О диссипативности решений стохастических дифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 ББК 22.171.5 Ш 96

М.М. Шумафов

О диссипативности решений стохастических дифференциальных уравнений второго порядка1

(Рецензирована)

Аннотация:

Рассматриваются типичные для нелинейной механики дифференциальные уравнения второго порядка со случайными правыми частями. Получены достаточные условия принадлежности рассматриваемых уравнений к классу диссипативных систем. Выяснены также условия, при которых рассматриваемые уравнения обладают стационарным и периодическим решениями.

Ключевые слова:

Случайный процесс, математическое ожидание, диссипативная система, функция Ляпунова.

1 Результаты настоящей работы были анонсированы в [1] без доказательств. Здесь приводятся полные доказательства соответствующих утверждений.

ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32) ___________________________________________2008___________________________________________

§1. Введение

Диссипативность является одной из важнейших свойств динамических систем. Изучение свойства диссипативности динамических систем было стимулировано в первую очередь физическими соображениями. Физические системы, как правило, - системы с диссипацией. Исходной математической работой, в которой было введено понятие диссипативной системы (или D-системы), была работа Левинсона [2]. После выхода работы [2] теория D-систем получила развитие в ряде фундаментальных работ Йошизавы [3-7]. Решения диссипативной системы названы Йошизавой в [7] предельно (финально) ограниченными. Получению критериев ограниченности решений и принадлежности динамической системы к классу D-систем были посвящены работы Бихари [8], Лакшниканфа [9], Кордуняну [10], Рейссига [11], Демидовича [12], Скрипника [13], Бхатия [14], Эзейло [15-21], Леонова [22] и других авторов. В этих работах рассматривались детерминированные динамические системы, определяемые дифференциальными уравнениями. Для изучения D-поведения и свойства ограниченности этих систем широко применялся модифицированный метод функций Ляпунова.

Результаты детерминистической теории были обобщены и на стохастический случай. Первыми работами, в которых рассматривались вопросы D-поведения, а также ограниченности и устойчивости стохастических систем с применением метода функций Ляпунова, были работы Кушнера (см. [23]) и Хасьминского (см. [24]). В этих работах на стохастический случай был перенесён один из самых мощных классических методов качественного исследования- прямой метод функций Ляпунова.

В настоящей работе мы рассматриваем типичные для нелинейной механики дифференциальные уравнения второго порядка со случайными правыми частями. Для таких уравнений изучается свойство диссипативности с помощью модифицированного метода функций Ляпунова. Нами получены условия принадлежности того или иного рассматриваемого уравнения к классу диссипативных систем ^-систем).

§2. Постановка вопроса

Рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения вида

И + / (X, х) X + g(х) = 0 (X, х)Х (^ ш ), (1)

х + F (X) + g (х) = о (х, Х)Х (^ ш), (2)

х + g(х) = ф (х, х, t) + о (х, х)Х ^, ш), (3)

где функции Дх,у), F(y), g(х), ф (х,у,0, о (х,у) (- ¥ < х < +¥ , - ¥ < У < +¥ , t > t0)

удовлетворяют локальному условию Липшица относительно своих аргументов, а X (, ш ) -измеримый случайный процесс, абсолютно интегрируемый на каждом конечном интервале с вероятностью 1, причем функция о ограничена.

В детерминированном случае (т.е. когда о (х, х) ° 0 ) различные свойства решений (1)-(3), включая диссипативность, изучались многими авторами. Обзор этих результатов приводится, например, в [26].

В том частном случае, когда /(х, х) ° /(х), уравнение (1) рассмотрено в [24, 25], и для него установлены достаточные условия диссипативности решений.

В настоящей статье нами получены достаточные условия диссипативности решений соответственно уравнений (1)-(3). Эти условия даются в виде обобщенных (в какой-либо форме) условий Рауза-Гурвица.

При сделанных предположениях относительно функций, входящих в уравнения (1)-(3), существует и единственно [24, с. 26-28] решение (представляющее собой абсолютно непрерывный с вероятностью 1 случайный процесс) соответствующей задачи Коши (

ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32) ______________________________________________2008_______________________________________________

х(0 = х0(ш ), х(to) = у0(ш ), где х0(ш ), у0(ш ) - случайные величины) для каждого из уравнений (1)-(3).

§3. Дисипативность уравнений в случае, когда математическое ожидание случайного возмущения ограничено

Вместо уравнений (1)-(3) будем рассматривать соответствующие им эквивалентные системы:

х = у, у =- !(х, у)у- g(х) +0 (х у)Х О, шX (1')

х = У, у = - F(У) - g(х) + 0 (х,У)Х (^ ш ), (2')

х = У, у = ф (х, У,О - &(х) + 0 (х, у)\О,ш). (3' )

Напомним определение диссипативности для систем со случайными правыми частями. Определение [24, 25]. Система (1' )((2' ),(3')) называется диссипативной, если случайные величины |х(^ ш ; х0, у0, t0), y(t, ш ; х0, у0, ^)| ограничены по вероятности равномерно

относительно t > t0 и относительно случайных величин (х0 (ш ), у0 (ш )) е Аг при любом г > 0,

т. е.

Р(|(х(^ш ; х0,У0, О,у(^ш ; х0, У0, 0)| > 0при Г ® ¥ , где Аг - класс случайных величин

^}Х Аг

(х0(ш X У0(ш ))

таких, что

р{|(хо(й ), Уо (® )) < г} = 1.

Сформулируем теперь теоремы о диссипативности систем (1' )-( 3' ).

Во всех нижеследующих теоремах утверждается также неограниченная продолжаемость решений при всех t > t0 [24, с.28].

Теорема 1. Пусть в системе (1') случайный процесс X ^, ш) имеет ограниченное

математическое ожидание: $иРм\X (Аш ^ < ¥ , Пусть, далее, функция о (х, у) ограничена:

И 10

|° (х,у)| < В, а фуНКции f (х, у) и g(х) удовлетворяют условиям:

g(х) і і

a) 0 < с1 < ------< с2 для х > X0,

х

b) 0 < /(х, у) < k(|х + |у|) для |х > X0, |у| < 70 и |х| £ X0, |у| > 70,

c) /(х, у) > /0 > 0 для |х| > Х0, |у| > 70, х • у > 0, 0 < Сз < /(х, у) < с4 для |х| > Х0, |у| > 70,

х • у < 0,

где с1з с2, с3, с4, /0, X0, 70 - некоторые положительные числа, а положительная

константа к удовлетворяет неравенству:

к < тіпI —, ф 1 (4)

[Ф 0 7а ф 1 (’ К)

причем положительные числа А, Ф 0, ф 0, ф 1 связаны с некоторой непрерывно дифференцируемой (возможно также нарушение дифференцируемости в отдельных точках) функцией Ф (х), х е Я такой, что

Ф'(х) <- А при |х| < X0; Ф 0 = тах |Ф (х)|.

|х| < X 0 '

0 < ф 0 < Ф '(х) < ф і при |х| > X0 > X0.

Тогда система (1' ) диссипативна.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

2 х

W(х, у) = ^ + G(х) + шФ (х)у, G(х) = | g 2 0

где ш > 0 пока произвольная, но позже выбираемая подходящим образом постоянная, а Ф (х)

- функция, удовлетворяющая соотношениям (5).

А. Вычислим производную функции W (х, у) в силу «укороченной» системы

х = У, у = - /(х, У)У - g(х).

Имеем

- У = [/(х,У)- шФ '(х)]У2 +

+ ш ф (х)/(х, у)у + ш ф (х)g(х)

Оценим - Цг вне некоторого прямоугольника П = {(х, у): |х| < X 0, У| < ^ 1.

1. |х| < X0, |у| > 70. Используя условие Ь) теоремы и первое неравенство из (5), получим

- У > ш (А - кФ 0) У2 - ш кФ 0 Х0У1 - шФ 0 g 0 . (6)

Здесь go = тах^(х)| .

|х|< х0

2. |х| > X0, |у| < Y0. Используя условие а) теоремы и второе неравенство из (5), будем иметь после некоторых промежуточных элементарных оценок:

- У > ш (сф 0 - kYoф 1)х2 + 1 х + т , (7)

где 1 и т - константы, зависящие от С1, С2 , к, Х0, Y0 ф 0 , ф 1 , ш .

3. \х > X0, |у| > Y0, ху > 0 . С учётом условия с) теоремы и второго неравенства из 5), после

некоторых промежуточных элементарных оценок получим

2

- У > (/0 - шФ 1)у + ш /0ф 0 хУ +

+ ш Сф 0х + 1 ,х + 1 2У

где 11 и 12 - константы, зависящие от с1, /0, X0, ф 0, ш .

4. |х| > X0, |у| > Y0, ху < 0. Аналогично предыдущей оценке имеем

2

- Ж > (с3 - шф 1)у + ш Сф 1ху + (9)

Л 5 \ /

+ ш Сф 0х + 1 3х + 1 4у

где 13 и 1 4 - константы, зависящие от с1, с4, X0, ф 0, ф 1,ш .

В силу неравенства (4) правые части неравенств (6) и (7) будут положительно

определенными для достаточно больших соответственно \у\ и |х|: |у| > Y0' > Y0;

(8)

X> X0 > X0:

У > 81 у2 для IX < ^0, |у| > ^ (8! > 0), (10)

1

- У >8 2х2 для XI > X0, |у| < Y0' (8 2 > 0). (11) Далее, выберем ш удовлетворяющим неравенству:

• I /0 с3 4с,/0 4с,с3| 0 |

ш < ш 0 ° тт! 170 • 1 3Т 0 1

I ф 1 ф 1 /0 ф 0 + 4С1ф 1 ф 1(с4ф 1 + 4с1ф 0) I

Тогда квадратичные формы в правых частях неравенств (8) и (9) будут положительно определенными. Для достаточно больших XI и |у|: XI > X0 > X0, |у| > Y0' > Y0, будем иметь оценку

- Ж > § 3(х2 + у2), § 3 > 0. Таким образом, вне некоторого достаточно большого прямоугольника П ' = {(х, у) : Х| £ Х'0, |у| < 70'} э П производная Ж отрицательно определена.

В. Приступим теперь к оценкам самой функции Ж(х,у) .

Имеем:

1. |х| < Х0, |у| > 10

(12)

2 2 у - ®ф 0Н - Go < Ж (х, у) < у- + йФ 0Н + Go, (13)

где G0 = тах| G( х)|

1ДС 0 |х|< X 0 '•

2. XI > х0, |у| < Y0.

У х2 - й ф 1_Р0| х + т 1 < ж < х2 +

(14)

+ И ф 110IX + ^ 2

где т 1 и т 2 - константы, зависящие от с1, с2, X0, 10, ф 1, и .

3. |х| > Х0, |у| > 10, ху > 0 .

2

2

у- + й ф 0ху + ~2 х + /1(у) < Ж < +

+ йф ]_ху + С2х2 + /2(у)

(15)

где /1(у) =я5у +тз, /2(у) =ь6у +т 4; константы 15 и 16 зависят от X0, ф0, ф1,и , а константы т 3 и т 4 - от с1, с2, X0.

4. |х| > X0, |у| > 10, ху < 0.

2 2 у~ + иф х + С-х2 + /3(у) < ж < у~+

+ йф 0ху + С2х2 + /4(у)

(16)

где /3(у) =17 у + т 5, /4(у) =18 у + т 6; 17,18, т 5, т 6 - константы; 17,18 зависят от X0, ф 0: ф!,й , а т 5, т 6 - от с1, с2, X0.

Выбирая снова й :

0 < й < min

ф1

обеспечим положительную определенность квадратичных форм в неравенствах (15) и (16). Очевидно, из неравенств (13)-(16) следует, что Ж(х, у) ® +~ при х| + XI ® +“ .

Далее, сопоставляя оценки для - Ж и Ж в соответствующих областях, из неравенств (10)-(12) и (13)-(16) получим, что соотношение Ж < -е Ж выполняется в дополнении прямоугольника П ' при достаточно малом е > 0 .

Определим теперь функцию Ляпунова:

[Ж(х, у)]“ - С при [Ж(х, у)]“ > С 0 при [Ж(х, у)]“ < С

V ( х, у):

где с > (X02 і Y02/2, 0 <а й 2.

і/ Л... . -2

C. Нетрудно проверить, что V (х, y) удовлетворяет глобальному условию Липшица во всей плоскости (х, y) (частные производные Vx и Vy будут ограниченными при сделанном выборе а ).

D. Далее, для функции V(х, y) выполняется также неравенство: V й -b V, b > 0.

Таким образом, выполнены все условия общей теоремы 4.1 гл. 1 [24, с. З1]. Следовательно, система (1') диссипативна. Теорема 1 доказана.

Замечание. Из оценки - W в области {|х| < X0, |y| > Yo }, видно (см.(6)), что условие b) теоремы 1 можно несколько ослабить, заменив нижнюю границу нуль на - w Ao. Для этого

достаточно выбрать функцию F (х) с F ' (х) < - Ao - A при |х| й Xo (Ao > 0, A > 0).

Перейдём к рассмотрению уравнения (З) или эквивалентной ему системы (З').

Теорема 2. Пусть в системе (З')

SupMX (t, w )| < м Sup |o (х, y)| < B,

t> to ’ (х,y> R2

а функции g(х) и ф (х, y, t) удовлетворяют условиям: g ( х)

a) 0 < c < -----< c2 для х > X0,

х

b) ф (х,y, t)sgny < - сз|у| для У) > X0, |y| > Yo, ху > 0,

- а (| х і |y|) < ф sgn у < - сз|у| для |х > X 0, |y| > Yo, ху < 0,

c) - b |y|(|у| і Xo) < ф sgny < wAo\y| для |х| й Xo, |y| > Yo,

d) ф (х, y, t)| й k Yo (|х і Y0) для |х > X0, |y| й Yo,

где с-, с2, сз, Ao, X0, Yo, Yo - некоторые положительные числа, a а , b , k , w - числа, такие что

0 < а < Сфф° 0 < b < — 0 < k < С-ф 0

> /Т\ ’

0 < w < min

ф і ’ F o’ ^ф і

СЗ . л/v 4сз(с-ф 0 -аф і)

ф - ’ ф - ’а 2ф і2 і 4ф - (c-ф 0 - аф і)

П^1Г 0

причем положительные константы А, Ф0, У 0,У1 связаны с некоторой гладкой (или кусочногладкой) функцией Ф (х), удовлетворяющей соотношениям (5) теоремы 1.

Тогда система (3') диссипативна.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1 с использованием той же самой функции Ляпунова V (х, у).

Полагая в системе (3') У (х, у, г) ° - F(у), из теоремы 2 получаем следующее

Следствие. Пусть в системе (2') Х (г ’® ^ < “ , (^ЦР1° ^Ху) < В ■ Тогда условия

% (X) І I

a) 0 < с1 < -----< с2 для X > Х0,

X

F(у) , ,

b) 0 < с3 < -----< с4 для у > 70,

у

обеспечивают принадлежность системы (2') к классу диссипативных систем.

ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32) ____________________________________________2008___________________________________________

§4. Диссипативность уравнений в случае,

когда случайное возмущение принадлежит

специальному классу случайных процессов

Будем теперь брать случайный процесс X (г,й) из более узкого класса. А именно, предположим, что ([24, с.34])

г

М ехр{а1 Л X (и, й )| du} < А ехр{а2(г - я)} (А)

для всех 0 < я < г и некоторых а1 > 0, а2 > 0, А > 0. Тогда можно получить менее жесткие условия диссипативности.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

V (х, у) =

[W(х,у)]2 - С при W(х,у)]2 > С,

і (17) 0 при W(х,у)]2 й С,

2

W(х, У)] = і G(х) іФ (х)у;

G(х) = f g(s)ds; С > 0,

o

где Ф (х) - произвольная ограниченная гладкая (или кусочно-гладкая) функция, определенная на R со свойствами:

Ф '(х) й 0 при | х їй X0, T = maxiФ (х)|,

4 ' I I 0 х. R 1 1

Ф ' (х) < /і, | Ф (х)|> g > 0 для | х |> X0 > Xo.

Непосредственно можно проверить, что частные производные Vx и Vy функции V(х, у) ограничены на всей плоскости (х, у) , и следовательно, функция V удовлетворяет глобальному условию Липшица.

Пусть

к = lim Sup VJ2,*)~,F(^i)1 (i = 1,2). (1S)

г®» (x, ,y,) Ur | x2 - хі| I | У 2 - Уі| V '

Здесь Ur = {(x,y): x2 і y2 > r2}.

Имеет место

Теорема 3. Пусть в системе (1') случайный процесс X (t,w ) удовлетворяет условию (A). Пусть, далее, для функций g(х), /(х, у) и О (х, у) выполнены условия g ( х)

a) 0 < с < -----< с2 для х > X0,

х

b) |y|f (x, У) > fo > 0 для М й X0, |y| > Yo,

c) - k0 < /(х, y) < kL |х і k2 для |x > X0, |y| й Yo,

d) /(х, у) > /і > 0 для IX > X0, |у| > Yo

e) О (х, у) й B для всех х, у,

где cL, c2, /0, /і, k0, kL, k2, B, X0, Yo - некоторые положительные константы. Пусть

kLTYo < cg , BK < ax.

Тогда система (1') диссипативна.

Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова функцию V (х, у) определяемую равенством (17).

ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32) __________________________________________________2008_________________________________________________

Оценки для функций W и - Ж вне некоторого прямоугольника

П = {(х,у):| х |< Х0, | у |< У0} с учётом условий теоремы имеют вид:

1. 1 х 1< Х0^ у |> ¥о-

2 2 ^ - Т | у | - Со < Ж < + Т | у | + Со,

2

С0 = тах 1 С( х)1

|х|< х о

2

Ж > /о

2. | х|> Xо, | у |< У0.

1 У 1 - Т

У

^ о, g о = тах| g(х)|.

|х|< Хо

^ х2 - ТУо < Ж < С2 х2 + ТУо +

2 о 2 о 2

- Ж > (с1у - к1ТУо) | х | - с, с = const 3. |х|> Xо, | у |> Уо-

^ - Т | у | + с? х2 < Ж < ^ + т | у | + с 2 х2

Ж > У11 у |

\у\. 2

Т

+ С1У | х | > flУо| у| +

+ сц | х |, Уо > о.

Из последних неравенств следует, что:

1) Ж(х, у) ® + ¥ (а значит, и V ® + “ ) при | х | + | у |® + ¥ •

1

2) неравенство ж < - § ж2 выполняется вне некоторого достаточно большого

прямоугольника П ' = {(х, у) :| х |< X'0, | у |< Уо'} при достаточно малом § > о .

Далее, используя свойство 2) функции Ж, убеждаемся, что вне прямоугольника П ’

V < §

выполнено неравенство: V < - .

Итак, выполнены все условия общей теоремы 4.3 гл. I [24, с. 34, 35]. Поэтому система (1') диссипативна. Теорема 3 доказана.

Из теоремы 3 получаем следующее

Следствие. Пусть в системе (1') I(х, у) ° I(х) и случайный процесс X ) удовлетворяет условию (А). Тогда при выполнении условий

а) 0 < с1 < < с2

при | х |> X0, при | х |< X0,

b) I(х) > 0

c) 0 < 11 < I (х) < *1 | х | + к2

при | х |> X0, к1 > 0, к2 > 0,

а также условия е) теоремы 3, уравнение

х + /(х) х + g(х) = о (х, х)Х ^, ю ) обладает свойством диссипативности.

Теорема 4. Пусть в системе (1') случайный процесс X ^Ю ) удовлетворяет условию (А). Пусть, далее, для функций g (х), ф (х, у, t) и о (х, у) выполнены условия: g ( х)

а) 0 < с1 <

■ < с2 для х > X0

х

Ь) ф (х, у, ^п у < - сэ|у| для |х| > Xо, |у| > Уо,

2

2

2

2

c) j (X,у,t)sgnУ < - с^ для IX < X0 , М > Y0,

d) j (x,у,г) < kY0(|X + Y0) для |X > X0, |y| < Y0,

e) |s (x, y)| < B для всех X, y,

где c1, c2, c3, c4, B, X0, Y0, Y0 - некоторые положительные числа. Предположим, что

к (Y02 + Y0T) < c1g , BK < a1,

где константа K > 0 определяется формулой (18).

Тогда система (3') диссипативна.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.

Следствие. Пусть в системе (3') j (x,у, t) ° - F(у). Тогда если

a) 0 < с1 < g( ) < с2 для | x |> X0,

X

F ( у)

b) 0 < сз < ------ для | У |> Y0,

у

функция s (x, у) удовлетворяет условию е) теоремы 4, а случайный процесс X (t,w ) - условию (A) , то система (2') диссипативна.

§5. Достаточные условия существования стационарных и периодических решений

Из теорем 1 и 2, используя теорему 3.1 гл. I [24, с.80], получаем следующие предложения. Теорема 5. Пусть в уравнениях (1)-(3) X (t,w ) - стационарный случайный процесс. Тогда условия теорем 1, 2 и следствия теоремы 2 (порознь) достаточны для существования стационарного решения соответственно уравнений (1), (3) и (2).

Теорема 6. Пусть в уравнениях (1)-(3) функции f (x, X), F(х) и s (x, X) заменены соответственно на f (х, X, t), F(X, t) и s (х, X, t). Пусть, далее, функции f (х, У, t), F(x, у, t), j (x, y, t) и s (x, X, t) - периодические по t с периодом T > 0 и удовлетворяют локальному условию Липшица, причем f (0,0, t), F(0, t), j (0,0, t) абсолютно интегрируемы на любом конечном интервале. Пусть | s (х, у, t) |< B для всех х, у и t.

Тогда условия теорем 1, 2 и следствия теоремы 2 (порознь) обеспечивают существование Т-периодического решения соответственно уравнений (1), (3) и (2) для любого Т -периодического стохастически непрерывного процесса X (t,w ) с конечным математическим ожиданием.

Примечания:

1. Шумафов М.М. О диссипативности случайных процессов, определяемых некоторыми нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка // Дифф. уравн. 1993. Т. 29, N° 1. С. 175-176.

2. Levinson N. Transformation theory of nonlinear differential equations of the second order // Ann. of Math. 1944. Vol. 45, № 4. P. 723-737.

3. Yoshizawa T. Note on the boundedness of solutions of a system of differential equations // Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser. A. Math. 1954. Vol. 28. P. 293-298.

4. Yoshizawa T. Note on the boundedness and the ultimate boundedness of solutions of X = F(t, х) // Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser. A. Math. 1955. Vol. 29. P. 275-291.

5. Yoshizawa T. Note on the equi-ultimate boundedness of solutions of X = F(t, x) // Mem. Coll. Sci. Univ.

Kyoto. Ser. A. Math. 1958. Vol. 31, № 3. P. 211-217.

6. Yoshizawa T. Liapynov’s function and boundedness of solutions // Funkcialag Ekvacioj. Ser. Internacia.

1959. Vol. 2. P. 95-142.

7. Иошизава Т. Функция Ляпунова и ограниченность решений // Математика. 1965. Т. 9, № 5.

ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)

____________________________________________________2008____________________________________________________

8. Bihari I. Researches of the boundedness and stability of the solutions of nonlinear differential equations // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1957. Vol. 8, №3-4. P. 261-278.

9. Lakshnikanth V. On the boundedness of solutions of nonlinear differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 8, № 6. P. 1044-1048.

10. Кордуняну К. О существовании ограниченных решений для некоторых нелинейных

дифференциальных систем // ДАН СССР. 1960. Т. 131, № 4. С. 735-737.

11. Reissig R. Kriterien fur die Zugehorigkeit dynamischer Systeme zur Klasse D // Math. Nachr. 1959. Vol. 20, №1-2. P. 67-72.

12. Демидович Б. П. О диссипативности некоторой нелинейной системы дифференциальных уравнений // Вестник МГУ. Сер. Матем. Механ. 1961. № 6. C. 19-27; 1962. № 1. С. 3-8.

13. Скрипник В.П. Некоторые критерии ограниченности решений систем нелинейных

дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1961. Т. 54, № 4. С. 469-488.

14. Bhatia N.P. Anwendung der direkten Methode von Ljapunov zum Nachweis der Beschranktheit und der Stabilitat der Losungen einer Klasse nichlinearer Differential-gleichungen zweiter Ordung // Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, Kl. Math. Phys. Tech. 1962. Jg. 5.

15. Ezeilo J.O.C. A boundedness theorem for a certain third-order differential equation // Proc. London Math. Soc. Ser. 3. 1963. Vol. 13, № 49. P. 99-124.

16. Ezeilo J.O.C. On the boundedness of the solutions of the equation х + aX + f (х) X + g ( x) = p(t) // Ann.

Matem. Pura Appl. Ser. 4. 1968. Vol. 80. P. 281-299.

17. Ezeilo J.O.C. Boundedness and periodicity of solutions of a certain system of third-order non-linear differential equations // Ann. Matem. Pura Appl. Ser. 4. 1966. Vol. 74. P. 283-316.

18. Ezeilo J.O.C. A boundedness theorem for a certain fourth order differential equation // Ann. Matem. Pura Appl. Ser. 4. 1971. Vol. 88. P. 207-216.

19. Ezeilo J.O.C. A boundedness theorem for a certain nth order differential equation // Ann. Matem. Pura Appl. Ser. 4. 1971. Vol. 88. P. 135-142.

20. Ezeilo J.O.C. A boundedness theorem for a certain fourth order differential equation // J. London Math. Soc. Ser. 2. 1972. Vol. 5, № 2. P. 376-384.

21. Ezeilo J.O.C., Tejumola H.O. Boundedness theorems for certain third order differential equations // Atti Accad. Naz. Lincei. Ser. 8. 1973. Vol. 55, № 3-4. P. 194-201.

22. Леонов Г.А. О диссипативности и глобальной устойчивости системы Лоренца // Дифф. уравн. 1986. Т. 22, № 9. С. 1642-1644.

23. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М., 1969. 200 с.

24. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М., 1969. 367 с.

25. Хасьминский Р.З. О диссипативности случайных процессов, определяемых дифференциальными уравнениями // Проблемы передачи информации. 1965. Т. 1, № 1. С. 88-104.

26. Рейссинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1974. 318 с.