Применение конструктивной метаэвристики «муравьиная колония» к задаче гильотинного прямоугольного раскроя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.863

ПРИМЕНЕНИЕ КОНСТРУКТИВНОЙ МЕТАЭВРИСТИКИ «МУРАВЬИНАЯ КОЛОНИЯ» К ЗАДАЧЕ ГИЛЬОТИННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО РАСКРОЯ

© А. Ф. Валеева, А. А. Петунин, Р. И. Файзрахманов

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет Россия, г. Уфа, ул. Карла Маркса 12.

E-mail: yellowdrow@mail. ru

Рассматривается задача прямоугольного гильотинного раскроя рулонного материала, являющаяся NP-трудной. Для ее решения разработан метод на базе конструктивной метаэвристики «муравьиная колония»

Ключевые слова: метаэвристика, муравьиная колония, алгоритм, прямоугольный раскрой, феромон, агент.

Задачи прямоугольного раскроя имеют большое практическое значение и относятся к классу NP-трудных задач комбинаторной оптимизации. В связи с этим для их решения разрабатываются эвристические методы. Значительный интерес проявляется к эвристическим методам, идеи которых заимствованы у живой природы или физических процессов. К таким методам можно отнести генетические алгоритмы, нейронные сети, а также алгоритмы муравьиной колонии. Среди эвристических методов выделяются конструктивные, например, алгоритмы муравьиной колонии. В таких алгоритмах решение задачи строится покомпонентно, добавлением нового компонента к частично построенному решению до тех пор, пока оно не будет построено полностью.

В данной работе предложен алгоритм на базе конструктивной метаэвристики «муравьиная колония» для решения следующей задачи: имеется прямоугольная полоса заданной ширины W и неограниченной длины, а также набор прямоугольных предметов заданных размеров

(wi, l ), i = 1, n (wt - ширина i-го предмета, l. -

длина). Требуется найти карту раскроя с минимальной длиной занятой части полосы при следующих условиях: ребра прямоугольников

параллельны сторонам полосы; прямоугольники не перекрывают друг друга и не выходят за границы полосы; возможными являются только сквозные резы материала (условие гильотинности).

Известны применения алгоритмов муравьиной колонии к следующим задачам: к задаче о

коммивояжере, квадратичной задаче о назначении, задаче о раскраске графа ([1], [2], [3]), задаче упаковки выпуклых полигонов в полубесконечную полосу [4], задаче маршрутизации в коммуникационных сетях [5], задаче прямоугольной упаковки [6].

Для решения поставленной задачи предлагается алгоритм ACC (Ant Colony Cutting).

В табл. 1 приведена адаптация алгоритма муравьиной колонии к задаче прямоугольного раскроя.

Таблица 1.

Адаптация алгоритма «муравьиная колония» к задаче прямоугольного раскроя

Элемент Описание элемента АСС

Фрагмент (компонент) Заданный прямоугольник с шириной ш и длиной 1

Феромон Численная характеристика фрагмента і (т). Показывает, насколько часто данный фрагмент входил в лучшие решения на предыдущих итерациях алгоритма

Локальная информация Численная характеристика фрагмента і (Л =™*і*Т Показывает полезность фрагмента для построения хорошего решения

Агент Алгоритм, который итеративно строит из множества фрагментов допустимое решение задачи

Основная идея алгоритма ACC состоит в следующем:

1. Феромон наносится на фрагменты решения.

2. Каждый агент в ходе построения решения переопределяет уровень феромона (так называемое локальное переопределение феромона [7]). Это означает, что каждый агент изменяет уровень феромона при добавлении j-ого фрагмента к решению.

3. Для определения уровня феромона в конце итерации (так называемое глобальное переопределение феромона [7]) используется только лучшее найденное алгоритмом решение. Причем это может быть как решение, лучшее на данной итерации, так и лучшее решение, найденное за все время работы алгоритма.

Приведем общую схему работы алгоритма ACC.

Общая схема алгоритма АСС

Входные данные: n - количество прямоугольников;

W - ширина полосы;

wi, li - ширина и длина прямоугольников соответственно, i=1..n;

(1-£) - коэффициент испарения феромона; m - количество агентов;

Вестник Башкирского университета. 2007. Т. 12, №3

13

т0 - начальный уровень феромона; а, в - параметры, определяющие относительную важность феромона и локальной информации для агентов соответственно;

Шаг 1. Г енерировать начальное частично построенное решение для каждого агента;

Шаг 2. Пока не выполнено условие остановки выполнить:

Шаг 2.1. Пока не построено решение выполнить:

Шаг 2.1.1. Каждый агент выбирает прямоугольник и добавляет к своему решению, при этом выбор 1-го прямоугольника производится с учетом локальной информации п ;

Шаг 2.1.2. Применение процедуры локального обновления феромона (т = (1-^)* Т +Ат *^, где Ат1 суммарный вклад всех агентов, использующих фрагмент 1 при построении своих решений);

Шаг 2.2. Конец цикла;

Шаг 2.3. Нахождение рекордных решений и выбор наилучшего решения;

Шаг 2.4. Глобальное обновление феромона (т = (1£)* Т +Ау„ где Ау1 - изменение уровня феромона на 1-ом фрагменте);

Агент 1 Агент 2 Агент 3

а) решение, построенное б) решение, построенное в) решение, построенное

первым агентом. вторым агентом. третьим агентом.

Шаг 3. Конец цикла.

Рассмотрим работу алгоритма ACC на примере. Исходные данные приведены в табл. 2.

Т аблица 2. Размеры исходных прямоугольников

Номер прямоугольника Длина lj Ширина Wj

1 5 2

2 5 1

3 3 3

4 2 4

5 2 3

6 2 2

7 1 1

Параметры алгоритма:

Число агентов т=3; а=1; р=2; ^=0.1, т0=0.118, п=7; ширина полосы Ш=5.

На рисунке 1 а), б), в) приведены решения, полученные тремя агентами, а на рисунке 2 показано лучшее решение, найденное первым агентом.

Рисунок 1. Пример работы алгоритма ACC.

Рисунок 2. Решение, найденное первым агентом.

Для исследования разработанного алгоритма АСС был проведен численный эксперимент. Для эксперимента были сгенерированы различные классы исходных данных, а именно: «большие прямоугольники» (а. е [0.45Г,0.5Г],/е [0.45Г,0.55Г]), «длинные прямоугольники» (ще [0.02^,0.1^],

I е [0.4W,0.5^]), «мелкие прямоугольники»

(щ е [0.02W,0.УТ],Iе [0.02W,0.1W]), «триплеты»

(а>, е [0.3W,0.35W],Iе [0^,0.35W]), «смешанные». Для

каждого класса было просчитано по 10 примеров.

Целью эксперимента являлось выяснение качества работы алгоритма АСС для решения задачи прямоугольного гильотинного раскроя полосы. Параметры алгоритма: а=0.1; Р=0.2;

Ш=100; ^=0.118, т0=0.2; количество прямоугольников п=300; количество агентов т=3. Время работы алгоритма 1 = 5 минут. Результаты

приведены на рис. 3.

Рисунок 3. Результаты работы алгоритма ACC

Как показали результаты численного эксперимента, лучшие результаты получены на классах задач «смешанные прямоугольники», «малые прямоугольники» и «длинные прямоугольники» с коэффициентом раскроя от 92.7% до 95.8%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dorigo M., Di Caro G., Gambardella L. Ant Algorithms for Discrete Optimization // Artificial Life. 1999. Vol.5. No.3. pp.137-172.

2. Gambardella L., Taillard E., and Dorigo M. Ant colonies for the QAP/ Journal of the Operation Reasearch Society (JORS), 50(2): 167-176, 1999.

3. Costa D. and Herts A. Ants can colour graphs. / Journal of the

Operation Reasearch Society (JORS), 48:295-305, 1997.

Burke E., Kendall G. Applying Ant Algorithms and the No Fit Polygon to the Nesting Problem // Accepted for the 1999 International Conference on Artificial Intelligence, Monte Carlo resort. Las Vegas. Nevada. USA. 1999.

Di Caro G., Dorigo M. Extending AntNet for best-effort Qual-ity-of-Service routing. Unpublished presentation at ANTS’98 -From Ant Colonies to Artifical Ants: First International Workshop on Ant Colony Optimization, October 15-16 1998. Валеева А. Ф. Применение конструктивных эвристик в задачах раскроя - упаковки // Приложение к журналу «Информационные технологии», №11. 2006. С. 1-24.

Лореш М. А. Разработка и исследование алгоритмов муравьиной колонии для решения задач оптимального размещения предприятий. Дис. к.т.н. Омск, 2006. -113 с.

4

5

6

7

Поступила в редакцию 14.08.2006 г.