О дискретных арбитражных процедурах со взвешенными игроками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 ББК В 161.6

А. Э. Менчер

г. Чита, Россия

О дискретных арбитражных процедурах со взвешенными игроками

Рассматривается игра с нулевой суммой со взвешенными игроками, связанная с двумя арбитражными процедурами. Для случая, когда предложения арбитра равновероятно сосредоточены в точках -1, 0 и 1, найдено равновесие в игре в обеих процедурах.

Ключевые слова: арбитражная процедура, стратегия, равновесие.

A. E. Mencher

Chita, Russia

On the Issue of Discrete Arbitral Procedures with Weighted Players

We consider a zero-sum game with weighted players related with two arbitration procedures. For the case in which the arbitrator’s offers are concentrated in the points -1, 0 and 1 with equal probabilities the equilibrium in the game is found.

Keywords: arbitration procedure, strategy, equilibrium.

1. Введение

Мы рассматриваем бескоалиционную игру с нулевой суммой, в которой игроки Ь и М, именуемые, соответственно, как работник и работодатель, ведут переговоры об установлении заработной платы. Игрок Ь делает предложение х, а игрок М — предложение у; х и у - произвольные действительные числа. Если х < у, то конфликта нет и игроки соглашаются на выплату жалованья, х + У -п

равного —-—. Если же х > у, игроки апеллируют к арбитру А, который руководствуется своими

соображениями о справедливости. Обозначим решение арбитра через г.

В настоящей работе для достижения равновесия в игре используются две арбитражные процедуры. В обеих из них выигрыш имеет следующий вид: Н(х, у) = ЕН(х, у).

В первой из процедур

х + у

Hz (x,y) =

2

az — by, az — bx,

z,

если x < у,

если x > y, |x — z| < |У — z

если x > y, |x — z| > |У — z

если x > y, |x — z| = |У — z

(І)

а > 1,6 > 0.

При а =1, 6 = 0 получаем схему согласительного арбитража, а при а = 2, 6 =1 - схему арбитража с наказанием (Zeng, [3]).

В другой процедуре

Hz (x,y)

X + у

2 ’

az + by,

az + bx,

z,

если x < y,

если x > y, |x — z| < |У — z

если x > y, |x — z| > |У — z

если x > y, |x — z| = |У — z

(2)

Ь > 0.

Здесь при а =1, Ь = 0 снова получаем схему согласительного арбитража, а при а = 0, Ь =1 схему арбитража по последнему предложению (ЕагЬег, [2]).

Всюду в дальнейшем будем считать Ь > 0.

116

© Менчер А. Э., 2011

2. Постановка задачи. Оптимальные стратегии

Пусть —то <у < 0 < х< +то, а г - дискретная случайная величина, принимающая с равными вероятностями значения -1, 0 и 1.

Благодаря симметрии, цена игры равна нулю, так что достаточно указать оптимальную стратегию только для одного из игроков, например, Ь.

Для схемы (1) решение игры находим в чистых стратегиях.

Теорема 1. Для игрока Ь оптимальной стратегией является чистая стратегия х = 0. Доказательство. В самом деле,

Н(0, у)

з [-а - Ъу - Ъу + а - Ъу] = -Ъу ±[—1 + 26+а+ 26] = а+4„ь~1 5[-а - Ъу + а - Ъу] = -5Ъу 0

при у Є (-то, -2), при у = -2, при у Є (-2, 0), при у = 0.

(3)

Итак, Н(0,0) =0 и Н(0, у) > 0 для у Є (-то, 0), что и доказывает оптимальность стратегии х = 0.

Для схемы (2) равновесие будем искать среди смешанных стратегий. Обозначим через /(х) и $(у) смешанные стратегии игроков Ь и М, соответственно:

-+^о 0

/(х) > 0, У /(х)(х = 1; #(у) > 0, У #(у)(у = 1.

Здесь, благодаря симметрии, $(у) = /(—у). Функцию выигрыша игрока М при выбранной игроком Ь стратегии / (х) обозначим через Н(/(х), у). Отметим, что случай а = 0, 6 = 1 рассмотрен в работе [1].

Теорема 2. Для игрока Ь оптимальной стратегией является

/(х)

0,

если 0 < х < с, если с < х < с + 2, если с + 2 < х < +то,

(4)

где с

Доказательство. Будем искать оптимальную стратегию игрока Ь в форме

0 если 0 < х < с,

/(х) = ^ ^(х) если с < х < с +2,

0 если с +2 < х < +то,

(5)

где функция ^(х) положительна и непрерывно дифференцируема в интервале (с, с +2).

Функция Н(/(х),у) непрерывна на всей полуоси (—то, 0]. Стратегия (5) будет оптимальной, если Н(/(х), у) = 0 для у € [—(с + 2), —с] и Н(/(х),у) > 0 для у € (—то, —(с + 2)) и (—с, 0].

Пусть у € [—(с + 2), —с], тогда —у € [с, с +2] и

с+2 — у с+2

Н(/(х),у) = — J (—а-\-Ъу)$(х)(1,х-\- J Ъх/(х)(1,х-\- J Ъу/(х)(1,х-\-

с+2

+ J (а + Ьх)/(х)(х.

С

Если теперь /(х) — оптимальная стратегия, то из (6) получаем:

(6)

#(/(*),—с — 0) = -

с+2

-а - Ьс - Ьс + а + Ь J х/(х)(х

— СО

3

0

Н(/(х),-(с + 2) + 0) = -

с+2

+а+ь!х/(.1^

J х/(х)йх — 2с =0,

с+2

—а — 6(с + 2) + 6 J х/(х)йх+

С

' с+2

2 J х/(х)йх — (с + 2)

откуда следует соотношение для математического ожидания стратегии / (х) :

с+2

с+2

J х/(х)йх = 2с :

2

2

Таким образом, с = —.

Далее, для оптимальности стратегии /(х) необходимо, чтобы Н'(/(х),у) = Н"(/(х),у) = 0 в интервале ( — (с + 2), —с). Имеем:

н>и(х)/у)=ь-

с+2

1 + 2у/(—у) + J /(х)^х

откуда приходим к уравнению

3/(—у) — 2у/'(—у) = 0. Положим х = —у, тогда х € [с, с + 2], /(х) = ^(х) и

3^(х) + 2х^;(х) = 0.

Решением этого уравнения является функция

¥>(*)= “

Определим константы с и а. Из (8) получаем:

0 = Н'(/, —с — 0) = -

2а

2“^

откуда

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Из (5), (10) и (11) следует, что /(х) имеет вид (4).

Проверим выполнение условий оптимальности.

Пусть у € [—(с + 2), —с]. Так как при построении стратегии /(х) были использованы равенства Н"(/(х), у) =0 в интервале ( — (с + 2), —с), Н'(/(х), —с — 0) = 0 и Н(/(х), —с — 0) = 0, то в силу непрерывности функции Н(/(х),у) заключаем, что Н(/(х),у) = 0 при у € [—(с + 2), —с].

Исследуем теперь поведение функции Н(/(х), у) вне отрезка [— (с + 2) —с].

Пусть у € (—то, —(с + 4)], тогда —у € [с + 4, +то) и

с+2 с+2

J ( — 1 + 6х)/(х)йх + J 6х/(х)йх +

а

с+2 П с+2

+ J (1 + Ьж)/(ж)с£ж =Ъ J xf(x)dx = 2bc=—b>0

Пусть у € [—(с + 4), —(с + 2)], тогда —у € [с + 2, с + 4], —2 — у € [с, с +2] и

-2 —у с+2

J ( —1 + 6х)/(х)йх + J ( —1 + 6у)/(х)йх +

с —2—у

с+2 г

+ '

и с

-2- /* у

/ х/

Н'(/(х),у) = -

с+2

с+2

—2—у

с+2

с+2

2(1+ у)/(—2 — у)^ У /(х)^х

—2—у

2Ьл/с

11

+

л/(-2 -У)3 л/с~+2

< 0.

Так как Н(/(х), —(с +2) — 0) = 0 и Н'(/(х),у) = 0 в интервале ( — (с + 4), —(с + 2)), то Н(/(х),у) > 0 для у € [—(с + 4), —(с +2)). Пусть теперь у € [—2, 0], тогда —у € [0, 2], 2 — у € [2, с +2] и

с+2 с+2

J ( —1 + 6у)/(х)йх + J 6у/(х)йх+

-2 —у

с+2

(1 + 6х)/(х)йх + J (1 + 6у)/(х)йх

—2—у

— 2 —у с+2

2у + J х/(х)йх + ^ У /(х)^х

2—у

Н'(/(х),у) = -

с+2

2 + 2( —1 + у)/(2 — у)+ у /(х)йх

—2—у

2Ьл/с “ 3

2 Ьл/с 3 '

1+

\/(2 — у)3 Vе + 2

1-Ди 1

2>/2/ •у/(2 — у)3

> 0.

Так как Н(/(х), —с + 0) > 0 и Н'(/(х),у) > 0 в полуинтервале (—с, 0], то Н'(/(х),у) > 0 при у € (—с,0].

Окончательно заключаем, что стратегия /(х) является оптимальной.

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта 1.8.10 АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы».

1

1

Список литературы

1. Mazalov V. V., Mentcher A. E., Tokareva J. S. On a discrete arbitration procedure in three points, Game Theory and Applications 11, Nova Sciense Publishers, N. Y, 2005. P. 87-91.

2. Farber H. An analysis of final-offer arbitration, Journal of conflict resolution, V. 35. 1980. P. 683-705.

3. Zeng Dao-Zhi. An amedment of final-offer arbitration, Working paper Kagawa, Kagawa University, 2006.

Рукопись поступила в редакцию 29 апреля 2011 г.