CC BY
8PHILOSOPHICAL SCIENCES
ON THE NUMBER OF PERFECT FRAGMENTS OF THE SIX JUDGMENTS IN THE TRADITIONAL
INTEGRATED QUSI-UNIVERSAL SYLLOGISTIC
Sidorenko O.
Candidate ofphysical and mathematical sciences, Chief designer,
Society with Limited Liability Scientific-production enterprise «Anfas» Russia, Saratov
О ЧИСЛЕ СОВЕРШЕННЫХ ФРАГМЕНТОВ ИЗ ШЕСТИ СУЖДЕНИЙ В ТРАДИЦИОННОЙ ИНТЕГРИРОВАННОЙ КВАЗИУНИВЕРСАЛЬНОЙ СИЛЛОГИСТИКЕ
Сидоренко О.И.
Кандидат физико-математических наук,Главный конструктор, Общество с ограниченной ответственностью Научно-производственное предприятие «Анфас»
Россия, г. Саратов
Abstract
All perfect fragments from six judgments in the traditional integrated qusi-universal syllogistics from 50 basic judgments with different semantics were found and all the correct strong modes were found in them by the method of calculating of the resulting relations proposed by the author earlier.
Аннотация
Найдены все совершенные фрагменты из шести суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике из 50 базисных суждений с различной семантикой и выявлены в них все правильные сильные модусы методом вычисления результирующих отношений, предложенным автором ранее.
Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.
Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.
Введение. Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных терминах [1]. В современной же силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с гораздо большим разнообразием правильных модусов из них [2]. Кроме того, в настоящее время разработан чрезвычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только доказать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [3-6]. Указанный метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [7] без привлечения
логики предикатов и назван автором методом вычисления результирующих отношений [8].
Суть метода вычисления результирующих отношений. Согласно тезису Альфреда Тарского [9] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [10] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [11]). Семантика указанных отношений представлена в таблице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.
Таблица 1
Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений
S 0 0 1 1 Наименование отноше- Логическая формула отно-
P 0 1 0 1 ния шения
6 0 1 1 0 Противоречивость Б'Р+БР'
и 7 0 1 1 1 Дополнительность Б+Р
в 9 1 0 0 1 Равнообъемность Б'Р'+БР
и н о 11 1 0 1 1 Обратное включение Б+Р'
а (D 13 1 1 0 1 Прямое включение Б'+Р
S о к 14 1 1 1 0 Соподчинение Б'+Р'
15 1 1 1 1 Пересечение Б'Р'+Б'Р+БР'+БР = 1
В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» -дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [12] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.
Таблица 2
Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках_
№ Посылки Заключение № Посылки Заключение
SM, MP SP SM, MP SP
1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15
2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15
3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15
4 6, 11 14 29 13, 6 14
5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15
6 6, 14 11 31 13, 9 13
7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15
8 7, 6 11 33 13, 13 13
9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14
10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15
11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13
12 7, 13 7 37 14, 7 13
13 7, 14 11 38 14, 9 14
14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14
15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15
16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15
17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15
18 9, 11 11 43 15, 6 15
19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15
20 9, 14 14 45 15, 9 15
21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15
22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15
23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15
24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13, 14,15
25 11, 11 11
Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [13]. В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями
истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.
Алгоритм вычисления результирующих отношений. Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегрированной силлогистики, то есть выявления всех двух-посылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:
1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины S и M, а во второй - M и P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.
2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [14].
3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.
4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).
5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.
6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.
7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма осуществляют взаимные замены отношений 11 ^ 13 в логической структуре посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)'^(OI*)\ A'II'^AA'I,
AA'I'^AII', ^'II')'I)', (AA'I')'^(AII')', П'^>7Г (П')'^(П)' (для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.
Свойства силлогистических систем. При построении различных силлогистик методом вычисления результирующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства содержательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогистической полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (обратного включения между терминами), и наоборот. Указанное свойство позволяет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для первой фигуры силлогизма [15]. Свойство силлогистической плотности заключается в том, что в силлогистике не являются правильными только те модусы, которые порождают все 7 отношений, при этом для случаев наличия правильных модусов результирующие отношения полностью совпадают с логической структурой одного из суждений базисного множества. Свойство однозначности результатов заключается в том, что сильным правильным заключением модуса при его наличии является единственное суждение из базисного множества суждений данной силлогистики. Это свойство вытекает из свойства силлогистической плотности, но обратное не верно. Силлогистики, обладающие одновременно всеми четырьмя свойствами названы в работе [5] совершенными. Возникает естественный вопрос о числе совершенных силлогистик, содержащихся если не в универсальной протологике с предельно возможным числом суждений (128), то хотя бы в интегрированной квазиуниверсальной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений, имеющих относительно простое выражение их смысла на естественном языке. Однако решение данной задачи связано с перебором огромного количества вариантов и громоздкими вычислениями.
Цель публикации. В данной статье поставлена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из шести суждений, содержащихся в интегрированной совершенной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений, представленнымв таблице 3 [5].
Полученные в статье результаты публикуются впервые.
Таблица 3
Базисное множество суждений традиционной совершенной интегрированной силлогистики из 50 суждений
Обозначение Логическая структура суждения
№ логической формы Логические формы суждения (одни из возможных)
суждения
1 AA' 6 Все Б суть все не Р
2 A'I 7 Все не Б суть (не суть) только некоторые Р
3 AA 9 Все Б суть все Р
4 IA 11 Только некоторые Б суть (не суть) все Р
5 AI 13 Все Б суть (не суть) только некоторые Р
6 AI' 14 Все Б суть (не суть) только некоторые не Р
7 II'I 15 Только некоторые Б и не Б суть (не суть) только некоторые Р
8 A 9, 13 Всякие Б суть Р
9 A* 9, 11 Всякие не Б суть не Р
10 E 6, 14 Всякие Б не суть Р
11 E* 6, 7 Всякие не Б не суть не Р
12 AAA' 6, 9 Все Б суть все Р или не Р
13 A'II' 7, 11 Все не 8 суть (не суть) только некоторые Р или не Р
14 AA'I 7, 13 Все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р
15 AA'I' 11, 14 Все Б или не Б суть (не суть) только некоторые не Р
16 AII' 13, 14 Все 8 суть (не суть) только некоторые Р или не Р
17 II 7, 15 Только некоторые Б суть (не суть) только некоторые Р
18 II' 11, 15 Только некоторые Б суть (не суть) только некоторые не Р
19 I'I 13, 15 Только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые Р
20 I'I' 14, 15 Только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые не Р
21 IO 7, 11, 15 Только некоторые Б суть (не суть) Р
22 IO* 13, 14, 15 Только некоторые не Б суть (не суть) Р
23 OI 7, 13, 15 Только некоторые Р суть (не суть) Б
24 OI* 11, 14, 15 Только некоторые не Р суть (не суть) Б
25 (AA 'II')' 6, 9, 15 Неверно, что все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
26 (IO)' 6,9,13,14 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) Р
27 (IO*)' 6,7,9,11 Неверно, что только некоторые не Б суть (не суть) Р
28 (OI)' 6,9,11,14 Неверно, что только некоторые Р суть (не суть) Б
29 (OI*)' 6,7,9,13 Неверно, что только некоторые не Р суть (не суть) Б
30 AA'II' 7, 11, 13, 14 Все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
31 I=E' 7,9,11,13,15 Неверно, что всякие Б не суть Р (Некоторые или всякие Б суть Р)
32 I*=(E*)' 9,11,13,14,15 Неверно, что всякие не Б не суть не Р (Некоторые или всякие не Б суть не Р)
33 O=A' 6,7,11,14,15 Неверно, что всякие Б суть Р (Некоторые или всякие Б суть не Р)
34 O*=(A*)' 6,7,13,14,15 Неверно, что всякие не Б суть не Р (Некоторые или всякие не Б суть Р)
35 (AAA')' 7,11,13,14,15 Неверно, что все Б суть все Р или не Р
36 (A'II')' 6,9,13,14,15 Неверно, что все не Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
37 (AA'I)' 6,9,11,14,15 Неверно, что все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р
38 (AA'I')' 6,7,9,13,15 Неверно, что все Б или не Б суть (не суть) только некоторые не Р
39 (AII')' 6,7,9,11,15 Неверно, что все Б суть ( не суть) только некоторые Р или не Р
40 (II)' 6,9,11,13,14 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) только некоторые Р
41 (II')' 6,7,9,13,14 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) только некоторые не Р
42 (I'I)' 6,7,9,11,14 Неверно, что только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые Р
43 (I'I')' 6,7,9,11,13 Неверно, что только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые не Р
44 (AA)' 6,7,11,13,14,15 Неверно, что все Б суть все Р
45 (AI)' 6,7,9,11,14,15 Неверно, что все Б суть (не суть) только некоторые Р
46 (IA)' 6,7,9,13,14,15 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) все Р
№ Обозначение логической формы суждения Логическая структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
47 (AA')' 7,9,11,13,14,15 Неверно, что все суть все не Р
48 ту 6,9,11,13,14,15 Неверно, что все не 5 суть (не суть) только некоторые Р
49 т' 6,7,9,11,13,15 Неверно, что все 5 суть (не суть) только некоторые не Р
50 (ту 6,7,9,11,13, 14 Неверно, что только некоторые 5 и не 5 суть (не суть) только некоторые Р
Ограничение перебора вариантов. Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фрагментов из 6 суждений требуется проанализировать около 16x10 6 случаев (число сочетаний из 50 по 6). Стоит попытаться ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлогистики из 50 суждений, 11 из
Таблица 4
Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегрированной силлогистике из
50 суждений
которых являются силлогистически полными. Для построения всех совершенных фрагментов из 6 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те тройки содержательно полных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты (их число равно 242), и лишь для этих последних производить вычисления с целью выявления правильных модусов и фактов соблюдения остальных двух свойств. В таблице 5 представлены все 242 случая.
№ Логические структуры суждений Силлогистическая полнота № Логические структуры суждений Силлогистическая полнота
1 AA'(6), Есть 14 ^1(7,13), (AA'I)'(6,9,11,14,15) Нет
2 A 4(7), (^'(б^ЛШ^^) Есть 15 AA'I'(11,14), (AЛ'I')'(6,7,9,13,15) Нет
3 ЛЛ^), ^'(6,7,11,13,14,15) Есть 16 AII'(13,14), (AII')'(6,7,9,11,15) Нет
4 Щ11), (МУб 7,9,13,14,15) Нет 17 П(7,15), (П)'(6,9,11,13,14) Есть
5 AI(13), ^^'(6,7,9,11,14,15) Нет 18 П'(11,15), (II') '(6,7,9,13,14) Нет
6 AI'(14), ^'УбМШЗ,^) Есть 19 П(13,15), (И)'(6,7,9,11,14) Нет
7 ПЧ(15), (Ш)'(6,7,9,11,13,14) Есть 20 П'(14,15), (ГГ) '(6,7,9,11,13) Есть
8 A(9,13), A'(6,7,11,14,15) Нет 21 Ю(7,11,15), (Ю)'(6,9,13,14) Нет
9 A*(9,11), ^ *) '(6,7,13,14,15) Нет 22 Ю*(13,14,15), (Ю*) '6,7,9,11) Нет
10 Е(6,14), Е'(7,9,11,13,15) Есть 23 ОЦ7,13,15), (о^'^^л^му Нет
11 Е*(6,7), (Е*) '(9,11,13,14,15) Есть 24 О^ЦМ,^), (О^)'^, 7,9,13) Нет
12 AAA'(6,9), (AAA')'(7,11,13,14,1) Есть 25 (AЛ'II')'(6,9,15), AA'II'(7,11,13,14) Есть
13 ^ 'II') '(6,9,13,14,15) Нет
Таблица 5.
Силлогистически полные тройки содержательно полных пар суждений традиционной совершенной инте_грированной силлогистики из 50 суждений_
№ Номера троек суждений из табл. 4 № Номера троек суждений из табл. 4 № Номера троек суждений из табл. 4 № Номера троек суждений из табл. 4 № Номера троек суждений из табл. 4
1 1,2,3 55 2,6,10 109 3,20,25 163 10,12,25 217 12,18,19
2 1,2,6 56 2,6,11 110 1,4,5 164 10,17,20 218 17,18,19
3 1,2,7 57 2,6,12 111 2,4,5 165 10,17,25 219 18,19,20
4 1,2,10 58 2,6,17 112 3,4,5 166 10,20,25 220 18,19,25
5 1,2,11 59 2,6,20 113 4,5,6 167 11,12,17 221 1,21,23
6 1,2,12 60 2,6,25 114 4,5,7 168 11,12,20 222 2,21,23
7 1,2,17 61 2,7,10 115 4,5,10 169 11,12,25 223 3,21,23
8 1,2,20 62 2,7,11 116 4,5,11 170 11,17,20 224 6,21,23
9 1,2,25 63 2,7,12 117 4,5,12 171 11,17,25 225 7,21,23
10 1,3,6 64 2,7,17 118 4,5,17 172 11,20,25 226 10,21,23
11 1,3,7 65 2,7,20 119 4,5,20 173 12,17,20 227 11,21,23
12 1,3,10 66 2,7,25 120 4,5,25 174 12,17,25 228 12,21,23
13 1,3,11 67 2,10,11 121 6,7,10 175 12,20,25 229 17,21,23
14 1,3,12 68 2,10,12 122 6,7,11 176 17,20,25 230 20,21,23
15 1,3,17 69 2,10,17 123 6,7,12 177 1,8,9 231 21,23,25
16 1,3,20 70 2,10,20 124 6,7,17 178 2,8,9 232 1,22,24
17 1,3,25 71 2,10,25 125 6,7,20 179 3,8,9 233 2,22,24
18 1,6,7 72 2,11,12 126 6,7,25 180 6,8,9 234 3,22,24
19 1,6,10 73 2,11,17 127 6,10,11 181 7,8,9 235 6,22,24
20 1,6,11 74 2,11,20 128 6,10,12 182 8,9,10 236 7,22,24
21 1,6,12 75 2,11,25 129 6,10,17 183 8,9,11 237 10,22,24
22 1,6,17 76 2,12,17 130 6,10,20 184 8,9,12 238 11,22,24
23 1,6,20 77 2,12,20 131 6,10,25 185 8,9,17 239 12,22,24
24 1,6,25 78 2,12,25 132 6,11,12 186 8,9,20 240 17,22,24
25 1,7,10 79 2,17,20 133 6,11,17 187 8,9,25 241 20,22,24
26 1,7,11 80 2,17,25 134 6,11,20 188 1,13,14 242 22,24,25
27 1,7,12 81 2,20,25 135 6,11,25 189 2,13,14
28 1,7,17 82 3,6,7 136 6,12,17 190 3,13,14
29 1,7,20 83 3,6,10 137 6,12,20 191 6,13,14
30 1,7,25 84 3,6,11 138 6,12,25 192 7,13,14
31 1,10,11 85 3,6,12 139 6,17,20 193 10,13,14
32 1,10,12 86 3,6,17 140 6,17,25 194 11,13,14
33 1,10,17 87 3,6,20 141 6,20,25 195 12,13,14
34 1,10,20 88 3,6,25 142 7,10,11 196 13,14,17
35 1,10,25 89 3,7,10 143 7,10,12 197 13,14,20
36 1,11,12 90 3,7,11 144 7,10,17 198 13,14,25
37 1,11,17 91 3,7,12 145 7,10,20 199 1,15,16
38 1,11,20 92 3,7,17 146 7,10,25 200 2,15,16
39 1,11,25 93 3,7,20 147 7,11,12 201 3,15,16
40 1,12,17 94 3,7,25 148 7,11,17 202 6,15,16
41 1,12,20 95 3,10,11 149 7,11,20 203 7,15,16
42 1,12,25 96 3,10,12 150 7,11,25 204 15,16,10
43 1,17,20 97 3,10,17 151 7,12,17 205 15,16,11
44 1,17,25 98 3,10,20 152 7,12,20 206 15,16,12
45 1,20,25 99 3,10,25 153 7,12,25 207 15,16,17
46 2,3,6 100 3,11,12 154 7,17,20 208 15,16,20
47 2,3,7 101 3,11,17 155 7,17,25 209 15,16,25
48 2,3,10 102 3,11,20 156 7,20,25 210 1,18,19
49 2,3,11 103 3,11,25 157 10,11,12 211 2,18,19
50 2,3,12 104 3,12,17 158 10,11,17 212 3,18,19
51 2,3,17 105 3,12,20 159 10,11,20 213 6,18,19
52 2,3,20 106 3,12,25 160 10,11,25 214 7,18,19
53 2,3,25 107 3,17,20 161 10,12,17 215 10,18,19
54 2,6,7 108 3,17,25 162 10,12,20 216 11,18,19
Примеры вычислений ( для первой фигуры силлогизма). Фрагмент силлогистики №1: 1,2,3 (см. таблицу 5).
AA '(6), A 4(7), AA (9), (AA') '(7,9,11,13,15), (A 'I) '(6,9,11,13,14,15), (AA) '(6,7,11,13,14,15). AA'(6), A'I(7) ^ 6,7 ^ 13;
P.O.: 13- таких суждений в базисном множестве суждений данного фрагмента силлогистики нет, следовательно, силлогистика из 6 суждений, соответствующая фрагменту №1, не является совершенной. Фрагмент силлогистики №14: 1,3,12 (см. таблицу 5).
AA'(6), AA(9), AAA'(6,9), (AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15),
(AAA')'(7,11,13,14,15).
AA '(6), AA '(6,) ^ AA (9);
6,6 ^ 9;
P.O.:9.
AA '(6), AA(9) ^ AA '(6);
6,9 ^ 6; P.O.: 6.
AA' (6), AAA' (6,9) ^ AAA '(6,9);
6.6 ^ 9; 6,9 ^ 6; P.O.: 6, 9.
AA'(6), (AA')'(7,9,11,13,14,15) ^ (AA)'(6,7,11,13,14,15);
6.7 ^ 13; 6,9 ^ 6; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.
AA'(6), (AA)'(6,7,11,13,14,15) ^ (AA')'(7,9,11,13,14,15);
6.6 ^ 9; 6,7 ^ 13; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.
AA'(6), (AAA')'(7,11,13,14,15) ^ (AAA')'(7,11,13,14,15);
6.7 ^ 13; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^11; 6,15 ^ 15; P.O.:7,11,13,14,15.
AA (9), AA' (6) ^ AA' (6); 9,6 ^ 6; P.O.: 6.
AA (9), AA (9) ^ AA (9);
9,9 ^ 9; P.O.: 9.
AA(9), AAA '(6,9) ^ AAA '(6,9);
9.6 ^ 6; 9,9 ^ 9; P.O.: 6,9.
AA(9), (AA')'(7,9,11,13,14,15) ^ (AA')'(7,9,11,13,14,15);
9.7 ^ 7; 9,9 ^ 9; 9,11 ^ 11; 9,13 ^ 13; 9,14 ^ 14; 9,15 ^ 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.
AA(9), (AA)'(6,7,11,13,14,15) ^ (AA)'(6,7,11,13,14,15);
9.6 ^ 6; 9,7 ^ 7; 9,11 ^ 11; 9,13 ^ 13; 9,14 ^ 14; 9,15 ^ 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.
AA(9), (AAA')'(7,11,13,14,15) ^ (AAA')'(7,11,13,14,15);
9.7 ^ 7; 9,11 ^ 11; 9,13 ^ 13; 9,14 ^ 14; 9,15 ^ 15; P.O.: 7,11,13,14,15.
AAA' (6,9), AA '(6) ^ AAA '(6,9);
6,6 ^ 9; 9,6 ^ 6; P.O.: 6,9.
AAA' (6,9) AA (9) ^ AAA '(6,9);
6,9 ^ 6; 9,9 ^ 9; P.O.: 6,9.
AAA' (6,9), AAA '(6, 9) ^ AAA '(6,9);
6.6 ^ 9; 6,9 ^ 6; 9,6 ^ 6; 9,9 ^ 9; P.O.: 6,9.
AAA' (6,9), (AA ) '(7,9,11,13,14,15) ^
6.7 ^ 13; 6,9 ^ 6; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15; 9,7 ^ 7; 9,9 ^ 9; 9,11 ^ 11; 9,13 ^ 13; 9,14 ^ 14; 9,15 ^ 15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
AAA'(6,9), (AA)'(6,7,11,13,14,15) ^
6,6 ^ 9; 6,7 ^ 13; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^11; 6,15 ^ 15;
9.6 ^ 6; 9,7 ^ 7; 9,11 ^ 11; 9,13 ^ 13; 9,14 ^ 14; 9,15 ^ 15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
AAA'(6,9), (AAA')'(7,11,13,14,15) ^ (AAA')'(7,11,13,14,15);
6.7 ^ 13; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15; 9,7 ^ 7; 9,11 ^ 11; 9,13 ^ 13; 9,14 ^ 14; 9,15 ^ 15; P.O.: 7,11,13,14,15.
(AA') '(7,9,11,13,14,15), AA '(6) ^ (AA) '(6,7,11,13,14,15);
7,6 ^ 11; 9,6 ^ 6; 11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.
(AA')'(7,9,11,13,14,15), AA (9) ^ (AA')'(7,9,11,13,14,15);
7,9 ^ 7; 9,9 ^9; 11,9 ^ 11; 13,9 ^ 13; 14,9 ^ 14; 15,9 ^ 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.
(AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA)'(7,9,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P. O. :,6,7,9,11,13,14,15;
(AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
(AA')'(7,9,11,13,14,15), (AAA')'(7,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
(AA)'(6,7,11,13,14,15), AA'(6) ^ (AA')'(7,9,11,13,14,15)
6,6 ^ 9; 7,6 ^ 11; 11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.
(AA)'(6,7,11,13,14,15), AA(9) ^ (AA)'(6,7,11,13,14,15);
6,9 ^ 6; 7,9 ^ 7; 11,9 ^ 11; 13,9 ^ 13; 14,9 ^ 14; 15,9 ^ 15;
P.O.: 6,7,11,13,14,15.
(AA) '(6,7,11,13,14,15), AAA '(9) ^ —;
6,6 ^ 9; 7,6 ^ 11; 11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; 6,9 ^ 6; 7,9 ^ 7; 11,9 ^ 11;13,9^ 13; 14,9 ^ 14; 15,9 ^ 15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
(AA)'(6,7,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
(AA)'(6,7,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
(AA)'(6,7,11,13,14,15), (AAA')' (7,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
(AAA')'(7,11,13,14,15), AA'(6) ^ (AAA')'(7,11,13,14,15);
7,6 ^ 11; 11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; P.O.: 7,11,13,14,15.
(AAA')'(7,11,13,14,15), AA(9) ^ (AAA')'(7,11,13,14,15);
7,9 ^ 7; 11,9 ^ 11; 13,9 ^ 13; 14,9 ^ 14; 15,9 ^ 15; P. O.:7,11,13,14,15.
(AAA')'(7,11,13,14,15), AAA'(6,9) ^ (AAA')'(7,11,13,14,15);
7,6 ^ 11; 11,6 ^7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; 7,9 ^ 7; 11,9 ^ 11; 13,9 ^ 13; 14,9 ^ 14; 15,9 ^ 15; P.O.: 7,11,13,14,15.
(AAA')'(7,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
(AAA)'(7,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
(AAA)'(7,11,13,14,15), (AAA')'(7,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
Выводы: силлогистика из 6 суждений, соответствующая фрагменту №14, является совершенной, поскольку обладает свойствами содержательной и
силлогистической полноты по построению и свойствами силлогистической плотности и однозначности по результатам построения.
Результаты вычислений по выявлению пра- из 50 суждений сведены в таблицу 6. Правильные вильных сильных модусов совершенных фрагмен- модусы представлены в общепринятой форме. тов в традиционной интегрированной силлогистике
Таблица 6
Правильные сильные модусы совершенных фрагментов из 6 суждений в традиционной интегрированной
силлогистике из 50 суждений
Номер тройки из табл. 5 Логические формы базисных суждений совершенного фрагмента силлогистики Правильные модусы совершенного фрагмента силлогистики Общее число правильных модусов
14 (1,3,2) AЛ'(6), AЛ(9), ЛЛЛ'(6,9), (AA')'(7,9,11,13,14,15), (М)'(6,7,11,13,14,15у), (AЛЛ')'(7,11,13,14,15) AA',AA',AA; AA,AA',AA'; AAA',AA',AAA'; (AA')',AA',(AA)'; (AA)',AA',(AA')'; (AAA') ',AA', (AAA')'; AA ',AA,AA'; AA,AA,AA; AAA',AA,AAA'; (AA')',AA, (AA')'; (AA) ',AA, (AA)'; (AAA ) 'AA, (AAA')'; AA',AAA',AAA'; M,AM'AM'; AAA',AAA',AAA'; (AAA')',AAA',(AAA')'; AA',(AA')',(AA)'; AA,(AA')',(AA')'; AA',(AA)',(AA')'; AA,(AA)',(AA)'; AA',(AAA')',(AAA')'; AA,(AAA')',(AAA')'; AAA',(AAA')',(AAA')' 23x4=92
91 (3,7,12) М(9), Ш(15), AЛЛ'(6,9), (М)'(6,7,11,13,14,15), (ПЧ)'(6,7,9,11,13,14), (AЛA')'(7,11,13,14,15) AAA 'JI'IJI'I; AA,AA,AA; II'I,AA,II'I; AAA'JA,AM'; (AA)',AA,(AA)'; II'I,AA,(II'I)'; (AAA') ',AA,(AAA )'; AA,II'I,II'I; (II'I) ',II'I,(AAA )'; AA,AAA ',AAA'; II'IAM ',II'I; AAA ',AAA ',AAA'; (II'I) ',AAA ',(II'I)'; (AAA') 'AAA ',(AAA')'; AA,(AA)', (AA)'; AA,(II'I)', (II'I)'; II'I,(II'I) '(AAA')'; AAA '(II'I)', (II'I)'; AA ,(AAA')', (AAA')'; AAA ',(AAA')', (AAA')' 20x4=80
106 (3,12,25) М(9), AЛЛ'(6,9), (МП) '(6,9,15), (М)'(6,7,11,13,14,15) (AЛA')'(7,11,13,14,15), МЩ7,11,13,14) AA,AA,AA; AAA',AA,AAA'; (AA'II')'AA,(AA'II')'; (AA)'AA,(AA)' (AAA') 'AA, (AAA')'; AA 'II',AA,AA 'II'; AA,AAA',AAA'; AAA',AAA',AAA'; (AA 'II') 'AM', (AA 'II')'; (AAA ) 'AAA', (AAA')'; AA'II',AAA 'AA'II'; AA,(AA'II') ',(AA'II')'; AAA', (AA 'II')', (AA 'II')'; AA 'II', (AA 'II')', (AAA')'; AA,(AA)',(AA)'; AA, (AAA')', (AAA')'; AAA', (AAA )', (AAA')'; AA,AA 'II',AA 'II'; AAA',AA'II',AA'II'; (AA'II')',AA'II',(AAA')' 20x4=80
107 (3,17,20) М(9), Щ7,15), П'(14,15), (М)'(6,7,11,13,14,15), (П)'(6,9,11,13,14), (П) '(6,7,9,11,13) AA,AA,AA; II,AA,II; I'I',AA,I'I'; (AA)'AA,(AA)'; (II) ',AA, (II)'; (IT) ',AA, (IT)'; AA,II,II; (II) ',II, (AA)'; AA,I'I',I'I'; (IT) ',I'I', (AA)'; AA, (AA)',(AA)'; AA, (II)', (II)'; II, (II)', (AA)'; AA, (IT)', (IT)'; IT, (IT) ',(AA)' 15x4=60
212 (3,18,19) П'(11,15), П(13,15), М(9), (II') '(6,7,9,13,14), (П)'(6,7,9,11,14), (М)'(6,7,11,13,14,15) AA,II'II';(I'I)',II',(AA)'; AA,I'I,I'I; (II')',I'I,(AA)'; II',AA,II'; I'I,AA,I'I; AA,AA,AA; (II') 'AA, (II')'; (I'I)'AA,(I'I)'; (AA)',AA,(AA)'; I'I,(II')',(AA)'; AA, (II')', (II')'; II', (I'I)', (AA)'; AA, (I'I)', (I'I)'; AA,(AA)',(AA)' 15x4=60
Заключение. Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная интегрированная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений содержит всего 5 совершенных силлогистических фрагментов из 6 суждений, среди которых
нет ни одного суждения Аристотеля. Однако большим преимуществом суждений Аристотеля является то, что они более широко используются в естественном языке и человеческой практике и покрывают по степени неопределенности суждений
несколько другую область дедуктивных выводов, чем более определенные атомарные суждения Дж. Венна. Поэтому развитие логики, по мнению автора, должно состоять в расширении несовершенной традиционной силлогистики Аристотеля до более мощной совершенной системы, включающей в себя все его суждения, например, до совершенной негативной силлогистики из 8 суждений А. де Моргана, включающей в себя все суждения Аристотеля и позволяющей работать с отрицательными терминами [3], или до ещё более мощной совершенной интегрированной силлогистической системы из 42 суждений, включающей в себя помимо суждений Аристотеля суждения У. Гамильтона с квантифика-цией предиката и акцидентальные суждения Н.А. Васильева [4]. Существуют ли другие совершенные силлогистические системы, обладающие привлекательными для практики свойствами, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное слово, 1998. 448 с.
2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.
3. Сидоренко О.И. О подтверждении и развитии силлогистических результатов Аристотеля семантическим методом вычисления результирующих отношений // Архивариус. Выпуск 7 (23). Т. 2. Киев, 2017. С. 61-73.
4. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments
between 20 and 50? // Scientific journal "Fundamentalis scientiam". №25. Vol. 1, 2018. C. 51-63.
5. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.
6. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.
7. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.
8. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.
9. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.
10. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.
11. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.
12. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.
13. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.
14. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Изд. Центр «Наука», 2016. 230 с.
15. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-31. Сборник трудов междунар. научн. конф. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.
