CC BY
68
Вычислительные технологии
Том 1, № 2, 1996
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГО РОДА*
В. Э. Вильдеман, А. В. Зайцев Пермский государственный технический университет, Россия
Предложен способ учета граничных условий третьего рода при численном решении квазистатических краевых задач механики деформирования и разрушения структурно-неоднородных сред методом конечных элементов. В рамках разработанной математической модели зернистого композита проведены исследования особенностей микро- и макроразрушения. Обнаружены зависимости предельных, соответствующих полной потере несущей способности, деформаций и повреждений материалов, а также характера процесса структурного разрушения от коэффициентов жесткости нагружающей системы, входящих в граничные условия. Повышение жесткости системы нагружения способствует стабилизации процесса накопления повреждений.
Исследуются основные закономерности квазистатических процессов деформирования, накопления повреждений и разрушения зернистых композитов. Обнаружен эффект роста предельных деформаций при увеличении коэффициентов жесткости нагружающей системы, входящих в граничные условия.
Экспериментально установлено, что сопротивление разрушению определяется не только прочностными постоянными материала, но и зависит от жесткости нагружающей системы, в которую входят нагружающее устройство (испытательная машина, передающие нагрузки силовые и кинематические элементы конструкций, рабочие жидкость и газ) и само деформируемое тело, окружающее область повреждения [1]. В инженерной практике, например, отмечено существенное отличие характера разрушения гидравлических и пневматических сосудов давления и трубопроводов. С точки зрения традиционных постановок краевых задач механики деформируемого твердого тела, указанные случаи эквивалентны.
Граничные условия, не учитывающие изменений внешних нагрузок, связанных с изменением конфигурации тела в процессе деформирования, не вполне соответствуют реальным условиям работы элементов конструкций и производимых испытаний [2, 3]. С этой точки зрения для более адекватного описания процессов деформирования, накопления повреждений и разрушения целесообразным является использование граничных условий третьего рода, позволяющих расширить физическую базу имеющихся моделей механики структурно-неоднородных сред, уточнить прочностные оценки, определить резервы несущей способности и прогнозировать катастрофичность разрушения конструкций.
*© В. Э. Вильдеман, А. В. Зайцев, 1996
1. Граничные условия
Рассмотрим деформируемое твердое тело П с ограничивающей поверхностью Г. В работе [4] сформулированы граничные условия третьего рода с учетом коэффициентов жесткости Лу (и,г) = —дSi/дuj или податливости Qij (£,г) = —дui/дSj нагружающего устройства:
кч (г)п (г) + лу (и,г)и(г)] = $°(г)> (1-1)
Гв
если на части Г^ поверхности Г задан по программе нагружения вектор внешних сил S0 (г) и
[щ(т) + (5,г)з (т)ик (г)]
= и0 (г), (1.2)
Г и
если на части Ги = Г \ Г^ задан по программе деформирования вектор перемещений и0 (г). Здесь и — вектор реальных перемещений точек на границе с нормалью п(г); а (г) — тензор напряжений. Симметричные положительно определенные тензоры второго ранга Я и Q, удовлетворяют условиям
Vai . Rij^ 0? Qij^ 0? RikQkj , (1*3)
где ^ij — символ Кронекера. Номинально задаваемые усилия и перемещения связаны соотношениями
^(г) = (и,г)и0(г) , и0 (г) = Qij(£,г)S0(г) , (1-4)
а из (1.3) следует взаимная обратность уравнений (1.1) и (1.2).
При Л,- = 0 или Qij = 0 предложенные граничные условия соответствуют предельно “мягкому” или предельно “жесткому” режимам нагружения, а по форме совпадают с классическими граничными условиями механики деформируемого твердого тела. В первом случае к неоднородному телу прикладываются не зависящие от его деформации усилия. Во втором — вне зависимости от сопротивления тела задаются перемещения на границе.
Обратим внимание на особенности учета граничных условий при решении краевых задач методом конечных элементов. Проведем дискретизацию тела П на N подобластей Пе С П, связанных между собой конечным числом расположенных на поверхностях Ге узловых точек. Величины, относящиеся к конечному элементу, будем обозначать верхним индексом е. Составляющие вектора свободных членов узлового ансамбля {/}, соответствующие номинально заданной распределенной на участке Г^ поверхностной нагрузке £0, представим следующим образом:
{/(е)}р = [ [^е)]Т ^°} ^Г - [ |^(е)]Т[Д]^(е)]^Г {£(е)} , (1.5)
здесь [Ж(є)] — матрица базисных функций, {$(є)} — вектор обобщенных степеней свободы конечного элемента, [Л] — симметричная матрица характеристик системы нагружения, определенная в каждой узловой точке поверхности тела. Из условий (1.3) и (1.4) следует, что выражение (1.5) может быть записано в эквивалентной форме
тТг г Г Г„ т(е)1 Т
{/(є)}р = I [Ж(е)] [Л]{и° }^Г - / [Ж(е)] [Л] [Ж(е)] ^Г {£(е)} (1.6)
і'! сг3
Г! сг5
ГЬс Ги
ГЬ с Ги
в случае необходимости учета на части Г и границы тела программно задаваемого распределения перемещений и0.
Не нарушая общности рассуждений, представим интегралы во вторых слагаемых урав-
Л(е)
, которую в дальнейшем будем
нений (1.5) и (1.6) в виде симметричной матрицы называть локальной матрицей жесткости нагружающей системы. Необходимо заметить, что размерность этой матрицы совпадает с размерностью матрицы жесткости конечного элемента [К(е)].
Сгруппируем в левой части системы уравнений метода конечных элементов слагаемые, содержащие обобщенные узловые степени свободы {и} дискретизованного тела:
К
{и} = ([К] + [К']) {и} = {/} .
(1.7)
При конгруэнтных преобразованиях
N
[К] = £ ь
-(е)
Т
К
(е)
ь
(е)
N
К'] = £ ь
(е)
Т
Л
(е)
ь(
(е)
І=1
І=1
где
ь(
(е)
матрица инцендентности, на этапе построения ансамбля уравнений сохраняет-
ся симметричность
К
(е)
и
Л(е)
. Поэтому обобщенная матрица узлового ансамбля
К
с удовлетворенными граничными условиями также симметрична относительно главной диагонали.
В случае предельно “мягкого” нагружения матрица [К;] вырождается в нулевую, а система уравнений (1.7) принимает традиционный вид. Если заданные перемещения точек
является матрицей
границы тела обеспечиваются независимо от сопротивления, то К узлового ансамбля с удовлетворенными методом подавления кинематическими граничными условиями. Очевидно, что система (1.7) однозначно разрешима, если обобщенная матрица жесткости дискретизованного тела положительно определена.
2. Структурно-феноменологическая модель деформирования и разрушения неоднородных тел
Исследование деформирования и накопления повреждений неоднородного тела будем осуществлять при помощи двухуровневой структурно-феноменологической модели. Гетерогенный материал содержит в себе множество прочно соединенных по границе раздела, не изменяющих геометрию и взаимное расположение однородных элементов структуры с различными механическими свойствами. Процесс накопления повреждений сводится к последовательному выходу из строя этих элементов. Предполагается дискретный характер разрушения, и в расчет принимаются усредненные по структурным элементам напряжения, а не коэффициенты интенсивности напряжений.
На основе предложенного подхода механическое поведение структурно-неоднородного тела с изотропными компонентами, сохраняющими тип упругой симметрии в процессе деформирования и накопления повреждений, описывается при квазистатическом нагружении краевой задачей [4]
і(г) = 0> £ч(г) = 1/2 Кі(г) + щЛг)]
(2.1)
О — шаровая часть и девиатор единичного тензора четвертого ранга. Упругие модули объемного сжатия К (г) и сдвига С(г), а также коэффициенты независимых материальных функций к и д описывают изменение деформационных свойств материала при объемо-и формоизменении соответственно, являются кусочно-постоянными быстро осциллирующими функциями координат г.
Тензорно-линейные определяющие соотношения (2.2) содержат материальные функции к и д, зависящие только от двух инвариантов тензора деформаций [5]
Полному (макроскопическому) разрушению неоднородных тел предшествует сложный процесс потери несущей способности отдельных элементов структуры. Каждый акт структурного разрушения сопровождается перераспределением напряжений, приводящим к продолжению либо прекращению разрушения при заданном уровне внешней нагрузки. Следствием указанного процесса является нелинейный характер зависимости между напряжениями и деформациями материала даже в случае линейно упругих компонентов. Построение структурно-феноменологических моделей неупругого деформирования и разрушения выдвигает в качестве основных вопросы выбора критериев прочности элементов среды, а также описания их деформационных и прочностных свойств после выполнения тех или иных условий разрушения [6]. Важное значение при этом имеет тот факт, что структурный элемент может быть разрушен по различным сценариям [7].
Пусть ^'^;т(г) — деформации, соответствующие пределу прочности при формоизменении. В зависимости от вида напряженно-деформированного состояния реализуются раз-
•(2)/ ч ^ .(2) , ч
личные повреждения от сдвига при выполнении условия ]е (г) > у£ 1;т(г): полное разрушение элемента структуры в области положительных значений первого инварианта тензора
при нарушении указанных предельных условий в форме неравенств описывается материальными функциями вида
Напряженно-деформированное состояние тела, обладающего свойствами макроскопической однородности и изотропности, характеризуется на макроуровне тензорами макронапряжений о* и макродеформаций £*, которые определяются путем усреднения по представительному объему П:
'е ) £кк , 'е ) [£г] £г] ] , £ гу £г] 1/3£кк
(2.3)
или напряжений
№ = 1/3Окк, 'Й2 = [Ог]О]]1/2, О] = О] - 1/3Окк^ •
(2.4)
деформаций '£1) (г) > 0 и сохранение способности сопротивляться только гидростатическому сжатию в случае 'е1)(г) < 0. Скачкообразное изменение деформационных постоянных
(2.5)
В дальнейшем все величины, относящиеся к уровню представительного объема среды — макроуровню, будем помечать звездочкой.
Сопротивление структурно-неоднородного тела деформированию определяет связь макронапряжений и макродеформаций:
* __ /Г* Гл* г-* 1
Ог] Тг] [ак1, £Ы] ,
где Тг* — симметричный оператор, а*ы — материальные функции. Для установления этой связи необходимо решение сформулированной краевой задачи для представительного объема среды при граничных условиях
[% П (г) + (и.г)и. (г)]
= 30(г)
Гв
(2.6)
или
[е. т.(г) + Qij (5 ,г). (гН(г)]
= и0(г)-
(2.7)
Г и
Вид функций б'0 (г) и и0(г), обеспечивающих реализацию макронапряжений о] = З] или макродеформаций £*] = ег], должен быть задан, но может быть заранее не известен. В этом случае необходима организация специальных итерационных процедур корректировки £0(г) и и0(г). Определив из решения краевой задачи в п-м приближении усилия £г(п)(г) = о^УК (г) и перемещения и(п)(г) граничных точек области П при заданных значениях
5°(га)(г) или ''(г), можно вычислить характеристики жесткости Н](г) и податливости
Р’(™)(г) деформируемой системы, связывающие между собой усилия и перемещения любой точки на границе тела:
0(п)
(«)/
^(г) = Д.(г)и.га) (г), и(п)(г) = ^(г.г), Я^ИР^г) = 8..
В общем случае, указанная операция нахождения Нг(?га)(г) и Р]™'1 (г) связана с рассмотрением последовательности краевых задач при различных £0(п)(г) и и0(п)(г). Очередное приближение вычисляется при значениях
5(п)/
50(га+1)(г) = 8^ + К.(и,г)Р)к;(г) (г)
(п)/
и
0(п+1) .
(г)= & + Q,j (зд.м
Итерационная процедура по б'0 или и0 продолжается до тех пор, пока во всех граничных точках области не будут выполняться условия
тах
сг0(п+1) с,0(га)
< 8 или
тах
и
0(п+1) 0(п)
-и
< 8.
В результате последовательных приближений определяются функции £°(г) и и0(г), обеспечивающие с допустимой погрешностью 8 в объеме П заданное макрооднородное напряженное или деформированное состояние.
3. Микро- и макроразрушение при различной жесткости системы нагружения
В качестве иллюстрации рассмотрим результаты решения краевой задачи (2.1), (2.2) с граничными условиями (2.6) для представительного объема модельного зернистого композита, заполняющего кубическую область и содержащего 6000 тетраэдральных упругохрупких элементов структуры. Случайные прочностные постоянные іЄит(г) описываются распределением Вейбулла
Р (йт(г)) = 1 - ЄХР
^Ит (г) - ^0)(г)
^ 0єИт(г)) [С2 — Сі] ' , Іє0)(г) = 0'Є'ііт(г)) 1 — С1^ (С2 — С*0)
-у2П —1/2
(0)
(0) є 1
■у2^ —1/2
С = Г(1 + 1/Ь), С2 = Г(1 + 2/Ь)
(2)
с параметрами (' 1;;т (г)) = 200 МПа, ку = 0,3, Ь = 3, а деформационные характеристики
Е(г) = 105 МПа, V(г) = 0,25 структурных элементов предполагаются детерминирован-(2)
ными. Здесь ('*£ 1)т(г)) — среднее значение, ку — коэффициент вариации, Г(г) — гамма-функция.
Моделирование процессов деформирования и накопления повреждений проводится путем пропорционального изменения значений компонент тензора макронапряжений. На каждом шаге проверяются условия прочности. В случае невыполнения последних корректируются деформационные постоянные элементов структуры в соответствии с соотношениями (2.2) и (2.5). В результате решения последовательности линейных краевых задач построены диаграммы деформирования зернистого композита вплоть до момента полной потери несущей способности.
Под макроскопическим разрушением структурно-неоднородного тела будем понимать отсутствие в математическом смысле решения краевой задачи — невозможность сопротивления тела приложенной системе внешних нагрузок. Это прежде всего связано с нарушением положительной определенности обобщенной матрицы узлового ансамбля, свидетельствующем о физической неустойчивости материала при заданном сочетании нагрузки, прочностных и деформационных свойств.
На рис. 1, а представлены расчетные диаграммы о33 ~ £33 одноосного деформирования зернистого композита (о33 > 0, е11 = £22 = 0). Соответствующие кривые Р ~ е33 накопления повреждений, вычисляемых как объемная доля не сопротивляющихся формоизменению элементов структуры, показаны на рис. 1, б. В точках максимума Аг диаграмм деформирования поврежденность неоднородного тела составляет 8,1 %. Предельные, соответствующие макроразрушению материала состояния отмечены на рис. 1, а точками Вг. Система нагружения принимается абсолютно “жесткой” в направлениях 1, 2 и имеющей конечную жесткость в направлении 3. Для математической простоты и наглядности предполагается равномерность распределения коэффициентов жесткости нагружающей системы по всем узловым точкам поверхности дискретизованного тела. В этом случае локальная матрица \Я(е) содержит ненулевые элементы только на главной диагонали.
В режиме пропорционального “мягкого” нагружения (имеется в виду относительно малая жесткость нагружающей системы в сопоставлении с жесткостью исследуемого мате-
ь
а
а
О 7,7 15,4 £зз, 10'4 103
Рис. 1. Диаграммы одноосного деформирования (ст|з > 0, = є2і = 0) зернистого композита
(а) и кривые накопления повреждений (б), полученные на системах нагружения с различной жесткостью.
риала) достижение максимальной несущей способности приводит к неравновесному развитию повреждений и последующему макроразрушению зернистого композита. Например, диаграмма деформирования, построенная при численном моделировании испытания на системе нагружения с жесткостью К = 103 Н/м обрывается в наивысшей точке А4 при напряжении о33 = 200 МПа и деформации е33 = 1,8 ■ 10-3. Это прежде всего связано с резкой локализацией разрушения, накоплением упругой энергии деформирования нагружающей системой и ее последующим преобразованием в кинетическую энергию при макроразрушении неоднородного тела.
На участке упрочнения, соответствующем упругому деформированию неповрежденного материала и начальному этапу структурного разрушения, величина коэффициентов жесткости, входящих в граничные условия (2.6), практически не оказывает влияния на механическое поведение неоднородного тела. При достаточной жесткости нагружающей системы, начиная с некоторого критического уровня деформаций, наблюдается разупрочнение композита (появление ниспадающей ветви на диаграмме деформирования). В результате проведенного вычислительного эксперимента при К = 104 Н/м удалось зарегистрировать равновесные состояния материала на участке А3В3. Лавинообразное накопление повреждений и макроразрушение композита произошло лишь при напряжении о33 = 175 МПа, величина которого на 12,5% меньше предела прочности, предельной деформации е33 = 2,1 ■ 10-3 и степени повреждения — 17,0%. Возможность регистрации равновесных состояний разупрочняющегося материала доказана в работах [3, 8] на основе теорем Адамара и Ван Хофа, дающих локальные необходимые и достаточные условия устойчивости.
Система нагружения с жесткостью К = 105 Н/мв большей степени стабилизирует процесс накопления повреждений, продолжающийся в равновесном режиме до деформаций 2,6 ■ 10-3 и доли повреждений 39,8 %. Диаграмма, построенная при К = 106 Н/м, не отличается от кривой, регистрируемой в режиме абсолютно “жесткого” нагружения. Макроскопическое разрушение ослабленного повреждениями композита происходит при практически нулевых напряжениях о33. Величина предельной деформации составляет 2,7 ■ 10-3, а степень поврежденности среды в момент потери несущей способности — 40,8%.
Таким образом, использование граничных условий третьего рода при математическом моделировании процессов деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел позволяет обнаружить известный ранее из опытов на стальных образцах [9-11] эффект зависимости предельных деформаций от жесткости системы нагружения.
Список литературы
[1] ФРИДМАН Я. Б. Оценка опасности разрушения машиностроительных материалов. В “Теор. основы конструирования машин”. Машгиз, М., 1957, 257-281.
[2] Волков С. Д. Проблема прочности и механика разрушения. Пробл. прочности, №7, 1978, 3-10.
[3] РЫЖАК Е. И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформи-
рования при испытании в жесткой трехосной машине. Изв. АН СССР. МТТ, №1, 1991,
111-127.
[4] Вильдеман В. Э., Соколкин Ю. В., Ташкинов А. А. Краевая задача механики деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения. ПМТФ, №6, 1995, 122-132.
[5] Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. Изд-во Моск. ун-та, М., 1984.
[6] Вильдеман В. Э. О построении определяющих соотношений структурно-феноменологической механики композитов. В “Механика микронеоднородных сред”. Свердловск, 1988, 77-80.
[7] Кошур В. Д., НЕмировский Ю. В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Наука, Новосибирск, 1990.
[8] Рыжак Е. И. Об устойчивом закритическом деформировании в нежесткой трехосной испытательной машине. Докл. АН, 330, №2, 1993, 197-199.
[9] САвицкий Ф. С., Вандышев Б. А. Жесткость испытательных машин и ее влияние на спадающий участок диаграммы растяжения и изгиба. Заводская лаборатория, 22, №6, 1956, 717-721.
[10] ЗиловА Т.К., Петрухина Н. И., Фридман Я. Б. О закономерностях кинетики деформации в зависимости от податливости нагружения. Докл. АН СССР, 124, №6, 1959, 1236-1239.
[11] Лебедев А. А., Ламашевский В. П., Алфимов П. Т. Исследование влияния жесткости испытательных машин на закономерности деформирования и разрушения структурно неоднородных материалов. Пробл. прочности, №7, 1982, 64-67.
Поступила в редакцию 11 августа 1996 г.
