CC BY
92
УДК 519.854.2
О ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ © 2009 П. В. Конников, В. А. Кудинов
П. В. Конников — аспирант кафедры программного обеспечения и администрирования информационных систем
e-mail: konnikov @ gmail.com
В. А. Кудинов — кандидат педагогических наук, проректор по НИР
e-mail: kudinovva@yandex.ru
Курский государственный университет
В статье рассмотрена одна из областей применения оптимизации методом муравьиной колонии, а именно динамические задачи маршрутизации транспортных средств, дано формальное определение динамической задачи маршрутизации транспортных средств, приведен перечень различных вариантов статической задачи маршрутизации транспортных средств, рассмотрены некоторые подходы к решению задач динамической маршрутизации транспортных средств, описаны требования к имитационному эксперименту для получения количественной оценки алгоритма оптимизации методом муравьиной колонии для решения задач динамической маршрутизации транспортных средств.
Ключевые слова: задача динамической маршрутизации транспортных средств, алгоритмы оптимизации методом муравьиной колонии.
Современные тенденции развития алгоритмов оптимизации методом муравьиной колонии
Сегодня опубликовано довольно много работ, посвященных оптимизации методом муравьиной колонии (ОМК). Разаработаны алгоритмы ОМК для многих NP-трудных задач, таких как задача комивояжера [Dorigo 2004], квадратичная задача о назначениях [Gambardella 1999] и др. И хотя за последние годы производительность алгоритмов значительно выросла, а также получено строгое теоретическое обоснование того, как они работают, еще существуют области применения ОМК, которые мало изучены и требуют проведения дальнейших исследований.
Одним из таких направлений является применение ОМК к более сложным задачам оптимизации, таким как
• динамические задачи, в которых данные задачи (значения целевой функции, выбор параметров решения и ограничений) могут меняться в процессе решения;
• стохастические задачи, в которых можно оперировать только вероятностой информацией о значениях целевой функции, значениях параметров
решения и наборе ограничений, что приводит к неопределенности, помехам, апроксимации и другим факторам;
• многоцелевые задачи, в которых качество решения определяет
многоцелевая функция.
Динамические задачи оптимизации
Динамические задачи получили свое распространение не так давно благодаря прогрессу в информационных и коммуникационных технологиях, которые позволили получать и обрабатывать информацию в реальном времени.
Задача является динамической, если она определена как функция от некоторых величин, значения которых — динамически изменяющиеся множества. Другими словами, некоторые из характеристик задачи изменяются во времени. Одним из примеров может служить маршрутизация сети [Di Caro 1998]. Другой динамической дазачей, которой посвящены некоторые работы по ОМК, является динамическая задача комивояжера (DTSP) [Larsen 2000]. В DTSP города могут быть уделаны или добавлены во время решения задачи. Ганч (Guntsch) и другие рассмотрели алгоритм ОМК для случая DTSP, когда заранее известный процент городов мог быть добавлен или заменен новыми [Guntsch 2002]. Задача заключается в том, чтобы как можно более быстро заново вычислить «хороший» маршрут для нового экземпляра задачи комивояжера. Они предложили три подхода к решению DTSP. Первый заключается в простом перезапуске алгоритма после переинициализации всех следов феромона. Второй и третий подходы основаны на гипотезе о том, что как минимум для задачи DTSP, в которой процент изменяемых городов не слишком велик, представляется разумным использовать информацию об уже оставленных на момент изменений следах феромона. Один из двух подходов основан на переинициализации следов феромона с использованием эвристической информации, а другой применяет текущую информацию о феромоне. Экспериментальное исследование показало, что, если вычислительного времени достаточно, подход, основанный на простом перезапуске вычислений, дает лучший результат. Но если времени между запросами относительно мало, то при подходе простого перезапуска не хватает времени на построение нового решения, и в этом случае лучший результат дают подходы, основанные на частичном использовании информации о феромоне [Dorigo 2004].
Статические задачи маршрутизации транспортных средств
Как говорилось ранее, разработаны алгоримы ОМК для многих NP-трудных задач, в том числе и для статической задачи комивояжера.
Обобщением задачи комивояжера является задача маршрутизации транспортных средств (VRP). VRP состоит из m независимых маршрутов, где маршрут — это путь, который начинается на складе, проходит через множество заказчиков в заданном порядке и возвращается на склад. Все заказчики должны быть посещены только один раз, и заказ на маршрут не должен превышать вместимость траспортного средства (ТС). Задача заключается в минимизации полной цены дистрибуции. В большинстве реальных условий дистрибуции некоторое количество ограничений усложняет модель. Эти ограничения относятся в основном к ограничениям на общее время маршрута и на временные окна, во время которых должно происходить обслуживание. В случае статической VRP все заказы известны заранее.
Существует несколько разновидностей статической VRP [The VRP Web], а именно задача VRP с временными окнами (VRPTW). Более того, приходится иметь дело с такими аспектами, как несколько складов и вместимость ТС, что приводит к
следующим вариациям VRP: VRP с ограничениями на вместимость (CVRP), VRP с несколькими складами (MDVRP), VRP обратным грузом (VRPB) и VRP с захватом и доставкой груза (VRPPD). Современные методы решения VRP относятся как к точным, таким как математическое программирование, так и к различного рода эвристикам и метаэвристикам, таким как «поиск табу», алгоритмы «имитации отжига» и алгоритмы оптимизации методом муравьной колонии.
Динамическая задача маршрутизации транспортных средств
По аналогии с DTSP можно рассмотреть динамический случай VRP (DVRP), когда некоторые заказы известны заранее до начала рабочего дня, но во время работы поступают новые заказы, и их необходимо включать в изменяющееся расписание.
Предположим, что существует некоторая коммуникационная система между диспетчером, который имеет доступ к системе вычисления маршрутов, и водителями. Диспетчер может периодически связываться с водителями, чтобы сообщить о новом месте назначения, присвоенном ему. Таким образом, в течение дня каждый водитель знает о своем следующем заказчике. Допустим, что ТС не возвращаются на склад каждый раз и существуют ограничения на вместительность ТС.
Формальное определение VRP и DVRP
Статическая VRP может быть описана следующим образом [Montemanni 2003]: n заказчиков должны быть обслужены с одного склада. Каждый i -й заказчик запрашивает некоторое количество qi груза. Для обслуживания имеется v ТС, каждое ТС a вместительностью Qa 1. Каждому заказчику присваивается время обслуживания si , которое представляет собой время, необходимое для его обслуживания. Решением VRP является множество циклов.
Формально VRP может быть представлена как полный взвешенный диграф G=( V ,A), где V ={0,1,... ,n} — множество узлов, представляющих склад 0 и
заказчиков (1,...,n), и A = {(i,j)\i, jGV} — множество дуг, каждому из которых сопоставлено минимальное время движения ttij . Количество груза qi , запрашиваемое каждым i -м заказчиком (i>0) , сопоставлено с соответствующей вершиной. Через Q1 ,... ,Q v обозначаются соответствующие вместимости ТС, все ТС начинают движение из вершины 0 (на естественном языке — со склада).
Цель заключается в нахождении подходящего множества циклов с минимальным общим временем обхода. Множество циклов является подходящим, если каждый узел будет посещен только один раз, каждый цикл начинается и заканчивается в вершине 0 и суммарный размер груза, ассоциированный с ТС, не превышает соответствующую вместимость ТС Qa .
DVRP в значительной степени зависит от статической VRP. Главное отличие заключается в том, что новые заявки, когда рабочий день уже начался, динамически изменяют задачу оптимизации. Следовательно, DVRP может быть представлена как последовательность конкретных экземпляров статических VRP. В частности, каждая статическая VRP будет содержать информацию обо всех заказчиках, известных к некоторому времени, которые еще не обслужены.
ОМК для DVRP
1 В классической VRP вместимость всех ТС одинакова
Метаэвристики, как и другие методы решения NP-трудных задач, также требуют относительно долгого времени вычислений для получения решения хорошего качества. Установлено, что во многих практических приложениях предпочтение отдается таким метаэвристикам, как «поиск табу», «имитации отжига» и ОМК. Важен тот факт, что эти методы для большинства случаев позволяют получить подходящее решение всего за несколько секунд. Этот факт представляется наиболее важным, так как прикладные DVRP-системы должны предоставлять диспетчеру подходящее решение или сообщение о том, что его невозможно найти, для того чтобы максимально быстро удовлетворить требования заказчика.
Монтеманни (Montemanni) и другие предложили алгоритм ОМК для DVRP [Montemanni 2003], основанный на идее разбиения рабочего дня на равные временные промежутки, во время которых происходит простой перезапуск алгоритма. Также в предложенном алгоритме не учитываются временные окна. Для решения статической подзадачи используется известный алгоритм ACS (Ant Colony System) [Dorigo 1997].
Очевидно, что возникает необходимость в разработке более гибких алгоритмов решения DVRP, а также других вариаций DVRP, проанализировать их на сходимость и реализовать программно, чтобы провести имитационный эксперимент, который позволит дать количественную оценку эффективности подхода ОМК к решению динамических задач маршрутизации ТС.
Библиографический список
Bianchi, L. Notes on dynamic vehicle routing — the state of the art. Istituto Dalle Molle Di Studi Sull Intelligenza Artificiale, 2000 — 18 p.
Di Caro, G. ANT-NET ... / G. Di Caro, M. Dorigo // Journal of Artificial Intelligence Research. — 1998. — Vol. 9. № 2. — P. 317-365.
Dorigo, M. Ant colonies for the travelling salesman problem / M. Dorigo,
L. M. Gambardella // BioSystems. — 1997. — Vol. 43. № 2. — P. 73-81.
Dorigo, M. Ant Colony Optimization / M. Dorigo, T. Stutzle. — Cambridge: MIT Press, 2004. — 305 p.
Dorigo, M. Ant colony system: a cooperative learning approach to the
travelingsalesman problem / M. Dorigo, L.M. Gambardella // IEEE Transactions on evolutionary computation. — 1997. — Vol. 1. № 1. — P. 53-66.
Gambardella, L. M. Ant Colonies for the Quadratic Assignment Problem / L. M. Gambardella, E. D. Taillard, M. Dorigo // The Journal of the Operational Research Society. — 1999. — Vol. 50. № 2. — P. 167-176.
Guntsch, M. A population based approach for ACO / M. Guntsch, M. Middendorf //Applications of Evolutionary Computing. — 2002. — Vol. 2279. — P. 7180.
Larsen, A. The dynamic vehicle routing problem. — Institute of Mathematical Modelling, Technical University of Denmark, 2000. — 208 p.
Montemanni, R. A new algorithm for a dynamic vehicle routing problem based on ant colony system / R. Montemanni, L.M. Gambardella, A.E. Rizzoli, A.V. Donati // Second International Workshop on Freight Transportation and Logistics. — 2003. Vol. 1. № 1. — P. 27-30.
The VRP Web [Электронный ресурс]. — University of Malaga. — Режим доступа: http://neo.lcc.uma.es/radi-aeb/WebVRP/, свободный. - Загл. с экрана.
