О ДВОЙСТВЕННОСТИ ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ БИНАРНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН: E И π (Е И ПИ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА (PHYSICS)

УДК 51

Филатов О.В.

консультант по КДП - комбинаторике: ООО «Прог-рам», ООО «Физическая исследовательская лаборатория экспериментальной комбинаторики и информатики» (г. Москва, Россия)

О ДВОЙСТВЕННОСТИ ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ БИНАРНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН: e И п (Е И ПИ)

Аннотация: квантовая физика установила, что сам факт измерения меняет измеряемый объект, то есть, измеряемое порождается измерением. В попытках измерить квантовые объекты мы оперируем вероятностью, что выводит теорию вероятности в важнейшую физическую дисциплину. По мере расширения знания о законах вероятности стало ясно, что не только квантовые объекты зависят от способа их измерения. Комбинаторика длинных последовательностей (КДП) показала, что сама вероятность, а также структура случайных потоков, зависит от способа измерения (наблюдения). И совершенно ожидаемое открытие - мировые константы п и е являются проявлением одной физико-математической сущности - случайного потока равновероятных бинарных событий, информационная энтропия которого, при разных способах фиксации (измерения), приобретает значение то равное е, то равное п.

Ключевые слова: случайная бинарная последовательность, составное событие, элементарное событие, число Эйлера, число Пи, комбинаторика, энтропия, энтропия Шеннона.

Сокращения.

СБП - Случайная Бинарная Последовательность; КДП - Комбинаторика Длинных Последовательностей; СС - Составное Событие; ТВ - Теория Вероятности.

Введение

Объекты микромира в зависимости от доступного им пути в пространстве (одна щель или две щели) проявляют себя то, как частицы, то, как волны. Так одно щелевой способ набора данных о световом потоке, показывает экспериментатору распределение, которое формируют частицы (кванты), а двух щелевой способ набора данных о световом потоке, показывает распределение, которое формируют волны. То есть, способ набора данных экспериментатором определяет свойства наблюдаемых им микрообъектов.

Случайная бинарная последовательность (СБП) не только отражает особенности физического хаоса, она также обладает и свойством микромира проявлять свои наблюдаемые свойства в зависимости от способа наблюдения. А именно, СБП меняет свои свойства в зависимости от способа, каким её исследует (просматривает) наблюдатель. То есть, свойства самого абстрактного физического уровня - случайного бинарного потока, зависят от внешних условий его наблюдения. Поток случайных равновероятных событий («0», «1»), то же, как и свет, как и микрочастицы, обладает свойством менять свои характеристики в зависимости от способа набора элементарных событий из случайной последовательности.

Изучение потоков случайных событий производится в рамках компьютерных экспериментов «Комбинаторики длинных

последовательностей», сокращённо - КДП. В КДП получены новые основные формулы и законы описывающие свойства случайных потоков. КДП наглядно демонстрирует изменчивость наблюдаемых свойств случайных потоков. Обнаружено сходство свойств наблюдаемой случайной последовательности с свойствами потоков частиц микромира при их регистрации (после прохождения через одну щель регистрируется поток частиц, поток волн регистрируется за двумя щелями). Аналогично двум способам регистрации частиц микромира, для бинарных последовательностей в КДП разработаны два равноправных способа

регистрации их элементарных событий, которые приводят так же к противоречию в наблюдаемых свойствах одной и той же СБП.

В КДП два равноправных способа регистрации элементарных событий случайного потока были названы: последовательным набором и геометрическим набором.

Расчёт информационной энтропии Шеннона, при последовательном наборе элементарных событий, выдаёт значение равное числу е. Таким образом, константа Эйлера получает своё физико-информационное обоснование, которое базируется на физических свойствах вероятностных потоков и информационной энтропии.

При геометрическом отборе элементарных событий случайного потока, информационная энтропия Шеннона, с хорошей точностью, равна числу Пи.

Основная часть

Рассмотрим минимально теоретическую часть для понимания последовательного и геометрического набора элементарных событий из случайного потока.

Случайная бинарная последовательность (СБП), состоит из составных событий длин n [1; 2; 3], рисунок 1. Составное событие в КДП обозначается буквой S. Составное событие S образуются из n повторов равных элементарных

о

событий. Число повторов n пишется в левом верхнем углу букв S: ... , S = «111», 3S = «000», 2S = «11», 2S = «00», = «1», = «0». На рисунке 1 показано как случайная бинарная последовательность раскладывается на составные события S.

Рисунок 1. «Разложение бинарной пос-ти на составные события S». В КДП составное событие пБ - неразрывная серия из п одинаковых элементарных событий, рисунок 1.

Последовательный просмотр СБП (КДП - энтропия стремится к Е)

В теории вероятности (ТВ) стохастические пос-ти обладают устойчивостью частот. В КДП, формула 1.1, связывает п - длины составных событий с пБ - числом выпадений составных событий и с N - числом элементарных членов, образующих СБП [1, 2, 3]. При делении пБ на N в КДП возникает распределение частот составных событий п5: nf, ф.1.2 [4] (в ТВ нет аналога).

N Ф.

1.1

пБ =

2п+1

Ф.1.1 описывает распределение составных событий 5 (рисунок 1) в случайной бинарной последовательности длины Ы, при последовательном учёте всех выпадающих элементарных и составных событий. Рассчитанные по ф.1.1

П г-

величины 5 являются математическими ожиданиями, они аналогичны математическому ожиданию выпадению стороны монеты в серии из N бросков.

п

пБ 1

Ф.

N 2п+1 12

Информационная энтропия Шеннона Н, ф.1.3, в КДП применяется к распределению составных событий 5, поэтому энтропия обозначена Н(Б).

п^ет

Я(,) = -1(>),о§2(>) Ф.1.3

п=1

п

Где: р - вероятность встречи в случайной последовательности составных событий п1 из п элементарных событий.

Для последовательного метода просмотра СБП вероятность обнаружения составных событий п1 пропорциональна занимаемой ими части длины СБП. Умножая общее число составных событий п1 на число элементарных событий в каждом составном событии: п1 • п - получим занимаемую часть последовательности N составными событиями п1. Разделив п1 • п на число всех элементарных событий пос-ти К, получим вероятность пр выпадения составных

событий п1: пр = .

^ N

Сумма всех вероятностей пр равна единице, ф.1.4: ^п=Г —* 1, где: п1

- теоретически рассчитываемое по ф.1.1 число составных событий. Результат ф.1.4 проверен при помощи компьютерного суммирования.

п^ет п^ет

ЪП£ьГ=1пР^1 Ф14

п=1 п=1

Подставляя вероятности пр из ф.1.4 в формулу энтропии Шеннона ф.1.3, получаем ф.1.5, сумма которой стремится к константе Эйлера е:

п^ет п^ет

—' Ш • п п1 • п (»•1ос2(» = - Ф.1.5

п=1 п=1

Компьютерное суммирование для ф.1.5 проводилось в 32-х разрядной среде, поэтому было рассчитано всего 100 первых значений ряда формулы 1.5, они оказались равны: Н = 2,71146872422061, рассчитанный результат расходится с числом Эйлера (2,718) в третьем знаке после запятой, и отличается от числа е на 0,25%, что достаточно точно для большинства практических расчётов. В ф.1.5 значение N » п, поэтому ф.1.5 фактически описывает бесконечную СБП.

Целесообразно избавиться от числа членов пос-ти N в ф.1.5 и перейти к частотному описанию, ф.1.2 [4]. Для этого, раскрываем ^ по ф.1.1: пБ = и

^Б^ы N № №

подставляем в члены ф.1.5: После сокращения Ы, получаем: ■ — = ^¡-¡-, эта дробь не зависит от N. Отсюда формула расчёта КДП-энтропии, ф.1.6:

п п

(У)-\о%2(У) = - Ф.1.6

п=1 п=1

Где: п = 1;2; 3;...

Заметим, что при росте числа элементарных событий Ы, определяемой функцией: N = 2п, при росте N от малых значений к большим происходит рост энтропии. Если учитывать только такие п, для которых число составных событий, рассчитанное по ф.1.1, больше и равно единице, то значение КДП -энтропии Шеннона Н(Б) случайной бинарной пос-ти, растёт вслед за числом N. В пределе, при росте Ы, стремиться к константе Эйлера е. В таблице 1 представлены значения КДП - энтропии Шеннона в зависимости от числа членов Ы(п) СБП. То есть, у коротких СБП значения КДП - энтропии Шеннона Н(Б) меньше, чем у более длинных СБП.

Таблица 1. «КДП - энтропия Шеннона Н зависит от длины пос-ти N = 2п».

Н0,50 1,00 1,45 1,82 2,11 2,32 2,46 2,55 2,61 2,65 2,67 2,69 2,70 2,71

п2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Энтропия Н, при последовательном просмотре СБП, рассчитывается по ф.1.5.

Распределение КДП - энтропии при последовательном просмотре СБП, таблица 1, проиллюстрировано на рисунке 2, по оси Х расположены длины п составных событий. При росте N - числа членов СБП, КДП - энтропия последовательного просмотра СБП стремится к числу Эйлера е.

Рост КДП - энтропии Н при увеличении числа членов N в СБП

з

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-•-н 0,5 1 1,45 1,83 2Д2 2,32 2,46 2,56 2,62 2,66 2,68 2,69 2,7 2,71

Рисунок 2. «КДП - энтропия Шеннона Н(Б) зависит от длины пос-ти N = 2п» При последовательном способе учёта, численность п5 в СБП конечной длины, определяется по ф.1.1, а КДП - энтропия по ф.1.5. Для бесконечной СБП частоты nf определяются по ф.1.2, а энтропия по ф.1.6. Таким образом, число Эйлера «Е» — это энтропия Шеннона от бесконечной случайной последовательности.

Геометрический просмотр СБП (КДП - энтропия примерно равна

Пи)

Рассмотрим другой способ фиксации составных событий СБП, при его применении у СБП будут существенно иные свойства, а энтропия Шеннона будет равна не числу е, а числу п. Этот способ фиксации в КДП получил название геометрической вероятности. Суть работы геометрического способа заключается в определении длины случайного составного события . Для обозначения того, что речь идёт о геометрическом СС, в левом нижнем углу обозначения пишется буква

Опишем физическую модель для обнаружения длины геометрического случайного составного события [1; 5; 6]. В N пос-ти элементарных событий будем пропускать к-1 элементарных событий (константа к > 20) и определять длину составного события , в котором находится элементарное событие с номером: I • к , где: I = 1; 2; 3;... - нумерация начинается с первого члена СБП.

Иными словами, производится слепой пропуск многих элементарных событий СБП, с последующим получением значения случайного I • к элементарного события, принадлежащего случайному составному событию, с последующим определением длины этого составного события (СС). И таких циклов по определению длин СС будет ¿.

При наборе достаточно большой выборки - случайных СС, полученная выборка из I СС будет полностью характеризовать исследуемую СБП. Несмотря на то, что распределение случайных составных событий полностью характеризует исследуемую СБП, найденные геометрическим способом не будут подчиняться распределению, описываемому ф.1.1, а будут подчиняться распределению по формуле ф.2.1:

N п п п ----=1--- г5----Ф. 2.1

к 2п+1 2п+1 2п+1

Где: I = ^ = СБ - общее (суммарное) число составных событий ^ в

рассматриваемой выборке; п - количество элементарных событий (рисунок 1) в составных событиях , N - число членов случайной пос-ти.

Ожидалось, что набранная геометрическим способом выборка составных событий , будет описываться ф.1.1. Но, многочисленные эксперименты показали, что набранные геометрическим способом составные события , не подчиняются распределению по ф.1.1. Одна и та же СБП для наблюдателя проявляется двумя разными образами, в зависимости от способа набора информации (ф.1.1 и ф.2.1). Причём, оба способа набора информации из СБП равноправны. Такая зависимость свойств (структуры) СБП от способа наблюдения ассоциативно связана с 1-2 щелевыми экспериментами в физике. Физические эксперименты по прохождению света через одну щель и через две щели демонстрируют, что смена способа фиксации событий (свет проходит через одну щель или свет проходит через две щели) приводит к изменению свойств фиксируемого объекта (света). Изменение свойств случайной бинарной

пос-ти то же происходит при изменении способа фиксации: последовательный способ набора СС - ф1. 1; геометрический способ набора СС - ф.2.1.

Найдём вероятность ™р случайного выбора СС длины п. Вероятность ™р будет пропорциональна занимаемой доли всех элементарных событий содержащихся в каждом , делённой на общую сумму (длину) - Е1, всех геометрических СС, ф.2.2. Так как Е1 - суммарное число элементарных событий внутри составных событий равно произведению • п, то сумма всех элементарных событий, во всех геометрических составных событиях, всех длин, получим по ф.2.2:

п^тах

Е1= ^ ^ •п Ф.2.2

п=1

Верхнее ограничение суммы: п ^ тах, а не бесконечность, так как при реальной экспериментальной проверке п конечное число.

Вероятность ™р попадания в составные события зависит от доли, которую занимают все элементарные события в общей длине Е1 геометрических СС. В содержится • п элементарных событий, ф.2.2. В работе [7] было показано, что средняя длина геометрического составного события СБ равна трём элементарным событиям, поэтому число всех элементарных событий Е1, определяется по ф.2.3:

п^тах

• п = 3 • — = 3 • I = 3 • СБ Ф.2.3

п=1

Вероятность ™р рассчитывается делением всех элементарных событий, занимаемых модой п: • п, на общее число элементарных событий Е1 в геометрических составных событиях СБ , ф.2.4:

п = Ф.2.4

Е1

Учитывая, что: , и что: Е1 = 3 •—, перепишем формулу

/с 2 ^

вероятности ф.2.4 в виде формулы ф.2.5:

N п N п2 1

Ую -----п : 3- — =------Ф.2.5

сР к 2п+- к 2п+- 3

Заметим, что сумма = 3 (проверено на ПК), поэтому её

необходимо разделить на 3, для того, что бы сумма - геометрических

—

вероятностей составных событий стала ровна единице. Множитель - входит в расчёт И, формула для расчёта вероятности имеет вид ф.2.6:

/п^тах \ ~

п дБ п-п I ^ п-п\ П2

сР= — = 2П+1 : I 2п+11 = 3 - 2п+1 Ф 2 6

с \ п=1 /

Где: СБ - общее число всех составных событий.

Применим формулу энтропии Шеннона, ф.1.3, к геометрическому распределению вероятностей и получим результат примерно равный константе Пи (константа Пи отвечает за геометрию пространства нашего мира).

п2 1 2п+г 3

Для этого подставим полученную в ф.2.6 вероятность: = -- в формулу

информационной КДП-энтропии ф.1.3, и получим ф.2.7:

п2 1\ I п2 1

п=1

и Ф.2.7

Расчёт значения ф.2.7 проводился программой, приложение 1. Рассчитанная энтропия: Н(5)прг = 3,179, оказалась на 1,197% больше л.

Можно предположить, что разность на 1,197% между числом п и полученным по ф.2.7 значением связана с реальными свойствами Земного пространства, которое претерпевает пространственные деформации из-за присутствия Солнца. В качестве гипотезы, объясняющей отклонение предположим, что характеристика пространства, которую мы называем п, на Земле имеет величину 3,14, а при удалении от искривляющего вокруг себя пространство Солнца, л будет расти с 3,14 до 3,179.

Обсуждение

Выше рассмотрены примеры показывающие, что результат зависит от способа измерения, что ассоциативно указывает на физический эксперимент по регистрации проходящего света через одну и через две щели.

Энтропия от непрерывного, последовательного набора данных в СБП равна числу е. Такую непрерывность и последовательность измерений естественно связать с ходом времени. Поэтому, можно предположить, что число Эйлера «е» связано, зависит, не только от случайности, но и от временных свойств нашего мира.

Энтропия от прерывного, пространственного набора выборки равна числу Пи. Число Пи, зависит от интервальных свойств, которые могут быть выражены в виде пространственных интервалов в нашем мире, либо в виде вторичных временных интервалов.

Несколько слов о КДП. На данный момент КДП - это экспериментальное, естественнонаучное направление, которое совершило прорыв в ТВ. Открытия КДП начинают применяться в коммерческой криптографии (нейтрализуется квантовое превосходство, взлом КДП шифра невозможен), генетике [8; 9], лингвистике, технике.

О новом виде бинарной случайности - Геометрической вероятности. Геометрическая вероятность - это принципиально новый способ работы с вероятностными потоками, ф.2.1. Этот способ работы со стохастическим потоком нигде не был описан ранее, после применения энтропии Шеннона, характеризуется константой Пи. Действительно, ф.2.1 возможна только в рамках составных событий, которые ввела комбинаторика длинных последовательностей. Число Пи связано с расчётами углов, фаз, площадей, то есть оно связанно с пространственными характеристиками нашего мира. Геометрическая вероятность и геометрическая КДП - энтропия, так же связаны с пространством элементарных событий. Поэтому, то, что геометрическая КДП - энтропия приближённо равна числу Пи, отражает пространственный аспект геометрической КДП вероятности. При исключении этого пространственного

аспекта, при последовательном учёте всех элементарных КДП событий, остаётся только вероятностный аспект, который после применение функции энтропии Шеннона выдаёт итоговую величину, стремящуюся к числу е, которое применяется в формулах описывающие коллективные случайные процессы (потоки), например, радиоактивный распад. Нужно отметить, что числовое приближение к этим двум константам возникает только после применения функции информационной энтропии Шеннона. То есть, и пространственная составляющая нашего мира, и составляющая непрерывных потоков случайных событий, воспринимаются нами и нашими приборами, именно в связи с существованием информации, как упорядоченной, так и не упорядоченной. В связи с тем, что и пространственная константа Пи, и характеризующая потоки случайных явлений константа е, являются производной от информационной функции, то можно предположить, что и пространство, и события, как минимум - от части, а как максимум - полностью, имеют информационную природу.

Сейчас набирает популярность теория, что наш мир имеет информационную природу, будто вся материя - это состояние данных в компьютере, который обсчитывает Вселенную. Полученный мной результат, связывающий мировые константы с информацией, работает на эту теорию.

Выводы

- Константы: число Эйлера Е и число Пи имеют вероятностно -информационную природу.

- Впервые удалось показать зависимость констант Е и Пи от способа взаимодействия с бинарной случайностью (СБП), этим константы Е и Пи ассоциативно связываются с результатом одно и двух щелевых физических экспериментов.

- Величина энтропии, при КДП - последовательном наборе элементарных и составных событий, зависит от числа членов СБП и стремится к константе

Эйлера - Е. Таким образом, число Эйлера «Е» — это энтропия Шеннона от бесконечной случайной последовательности.

- Величина энтропии, при КДП - геометрическом наборе элементарных и составных событий, зависит от числа обнаруженных составных событий СБП и стремится к константе Пи.

Приложение 1

//Button376; L = 200; H = 3,17919803615778; dSum = 3;

void_fastcall TForm1::Button376Click(TObject *Sender)

{ GlobalTabSheet = TabSheet19; double H = 0; dSum=0; int L=200; for(int n=1; n<=L; n++)

{ double d = double(n*n/pow(2,n+1)); dSum = dSum + d; } for(int n=1; n<=L; n++) { double p = double(n*n/pow(2,n+1));

p = p/dSum; double h = - p*log(p)/log(2); H += h; }}

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Филатов О. В., Филатов И.О., Макеева Л.Л. и др. «Потоковая теория: из сайта в книгу». Москва, «Век информации», 2014 г., с. 200.

2. Филатов О. В., Филатов И.О., статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №5 (95), 2014 г., с.226-233.

3. Филатов О. В., статья «Описание структур любых последовательностей образованных равновероятными случайными событиями», «Проблемы современной науки и образования», № 5 (138), 2019 г., с.9-15, DOI: 10.24411/24042338-2019-10501.

4. Филатов О. В., статья «Описание распределения составных событий и их мизесовских частот через число возможных исходов. Механизм сжатия некоторых «не сжимаемых на один» последовательностей», «Проблемы современной науки и образования», № 9 (39), 2015 г., с.27-36, DOI: 10.20861/2304-2338-2015-39-001.

5. Филатов О. В., Филатов И.О., статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №6 (96), 2014., с.236-245.

6. Филатов О. В., статья «Применение геометрической вероятности для изменения вероятности нахождения серий случайных выпадений монеты», «Проблемы современной науки и образования», № 22 (64), 2016 г., с. 5-14, DOI: 10.20861/2304-2338-2016-64-001.

7. Филатов О. В., Филатов И.О., статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №7 (97), 2014 г., с.98-108.

8. Филатов О. В., статья «Применение энтропии Шеннона и КДП комбинаторики в ДНК анализе для выявления биологических классов, энтропийная шкала классов», «Вестник науки и образования», №7 (127), 2022 г., с.18-29, DOI: 10.24411/2312-8089-2022-10703.

9. Филатов О. В., статья «Применение энтропии Шеннона и числа Эйлера «е» для описания случайных последовательностей и мтДНК, получение числа «е» через энтропию Шеннона», «Вестник науки и образования», №7 (127), 2022 г., с.29-40, DOI: 10.24411/2312-8089-2022-10706.

Filatov O.V.

consultant on KDP - combinatorics: LLC "Prog-ram", Moscow; LLC "Physical Research Laboratory of Experimental

Combinatorics and Informatics" (Moscow, Russia)

ON THE DUALITY OF THE QUANTITIES CHARACTERIZING A BINARY SEQUENCE: E AND n (E AND PI)

Abstract: quantum physics has established that the very fact of measurement changes the measured object, that is, the measured is generated by the measurement. In attempts to measure quantum objects, we operate with probability, which brings the theory of probability into the most important physical discipline. As knowledge of the laws ofprobability expanded, it became clear that not only quantum objects depend on the way they are measured. Combinatorics of long sequences (LSC) showed that the probability itself, as well as the structure of random flows, depends on the method of measurement (observation). And a completely expected discovery - the world constants n and e are a manifestation of one physical and mathematical essence - a random stream of equally probable binary events, the information entropy of which, with different methods of fixation (measurement), acquires a value either equal to e or equal to n.

Keywords: random binary sequence, composite event, elementary event, Euler number, Pi number, combinatorics, entropy, Shannon entropy.