CC BY
3
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 2.
УДК 517, 518.85 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-243-250
О достаточных условиях существования решения бесконечно-разностного уравнения с переменными
коэффициентами
С. Э. Нохрин, В. Т. Шевалдин
Нохрин Сергей Эрнестович — кандидат физико-математических наук, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН (г. Екатеринбург). e-mail: [email protected]
Шевалдин Валерий Трифонович — доктор физико-математических наук, Институт математики и механики им. И. И. Красовского УрО РАН (г. Екатеринбург). e-mail: valerii.shevaldinQimm. uran.ru
Аннотация
В работе рассматривается разностное уравнение вида Хл=0 a,k,iZk+i = Ук (к g Z), где г g N, у = {уи}fcez — заданная числовая последовательность из пространства 1р (1 ^ Р < го), при условии, что матрица А = (a,k,i), g R, обладает свойством, близким к наличию доминантной диагонали. С помощью теоремы о неподвижной точке выписаны достаточные условия на коэффициенты при которых данное уравнение имеет единственное решение Z = {Zk}keZ принадлежащее пространству 1Р, и для нормы этого решения приведена числовая оценка сверху.
Ключевые слова: разностное уравнение, последовательности, пространство 1р, норма решения.
Библиография: 12 названий. Для цитирования:
С. Э. Нохрин, В. Т. Шевалдин. О достаточных условиях существования решения бесконечно-разностного уравнения с переменными коэффициентами // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 2, с. 243-250.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.
UDC 517, 518.85 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-243-250
Sufficient conditions for the existence of the solution of an infinite-difference equation with variable coefficients
S.E. Nohrin, V.T. Shevaldin
Nohrin Sergei Ernestovich — candidate of physical and mathematical sciences, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Ural Branch) of the RAS (Yekaterinburg). e-mail: [email protected]
Shevaldin Valerii Trifonovich — doctor of physical and mathematical sciences, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Ural Branch) of the RAS (Yekaterinburg). e-mail: [email protected]
Abstract
The paper discusses a difference equation of the form amZk+i = yk (k g Z), where r g N, y = {yk}keZ is a given numerical sequence from the space lp (1 < p < to), provided that the matrix A = (ak,i), ak,i g R, satisfies some condition close to the presence of a dominant diagonal. With the help of the fixed point theorem, sufficient conditions are written for the coefficients akj, at which the equation has a unique solution Z = {Zk}keZ, belonging to the space lp. For the norm of this solution, a numerical estimate is given from above.
Keywords: difference equation, sequences, space lp, solution norm.
Bibliography: 12 titles.
For citation:
S.E. Nohrin, V. T. Shevaldin, 2024, "Sufficient conditions for the existence of the solution of an infinite-difference equation with variable coefficients", Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 2 13 250.
1. Введение
При решении задач экстремальной интерполяции последовательностей действительных чисел в постановке Яненко — Стечкина — Субботина (см., например, [1]-[6]) в качестве экстремальных функций естественным образом появляются интерполяционные сплайны и их обобщения. Для доказательства их существования применяются различные методы (см. [1]-[11]), так или иначе связанные с решением разностных уравнений с постоянными (в случае равномерной сетки точек интерполяции) или с переменными коэффициентами (если сетка узлов интерполяции, заданная на оси М или на отрезке, является произвольной).
В этих задачах в работах [4]-[6] возникли бесконечно-разностные уравнения вида
г
гк+1 = ук (к е Z), (1)
1=0
где о>к,1 е М, г е Ни у = {ук }ке% — заданная числовая последовательность из пространства 1р (1 ^ Р ^ го), и изучадись свойства матрицы А = (ак,1), которые обеспечивали существование и единственность решения уравнения (1), принадлежащего пространству 1р (1 ^ р ^ го).
Напомним, что под пространством lp = lp(Z) понимается пространство последовательностей действительных чисел Z = {Zk}kez с нормой
{sup lZk I, р = ж,
( Z\z„ f)1", 1 < Р< ж.
v fcez '
Сформулируем один общий результат о решении уравнения (1), когда это уравнение имеет постоянные коэффициенты, т. е. если ak,i = щ (I = 0,1,..., г) не зависят от к.
г
Теорема 1. Если все нули многочлена Ur(х) = ai%1 (ai G R, ar = 0) отрицательны и
1=0
просты, Ur(—1) = 0, то разностное уравнение
Zk+i = ук (к G Z),
1=0
где у = {ук}kez G lp (1 ^ р ^ ж), имеет единственное решение Z0 = {Z°}kez G lp, выражаемое формулой
Zk = Y1 b-s-k У^
sez
lb,II,
s _ 1 птт / л „ „ „„„^„„д „„, „„ IIVOI
где bsxs = 1/(Ur(x)), для которого справедлива оценка, ||^0||гр ^ —ГТГ-sez Wr(-1)|
Существование решения разностного уравнения в этой теореме доказано М. Г. Крейном [8], а оценка сверху нормы этого решения получена Ю. Н. Субботиным [1, 2].
В цитированных работах М.Г. Крейна и Ю.Н.Субботина имеются и другие результаты, касающиеся достаточных условий существования и единственности решений и более общих разностных уравнений, в частности, вида
^ai+kZi = Ук (к G Z), lez
где у = {ук}kez G 1Р (1 ^ р ^ ж), но мы не будем здесь на них останавливаться.
В случае р = ж обширная библиография по решению разностных уравнений вида
Zi = ук (к G Z), у = {ук}kez G 1<х>, (2)
lez
изложена в недавних работах [9, 10] Ю.С.Волкова и С.И.Новикова. В монографии [11] Л.В.Канторовича и В.И.Крылова установлено, что достаточным условием существования единственного ограниченного решения уравнения (2) является требование, что матрица А = (ak,i) является вполне регулярной. Приведем одно определение из [9].
Definition 1. Считаем,, что бесконечная матрица А = (ak,i) (k,l G z) (см. (2)) имеет доминирующую диагональ, если можно указать такое число т G z, что при всех k G z будут выполняться неравенства
Iak,k+mI- Wk,iI ^ Р> 0 (к G z)
lez\(k+m)
для некоторого положительного числа, р.
В [9] доказано, что если матрица А — (a^i) (k,l £ Z) имеет доминирующую диагональ, то эта матрица является вполне регулярной, и, как следствие, из результатов [11] получено, что система уравнений (2) для любой ограниченной последовательности у — {Ук имеет
единственное ограниченное решение Z — }kez> и справедлива о цепка \\Z ^ sup , где
fcez Рк
Рк = \^к,к+т \ — Y1 \ак,11-leZ\(k+m)
В случае, если у £ 1р (1 ^ р < го), достаточные условия существования решений уравнений (1) и (2) практически не изучены (есть небольшое обсуждение в работе [2] Ю.Н.Субботина, см. также библиографию в [9]).
Ситуация с решением разностных уравнений с переменными коэффициентами (например, вида (1)) схожа с общей теорией решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений г-го порядка с переменными коэффициентами: хорошо разработана теория решений таких уравнений с постоянными коэффициентами, а в гораздо меньшей степени исследованы уравнения, если эти коэффициенты — переменные функции. Отметим еще, что уравнения в конечных разностях исследовались в монографии [12] А. О. Гельфонда.
В данной работе в случае 1 ^ р < го нам не удалось развить теорему 1 Крейна — Субботина на случай произвольной матрицы А — (a,k,i)• Далее указаны довольно жесткие достаточные условия на коэффициенты этой матрицы (по форме близкие к существованию доминирующей диагонали), обеспечивающие существование и единственность решения уравнения (1), если его правая часть у — [ук}kez принадлежит пространству 1р (1 ^ р < го), и при этих ограничениях найдена оценка сверху для нормы этого решения в пространстве 1Р.
2. Существование решения разностного уравнения и его оценка
Рассмотрим уравнение (1). Выделим в матрице А = (а,к,{) столбец, соответствующий параметру т : 0 ^ т ^ г с элементами {ак,т}kez• Обозначим
Vк = ^2 ак,1 (к € Z), 1=0
и далее считаем, что все ц.к = 0 (к € Z).
):
число а, что
К — г ■ sup a>k,i + sup к &к,т <a< 1
l=0,1,..,r; l=m Vk fcez P>k
кег
Тогда для любой последовательности у = {ук}кez € 1Р (1 ^ Р < ж) разностное уравнение (1) имеет решение Z = {^к}кez € 1Р, причем это решение единственно.
Доказательство. Доказательство теоремы 2 сведем к проверке выполнения условия теоремы о неподвижной точке при сжимающем отображении в полном метрическом пространстве 1р = 1р(Ъ) (р ^ 1). Именно такой метод применялся при доказательстве существования и единственности интерполяционных сплайнов с произвольными узлами в работах [5] и [6]. С учетом
определения чисел ук = ак,1 перепишем уравнение (1) в виде
=0
а,к,1 ^к+т — гк+1) = —Ук + 2к+т.
1=0, I=т
Поскольку числа — 0 (к £ Z), то отсюда следует равенство
^к+т —
Vk
Ук + ^ ^k,l (Zk+m - Zk+l)
1=0, 1=т
(3)
Обозначим Z — {Zk+m}keZ и рассмотрим нелинейный оператор Т : Z ^ TZ, где
TZ — Т {Zk+m} — -
Vк
Ук + ^ 0>k,l(Zk+m - Zk+l)
1=0, l=m
(к £ Z).
Докажем, что при выполнении условия а) теоремы 2 этот оператор является сжимающим в полном пространстве 1Р (1 ^ р < го). В самом деле, пусть Z(1), Z(2) е 1Р, тогда
^=(1)
т (z(1) - Z(
)||, — {£ £ «Ы^ - 4+,) - ± £ (z^ - Z<+,)1
7 1 v У Ик , , v г^к ,_n ,, v J
<
I=0, l=m ,(1) 7(2)
I=0, I=m
<
£ - + ||{ ¿E - O}
I=0, l=m
I=0, I=m
<
^ sup к &к,т z(1) - z(2) +
keZ ^к 1v
a>k,i • г • z(1) - z(2) — К z(1) - z(2)
Vk 1v 1v
sup
1 ,...,r; I
кег
Поэтому по теореме о неподвижной точке при сжимающем отображении уравнение (3), а, следовательно, и уравнение (1) при любой правой части у £ 1Р имеет решение Z — {Zk}keZi это решение единственно и принадлежит пространству 1Р. Теорема 2 доказана.
Пример 3. Пусть для любого к £ Z числа, акт — 1, — - (I — 0,1,...,т - 1,
г + 1
т + 1,... ,г). Тогда матрица А — (ак,i) системы (1) имеет доминирующий столбец, число 2г
К — --т < 1, и система (1) имеет единственное решение Z — {Zk}kez £ 1Р-
2г + 1
Пример 4. Пусть для любого к £ Z числа йк,т — 1, ок,т+1
г + 1
(г ^ 2), а остальные
(I — т, I — т + 1) равны 0. Матрица А — (ak,i) системы (1) имеет доминирующий
2
/у2 + Гр
столбец, но условие а) теоремы 2 не выполнено, поскольку число К — -—-j—j- > 1 щи г ^ 2. Теорема 3. Пусть выполнено условие а) теоремы 2 и еще условие б) :
L — inf lak,ml- г • sup lak,il > 0.
keZ 1 = 0,1.....r; l = m
кег
Тогда, для, любого числа, р : 1 ^ р < ж и произвольной последовательности у — {уk }kez £ 1Р
(1) :
IU.II,
\\ZIL <
L
Доказательство. В силу свойств нормы имеем
^ \\{flfc,mZk+m-
1 У! ak,iZk+i ^ 1=0
1 ^ ak,lZk+l
^ 1=0, 1=т
>
> inf lak,rnl • I\Z- Г • sup lak,il • \\Z\\zv — L • \\Z\\Zv
keZ I = 0,1,..., r; l = m
кег
Из этого неравенства следует утверждение теоремы 3.
v
v
г
v
Пример 5. В [6] вторым автором статьи на произвольной сетке А = {хк} кez числовой оси М рассмотрена задача, Яненко — Стечкина — Субботина экстремальной интерполяции функций с наименьшим значением нормы в пространстве ЬР(М) (1 ^ р ^ ж) второй производной при условии, что нормы вторых разделенных разностей интерполируемых значений
ограничены в простора,нет,ее 1Р = 1Р^). При получении оценок сверху для нормы второй про-
(
Акгк+2 + Вкгк+1 + СкЯк = Ук (к € Z), у = {Ук}кez € 1р
(4)
где
Ак =
Вк =
Ъ к+1(Ъ к + Ъ к+1) (Ък + 2Ък+1 + Ък+2)2''
Ък (Ък-1 + Ъ к)
Ск =
Ъ к (Ък + Ък+1) (Ък-1 + 2Ък + Ък+1)2,
Я , Я + 1
+
(Ък-1 + 2Ък + Ък+1)2 Ъ к + Ъ к+1 Ъ к-1 + Ък-
+
+
д +1
Ъ к+1(Ъ к+1 + Ъ к+2) (Ък + 2Ък+1 + Ък+2)2 I-Ък + Ък+1 Ък+1 + Ък+2
(д = , Ък = Хк+1 - хк).
В [6] методом теоремы 2 щи г = 2 и любом, р : 1 < р < ж доказано, что для, любой сетки узлов А = {хк}к& система, (4) имеет единственное решение Z = {^к}кez € 1Р, число К ^ 17/18, а методам, теоремы 3 установлено, что Ь = 1/18.
3. Заключение
Достаточные условия для решения разностного уравнения вытекают в настоящей работе только из применяемого нами подхода к решению (при этом само решение выписать явно не удается), связанного с принципом сжимающих отображений, и, возможно, могут быть ослаблены.
Результаты настоящее работы могут найти применение при разработке численных методов решения дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных при замене дифференциальных операторов разностными.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Субботин Ю. Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Труды МИЛИ СССР. 1965. Т. 78. С. 24-42.
2. Субботин Ю. Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Труды МИЛИ СССР. 1975. Т. 138. С. 118-173.
3. Шевалдин В. Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов // Тр. МИЛИ СССР. 1983. Т. 164. С. 203-240.
4. Новиков С. П., Шевалдин В. Т. О связи между второй разделенной разностью и второй производной // Тр. Нн-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 216-224. ёок 10.21538/0134-4889-2020-26-2-216-224.
5. Шевалдин В. Т., Субботин Ю.Н. Экстремальная функциональная интерполяция в пространстве ЬР на произвольной сетке числовой оси // Матем. сборник. 2022. Т. 213, № 4. С. 123-144. ёок 10.4213/8т9628.
6. Шевалдин В. Т. Экстремальная интерполяция с наименьшим значением нормы второй производной в пространстве LP(R) // Известия РАН. Серия матем. 2022. Т. 86, № 1. С. 219-236. doi: 10.4213/im9125.
7. Субботин Ю.Н., Новиков С. И., Шевалдин В. Т. Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 3. С. 200-225. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-200-225.
8. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13, № 5. С. 3-120.
9. Волков Ю. С., Новиков С. И. Оценки решений бесконечных систем линейных уравнений и задача интерполяции кубическими сплайнами на прямой // Сиб. матем. журн. 2022. Т. 63, № 4. С. 814-830. doi: 10.33048/smzh.2022.63.408.
10. Volkov Yu. S., Novikov S. I. Estimates for solutions of bi-infinite systems of linear equations // Eur. J. Math. 2022. Vol. 8, no. 2. Pp. 722-731. doi: 10.1007/s40879-021-00528-v.
11. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 695 с.
12. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 376 с. REFERENCES
1. Subbotin, Yu.N. 1965. "On the connection between finite differences and corresponding derivatives", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 78, pp. 24-42 (in Russian).
2. Subbotin, Yu.N. 1977. "Extremal problems of functional interpolation and mean interpolation splines", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 138, pp. 127-185.
3. Shevaldin, V. T. 1985. "Some problems of extremal interpolation in the mean for linear differential operators", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 164, pp. 233-273.
4. Novikov, S.I., Shevaldin, V. T. 2020. "On the connection between the second divided difference and the second derivative", Tr. In-ta Matematiki I Mekhaniki UrO RAN, vol. 26, no. 2, pp. 216— 224. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-216-224 (in Russian).
5. Subbotin, Yu.N., Shevaldin, V.T. 2022. "Extremal functional Lp-interpolation on an arbitrary mesh on the real axis", Sbornik: Mathematics, vol. 213, no. 4, pp. 556-577. doi: 10.1070/SM9628.
6. Shevaldin, V. T. 2022. "Extremal interpolation with the least value of the norm of the second derivative in LP(R)", Izvestiya: Mathematics, vol. 86, no. 1, pp. 203-219. doi: 10.1070/IM9125.
7. Subbotin, Yu.N., Novikov, S.I., Shevaldin, V.T. 2018. "Extremal function interpolation and splines", Tr. In-ta Matematiki I Mekhaniki UrO RAN, vol. 24, no. 3, pp. 200-225. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-200-225 (in Russian).
8. Krein, M. G. 1958. "Integral equations on the half-line with a kernel depending on the difference of the arguments", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 138, no. 5 (83), pp. 3-120 (in Russian).
9. Volkov, Yu. S., Novikov, S. I. 2022. "Estimates of solutions to uniform systems of linear equations and the problem of interpolation by cubic splines on the real line", Siberian Math. ,J., vol. 63, no. 4, pp. 677^90. doi: https://doLorg/10.1134/S0037446622040085.
10. Volkov, Yu.S., Novikov, S.I. 2022. "Estimations for solutions of bi-infinite systems of linear equations", Eur. J. Math., vol. 8, no. 2. P. 722-731. doi: https://doi.org/10/1007/s40879-021-00528-v.
11. Kantorovich, L. V., Krvlov, V. I. 1962. "Approximate methods of higher analysis". M.: Fizmatgiz. Publ., 695 p.
12. Gel'fond, A.O. 1967. "Calculus of finite differences", M.: Nauka Publ., 376 p.
Получено: 13.04.2024 Принято в печать: 28.06.2024
