Научная статья на тему 'О дискретной арбитражной схеме на счетном множестве'

О дискретной арбитражной схеме на счетном множестве Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
89
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АРБИТРАЖНАЯ СХЕМА / ДИСКРЕТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ / СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ / РАВНОВЕСИЕ / ARBITRATION SCHEME / DISCRETE DISTRIBUTION / MIXED STRATEGIES / EQUILIBRIUM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Менчер Александр Эммануилович

Рассматривается игра с нулевой суммой, связанная с арбитражной схемой Фарбера. Для случая, когда пред-ложения арбитра сосредоточены на множестве целых чисел, найдено равновесие в смешанных стратегиях.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

About discrete arbitration scheme on a countable set

We consider a zero-sum game related with Farber's arbitration scheme. The arbitrator's offers are concentrated in the set of integers. The equilibrium in mixed strategies is derived.

Текст научной работы на тему «О дискретной арбитражной схеме на счетном множестве»

A

A2 + B2 B

A2 + B2

Возводя оба уравнения системы (11) в квадрат и складывая, получаем:

а2 + в 2 =

1

A2 + B2

(ll)

(l2)

Учитывая (12) из (11) имеем

лучаем окончательно:

A=

и

а2 + в2

B =

а2 + в2

. Т. к. A = 1 + x • (є' - 1) и B = x • є” по-

є' =

а2 + в2

-1

ю

+ 1 и

є” = x

а =

9 9 , где

а2 + в

ю

в =

Д

0/

10

/20

Д/ 10/20

-1

, и

x =

Q

є 'Э - 1

Полученные формулы позволяют решать задачу определения комплексной диэлектрической проницаемости материалов по результатам измерения параметров резонанса в объемных резонаторах при их частичном заполнении.

Работа выполнена при поддержке междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 22 «Неавтономные нанофазы гидратов и льда в наноструктурированных системах».

Список литературы

1. Брандт А. А. Исследование диэлектриков на сверхвысоких частотах. М., 1963. 403 с.

2. Бордонский Г. С., Филиппова Т. Г. Отличие электромагнитных свойств льда D2O и H2O при измерениях в резонаторе / / ФТТ. 2001 43. № 9 С. 1575-1579.

3. СВЧ-свойства кристаллогидратов в нанопорах силикагеля / Г. С. Бордонский и [и др.] // Ультрадисперсные порошки, наноструктуры, материалы: получение, свойства, применение. Красноярск, 2009. С. 42-43.

а

в

а

в

ю

ю

УДК 517.9 ББК В 161.6

А. Э. Менчер

О дискретной арбитражной схеме на счетном множестве

Рассматривается игра с нулевой суммой, связанная с арбитражной схемой Фарбера. Для случая, когда предложения арбитра сосредоточены на множестве целых чисел, найдено равновесие в смешанных стратегиях.

Ключевые слова: арбитражная схема, дискретное распределение, смешанные стратегии, равновесие.

A. E. Mentcher

About discrete arbitration scheme on a countable set

We consider a zero-sum game related with Farber's arbitration scheme. The arbitrator's offers are concentrated in the set of integers. The equilibrium in mixed strategies is derived.

Key words: arbitration scheme, discrete distribution, mixed strategies, equilibrium

Введение

Рассматривается антагонистическая игра, в которой игроки L и M, именуемые, соответственно, как работник и работодатель, ведут переговоры об установлении заработной платы. Игрок L делает предложение x, а игрок M - предложение у, x и у - произвольные действительные числа. Если

х + У

х < у, то конфликта нет, и игроки соглашаются на выплату жалованья, равного ——— . Если же

х > у, игроки апеллируют к арбитру А. Обозначим решение арбитра через г . По схеме Фарбера [1] из предложений х и у выбирается то, которое ближе к точке г . В такой игре выигрыш имеет следующий вид: И (х, у) = ЕНг (х, у), где

гх + у

если X < у,

нг(х,у) = • X, если X > у, X — 2 < у — 2

у, если X > у, X — 2 > у — 2

2, если X > у, X — 2 у — 2

1. Постановка задачи

Пусть — го < у < 0 < х < +го , а г - дискретная случайная величина. Если г = 0, то, очевидно, точкой равновесия является пара чистых стратегий (0, 0). В статьях [2] и [3] для случаев, когда г с равной вероятностью принимает значения — п,—(п — 1),...,—1,0,1,..., п — 1, п, либо

— (2п — 1),—(2п — 3),...,—3,—1,1,3,...,2п — 3,2п — 1, соответственно, найдено равновесие в смешанных стратегиях.

В настоящей работе рассмотрена ситуация, при которой предложения арбитра сосредоточены на множестве целых чисел.

Итак, пусть арбитр выбирает значение 0 с вероятностью р, а значения — п и п - с равными ве-

роятностями | 1 ~ р | , 0 < р < 1. Имеем:

13 - Р )

р+2Е

1 - р

Л”

= 1.

п=1 3 — р )

Мы будем рассматривать равновесие в игре среди смешанных стратегий. Обозначим через / (х) и §(у) смешанные стратегии игроков Ь и М, соответственно:

+ го 0

/(х) > 0, | /(х)ёх = 1; § (у) > 0, | § (у^у

= 1.

Благодаря симметрии, цена игры равна нулю, а для оптимальных стратегий имеем: §(у) = / (—у) . Таким образом, достаточно указать оптимальную стратегию только для одного из игроков, например Ь. Функцию выигрыша игрока М при выбранной игроком Ь стратегии /(х) обозначим через И (/ ( х), у).

Теорема 3.1. Если р е[р0,1), где р0 - корень уравнения р5 + р4 — 8р3 — 6р2 — 5р +1 = 0 из интервала

1 11, то для игрока Ь оптимальной является стратегия 7,6 )

0, если 0 < х < с,

1 + р л/с

если с < х < с + 2,

4 р 4х?''

0, если с + 2 < х < +го,

(3.1)

где с =

(1—р)2 2р

Доказательство: Будем искать оптимальную стратегию для игрока Ь в следующей форме:

0, если 0 < х < с,

/(х) = Шх), если с < х < с + 2, (3.2)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0, если с + 2 < х < +го, где функция (р(х) положительна и непрерывно дифференцируема в интервале (с, с + 2) .

0

ю

Функция Н (/(х), у) непрерывна на всей полуоси (—да,0]. Стратегия (3.2) будет оптимальной, если Н (/(х), у) = 0 для у е [—(с + 2),—с] и Н(/(х), у) > 0 для у е (—да,—(с + 2)) и (—с,0].

Пусть у е [—(с + 2),—с], тогда - у е [с, с + 2] и

7 С + 2 / —у С + 2 у (

Н(/(х), у) = ^^ | У/(х)йх + Р | х/(х)йх +| У/(х)йх + —^ | х/(х)йх. (3.3)

с VС — у У

2

Если теперь /(х) - оптимальная стратегия, то из (3.3) получаем:

Н(/(х),—с — 0) = — 1 + Р с + 1—Р | х/(х)йх = 0,

с + 2

7 7 с + ^

Н(/(х),—(с + 2) + 0) = —-^ (с + 2) +------------^ | х/(х)йх = 0,

1 — Р , 1 + Р

—— (с + 2) +------

2 2

откуда следует соотношение для математического ожидания стратегии /(х) :

с+2 1 _ у. 1 А_ гл

[ х[(х)йх =-------------(с + 2) =-с = у/с(с + 2) . (3.4)

С 1 + р 1 — р

Далее, для оптимальности стратегии /(х) необходимо, чтобы Н'(/(х), у) = Н"(/(х), у) = 0 I интервале (—(с + 2),—с) . Имеем:

Н ' (/ (х), у) = Х—Р + р

2 (—у) + | / (х)йх

(3.5)

Н" (/(х), у) = р(3/(—у) — 2у/' (—у)), (3.6)

откуда приходим к уравнению

3/(—у) — 2 у/ (—у) = 0.

Положим х = —у, тогда х е (с, с + 2), /(х) = р(х) и

3р( х) + 2хр ' (х) = 0.

Решением этого уравнения является функция

а

(р( х) =~Г7. (3.7)

ых

Определим константы с и а . Из (3.5) получаем:

_1

1 — р 2ар

0=н '(/,—с—0)=—а,

2 л/с

0 = Н'(/,—(с + 2) + 0) = -

2 у/с + 2

Тогда

с = (1 р) , и а = 1^РЛ/с (3.8)

2 р 4 р

Из (3.2), (3.7) и (3.8) следует, что /(х) имеет вид (3.1).

Проверим выполнение условий оптимальности.

Пусть у е [—(с + 2),—с]. Так как при построении стратегии /(х) были использованы равенства Н"(/(х), у) = 0 в интервале (—(с + 2),—с), Н'(/(х),—с — 0) = 0 и Н(/(х),—с — 0) = 0, то в силу непрерывности функции Н (/(х), у) заключаем, что Н(/(х), у) = 0 при у е [—(с + 2),—с].

Исследуем теперь поведение функции Н (/(х), у) вне отрезка [—(с + 2),—с].

Для у е (—да,—(с + 2)] воспользуемся методом математической индукции. Итак, пусть

у е [—(с + 4),—(с + 2)], тогда — у е [с + 2, с + 4], — 2 — у е [с, с + 2] и

2 с+2 л (—2—у с+2 ^

/1 \2 с+2 і —2—у с+2 і С+2

Н(/(х), у) = р | у/(х)<^х + —£■ | х/(х)& + | у/(х)<^х + -+Р | х/(х)&

—2—у

+^- I х/ (х)Ох, (3.9)

- у

с

С

Н (/ (х), у) = + Х-Рр

2(3 — р) 3 — р

(

2(1 + у)/(—2 — у) + | / (х)йх

—2—у

(1 — р) (1 — р)(1 + р)

(1 — р) 1 — р 1 + р

--------------------1---------------------------

2(3 — р) 3 — р 2 р

[ 4~с

(1+у)4с 4с 4с

•\/(—2 — у)3 ^с + 2 V"2 _

у

2(3— р) 2 р(3— р)

л/(—2 — у)3 4сТ2

^(1 — р)2 (1 — р)2

(1 — р)3

2(3 — р) 2 р(3 — р) 2 р(3 — р)'

(3.10)

Так как Н(/(х),—(с + 2) — 0) = 0 и Н'(/(х), у) < 0 в интервале (—(с + 4),—(с + 2)), то Н(/(х), у) > 0 для у е [—(с + 4),—(с + 2)) .

Пусть у е [-(с + 2п + 2),-(с + 2п)], п > 2 . По индуктивному предположению

чи+1 с+2 { л „ Лп (—2п—у с+2 ^

Н(/(х) у) = , р) п • | у/(х)^х+

2(3 — р)

(

+

1 п—1 ( 1 Лк ^ с+2

1 + р ^ 1 — р

2

.3 — р

Н'(/(х),у) <—-

(л пЛп (—2п— у 1 — р , 3 — р)

V г ; V с

+2

| х/ (х)ёх

с

(1—р)п+2

| х/ (х)^х + | у/ (х)^х

—2п—у

+

(3.11)

2р(3 — р)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть теперь у е [—(с + 2п + 4),—(с + 2п + 2)], тогда — у е[с + 2п + 2, с + 2п + 4], — 2п — 2 — у е [с, с + 2],

\п+2 с+2 { л „ ^п+1 (— 2п— 2— у с+2

(3.12)

Н (/( х), у) =

(1 — р)п 2(3 — р)п

+

п+1 —2п—2—у

1 — р -

V 3 — р )

| х/ (х)^х + | у/ (х)^х

—2п—2—у

+

+

Г1+р (1—р^кЛс+2

р+£' р

2

3 — р

| х/ (х)ёх,

(1 — „)п+2 (1 — „Л

Н'(/ (х), у) =-(—рр)-— + —р 2(3 — р) п+ ч 3 — р ,

2(п +1 + у) / (—2п — 2 — у) + | / (х)йх

—2п—2—у

(1 — р)

п+2 ( 1 Л

2 р(3 — р)п

+

Л

(1 — р)п

у/— 2п — 2 — у л/с + 2 (1—рГ3

, (1—р)и _

2(3 — р)И+1 2 р(3 — р)и+1 2 р(3 — р)и+1 '

Следовательно, Н (/(х), у) > 0 для у е (—да,—(с + 2)) при любых р е (0,1) .

Для дальнейшего исследования заметим, что функция с = с( р) =

(1 — р)2 2 р

строго убывает в интер-

вале (0,1).

Пусть у е [—с,—(с — 2)] п [—с,0], тогда — у е [с — 2, с] п [0, с], 2 — у е [с, с + 2)] п [2, с + 2]. Имеем:

с+2 1 ( 2—у с+2

Н (/(х) у) = | у/ (х¥х + р

2 1 3 — р(

с V с

ТТМ П \ \ 1 + р 1 — р^

Н ' (/(х), у) = —^ + ^

— у с+2

| х/ (х)^х + | у/(х)йх

Л (1 — р)2 с+2

2—у

+ -

2 3 — р

1 + р 1 — р 1 + р^

2(3 — р)

2(1 — у)/(2 — у) + | / (х)<*| =

| х/ (х)^х,

с+2

2 3 — р 2 р

(1—у)4с 4с 4с

(3.13)

(3.14)

•^/(2 — у)3 л/с + 2 42—У

>

С-

С-

к=1

с

<

с

с

V.1+p , 1—p1+p

2 3 — p 2 p

4c 4c

4c + 2)3 4c + 2

1 + P (1 — P)2(1 + P2)

2 2 p(3 — p)(1 + p)2

— P5 — P4 + 8 p3 + б p2 + 5 p — 1

2 р(3 — р)(1 + р)2

Рассмотрим функцию ¥(р) = — р5 — р4 + 8р3 + 6р2 + 5р — 1 на отрезке [0,1]. Так как ¥(0) = — 1, ¥(1) = 16 и ¥' (р) = —5р4 — 4р3 + 24р2 +12р + 5 = 5(1 — р) + 4р(1 — р) + 20р2 +12р > 0, то существует единственная точка р0 е (0,1) такая, что ¥(р0) = 0, ¥(р) < 0 при р е (0, р0) и ¥(р) > 0 при р е (р0,1).

l4455

1 1

Уточним границы для р . Имеем: ¥I — I =-------------< 0, ¥I — I =-------------> 0. Таким образом, р е I-I.

0 V 7) 16815 161 7776 0 V 7’б)

Пусть теперь с < 2, тогда р > 3 — 242 >1 и, так как Н(/(х),— с + 0) = 0 и Н'(/(х), у) > 0 для

6

у е (—с,0], то исследование окончено.

Осталось рассмотреть случай, когда р е[р0,3 — 2л/2) . Вначале заметим, что из условия с > 4

следует, что р < 5 — 246 <1 < р0. Следовательно, в нашем случае 2 < с < 4.

Пусть у е [—(с — 2),0], тогда — у е [0,с — 2], 4 — у е [4,с + 2] и

H (f (x), y) =

c+2

1 + p 1 — p

2 3 — p

j yf (x)dx

+

(i—pI2 (4--y

3 — P У

^—y c+2 I

j xf (x)dx + jyf (x)dx I

+

4—y

+

(l— p)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3 с+2

(3.15)

2(3 — p)2

j xf (x)dx,

1 — P

3 — P

/ \ 2

1 + P + - — P+ I - — P I - + P

3—p 13—p У 2P

2(2 — y)f (4 — y) + j f (x)dx

4—y

(2 — y)4c 4c 4c

д/(4 — y)3 Vc + 2 ft

y У

Л

y

2

> 1 + p + 1 — p+1 1 — p I 1 + p

3 — p 13 — P,J 2P

24c 4c

(3.16)

1 + P + 1 — P

(l— p)5

>

д/ (c + 2)3 Vc + 2

1 + P (1 — P)2(1 + P2)

2 2P(3 — P)(1 + P)

> 0

2 3 — Р 2Р(3 — Р)2(- + Р)

при р є [ р0,3—242).

Так как Н (/(х),—(с — 2) + 0) > 0 и Н' (/(х), у) > 0 для у є (—(с — 2),0], то Н(/(х), у) > 0 в промежутке (—(с — 2),0].

Окончательно заключаем, что Н (/(х), у) > 0 для у є (—да,—(с + 2)) и (—с,0] при р є[р0,1). Теорема доказана.

Список литературы

1. Farber H. An analysis of final-offer arbitration/ / Journal of conflict resolution. 1980. Vol.35. P. 683 - 705.

2. Mazalov V. V., Mentcher A. E., Tokareva J. S. On a discrete arbitration procedure// Sci. Math. Japonical. 2006. Vol. 63, №3. P. 325-330.

3. Менчер А.Е., Токарева Ю.С. Об одной дискретной арбитражной схеме//Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Вып. 2. T. 14. С. 417-420.

c

с

2

2

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.