CC BY
08. Пелех Б.Л., Сяський А.А. Распределение напряжений возле отверстий в податливых на сдвиг анизотропных оболочках. Киев: Наукова думка, 1975.
9. Bakulin V.N., Revenko V.P. Analytical and numerical method of finite bodies for calculation of cylindrical orthotropic shell with rectangular hole // Rus. Math. 2016. 60, N 6. 1-11.
10. Bakulin V.N. Layer-by-layer analysis of the stress-strain state of three-layer shells with cutouts // Mech. Solids. 2019. 54, N 3. 448-460.
11. Revenko V.P., Bakulin V.N. Method of Finite Bodies for Mathematical Modeling of the Stress-strain State of Cylindrical Orthotropic Shell with the Reinforced Rectangular Hole //J. Phys.: Conference Series. Proc. IV Int. Conf. "Supercomputer Technologies of Mathematical Modeling (SCTeMM'19)". Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences in cooperation with Ammosov North-Eastern Federal University, Ivannikov Institute for System Programming of the Russian Academy of Sciences and Bauman Moscow State Technical University. 2019. 1392. 012021.
12. Шешенин С.В., Демидович П.Н. Применение метода осреднения для построения слоистого конечного элемента // Упругость и неупругость: Мат-лы Междунар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина (Москва, 19-20 января 2006 г.). M.: ЛЕНАНД, 2006. 432-437.
13. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988.
14. Бакулин В.Н. Послойный анализ напряженно-деформированного состояния нерегулярных трехслойных оболочек вращения ненулевой гауссовой кривизны // Прикл. матем. и механ. 2021. 85, № 1. 90-106.
15. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Блочные элементы и аналитические решения граничных задач для систем дифференциальных уравнений // Докл. РАН. 2014. 454, № 2. 163-167.
16. Балабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин В.С. и др. Основы строительной механики ракет. М.: Высшая школа, 1969.
17. Bakulin V.N. Effective model of load-bearing layers for layer-by-layer analysis of the stress-strain state of three-layer cylindrical irregular shells of revolution // Mech. Solids. 2020. 55, N 3. 557-565.
18. Бакулин В.Н., Кривцов В.С., Рассоха А.А. Алгоритм получения матрицы жесткости конечного элемента анизотропной оболочки // Изв. вузов. Авиац. техника. 1983. № 4. 14-18.
19. Бакулин В.Н., Рассоха А.А. Метод конечных элементов и голографическая интерферометрия в механике композитов. М.: Машиностроение, 1987.
Поступила в редакцию 12.02.2024
УДК 531.384
О ДВИЖЕНИИ ШАРА, НАХОДЯЩЕГОСЯ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ПЛОСКОСТЯМИ С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ
А.А. Кошелев1, Е. И. Кугушев2, Т. В. Шахова3
Рассматривается задача о движении шара между двумя равномерно вращающимися горизонтальными плоскостями c линейным вязким трением. Найдены стационарные движения шара и указаны параметры системы, при которых эти движения устойчивы или же неустойчивы. Для малоинерционного шара показано, что его уравнения движения имеют тихоновский тип уравнений с малым параметром при части производных. Исследована
1 Кошелев Александр Анатольевич — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, мл. науч. сотр. Ин-та проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, e-mail: koshelev030698@yandex.ru.
Koshelev Aleksandr Anatol'evich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics; Junior Researcher, V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences.
2Кугушев Евгений Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kugushev@keldysh.ru.
Kugushev Evgenii Ivanovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
3Шахова Татьяна Валентиновна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tatiana.shakhova@math.msu.ru.
Shakhova Tatiana Valentinovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
© Кошелев А. А., Кугушев Е. И., Шахова Т. В., 2024 © Koshelev A. A., Kugushev E. I., Shakhova T. V., 2024
(cc)
динамика такого шара на конечном промежутке времени в пределе при стремлении центрального момента инерции шара к нулю.
Ключевые слова: вращающиеся плоскости, линейное вязкое трение, стационарные движения, малоинерционный шар, малый параметр, теорема Тихонова.
The problem of the motion of a ball between two uniformly rotating horizontal planes with linear viscous friction is considered. Steady motions of the ball are found and the parameters of the system under which these motions are stable or unstable are indicated. It is shown that the equations of motion of а low-inertia ball have the form of Tikhonov's equations with a small parameter as a coefficient at some derivatives. The dynamics of this ball on an arbitrary finite time interval in the limit as the central moment of inertia of the ball tends to zero is studied.
Key words: rotating planes, linear viscous friction, steady motions, low-inertia ball, small parameter, Tikhonov's theorem.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-11
1. Введение. Основным устройством для соединения различных частей механизмов является шарнир. Попадание между рабочими поверхностями шарнира инородных микроскопических частиц может существенно нарушать работу механизма. При этом важным является вопрос о поведении инородных частиц в процессе взаимодействия с движущимися рабочими поверхностями шарнира. В формальной постановке эту задачу можно отнести к классическим задачам динамики твердого тела, соприкасающегося с некоторыми недеформируемыми подвижными поверхностями.
В настоящей работе рассматривается простейшая по конструкции система, моделирующая движение небольшого инородного тела в плоском шарнире. Изучается динамика шара, находящегося между двумя равномерно вращающимися вокруг неподвижных осей плоскостями, при наличии сил линейного вязкого трения в точках контакта шара с этими плоскостями. Отметим, что задача о движении шара, контактирующего с одной равномерно вращающейся плоскостью с вязким трением, рассматривалась в работах [1, 2].
2. Постановка задачи и уравнения движения. Рассмотрим задачу о движении шара массы m и радиуса a между горизонтальными плоскостями. Каждая плоскость равномерно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью, равной по величине Q. Расстояние между осями вращения равно 21. В точке контакта шара с плоскостью на шар действует сила линейного вязкого трения Fi = -CivO™, где Ci — коэффициент вязкого трения, v'™ — скорость точки контакта шара относительно вращающейся плоскости (i = 1, 2). Центр масс шара совпадает с его геометрическим центром, центральный тензор инерции шаровой, главный центральный момент инерции шара равен I = ama2, а = const > 0.
Введем неподвижную систему координат Oxyz с началом O в середине отрезка, соединяющего точки пересечения осей вращения плоскостей с плоскостью движения центра масс шара, ось Oy направлена вдоль этого отрезка, ось Oz вертикальна, центр масс шара движется в плоскости Oxy (см. рисунок).
Применив теоремы о движении центра масс шара и об изменении кинетического момента шара относительно его центра масс, получим уравнения
Шар между горизонтальными вращающимися плоскостями
dv отн
т— = тд — at
C2 vT + N i + N 2,
I<^=a[ez,{c1vTl-C2V?
(1)
Здесь V, ш — скорость центра масс шара и угловая скорость шара относительно системы координат Охуг; д = — дег — ускорение свободного падения; N± = Niez — нормальные реакции плоскостей, действующие на шар в точках контакта шара с этими плоскостями (г = 1, 2). Относительные скорости ■О™ и ■2™ точек шара, которыми он соприкасается с вращающимися плоскостями, равны
v'TH = V - a[ш, ez] - [Oi, (r + I)], v'TH = v + a[ш, ez] - O (r - l)]
(2)
где r — радиус-вектор центра масс шара, I = ley, Oi = Qiez — угловая скорость вращающейся плос-
кости (г = 1, 2). Представив угловую скорость шара в виде суммы горизонтальной и вертикальной составляющих: и = им + ех, из уравнений (1) получим уравнения движения шара
mv
v = (ci + С2)v + [ez, -a(ci - C2)ц, + (ciQi + C2Q2)r + (ciQi - 02^2)^,
Io>„ = a(ci - C2) [ez, v] - a2(ci + C2)w„ + a(ciQi - C2Q2)r + a(ciQi + C2^2)1,
(3)
W z
0.
Из последнего уравнения системы (3) следует, что проекция угловой скорости шара на вертикаль сохраняется во все время движения: wz = const. Далее это уравнение не рассматривается.
r v ши
——, w = —, г = Hit система (3) aQi Qi
Пусть Qi ф 0. В безразмерных переменных р = —, и =
a
примет вид
' u,
Р
где (.у = ±(.),к = ^,Х
ри' = -(1 + k)u + [ez, (-(1 - k)w + (1 + kx)p + (1 - kx)s)], apw' = (1 - k) [ez, u] - (1 + k)w + (1 - kx)p + (1 + kx)s, Q2 mQi l
(4)
' С1 а
3. Стационарные движения шара. Стационарные решения системы уравнений (4) имеют
вид
Р(т)
x -1
и(т) = 0, w(t ) =
2x
при x = -1;
x = -1, s = 0.
x+1 x+1
р(т) = const, и(т) = 0, w(t ) = р(т) при
Этим решениям отвечают стационарные движения шара. При x = -1 (Qi = -Q2) центр масс шара покоится на оси Oy, шар равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс и лежащей в вертикальной плоскости Oyz. При x = -1 (Qi = -Q2) стационарное движение шара возможно тогда и только тогда, когда оси вращения плоскостей совпадают. В этом случае центр масс шара покоится в произвольной точке плоскости Oxy, шар равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс и лежащей в вертикальной плоскости, содержащей ось вращения плоскостей.
Исследуем устойчивость найденных стационарных решений. Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений (4) устойчива (асимптотически устойчива, неустойчива) тогда и только тогда, когда нулевое решение соответствующей линейной однородной системы устойчиво (асимптотически устойчиво, неустойчиво) [3, 4]. Полагая р = xex + yey, и = uxex + uyey, w = wxex + wyey, запишем систему уравнений (4) в виде
x = Ax + b,
(5)
где
x 0 0 1 0 0 0 \ 0
y 0 0 0 1 0 0 0
x= ux Uy , A = 0 l+fcX м 1+fcx M 0 1+fc M 0 0 1+fc M 0 1-fc M 1-fc M 0 , b = (l-fcx)s 0
Wx l-fcx (J)и 0 0 1-fc (J)и 1+fc (J)и 0 0
wy 0 l-fcx (J)и 1-fc (J)и 0 0 1+fc (J)и / (1+kx)s \ ap /
При k = 1 (ci = C2) в последних двух столбцах матрицы A = (aj) отличны от нуля только элементы a55 и a66, поэтому характеристическое уравнение det(A - Ж) = 0 системы (5) представляется в виде
А +
0.
а/ / \ / /2 /2
Многочлен, являющийся вторым множителем этого уравнения, при % = —1 содержит все степени А, кроме первой. Тогда из теоремы Виета следует, что среди его корней есть корень с положительной вещественной частью. Значит, при к = 1, х = —1 система (5) неустойчива. Случай % = —1 обсуждается ниже.
v
При произвольных значениях параметра к характеристическое уравнение системы (5) имеет
вид
Л6 + a1A5 + a2A4 + a3 Л3 + a4A2 + a5 Л + a6 = 0,
где
2(1 + a)(l + к) (l + a)2(l + fc)2 8 к 8к(1 + a)(l + к)
а 1 =-> и, =---1--о > аз =--> и,
ац а2ц2 ац2 а2ц3
(1 + кХ? ^ Ш2 4fc(l + х)(1 + кх) 4fc2(l + X)2 . п
Й4 — -5--1--> UJ а5 — -5-> а6 — -- ^
ц2 а2ц4 ац3 а2ц4
Все коэффициенты этого уравнения, кроме a5, положительны при % = -1. Если a5 ^ 0, то характеристическое уравнение имеет корень с положительной вещественной частью. Отсюда получаем достаточное условие неустойчивости системы (5) при % = -1:
(1 + х)(1 + кх) < 0.
В случае a5 > 0 с использованием критерия Гурвица численно было показано существование параметров системы, при которых она асимптотически устойчива или же неустойчива. В частности, асимптотическая устойчивость возможна при х = -0, 99, а = 0, 5, ц = 20, к € [0, 6; 0, 9].
При х = -1 коэффициенты a5 и a6 характеристического уравнения равны нулю, поэтому оно имеет нулевой корень Л* =0 алгебраической кратности 2. Ранг матрицы A - Л*Е шестого порядка равен 4, значит, геометрическая кратность корня Л* равна 2 и этому корню отвечают две жорда-новы клетки. Поскольку алгебраическая и геометрическая кратности нулевого корня совпадают, то этот корень является кратным корнем с простыми элементарными делителями. Применив критерий Гурвица к многочлену Л4 + a1 Л3 + a2 Л2 + a3 Л + a4, согласно теореме об устойчивости линейной однородной системы [3] получим условие устойчивости системы (5) при х = -1:
Vk( 1 + к) - а\1 - к\ > 0, где а = ^^
2(1 + а)'
В частности, это условие выполнено при к = 1. Характерные области устойчивости по параметру к
1ц
в зависимости от значений а имеют вид: к € (к\(а), +оо) при а < у---, где к\(а) < 1;
Г\Л~\~Ъл/Ъ
к € (к\(а), Аг2(ск)) и (кз(а), +оо) при а ^ у---, где к\(а) < 1 < ^(а).
4. Малоинерционный шар. Изучим динамику шара, главный центральный момент инерции которого мал. Некоторые аспекты данной задачи рассматривались в [5].
(а) Пусть масса шара конечна и сосредоточена вблизи его центра. Тогда 0 < а ^ 1. В этом случае третья группа уравнений системы (4) имеет малый параметр а в левой части и для исследования динамики шара можно воспользоваться теоремой Тихонова [6]. Для системы (4) при а = 0 получаем вырожденную систему:
Р*' = и*,
¡и*' = —(1 + к)и* + [е,, (—(1 — к)™* + (1 + кх)р* + (1 — кх)«)], (6)
0 = (1 — к) [е,, и*] — (1 + к)™* + (1 — кх)р* + (1 + кх)«. (7)
Из уравнения (7) находим
= ^ ((1 " к) [ег,и*] + (1 - кХ)р* + (1 + кХ)з) . (8)
После подстановки (8) в уравнение (6) получаем
2к
р*' = и*, ри*' = — (-2«* + [е2, ((1 + х)р* + (1 - X)*)]) • (9)
В данном случае выполнены все условия теоремы Тихонова [6], поэтому справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть р(т,а), и(т,а), w(t, a) — 'решение уравнений (4) с начальными условиями p(0,a) = р0, u(0,a) = и0, w(0,a) = wo на некотором конечном отрезке времени т € [0,T] при любом a € (0, a0], где a0 = const > 0. Тогда при a ^ 0 функции р(т,а), и(т,а) стремятся на отрезке т € [0, T] к решению р*(т), и*(т) уравнений (9) с начальными условиями р*(0) = р0, и*(0) = и0, а функция w(t, a) стремится на промежутке т € (0, T] к функции w*(t), определяемой выражением (8), в которое вместо р*, и* подставлено решение р*(т), и*(т).
Таким образом, в пределе при a ^ 0 на конечном отрезке времени движение центра масс шара описывается уравнениями (9). Полагая р* = x*ex + y*ey, и* = uxex + u*ey, запишем эти уравнения в координатном виде:
x*" = -Ax*' - By* + C, y*'' = -Ay*' + Bx*
(10)
где
4k A A
Введя комплексную переменную д = х* + гу*, из системы (10) получим д'' = —Ад' + гВд + С. Интегрируя это комплексное линейное дифференциальное уравнение, находим общее решение уравнений (10).
1) Если В = 0 (^1 = —О2), то общее решение уравнений (10) имеет вид
x*(t) = eaiт[Cii cos а3т - Ci2 sinа3т]+ e a2T[C2i cos а3т + C22 sinа3т], У*(т) = eaiT[Ci2 cos азт + Cii sin азт] + e-a2T[C22 cos азт - C2i sin азт] +
С В'
(11)
где
A VVA4 + 16В2 + A2 A VVA4 + 16B2 + A2 VVA4 + 16Б2 - A2 a 1 = — — H---p-> 0, a2 = — H--- > 0, a3 =-^- > 0.
2
Решение (11) представляет собой комбинацию колебаний с экспоненциально возрастающей и убыва-
(12
ющей амплитудами. Поскольку — > 1, то за период амплитуда затухающих колебаний уменьшится
а3
более чем в е2п раз [2]. Поэтому в общей случае в пределе при а ^ 0 центр масс шара будет достаточно быстро приближаться к раскручивающейся вокруг точки на оси Оу логарифмической спирали.
Если Сц = С12 = 0, то решения (11) ограничены и принимают вид
x*(t) = e
— «2 T
х0 cos а3т + (у0 - sina3r
У*(т) = e
—«2T
y0
—J cos a3r
x0 sin а3т
+
С В'
при этом начальные условия хо, уо, их0, иу0 удовлетворяют равенствам
ихо = -а2х0 + а3 (уо ~ , иуо = -а3х0 - а2 (уо ~ •
В данном случае в пределе при а ^ 0 траектория центра масс шара будет лежать на закручивающейся вокруг точки на оси Оу логарифмической спирали.
2) Если В = 0 (^1 = —О2), то решение уравнений (10) имеет вид
I (Ux0 C\ —At\ , C
*(т)=хо + [^-Т2)(1-е ) + -
е + y4r)=yo + V-f(l-e~An.
В частности, если иу0 = 0, то у*(т) = у0.
(б) Пусть масса шара мала: 0 < / ^ 1. Тогда вторая и третья группы уравнений системы (4) имеют малый параметр / в левой части. При / = 0 получаем вырожденную систему:
*/ * р = и ,
(12)
0 = -(1 + ^и* + [ez, (-(1 - k)w* + (1 + kx)p* + (1 - kx)s)],
(13)
0 = (1 - k) [ez, u*] - (1 + k)w* + (1 - kx)p* + (1 + kx)s. (14)
Из уравнений (13), (14) находим
u* = [ez, (vip* + v2s)], w* = v2p* + vis, (15)
1 + X 1 — X
где v\ = —-—, V2 = —^—• Подставив найденное выражение для и* в уравнение (12), получим
p*' = [ez, (vip* + v2s)]. (16)
Как и в предыдущем случае малоинерционного шара, выполнены все условия теоремы Тихонова [6], поэтому справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть p(t, ц), u(t, ц), w(t, ц) — 'решение уравнений (4) с начальными условиями p(0,^) = p0, u(0, ц) = u0, w(0, ц) = w0 на некотором конечном отрезке времени т € [0,T] при любом ц € (0, цо], где цо = const > 0. Тогда при ц — 0 функция p(t, ц) стремится на отрезке т € [0,T] к решению p*(t) уравнения (16) с начальными условиями p*(0) = p0, а функции u(t, ц), w(t, ц) стремятся на промежутке т € (0,T] к функциям u*(т), w*(t), определяемым выражениями (15), в которые вместо p* подставлено решение p*(t).
Запишем уравнения (16) в координатном виде:
*'* *'* /-1 1Т\
х = -viy - V2s, y = ViX . (17)
1) Если vi = 0 (Qi = -Q2), то при начальных условиях Хо,Уо решение уравнений (17) имеет
вид
*/ \ ( , v2 S\ . *, , . ( . v2S\ v2S
x (т) = хо COS 1у\т — ууо Н--J Sin 1У\т, у (т) = хо Sin v\t + ууо Н--j cos v\t —
vi J \ vi J vi
В пределе при ц — 0 траектория центра масс шара будет лежать на окружности с центром на оси Oy.
2) Если vi = 0 (Qi = -Q2), то решение уравнений (17) имеет вид
х*(т)= Хо - v2ST, y*(т)= Уо.
В пределе при ц — 0 траектория центра масс шара будет лежать на прямой, параллельной оси Ox.
Замечание 1. Пусть однородный шар катится без проскальзывания между горизонтальными плоскостями, каждая из которых вращается вокруг неподвижной вертикальной оси. Кинематика такого шара рассматривалась в [7]. Уравнения Ньютона-Эйлера, описывающие движения шара, принимают вид
m^ = mg + Fi+F2 + Ni + N2, = a[ez, (F2 - F{)]. (18)
Здесь Fi, F2 — горизонтальные составляющие реакций плоскостей, действующих на шар в точках контакта шара с этими плоскостями. Как и в случаи скольжения шара между плоскостями, проекция угловой скорости шара на вертикаль сохраняется во все время движения: wz = const.
При движении без проскальзывания относительные скорости v^™ и v^™ точек шара, которыми он соприкасается с вращающимися плоскостями, равны нулю, поэтому в соответствии с (2) получаем
v - a[wM, ez] - [fii, (r + I)] =0, v + a[ц„ e^ - [O2, (r - I)] = 0.
Отсюда,
Qi + Q2 г ! , Qi - Q2 r ;1 Qi - Q2 , Qi + Q2, v =-ez, r\ H--\ez,l , =-rH--I.
2 1,1 2 1 ' " 2 a 2 a
Эти выражения, записанные в безразмерных переменных p, u и w, совпадают с (15). Нетрудно убедиться, что после подстановки полученных выражений для v, в уравнения (18) горизонтальные составляющие Fi, F2 реакций плоскостей определяются однозначно.
Таким образом, в пределе при ц - 0 на произвольном конечном интервале времени движение малоинерционного шара такое же, как и движение однородного шара, находящегося между двумя абсолютно шероховатыми вращающимися плоскостями. Тот же результат получается в случае,
когда коэффициенты трения ci, е2 стремятся к бесконечности и их отношение ограничено. Корректность аналогичного предельного перехода от диссипативных систем общего вида к неголономным обсуждается в [8, 9]. В [2] показано, что на произвольном конечном интервале времени движение однородного шара по равномерно вращающейся горизонтальной плоскости с линейным вязким трением в пределе при стремлении коэффициента трения к бесконечности оказывается таким же, как и движение однородного шара по равномерно вращающейся плоскости без проскальзывания, которое рассматривалось, например, в [10].
Замечание 2. Полученные с помощью теоремы Тихонова утверждения 1 и 2 позволяют говорить о близости решений сингулярно возмущенной системы к решениям вырожденной системы на произвольном конечном промежутке времени. Возможность обобщения теоремы Тихонова на бесконечный промежуток времени обсуждается в [11]. Для системы (4) в случае, когда а или ß мало, условия теоремы Климушева-Красовского не выполнены, поскольку системы (10), (17) не являются асимптотически устойчивыми.
Однако можно показать близость решений системы (4) при а ^ 0 (или при ß ^ 0) к решениям вырожденной системы на бесконечном промежутке времени при значениях параметров k = 1, X = -1. В этом случае система (4) принимает вид
р' = u, ßu' = — 2u — 2sex, aßw' = — 2w + 2p
и второе уравнение системы отделяется. Проинтегрировав эту систему, получаем решение
PiT) = + sex)( 1 - e~2r/ß) - srex + p0, и{т) = (u0 + sex)e~2r/ß - sex,
"(T) = (wo + yß^fo + sex) + Po + - ^^^ + sex)e~2^ + p(r) +
(а) При а = 0 вырожденная система имеет вид р*' = u*, ßu*' = —2u* — 2sex, w* = p*. Следовательно, р(т) = р*(т), u(r) = u*(т) для любого т ^ 0 и lim wir) = w*(r) для любого т > 0.
(б) При ß = 0 вырожденная система имеет вид р*' = —sex, u* = —sex, w* = р*. Следовательно, lim р(т) = р*(т) для любого т ^ 0 и lim u(r) = u*(r), lim w(r) = w*(r) для любого т > 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фуфаев Н.А. Катание шара по горизонтальной вращающейся плоскости // Прикл. матем. и механ. 1983. 47, вып. 1. 43-47.
2. Ivanova T.B. The rolling of a homogeneous ball with slipping on a horizontal rotating plane // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2019. 15, N 2. 171-178.
3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
4. Карапетян А.В. Устойчивость и бифуркация движений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2020.
5. Koshelev A., Kugushev E., Shahova T. Dynamics of a low-inertia ball located between two rotating planes with viscous friction // Dynamical Systems — Theory and Applications: Abstracts of 16th Int. Conf. (6-9 December 2021, Lodz) / Ed. by J. Awrejcewicz, M. KaZmierczak, J. Mrozowski, P. Olejnik. Lodz: Politechnika Lodzka, 2021.
6. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
7. Milne E.A. Vectorial Mechanics. London: Methuen Amp Co. Ltd., 1948.
8. Карапетян А.В., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техн. Общ. механ. T. 6. М: ВИНИТИ, 1983.
9. Eldering J. Realizing nonholonomic dynamics as limit of friction forces // Regul. Chaotic Dyn. 2016. 21, N 4. 390-409.
10. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies: being part II of a treatise on the whole subject. N.Y.: MacMillan, 1905.
11. Климушев А.И., Красовский Н.Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производной // Прикл. матем. и механ. 1961. 25, вып. 4. 680-690.
Поступила в редакцию 21.02.2024
