О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764

А. В. Букушева, С. В. Галаев

О ДОПУСТИМОЙ КЕЛЕРОВОЙ СТРУКТУРЕ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ К НЕГОЛОНОМНОМУ МНОГООБРАЗИЮ

В работе [1| было введено понятие неголономного многообразия с допустимой финслеровой структурой. При этом иод неголономным многообразием понимается неинволютивное подрасслоение (х"',п,Хп| касательного расслоения. Финслерова структура определяется как функция I: X'" -> К, удовлетворяющая стандартным для финслерова многообразия условиям [2].

В настоящей статье неголономное многообразие ( ХЦ~1, п, Хп ) задается на гладком п -мерном многообразии Хп вместе со своим оснащением Х\. Последнее означает, что касательное пространство Тх{Хк многообразию Хп в каждой его точке х раскладывается в прямую сумму Тх(Хп) = {К~1) ■ Обозначим через (Хп) модуль тензорных

полей типа (р, (¡), заданных над кольцом гладких функций на Хп. Интерпретируя тензорное поле ? как ноле полилинейных форм, назовем его допустимым (к многообразию Х"~1), если г обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются векторы из Ххп или сопряженного

к нему (х]„) . Множество допустимых тензорных полей типа (р, у) является модулем, обозначаемым нами ' ). Модуль тензорных полей типа (р, <?), заданных на тотальном пространстве X"'1 расслоения (^Х"~\л,Х„), обозначим На многообразии Х"~' естественным образом возникает гладкое распределение = '). Будем говорить, что в неголономном многообразии Х"пл задана инфините-зимальная связность (в [3] такая связность называется связностью, заданной над распределением), если распределение раскладывается в прямую сумму вида Х]"^ - НХппл Ш УХ"пА, где НХ"п'1 - горизонтальное распределение, а УХ"п ! - вертикальное распределение. В частности, мы имеем изоморфное соответствие п, АНХ"^ ) —>[Х"~1) . Пользуясь

\ 'и \ 'п(и)

инволютивпостью оснащения Х]п, ограничимся на Хп системами координат х(-*а) такими, что дп = Две такие карты х(-т")> х'(ха ] связаны межд>' собой следующим законом преобразования:

(ха), х"'=хя'(хя,х") (а, р, у = 1,...,и; а,Ь,с = 1...,п-1).

Пусть ёа-да- Г "дп - поле векторов, допустимых для X"'1. Тогда 1еа,еь\ = м"аьдп. Карта % определяет на X" 1 карту %(1,) = [ха ,хп+а), где

Ь = Хп+аёл. Если на многообразии задана допустимая финслсрова

структура, то в многообразии возникает инфинитезимальная связ-

ность, порождаемая распределением

где ъа = да - Г"с„ - Сьасх" сдп+ь, СаЬс=СаЬ с =сп^ьдп^сОа, С°=8"Ь[дс4*"+С-41?), Яаь=\^а-ь [1].

Определим на многообразии поле J еГ^Х^!^, полагая

J{s■a) = Sn+a, 7 (оя+а ) =-ёа. В результате на многообразии X" возникает /-структура [4], т.е. тензорное поле типа (1,1), удовлетворяющее условию /3 + / = 0. Поле / однозначно определяется следующими условиями: /(ёа) = ^(ёа), f{дn+a) = J{д„+a), /(б„) = 0. С помощью равенств = = | = 0 на многообразии оп-

ределяется допустимая риманова метрика [1], [4]. Обобщая на неголоном-ный случай определение эрмитова пространства [5] и учитывая равенство ¿■(У(г7),/(у)] = получаем теорему 1.

ТЕОРЕМА 1. Пара допустимых структур (./.¿) определяет на него-лономном многообразии допустимую эрмитову структуру.

Назовем допустимую эрмитову структуру допустимой келеровой структурой, если V./ = 0, где V - метрическая связность с нулевым кручением в неголономном многообразии [4]. Для определения условий, при которых пара (•/,#) образует допустимую келерову структуру, введем два

объекта: = 2(ё[АС7д] ВсЪа-Ссь,а-Цс, где коэффициенты ТсЬа

определяются из соотношения ^¡а5п+ь = тсаьдп^с. Проводя необходимые вычисления, получаем теорему 2.

ТЕОРЕМА 2. Допустимая почти эрмитова структура (J,g) является келеровой тогда и только тогда, когда Ща = 0 и ВаЬс = gadB^c симметричен по всем индексам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Х.Галаев С. В.. Челышев В. Т. О допустимых тензорных структурах на неголо-вомном многообразии // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 19 - 21.

2. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука.

1981.

3. Минин Ю И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М.: Наука, 1984. А. Вагнер В. В. Геометрия (и-1)-мерного неголономного многообразия в

n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-225.

5. Яно К., Кон М. CR-подмногообразия в келеровом и сасакиевом многообразиях. М.: Наука, 1990.

УДК 517.984

С. А. Бутерин

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ ПО СПЕКТРУ ЕГО НЕГЛАДКОГО ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ *

Зафиксируем п > 1. Пусть А - совокупность всех характеристических чисел кк интегрального оператора А = A(M,g,v) вида

г I

Af = Mf + g{x)\f(t)v(t)dt, Mf=\M(x-t)f{t)dt, 0 < л- < 7\ (1) о о

где М(.т)е [0,7], M^(0)=8ji„_l, J = 07г, 5/-я.., - символ Кронекера,

g(x), v(jr)e ¿2 (О, Т). Пусть также существуют а, Ъ, 0<а<Ь<Г, такие, что

а+е Ъ

f,v(x)dx>0 (2)

а Ь-б

для любого s > 0. Будем рассматривать следующую обратную задачу.

ЗАДАЧА 1. По характеристическим числам Л оператора А вида (]) найти функцию М(х) в предположении, что функции g(x), v(x) известны априори.

'Работа вьшолнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (проект ур.04.01.376), РФФИ (проект 04-01-00007) и гранта Президент РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).