CC BY
0УДК 624.072
БОТ 10.52928/2070-1683-2023-34-2-63-67
О ДЕФОРМАЦИОННОМ РАСЧЕТЕ СЖАТО-ИЗОГНУТОГО СТЕРЖНЯ ПРИ СОВМЕСТНОМ УЧЕТЕ СИЛОВОГО И ТЕПЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЙ
канд. техн. наук, доц. Л.С. ТУРИЩЕВ (Полоцкий государственный университет имени Евфросинии Полоцкой)
Рассматривается гибкий сжато-изогнутый стержень при совместном действии нагрузки и температуры. Получено дифференциальное уравнение оси сжато-изогнутого стержня с произвольной схемой опирания. Изучается влияние теплового воздействия на параметры напряженно-деформированного состояния стержня. На частном примере показано, что изгибающий момент с учетом теплового воздействия может существенно увеличиваться.
Ключевые слова: деформационный расчет, сжато-изогнутый стержень, силовое воздействие, тепловое воздействие, напряженно-деформированное состояние, принцип суперпозиции, геометрическая нелинейность.
Введение. Принято расчет конструкций на действие нагрузки и температуры производить раздельно, а затем найденные параметры напряженно-деформированного состояния (НДС), согласно принципу суперпозиции, складывать. Но такой подход справедлив только для линейно деформируемых систем. В случае же гибких конструкций необходимы учет геометрической нелинейности и выполнение деформационного расчета конструкции. Наиболее глубоко и детально изучены вопросы деформационного расчета гибких сжато-изогнутых стержней на действие нагрузки. Здесь можно отметить работы [1-3]. Однако приводимые в этих работах дифференциальные уравнения, лежащие в основе деформационного расчета сжато-изогнутых стержней, не учитывают влияние теплового воздействия на изменение параметров НДС вследствие учета геометрической нелинейности.
Основная часть. Рассматривается деформационный расчет прямолинейного упругого стержня симметричного постоянного поперечного сечения с произвольными закреплениями концов, ограничивающими полностью или частично все перемещения концевых сечений. Стержень подвергается действию продольной силы Ы, произвольной поперечной нагрузки и тепловому воздействию (рисунок 1). Поперечная нагрузка и тепловое воздействие на рисунке 1 показаны условными буквенными обозначениями Р и /.
Рисунок 1. - Прямолинейный упругий стержень с произвольными закреплениями концов
Тепловое воздействие характеризуется двумя независимыми величинами - приращением внутренней температуры Д /в и приращением наружной температуры Д /н . Внутренней считается более высокая температура. Скорость изменения приращения температуры по высоте поперечного сечения И определяется по формуле
А/' =
А/в н
И
НДС стержня в произвольном сечении характеризуется прогибом у (х), углом поворота сечения у'(х), изгибающим моментом М (х), поперечной силой Q (х) и постоянной продольной силой N. НДС стержня в начале координат характеризуется начальными параметрами у0, у0, М0, Qo и зависит от условий закрепления сечения в этом месте.
В соответствии с гипотезой плоских сечений кривизна искривления стержня, вызванного тепловым воздействием, описывается выражением
= -аА/'
(1)
где а - коэффициент линейного расширения конструкционного материала, из которого выполнен стержень.
Кривизна изгиба, порождаемого действием нагрузки, описывается известным из сопротивления материалов выражением
1 ] = ±М • <2»
р)Р Е1
где Е - модуль упругости конструкционного материала стержня;
I - момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; М - изгибающий момент, возникающий в произвольном сечении.
Тогда кривизна стержня при совместном действии температуры и нагрузки получится сложением (1) и (2) и с учетом правил знаков в координатной системе, показанной на рисунке 1, будет иметь вид
1 М . ,
- = -м -aAt'. (3)
р Е1
Величина момента, с учетом продольной силы, описывается выражением
М (х) = М (0) + Q (0) х + N [у - у (0)] + МР, (4)
где Мр - изгибающий момент, возникающий в произвольном сечении от действия поперечной нагрузки.
Подставляя в левую часть (3) приближенное выражение для кривизны линии, получим дифференциальное уравнение сжато-изогнутого стержня при совместном приложении нагрузки и теплового воздействия:
„ 2 М (0) + Q (0) х - ^ (0) + МР
у" + к2у = - —У 1 ^ '--Р -aAt', (5)
Е1
,2 N где к = —.
Е1
Полученное уравнение (5) является обыкновенным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, и его решение имеет вид
у = У1 + У2 ,
где у- = Asin (кх) + Бсои (кх) - общее решение однородного дифференциального уравнения, получаемого из (5);
М (0) + Q (0) х - т (0)+ МР + Е1 аА1'
у2 = -——-—---частное решение уравнения (5).
к 2 Е1
Выражая произвольные постоянные через начальные параметры, получим следующее решение уравнения (5): /ч у'(0) М (0)+М Р + Е1 аА' ч Q (0),
у = у (0) + Бшкх --^-Р-(1 - СОикх) - ^^ (кх - БшАх) . (6)
к к 2 Е1 к 3 Е1
Полученное решение описывает прогибы, возникающие в стержне при совместном действии нагрузки и температуры. Продифференцировав (6) один раз по х, получим выражение для углов поворота сечений:
М(0)+МР + Е1 аА' Q(0) ,
у' = у (0)соикх-—^-Р-иткх-^^(1 -соикх) . (7)
у у () кЕ1 к2 Е1У ) ()
Покажем применение полученных формул (6), (7) для деформационного расчета сжато-изогнутого стержня с конкретной схемой опирания и определения параметров НДС. Рассмотрим шарнирно опертый стержень при совместном действии температуры, продольной силы N и поперечной силы Р, приложенной в середине пролета, показанный на рисунке 2.
Рисунок 2. - Шарнирно опертый стержень при совместном действии температуры, продольной и поперечных сил
В соответствии с условиями закрепления стержня в начале координат начальные параметры характеризуются следующими значениями:
р
У0 = 0, у0 * 0, Мо = 0, Qo = р .
С учетом (8) выражение для прогибов (6) примет вид
у = ^ Бткх(1 - соБкх)-—р— (кх - Бткх) . к к1У ' 2к Е1 ^
(8)
(9)
Из условий закрепления стержня на правом конце (х=1) следует, что прогиб на этом конце равен нулю у (/) = 0. Следовательно,
р к1 -Бшк/ 4 ,(1 -СОБк/)
у (0) =----+ аАг-
* W 2Е1 к2в1пк/ кътк/
(10)
С учетом (10) прогибы стержня будут описываться выражением
у М =
р/3 1
2Е1 У3 + аА/'/2 -
V- бШу . , . ,
-БШ^ - (^ - БШ^)
sinv
1 - соб^ ^ ^ Л ч
-БШ^ - (1 - СОБ^)
slnv
(11)
а выражение для изгибающих моментов имеет вид
м м = р1
2 I v
sinv
+-
2Е1 аА/'
Р
-Бт^ - (1 - соб^ )
sinv
(12)
Выражения (11) и (12) записаны с использованием безразмерного параметра продольной силы v = к/ и безразмерной абсциссы сечения ^ = х .
Полагая в (11) х = 0,5/, найдем для стержня максимальный прогиб при совместном действии температуры, продольной силы N и поперечной силы Р:
утах М = уп
24^(v) + 48 ар^ (v) Л2 Р .
(13)
р13
где утах = - максимальный прогиб от действия поперечной силы Р; я 1
р = — - параметр, учитывающий отношение пролета к высоте поперечного сечения стержня;
И
А/ = А/в - А/н - параметр теплового воздействия;
Р
Р =
N
кр
стержня Ыкр =
- параметр уровня нагружения стержня поперечной нагрузкой в долях от критической нагрузки л2 Е1
Входящие в (13) функции и (v) учитывают влияние продольной силы и имеют вид
(
М =
Р2 (V) = -
v- Slnv ( v . v
--I — - БШ —
2СОБV 12 2 2
(
1 - cosv (, v
--I 1 - СОБ —
2СОБV 1 2
V 2
1
2
v
/
1
3
v
1
2
Полагая в (12) х = 0,5/, найдем для стержня максимальный момент при совместном действии температуры, продольной силы N и поперечной силы Р:
Mmax (v) = M^ (v)f 1 + -4 • к (v)
л2 p
,.Р , ч Р1 tg у/ 2 „ _
где Мтах (у) =^ 2--максимальный момент сжато-изогнутого стержня без учета влияния теплового
воздействия;
,, ч v( 1 - cos v/ 2 j ,, „ „
к (v) = ^--j^—- - коэффициент влияния продольной силы с учетом теплового воздействия.
График изменения коэффициента к (v) приведен на рисунке 3.
Рисунок 3. - График коэффициента к (у)
Для оценки влияния теплового воздействия на величину максимального изгибающего момента сжато-изогнутого стержня введем следующие обозначения: . М (у)
- ц =-^ - безразмерный максимальный изгибающий момент с учетом влияния теплового воздействия;
М,рах (у) _
- ц =-^ - безразмерный максимальный изгибающий момент без учета влияния теплового воздействия.
При построении графиков, описывающих зависимость безразмерных величин максимальных изгибающих моментов от величины безразмерного параметра продольной силы у , используем следующие значения параметров стержня:
- коэффициент линейного расширения конструкционного материала - а = 10-5;
- параметр, учитывающий влияние отношения пролета к высоте поперечного сечения стержня - р = 500;
- параметр уровня нагружения стержня поперечной нагрузкой в долях от критической нагрузки стержня -Р = 0,01;
- числовая характеристика теплового воздействия - At' = 10 .
Графики изменения безразмерных величин максимальных изгибающих моментов сжато-изогнутого шар-нирно опертого стержня с учетом и без учета теплового воздействия приведены на рисунке 4.
Рисунок 4. - Графики максимальных изгибающих моментов сжато-изогнутого шарнирно опертого стержня
Из приведенного графика следует, что при значениях у > 0,5 увеличение изгибающего момента, вследствие учета влияния теплового воздействия, превышает 5%.
Заключение. Таким образом, приведенный пример показывает, что величины изгибающих моментов сжато-изогнутых стержней с учетом теплового воздействия при определенных сочетаниях параметров могут существенно увеличиваться и, следовательно, влиять на снижение их несущей способности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. Упругие рамы, фермы и комбинированные системы. -М.: Стройиздат, 1949. - 375 с.
2. Лейтес С.Д. Устойчивость сжатых стальных стержней. - М.: Госстройиздат, 1954. - 307 с.
3. Пиковский А.А. Статика стержневых систем со сжатыми элементами. - М.: Физматгиз, 1961. - 394 с.
REFERENCES
1. Komoukhov, N.V. (1949). Prochnost' i ustoichivost' sterzhnevykh sistem. Uprugie ramy, fermy i kombinirovannye sistemy. Moscow: Stroiizdat. (In Russ.).
2. Leites, S.D. (1954). Ustoichivost'szhatykh stal'nykh sterzhnei. Moscow: Gosstroiizdat. (In Russ.).
3. Pikovskii, A.A. (1961). Statika sterzhnevykh sistem so szhatymi elementami. Moscow: Fizmatgiz. (In Russ.).
Поступила 25.09.2023
ABOUT DEFORMATION CALCULATION OF A COMPRESSED-BENT ROD WITH JOINT ACCOUNT OF FORCE AND THERMAL INFLUENCES
L. TURISHCHEV (Euphrosyne Polotskaya State University of Polotsk)
A flexible compressed-bent rod under the combined action of load and temperature is considered. A differential equation for the axis of a compressed-bent rod with an arbitrary support scheme is obtained. The influence of thermal influence on the parameters of the stress-strain state of the rod is studied. A particular example shows that the bending moment, taking into account the thermal effect, can increase significantly.
Keywords: deformation calculation, compressed-bent rod, force influence, thermal influence, stress-strain state, superposition principle, geometric nonlinearity.
