О диффузионном испарении крупных аэрозольных частиц при произвольных перепадах температуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.72

О ДИФФУЗИОННОМ ИСПАРЕНИИ КРУПНЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЕРЕПАДАХ ТЕМПЕРАТУРЫ

Е.Р. Щукин, Н.В. Малай, З.Л. Шулиманова

Белгородский государственный университет, ул. Победы 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: malay@bsu.edu.ru

Аннотация. Проведено математическое моделирование процесса установившегося диффузионного испарения (сублимации) неподвижной крупной несферической частицы при значительных перепадах температуры в ее окрестности. Найденные формулы позволяют оценивать температуру и скорость изменения массы аэрозольной частицы с учетом формы ее поверхности, термодиффузии и зависимости коэффициентов переноса от температуры. Проведенный анализ показал, что скорость и время испарения (сублимации) частицы могут сильно зависеть от формы ее поверхности. На скорость испарения частицы заметное влияние может оказывать и термодиффузия.

Ключевые слова: диффузионное испарение, несферические частицы, перепады температуры.

1. Введение. В реальных аэрозолях при значительных перепадах температуры испарение аэрозольных частиц может протекать и в диффузионном режиме [1-91 , когда можно не учитывать влияние конвективного движения среды у поверхности частиц на процесс их испарения. Такое испарение частиц может происходить в высокотемпературных средах [1,2] и зонах прохождения лазерного излучения через аэрозоли [3-5].

Результаты опубликованных ранее теоретических работ [4-9] позволяют оценивать при значительных перепадах температуры диффузионное испарение крупных сферических частиц , причем без учета влияния термодиффузии на перенос молекул. Ниже в квазистационарном приближении проведено математическое моделирование процесса установившегося диффузионного испарения (сублимации) неподвижной крупной несферической аэрозольной частицы при значительных перепадах температуры в ее окрестности. Найденные при этом формулы позволяют проводить оценки с учетом сжимаемости среды, произвольной и степенной зависимости от температуры коэффициентов молекулярного переноса 1'азообразной среды и влияния термодиффузии.

2. Постановка задачи. В двухкомпонентном газе с температурой и давленпем рнаходится испаряющаяся в диффузионном режиме неподвижная крупная аэрозольная частица с произвольной формой поверхности. Молекулы первого компонента - это молекулы испаряющегося вещества частицы. Молекулы второго компонента на поверхности частицы не конденсируются. Внутри частицы может происходить выделение тепловой энергии [3-9]. Коэффициент теплопроводности частицы к много больше коэффициента теплопроводности к окружающего её газа. В этом случае, при проведении оценок, распределение температуры Т вдоль поверхности частицы можно считать однородным [7-9]. Температура поверхности Т может сильно отличаться по величине от температуры [1-9]. Все процессы в системе газ-частица протекают квазистационарно в силу малости характерных времен тепловой и диффузионной релаксации системы [4-9,11,15,16]. Характерные размеры частицы достаточно малы, чтобы можно

было пренебречь влиянием гравитационной конвекции на тепло-и маееообмен частицы с окружающей средой. Коэффициенты теплопроводности к и диффузии О произвольным образом зависят от температуры среды Т. В окрестности частицы относительная концентрация паров С\ ^ 1. Влияние диффузионного переноса молекул и лучистого теплообмена на теплообмен частиц с окружающей средой пренебрежимо мало [4-9]. В связи с малыми перепадами давления, в окрестности частицы величину концентрации молекул п можно находить по формуле п = рж/кТ [4-9,11,15]. Рассматривается установившийся режим процесса испарения, время выхода на который значительно меньше времени испарения частицы [6].

3. Моделирование испарения частицы. При рассмотренных выше условиях, распределения Т, С1 описываются системой уравнений (1) [5-13] с граничными условиями (2)-(3)

ё1у qт = 0 , ё1у ql =0; (1)

Т 1яР = Т > С1 = С1я№) > (2)

Т|ж = Тж , С11ж= С1ж ,

где С1 = П1/П, п = П1 + п^ П1 и П2 — концентрации молекул газообразных компонентов; с1я(Т) = n1s(Т)/пя, n1s(Т) — концентрация молекул насыщенного пара прп температуре Тг, пя = п^р = пж(Тж/Тг) — суммарная концентрация молекул газообразной среды у поверхности частицы; условие (2) выполняется в каждой точке поверхности частицы Бр. В (1) qт и ql плотности молекулярных потоков тепла и пара, равные [10,17]

qт = —кУТ, q1 = —пО[Ус1 + КтТ-1УТ] , (4)

где Кт — термодиффузионное отношение [14,26]. Значения Кт при С1 ^ 1 можно оценивать по формуле Ку = К^Сь Коэффициент кУу1 называют термодиффузионным фактором [17,18]

Т С1

*1(Т) = ВД) и (ж/), С1 = {С1ж + [С1Я (Тг )ВД) — С1ж] [*3 (Т)/*3 (Т)] /^2 (Т) } , (5)

т т т

*1(Т) = I ЫТ, ^г(Т) =ех^(кТ1)/Т)^Т, ^з(Т) = I(к/пО)^(Т)^Т.

тто тто тх

Зависимость функции и (ж/) от коорди нат ж/ (ж1,Ж2,Жз) находится в процессе решения уравнения Лапласа с граничными условиями первого рода

ди = 0, ии= 1 и1»=0. (в)

Явный вид функция и (ж/) имеет, например, в случае сферических (с радиусом Ы) и сфероидальных (с полуосями а и Ь, сплюснутый сфероид а Ь. вытянутый сфероид а Ь) частиц площади поверхностей Бр равны

(7) Бр = 4ттК2, Бр = 2тт[Ь2 + (аЬ/е) агсвте] , с = \/а2 — Ь2, е = с/а, а > Ь,

(8) БР = 2п[Ь2 + (а2/2в) 1п[(1 + е)/(1 — е)]] , е = с/Ь, Ь>а

Значения функций и этих частиц можно находить по формулам

(9) и = г/Я, и (е) = 1п[У (е)/^ (во)] , V (е) = (еЬ е + 1)(еЬ е — 1), а>6

(10) и(е) = V(е)^(е0), V(е)=arееtgshе, а<6.

где r - радиальная координата [20]; е - сфероидальные координаты, которым соответствуют сфероидальные координатные поверхности [16,20]. Координаты е = ео поверхностей сфероидальных частиц находят с помощью следующих формул:

a = c ch е0 , b = c sh е0 , a > b; b = c ch е0 , a = c sh e0 , a < b; (11)

ео = [ln(a + b)/(|a - b|)] /2 .

У многих недиссоциированных газов зависимость от температуры коэффициентов к и D имеет степенной вид [19], а фактор К1 слабо зависит от температуры [10,17,18]. При этом выражения для к , D и равны

к = ктеу“ : D = D^y1+W; = const, (12)

где y = Т/Тте. Подставляя формулы (12) в (5) и Fi(T)/F3(T), получаем

Fi(T) = ктеТте4М)(Т), F2(T) = yKT1) , Fs(T) = KTOTTO/nTOD^0(T)(T),

(13) Fi(T)/Fs(T)= n^D^^)(T)^1T)(T), 0TM)(T) = (У1+“ - 1)/(1 + a),

tfJT)(T) = (1 + a - и + K(1))/(y1+a-w+KT1) - 1).

При подстановке (13) в выражения (5), получаем

y = [1 + U(ж/)(y1+a - 1)]1/(1+a) ,c1

к(1) y1+a—w+K^) ______ 1

Cloo + [c-ls(Ti)yi т — Cloo] —— (1)

1+a—w+Km -

y* T -1

—K

(1)

.

В формуле (14) У = Тг/Тж. Выражения для молекулярных пот оков тепла 0^1 и пара (т)

01

05м1 = / ^т^Зр , 01т) = 0 ^1^3р . (15)

где Sp — дифференциальный векторный элемент поверхности частицы Бр, направление которого совпадает с направлением внешней нормали. Преобразовав (15) с учетом формул (5), получаем

0.тм) = ВД)0и , 01т) = [С1Я№)ВД) — С1те] (ВД)/^(Тг))0и , 0и = —£ ^руи^р . (16)

Из сравнения выражений (16) следует, что

01т) = [С1Я(Т)ВД) — С1те] (ВД)/^(Тг))0и . (17)

При степенных коэффициентах переноса формулы для молекулярных потоков (16), с учетом соотношений (13), приобретают более простой вид

05м) = ктеТте0<М)(Тг)0и , 01т) = пжОж [С1Я(Т*)^ — С1те] 0£т)(Тг), 0^) (Т)0и . (18)

Величина интегралов 0и зависит от размеров и формы поверхности частиц. У сферических и сфероидальных частиц интегралы 0и равны

0^ = 4пЯ ; 0^4пс/а, (а > Ь); 0^ = 4пс/ь , (а < Ь);

(19) /а = 1/1п[(1 + е)/(1 — е)] ; /ь = 1/arееtg е, е = с/а.

В случае известных С1Ж,ТЖ, рж величина темпера туры Т находится с помощью условия сохранения тепла

0ад = 0тМ) + ^1Ш101т) , (20)

где 0ад — суммарная мощность внутренних тепловых источников; £1 — удельная теплота

испарения при температуре Т^; Ш1 — масса молекулы (атома) пара. Подставляя в условие (20) (м) (т)

0т 01

0» = (1 + (^1Ш1пжОж/кжТж)[с1Я(Т)^ — С1Я] 0£Г)(Т)) 0^) . (21)

Зная величину Т и 0и, скорость изменения массы Мр частицы в рассматриваемый момент времени Ь можно найти по формуле

^ = -т,еГ\ (22)

(т)

в которой Мр = рррр, рр — плотность вещества частицы, значения 01 находятся по второй из формул (16) или (18).

При испарении некоторых видов аэрозольных частиц, со временем Ь может изменяться только один из их характерных геометрических размеров, который в дальнейшем мы будем обозначать символом А. К таким частицам относятся, например, сферические частицы с радиусом Я (А = Я, рр = (4/3)пА3) и некоторые вытянутые (А = Ь, а =const, рр = (4/3)паА2) и сплюснутые (А = а Ь =const, рр = (4/3)пЬ2А) сфероидальные частицы. Испарение подобных частиц может происходить при однозначной зависимости от переменной А объём а рр и интеграла 0и- При этом зависимость от времен и размера А можно находить в процессе интегрирования уравнения:

(ж)^ = -т1в'‘т,/''- (23)

Решение дифференциальных уравнений (22) и (23) нужно проводить совместно с решением относительно переменной Т алгебраического трансцендентного уравнения (20) или уравнения (21). При известной зависимости Т и 0и от А, уравнение (23) может быть проинтегрировано численно или в квадратурах. Решая уравнение (23) методом разделения переменных, получаем формулу для зависимости времени Ь от перемен ной А:

ти 01т)(ТгД ^А/

До

в которой А и Ао - значения переменной 0, соответственно, в рассматриваемый и начальный (Ь = 0) моменты времени. Более простой вид выражение (24) принимает, например, при Тг =СО^ и 0(!т)(Тг)) (18)

(Т)

Ь = —^(А, Ао)/(шШж/Рр)Ож [С1Я(Т)уК — С1я]0(т)СТ^(Т), (25)

wV'(A’A”) = /^Si(^)^

До

У сферической частицы с А = R и вытянутых и сплюснутых сфероидальных частиц с, соответственно, фиксированными длинами полуосей a = ao =const (А = b) и b = bo =const (А = a) выражения для ф равны:

да, Ro) = (R2 - Rg)/2,

2

(26) 0(6, Ьо) = о ао [^(жо) — G'(.r)], a,o > b, а = ao = const,

3

b2

гр(а, ao) = [arc2 cos(ao/&o) — o?'c2 cos(a/&o)], a, < bo, b = bo = const, где x = b/ao, xo = bo/ao; С(ж) = | [л/l — x2 In (1 + \/1 — ж2)] + [(1 — vT — x2) ln x]|.

4. Анализ полученных результатов В н.З получены формулы, описывающие в квази-стационарном приближении и при значительных перепадах температуры процесс диффузионного испарения (сублимации) неподвижной крупной частицы.

Из формулы (22) вытекает, что отношение величин скоростей изменения массы любых двух, испаряющихся при равной температуре Tj, частиц равно 0 = ©ЦР + ©Ц^. При равных Vp интегралы 0ц больше v частиц с большей Sp. Поэтому при равных Vp и T скорость изменения массы больше у частицы с большей площадью поверхности. Формулы (19) и (20) позволяют оцепить зависимость от переменной в = b/R коэффициентов 0 и SJ(1)/SJ(2( сферической (первой) частицы и сфероидальных частиц с b = eR и a = R/в2 при равных объемах.

Формула (25) позволяет оценивать время испарения частицы, протекающих) при постоянной Tj и одном, изменяющемся со временем t, характерном размере частицы А. Из (25) следует,

что, при равных Tj и известных конечных размерах Af отношение т времён испарения tf1 и , (2)

tf двух рассматриваемых частиц равно

t = t(1)/t(2) = Ф(1) (Aif, Аю)/ф(2) (A2f, А20). (27)

Проведенные, исходя из формул (25), оценки показали, что и при равных исходных объемах быстрее испаряются частицы с большей площадью поверхности.

При больших перепадах температуры может происходить свободное испарение (сублимация) одиночных частиц, протекающее при 0w = 0 [1,2]. Температура поверхности Tj свободно испаряющейся частицы находится численно в процессе решения уравнение (28)

1 + Limi[cis(Tj)F2(Tj) — ci^]F3-1(Tj). (28)

Условие (28) от геометрических размеров и формы поверхности частицы не зависит. Отсюда следует, что при известных С1те, T^, установившееся свободное диффузионное испарение

одиночных крупных частиц, вне зависимости от их формы, размеров и перепадов тсмпсрату-

Ti

(T)

01

с учётом влияния термодиффузии на перенос молекул пара в окрестности частицы. Влияние термодиффузии на перенос молекул пара позволяет учитывать термодиффузионный фактор

К'т1), который принимает положительные значения при т1 > Ш2 и отрицательные - при т1 < Ш2 [10]. Из данных [19] следует, что в двухкомпонентных газ ах он имеет оценку < 0.4.

Итак, в результате проведенного математического моделирования процесса установившегося диффузионного испарения (сублимации) неподвижной крупной несферической частицы при значительных перепадах температуры в ее окрестности, полученные в квазистационарном приближении формулы позволяют оценивать температуру и скорость изменения массы (объема) частицы с учетом формы ее поверхности, влияния термодиффузии на перенос молекул пара и зависимости от температуры коэффициентов теплопроводности и диффузии газообразной среды. Анализ теоретических результатов показал, что скорость и время испарения (сублимации) частицы могут сильно зависеть от формы ее поверхности. При больших перепадах температуры заметное влияние на скорость изменения массы (объема) частицы может оказывать и термодиффузия. Температура поверхности свободно испаряющейся крупной частицы от ее формы и размеров не зависит.

Литература

Иванов В.М., Смирнова Е.В. Испарение капли жидкости в высокотемпературной среде /7 Труды ИГИ. М.: Изд-во АН СССР. 1962. 19. С.48-53.

Иванов В.М. Парогазовые процессы и их применение в народном хозяйстве / М.: Наука, 1970. 320 с.

Зуев В.Е., Землянин В.В., Копытин Ю.Д., Кузиковский А.В. Мощное лазерное излучение в атмосферном аэрозоле / Новосибирск: Наука, 1984. 224 с.

Букатый В.И., Суторихин И.А., Краснопевцев В.Н., Шайдук А.М. Воздействие лазерного излучения на твердый аэрозоль / Барнаул: АГУ, 1994. 196 с.

Зуев В.Е., Кауль В.В., Самохвалов Н.В., Кирков К.Н., Цанев В.Н. Лазерное зондирование индустриальных аэрозолей / Новосибирск: Наука, 1986. 188 с.

Пуетовалов В.К., Романов Г.С. Испарение капли в диффузионном режиме под действием монохроматического излучения /7 Квантовая электроника. 1977. 4; №7. С.84-94.

Щукин Е.Р., Кутуков В.Б. О диффузионном испарении капель в поле электромагнитного излучения при произвольных перепадах температуры /7 ТВТ. 1977. 15; №2. С.434-

436'

8. Силин НА., Щукин Е.Р. Об испарении капель тугоплавких веществ в поле электромагнитного излучения /7 ЖТф. 1980. 50; №2. С.380-384.

9. Пуетовалов В.К., Романов Г.С. Испарение капли в диффузионном режиме интенсивным оптическим излучением с учетом температурных зависимостей теплофизических параметров /7 ДАН БССР. 1985. XXIX; №1. " (’.50-53.

10. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов / М.: Иностр. лит.,

1960. 512 с.

11. Фукс НА. Испарение и рост капель в газообразной среде / М.: Изд-во АН СССР, 1958. 92 с.

12. Горский В.В., Оленичева А.А. О применимости закона бинарной диффузии к расчету тепло и маееообмена в газовых смесях сложного химического состава /7 ТВТ. 2011. 49;№1. С.69-72.

13. Калинчак В.В., Черненко А.С. Высокотемпературный теплообмен и етефановекое тече-

ние на поверхности предварительно нагретой металлической частицы в холодном воздухе /7 ТВТ. 2009. 47;№3. С.438-447.

14. Райст П. Аэрозоли. Введение в теорию / М.: Мир,1987. 280 с.

15. Смирнов В.Н. Скорость коагуляционного и конденсационного роста частиц аэрозолей /7

Труды ЦАО. 1969. Вып.2. С.3-106.

16. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / М.: Мир,

1976. 631 с.

17. Ферцш'ер Д.Ж., Капер Г.М. Математическая теория процессов переноса в газах / М.:

Мир, 1976. 552 с.

18. Рудяк В.Я., Краснолуцкий С.Л. О термодиффузии наночастиц в газах /7 ЖТф. 2010.

80;Вып.8. С.49-52. "

19. Варгафтик И.Б. Справочник по теплофизичееким свойствам газов и жидкостей / М.:

Наука, 1972. 272 с.

20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики / М.: Наука, 1972. 736 с.

21. Алтунин В.В. Теплофизические свойства двуокиси углерода / М.: Изд-во стандартов,

1975. 532 с.

22. Таблицы физических величин / Справочник, под ред. акад. И.К. Кикоина / М.: Атом-

издат, 1976. 1008 с.

ABOUT LARGE AEROSOL PARTICLES DIFFUSION EVAPORATION AT ANY TEMPERATURE DROPS E.R. Shchukin, N.V. Malay, Z.L. Shulimanova

Belgorod State University,

Pobedy St. 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: malay@bsu.edu.ru

Abstract. The process of steady-state diffusion evaporation (sublimation) fixed major non-spherical particles has been modeled mathematically. This is done with considerable temperature variations in its neighborhood. The formulas derived allow estimating aerosol particles temperature and the rate of its mass change with regard to its surface form, thermodiffusion, and transporting coefficients dependence on temperature. The carried out analysis has shown that particle’s speed and time of evaporation (sublimation) can strongly depend on the form of its surface. Thermodiffusion can also influence noticeably on particle’s evaporation speed.

Key words: diffusion evaporation, non-spherical particles, temperature drops.