О двумерных течениях невязкого газа в трехмерных каналах Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м XV 198 4

М3

УДК 532.525

О ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЯХ НЕВЯЗКОГО ГАЗА В ТРЕХМЕРНЫХ КАНАЛАХ

И. И. Межиров

Рассмотрен способ построения трехмерных каналов, представляющих собой «вырезки» по поверхностям тока из стационарных течений невязкого газа в двумерных (плоских и осесимметричных) соплах при произвольной форме контура выходного сечения сопла. Газодинамические характеристики течения в исходных соплах считаются при этом заданными.

Замена произвольной поверхности тока в течении невязкого газа или несжимаемой жидкости твердой стенкой не влияет на характеристики течения. Если поперечные сечения поверхности тока замкнуты, то можно отбросить внешний по отношению к ней поток, и мы получим канал (вообще говоря, пространственный), в котором будет осуществляться течение, совпадающее с исходным. -

Ниже излагается способ построения таких трехмерных каналов, представляющих собой «вырезки» из стационарных течений невязкого газа в двумерных (плоских и осесимметричных) профилированных соплах с произвольной формой контура выходного сечения, обеспечивающих однородный сверхзвуковой поток газа (характеристики течения в исходных соплах считаются известными). Эти сверхзвуковые сопла могут применяться в специальных газодинамических экспериментах.

1. Плоское течение. Здесь удобно пользоваться декартовыми координатами х, у, г. Ось х (продольная) направлена по однородному потоку, направление оси у назовем условно «поперечным» (течение происходит в плоскости х, у), ось z направлена по ширине канала.

Рассмотрим закон изменения по координате х формы контуров поперечных сечений вырезки (плоскости г, у, рис. 1).

Символ оо обозначает выходное сечение сопла, символ * — критическое сечение (звуковой поток в этом сечении предполагается однородным). В соответствии с законами плоских течений ширина сопла Дz остается постоянной по его длине (плоскости z=const являются поверхностями тока). Найдем связь между высотами сопла Ду в различных сечениях.

Применяя уравнение расхода к выходному и критическому сечениям сопла, находим

Ду* (*) = ДУоЛ*) Чоо-

Здесь q = —— приведенный расход, соответствующий продольной составля-

ющей скорости, р—плотность, и—продольная составляющая скорости газа, я* — критическая скорость. Для совершенного газа

х + 1

q (М*) =----------------~мТ~ •

(*+ 1

2 (х—1)

Рис. 1

Рис. 2

где Мх — и/а, а — скорость звука, х — показатель адиабаты, при Мх = 1 <7(МХ) = 1. В, случае реального газа приведенный расход <7 зависит не только от ;числа М, но является сложной функцией параметров состояния газа.

Полученное выше соотношение означает, что при переходе от выходного к критическому сечению сопла все высоты канала А у уменьшаются в [^(Моо)Г1 раз. Так, если выходное сечение представляет собой окружность с диаметром Г), то критическое сечение имеет форму эллипса, большая ось которого равна Д а малая ось £><7 (М*).

В промежуточных сечениях канала (штриховая кривая на рис. 1) числа М* неравномерны по высоте у. Записывая уравнение расхода для элементарного прямоугольника с высотой Ау(х) и сколь угодно малой шириной бг (величина бг постоянна по длине канала), находим:

Уоо?(моо) = ^ ч(М*)е1у. (1)

о

Левая часть (1) известна, а правая используется для вычисления верхнего предела интегрирования ух. Затем вычисляются величина ув и длина отрезка АВ:

*Уоо‘?(м.;о)=: J <?(мх)Яу. (2)

У*

Видно, что величина у в —у а определяется средним по высоте канала значением функции </(Мх) в рассматриваемом сечении. Так рассчитываются высоты канала ку(г, х) по заданному распределению чисел М* (х, у) в исходном плоском сопле.

Для класса плоских профилированных сопл, течение в которых рассчитывается аналитически (радиальное течение перед выравнивающим участком, см., например, [1]), пространственный канал может быть построен без использования ЭВМ. Для заданного значения х строится функция

У

| Ч(Мх)йу =/(у),

о

а затем по известным левым частям формул (1) и (2) определяются величины у а и у в при любых значениях г.

2. Осесимметричное течение. В этом случае удобно пользоваться цилиндрическими координатами х„ г, <р (рис. 2). Применим уравнение расхода для выходного и критического сечений сопла при заданном полярном угле <р и рассмотрим элементарные треугольники с малым углом при вершине 6ф (величина бср постоянна по длине канала, так как плоскости ф=сопв1 являются поверхностями тока) и высотами г* и г Имеем

г* = УУ(мте).

Отсюда следует, что при переходе от выходного к критическому сечению канала

все радиусы г„ уменьшаются в [</(М^)] 2 ра3) т е контур критического сечения подобен контуру выходного сечения.

В промежуточных сечениях с радиусом л(ф) при x=const на основании уравнения расхода получаем

ГА

/-2oo9(MJ==/?(M^)rf(r*).

о

Искомой величиной является здесь радиус г а. Осреднение функции <7(Мх) проводится по квадрату радиуса г в соответствии с законами осесимметричных течений. Так можно рассчитать радиусы промежуточных сечений канала г(х, ф) по известному распределению чисел М*(х, г) в исходном осесимметричном сопле. Результаты численных расчетов координат сверхзвукового профилированного сопла, имеющего прямоугольное выходное и критическое сечения, в котором реализуется осесимметричное течение совершенного газа, приведены в работе [2].

Следует отметить, что трехмерный канал, в котором реализуется осесимметричное течение, может быть выбран таким, что ось симметрии течения, являющаяся особой линией, не будет проходить внутри канала. В этом канале отсутствует фокусирование возмущений от стенок, что позволяет смягчить допуски для получения течения газа с заданной малой неравномерностью.

Добавим, наконец, что в случаях, когда контур выходного сечения трехмерного канала, в котором осуществляется плоское или осесимметричное течение газа, содержит точки или отрезки, расположенные на контуре исходного плоского или осесим-метричнго сопла, контуры канала — вырезки в полуплоскостях х, у или х, z, проходящих через эти точки, совпадают с контурами исходных двумерных сопл.

3. Практическое изготовление рассмотренных пространственных каналов связано с значительными трудностями. Однако в настоящее время освоены технологические процессы, которые облегчают решение задачи. Такой канал можно получить, например, в результате электролитического осаждения металла на поверхности формы, которая допускает высокую точность изготовления, так как контролю подлежит не внутренняя поверхность достаточно длинного канала, а внешняя поверхность формы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рябинков Г. М. Экспериментальное исследование сверхзвуковых сопл. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, № 1.

2. Верховский В. П. Численный расчет сверхзвуковых профилированных пирамидальных сопл (осесимметричное течение). — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 3.

Рукопись поступила 16/XI 1982 г.