CC BY
33
О ДЕФОРМАЦИИ ДВУХСЛОЙНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Л. А. Карамшина
С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]
1. Введение. Внешняя оболочка глаза состоит из плотной наружной фиброзной оболочки — склеры, средней сосудистой оболочки — хориоидеи, и самой тонкой и мягкой внутренней оболочки — сетчатки.
Склеральная и фиброзная оболочки близки по своей структуре к трансверсально-изотропной ткани: характеризуются более низким модулем упругости в направлении своей толщины (в радиальном направлении), чем в продольном и поперечном [1, 2]. Как показали исследования, модуль Юнга склеры в радиальном направлении в среднем 0,5 МПа, тогда как в продольном и поперечном направлениях этот показатель меняется в пределах 3-40 МПа. Модуль Юнга хориоидеи в радиальном направлении составляет 193,1 КПа, в продольном и поперечном — 477,2 КПа [1]. Особенность сосудистой оболочки заключается в том, что она относится к «активным» структурам глаза [3]: изменяя свой объем и жесткость в зависимости от кровенаполнения она способна изменять свои механические свойства в течение суток.
Сетчатка является непрочной тканью толщиной 250 мк, которая характеризуется относительно низким модулем Юнга — 20 КПа [1].
В данной работе построено решение задачи о деформации тонкой упругой сферической оболочки, состоящей из двух трансверсально-изотропных слоев, под действием внутреннего и внешнего давления. Каждый слой представляет собой трансверсально-изотропную сферическую оболочку с различными биомеханическими свойствами.
2. Постановка задачи. Предполагается, что внешний слой оболочки является более жестким и отвечает биомеханическим характеристикам склеры, а внутренний слой — более мягким и отвечает биомеханическим свойствам хориоидеи.
Введем обозначения: К\, Кз — внутренний и внешний радиусы оболочки, Д2 —радиус зоны контакта ее слоев (К\ < В.2 < Кз). Пусть рі, рз — величины внутреннего и внешнего давления, р2 —давление, действующие в зоне контакта слоев.
Из соображений симметрии положим, что в сферической системе координат (р, <р, в) справедливы равенства:
где г = 1 соответствует внутреннему, а г = 2 — внешнему слою [4].
Предполагая, что имеет место жесткий контакт, запишем условия сопряжения оболочек при р = В.2:
^рр ®рр(р), ^вв °^(р), ®рв ^рр
и р = ир (Р), ив = и% = °>
(1)
(2)
© Л.А.Карамшина, 2011
Для каждого слоя оболочки имеем уравнения равновесия [4]:
¿ар. 1
~Ир~ + ~(Р‘(7%рр ~ а%вв ~ = г = 1,2. (3)
Деформации имеют вид
¿иг„ . иг„ . иг„
тт<г _ _Р тт<г ___ Р тт<г ______ _Р (л \
Ерр - Лр , Е99- р, Е^- (4)
Ерв = Ер^ = Е1в^ =0, г = 1,2.
Для трансверсально-изотропных слоев оболочки имеют место соотношения
1 V-'
Егвв = £Г (авв - ь'г(Т^) - £Г7а1рр>
1 ■ V-' ■
Ерр = (о-^ - Щ°гее) ~ ~фарр> (5)
и.' . . 1
ЕгРР = --ф {?вв + + ~д7аРР’ *=1>2>
где Е. и Ер — соотвественно модули Юнга при растяжении-сжатии на поверхности изотропии и в направлении, перпендикуляном ней; V. и Vр — коэффициенты Пуассона [5].
Упругие коэффициенты трансверсально-изотропного тела удовлетворяют системе неравенств (см. [5])
^'\ < (Е.'/Ер)1/2, -1 < V. < 1 - 2 ^')2(Ер/Ер') (Е. > 0, Е.' > 0). (6)
Введем следующие обозначения:
„ ../ Ер ^ щ — 1 _ 1 — щ . 1 0 /Г7%1
??*—6— 2^/2 > > * — 1,2. (7)
Тогда, учитывая соотношения (4) и (5), выражения для напряжений преобразуем к виду
1 ( . йиг. пЛ
агг = —Г &Е^-Г-^-1 П. + & \ ар р
/ - - \ (8)
. 1 (аи\ 1 игЛ
а1в = ~2 (тн + £р) + ) ’ г=1,2'
Подставляя равенства (8) в уравнения (3), получаем уравнения равновесия в перемещениях для каждого слоя оболочки:
¿2и1п 1 аи1г
______р. 2 Р-------------г-
7 о \ ^ 7 I ¡г '¡г о
ар2 р ар р2
&-т^ + = * = 1,2. (9)
Решения уравнений (9) при и1 = иг(р) имеют вид
и1 = а. ра + Ьр рв, г = 1, 2, (10)
где а. и Ьр — новые постоянные, а а. и в. определяются соотношениями
aг-~12{í~\|í~4lf'), Pг^~Kí + \|í~42f'), *_1,2'
Из соотношений (10) и (8) получаем следующие выражения для напряжений:
аРр = ар (ъ ар - 6р)ра-1 + Ьр (ур в. - 5р)р^-1,
авв = ар (Хр аг + Сг)рГ-1 + Ьр (Хр в1 + Cр)PpІ-1, (11)
где
_ &Е'р X _ Е* _ 1 X Л _ X* , _ о
'Уг I Л ’ * I с ’ ХР 0 Ур, С* / ; * 1? 2.
Пр + я Пр + я 2 Vi
Постоянные ар и Ьр определяются из граничных условий на лицевых поверхностях внутренней и внешней оболочек глаза, а именно
арр = -Р1 при р = В1, а2р = р2 при р = В2,
1 и 2 и (12)
арр = -Р2 при р = В2, &рр = -рз при р = Вз,
где р2 — неизвестное усилие взаимодействия между оболочками.
Величина р2 определяется из условия сопряжения оболочек по перемещениям
и1(р) = и2(р) при р = В2. (13)
Подставляя соотношения (12) в равенства (11), получаем
Вр (Ф^-1 Рр+1 - Рр) , Вр (рр - фа-1 рр+1)
Вр+1 Ьа - йр)(Фа - У р вв+1 ЬФр - йр)(Фа - )
г = 1, 2, (14)
где Ф1 = В1 /В2, Ф2 = В2/В3.
Из соотношений (10), (14) и условия сопряжения (13) определяется давление, действующее в зоне контакта сосудистой и склеральной оболочек глаза:
= (МгК^1 - Я1Д2а1)Р1 + (М2Д^ - М2Н^)Р2 Р2 М2Н%2 - +М1Н^1ф^-1 -ЛГ^1^?1-1’
где
щ =------;---------—-----;-----г-, Мр = —т.-----------—------;----г-, ¿=1,2.
вр+1 (нрар ~ Зр)(фрг - Фръ) Ер+1 {1рРр ~ Зр)(фрг - Фръ)
Перемещения и напряжения полностью определяются формулами (10), (11), (14) и (15).
В предлагаемой модели за счет разности упругих коэффициентов сосудистой и склеральной оболочек на поверхности контакта наблюдается разрыв продольных и поперечных напряжений. В реальности, с изменением внутриглазного давления возможно проскальзывание между оболочками, которое возникает из-за неравномерности напряжений на поверхности. В связи с этим на поверхности контакта вводятся дополнительные условия
аее(р)= ^а‘вв(р) при р = В2, (16)
где ш — вспомогательный коэффициент, позволяющий оценить влияние разности упругих коэффициентов оболочек Ер, Е[, щ, г = 1, 2, на разность значений продольных
и поперечных напряжений на поверхности контакта.
Коэффициент ш определяется из условия (16):
«4(71^1 + бри*'-1 + Ъг^/Зг + 5\) Д^1 а2(7|а2 + + Ь2(72^2 + б^Н1^1'
(17)
3. Результы расчетов. Из пяти упругих коэффициентов, необходимых для расчета трансверсально-изотропных сосудистой и склеральной оболочек глаза, имеются экспериментальные данные только для модулей упругости и коэффициентов Пуассона в касательном направлении. На коэффициенты Пуассона в направлении тол-
щины оболочек в виду отсутствия экспериментальных данных накладываются только ограничения (6).
Рассчеты проводились для следующего случая задания упругих коэффициентов:
Е\ = 0.5 МПа, Е\ = —-, = 0.45, у\ = —,
П\ П\
Ео = 5.0 МПа, Ео' = —-, ио = 0.45, ио' = —,
П2 П2
(18)
где Е\, Е[, VI, —упругие коэффициенты внутренней мягкой сосудистой оболочки,
Е2, Е2, VI, и2 —упругие коэффициенты внешней, более жесткой склеральной оболочки.
Рис. 1. Зависимости для перемещений внутренней и внешней оболочек глаза.
Рис. 2. Зависимости для радиальных напряжений внутренней и внешней оболочек глаза.
На рис. 1-3 приведены зависимости перемещений и напряжений для внутренней сосудистой р = [11.1; 11.4] и внешней склеральной р = [11.4; 12.0] оболочек глаза для внутриглазного давления 15, 25, 35 мм рт. ст. при п 1 = 2.5, П2 = 10. Пунктирными линиями обозначены соответствующие перемещения и напряжения оболочек для случая П1 = П2 = 1 при тех же значениях внутреннего давления глаза.
Как отмечалось ранее, сосудистая оболочка относится к «активным» элементам глаза и способна изменять свои биомеханические свойства, за счет кровенаполнения, в течение суток [1]. На рис. 4-6 приведены зависимости перемещений и напряжений при
Рис. 3. Зависимости для тангенциальных напряжений для р± = 15 мм рт. ст. и р± = 35 мм рт. ст.
Рис. 4- Зависимости для перемещений Рис. 5. Зависимости для радиальных напри увеличении Е± и Е\ в 3 раза. пряжений при увеличении Е± и Е\ в 3 раза.
увеличении модулей упругости сосудистой оболочки в три раза под действием внутриглазного давления 25 мм. рт. ст. при следующих значениях упругих коэффициентов:
Е\ € [0.5; 1] МПа, Е\ = —-, = 0.45, = —, п\ = 2.5,
п1 П1 (19)
Е2 и2
Ео = 5.0 МПа, Ео' = —-, ио = 0.45, ио' = —, по = 10.
п2 п2
Толщина оболочек после деформации определяется как разность +1 +
щ+1(Кг+1) — — щ(Я), г = 1, 2. В таблице представлены результаты вычислений изме-
нения толщины сосудистой и склеральной оболочек глаза при внутриглазном давлении 25 мм. рт. ст.
Модуль Юнга сосудистой оболочки Е\, МПа Хориоидея Склера
Толщина Ні, мм Изменение толщины, % Толщина Ні, мм Изменение толщины, %
0.5 0,295 1,8 0,5947 0,88
0.75 0,296 1,4 0,5948 0,86
1.0 0,297 1,2 0,5950 0,84
Рис. 6. Зависимости для тангенциальных напряжений.
Для мягкой сосудистой оболочки характерны большие радиальные смещения и большие относительные изменения толщины, чем для жесткой склеральной оболочки при том же значении внутреннего давления.
4. Выводы. При более низких значениях модулей упругости сосудистой оболочки глаза Е1 и Е1' при одном значении внутризглазного давления наблюдаются большие радиальные смещения и более сильные изломы перемещений и напряжений.
Введение дополнительного коэффициента ш позволяет учесть возможность проскальзывания между оболочками, возникающего из-за неравномерного распределения напряжений на поверхности сопряжения при изменении внутриглазного давления.
Проведенные расчеты показали, что чем больше разность упругих коэффициентов оболочек на поверхности изотропии материала и в направлении, перпендикулярном к ней, тем сильнее возникают изломы перемещений и напряжений на поверхности контакта.
Полученные результаты позволяют оценить влияние упругих характеристик сосудистой и склеральной оболочек глаза на возможное развитие отслоек хориоидеи.
Литература
1. Иомдина Е. Н. Механические свойства тканей глаза человека // Современные проблемы биомеханики. Вып. 11. Изд-во МГУ, 2006. С. 183-200.
2. Саулгозис Ю. Ж. Особенности деформирования склеры // Механика композитных материалов. 1981. 3. С. 505-514.
3. Полоз М. В., Иомдина Е. Н. Активные деформации человеческого глаза // Биомеханика-2010, Х Всероссийская конференция, тезисы докладов. Изд-во Саратовского университета. С. 137-139.
4. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М: Гостехиздат, 1955. 492 с.
5. Радионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 278 с.
Статья поступила в редакцию 16 декабря 2010 г.
