' г
Следовательно, Z с В(Р , вк), что и требовалось. При этом
кг
| Р, | < 2X (1 / в,)г = 2 X (1 / во)г 21 = 2(2 / в0)г ^Ц1 • (6)
' ]<к, 1 <к1 2 1
Таким образом,
log N(Zr, ек ) log2(2/ еo)r
2^-1 2r -1
dimBZr < lim,. -'— < lim,. -;—2—^ = r (7)
-в r -I ,л $ x -, — к- - K '
log(1/ %) log(2 ' ео)
Поскольку Zr содержит только n предельных точек (это точки множества A), в силу Предложения 1 dim Z = f dim Z .
Замечание 2. Если построенное при доказательстве теоремы множество M содержит все натуральные числа, начиная с некоторого, то в силу теоремы 2.3
из [4], из неравенства (6) по аналогии с (7) вытекает, что dimBZ < r. Следовательно, в этом случае определена размерность dim Z = r .
Замечание 3. В [3. Теорема 5.7] доказана следующая теорема о промежуточных значениях нижней размерности квантования идемпотентных мер на метрическом компакте X:
Для любого неотрицательного числа r < ldimX на X существует идемпотент-ная мера, нижняя размерность квантования которой равна r, а носитель равен X. Это утверждение доказано в [3] при условии, что для X существует константа р > 0 такая, что для любого x е X и любого е > 0 любое е-разделенное подмножество е-шара B(x, е) содержит не более p точек. Данное условие является существенным ограничением на метрику X и выполняется далеко не всегда.
Доказательство обсуждаемой теоремы о промежуточных значениях опирается на упомянутую выше теорему 5.5 из [3]. Полученное в настоящей работе усиление теоремы 5.5 позволяет соответственно усилить и теорему 5.7. А именно, утверждение этой теоремы верно для любого r е [0, f dimX) и без каких-либо ограничений на метрику X.
Список источников
1. Федорчук В.В. Бикомпакты без промежуточных размерностей // Доклады АН СССР.
1973. Т. 213, № 4. С. 795-797.
2. Иванов А.В. О множестве значений размерности квантования вероятностных мер на
метрическом компакте // Сибирский математический журнал. 2022. Т. 63, № 5. С. 10741080. doi: 10.33048/smzh.2022.63.509
3. Ivanov A.V. On quantization dimensions of idempotent probability measures // Topology and
its Applications. 2022. Vol. 306 (1). Art. 107931. doi: 10.1016/j.topol.2021.107931
4. Песин Я.Б. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и при-
ложения. Москва ; Ижевск : Ин-т компьютерных исслед., 2013. 404 с.
References
1. Fedorchuk V.V. (1973) Bicompacta without intermediate dimensions. Soviet Mathematics -
Doklady. 14. pp. 1808-1811.
2. Ivanov A.V. (2022) On the range of the quantization dimension of probability measures
on a metric compactum. Siberian Mathematical Journal. 63(5). pp. 903--908. DOI: 10.1134/S0037446622050093.
3. Ivanov A.V. (2022) On quantization dimensions of idempotent probability measures. Topology
and Its Applications. 306(1). 107931. DOI: https://doi.org/10.1016/j.topol.2021.107931.
4. Pesin Ya.B. (1997) Dimension Theory in Dynamical Systems. Contemporary Views and
Applications. Chicago: The University of Chicago Press.
Сведения об авторе:
Иванов Александр Владимирович - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (Петрозаводск, Республика Карелия). E-mail: [email protected]
Information about the author:
Ivanov Aleksandr V. (Doctor of Physics and Mathematics, Institute of Applied Mathematics of the Karelian Scientific Center of Russian Academy of Sciences, Petrozavodsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 18.11.2022; принята к публикации 01.06.2023 The article was submitted 18.11.2022; accepted for publication 01.06.2023
