CC BY-NC-ND
48
Г.Б. Шабат
О числах и их именах
В работе рассмотрено общее понятие числа. Часть работы посвящена освещению этого понятия с позиций современной математики; в другой части рассматриваются выразительные возможности различных языков, связанные с наименованием количеств предметов в окружающем мире и с абстрагированием от природы этих предметов. Особое внимание уделено проблеме наименования больших натуральных чисел. В конце работы кратко освещаются математические и лингвистические проблемы, связанные с бесконечными множествами.
Ключевые слова: число, числительное, позиционная система счисления, взаимно однозначное соответствие, бесконечность.
0. Введение и посвящение
Все знают, что Григорий Ефимович Крейдлин — замечательный лингвист широкого профиля, один из ведущих мировых специалистов по невербальной семиотике и автор огромного количества работ на разнообразные языковые темы. Менее известно другое, уникальное свойство Крейдлина — унаследованное им от отца (известного учителя математики и автора популярных задачников) глубокое знание элементарной математики. До наступления эпохи ЕГЭ мы с Григорием Ефимовичем работали в приёмной комиссии по математике Института Лингвистики РГГУ, и я с удовольствием свидетельствую, что он придумывал вступительные задачи, решал их и проверял лучше и быстрее, чем многие профессионалы-математики.
Крейдлину не свойственно раздвоение личности, и упомянутое уникальное свойство привело его, среди прочего, к изучению языка математики. В прошлом веке он работал в отделе семиотики ВИНИТИ в группе Е.В. Падучевой, и занимался, в частности, логико-семантическим анализом точных утверждений.1 Спустя много лет образовался наш с ним тандем лингвиста и математика, и мы написали несколько работ о языках геометрии; представление о них можно составить по нашим статьям, опубликованным в «Вестнике РГГУ».2
Настоящий текст примыкает к работам нашего тандема, но, во-первых, относится к другой предметной области, а, во-вторых, на-
© Шабат Г.Б., 2016
писан математиком единолично. В результате изложенные в этом тексте лингвистические соображения носят любительский характер, тогда как математика упоминается (разумеется, весьма поверхностно) несколько более изощрённая, чем допустил бы Крейдлин, всегда защищающий читателя-лингвиста от ненужных перегрузок.
Цель задуманной серии статей — рассказать лингвистам о развитии и сегодняшнем состоянии понятия числа, обращая особое внимание на языковые проблемы, связанные с описанием чисел и операций над ними. Одна из таких проблем, частично решённых, но во многом открытых — выработка адекватной системы имён чисел и числовых множеств.
За годы совместной работы я многому научился у Гриши Крейд-лина: устному прочтению формул, вниманию к точным формулировкам, анализу научных терминов и связанных с ними ассоциаций, концепции понимания.
Статья посвящается Грише к 70-летию — с любовью и надеждами.
1. Об именах натуральных чисел в бытовом языке
Лингвистическая литература о числительных необъятна, и я ограничусь несколькими замечаниями и ссылками; при этом будут свободно использоваться (с необходимыми пояснениями) понятия и термины современной математики.
По-видимому, на самых ранних стадиях развития языков мира формировались языковые единицы, означающие мощности небольших конечных множеств3; одному замечательному исключению (пирахан - язык без числительных?) посвящена работа Иванова.4 Установление этих мощностей и представляет собой пересчёт элементов множества, к которому предъявляется некоторое интуитивное требование однородности: три ночи и два волка вряд ли составляют множество, пригодное для пересчёта элементов. При развитии счёта решались две основные задачи: абстрагирование от природы пересчитываемых элементов и именование мощностей. Обе заслуживают обсуждения — в настоящей работе по необходимости краткого.
1.0. Необходимые понятия. Для уточнения обсуждаемых понятий необходимо прежде всего дать определение конечного множества.5 Мы будем свободно пользоваться понятием отображения множеств
/ : ^ ^ У
как закона6, сопоставляющего каждому элементу х е Xвполне определённый элемент /(х) е У. Отображение / называется инъектив-ным, если разным элементам сопоставляются разные, то есть если для х1, х2 е Xиз х1 * х2 следует /(х1) * /(х2), и сюръективным, если для любого у е У найдётся такой х е X, что /(х) = у. Отображение называется биективным, если оно одновременно инъективно и сюръективно; по-русски несколько более предпочтительно абсолютно синонимичное выражение взаимно однозначное соответствие. Отображение / : Х ^ У множества в себя называется эндоморфизмом.
Множество называется бесконечным, если допускает инъек-тивный, но не сюръективный эндоморфизм. Так, множество натуральных чисел N бесконечно, о чём говорит эндоморфизм удвоения N ^ N : п ^ 2п. Разумеется, множество называется конечным, если не является бесконечным. Важное упражнение (абсолютно необходимое для понимания современной математики и желательное для понимания настоящего текста) — понять, почему множества, в которых (на бытовом языке) лишь несколько элементов, конечны в смысле приведённого определения.
Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие; чуть-чуть точнее — если существует биективное отображения одного из них в другое. Наконец, натуральное число — это класс равномощности конечных множеств.
1.1. Нужно ли определение натурального числа? Современному математику приведённое определение представляется идеально ясным и необходимым как для построения оснований количественной математики, так и для её сколько-нибудь серьёзного преподавания.
Нематематик же может возразить, что это определение сложно и длинно, что использованным понятиям и терминам — лишь сто с небольшим лет, тогда как понятия числа и счёта уходят вглубь десятков тысячелетий; следовательно, многие поколения наших предков обходились без всяких биекций, развив прекрасные системы обозначений чисел и разработав эффективные технологии счёта. К тому же теоретико-множественные понятия не входят в стандартные школьные программы большинства развитых стран7, однако инженеры, бухгалтеры, домашние хозяйки и другие граждане этих стран прекрасно понимают, что значит натуральный ряд 1,2,3, .., 2016, ...
Обе точки зрения имеют право на существование. Автору, однако, ближе первая из них — в том числе как профессиональному преподавателю математики нематематикам (около четверти века
основная работа автора — преподавание математики лингвистам в РГГУ).
Отказ от обучения математике (и, в частности, счёту) на теоретико-множественной основе пока не сопровождается заметными успехами в массовом образовании. Наоборот, во многих странах навыки элементарной числовой грамотности8 среднестатистического гражданина часто признаются неудовлетворительными9. Распространяющаяся ориентация на real-life problems не приносит успехов, а скорее приближает некоторые современные учебные заведения к древнеегипетским школам писцов (снабжённых микрокалькуляторами). По-видимому, в обозримом будущем следует ожидать всеобщего разочарования в любых методиках обучения счёту, не основанных на понимании абстрактного натурального ряда. Тогда приведённые выше определения (возможно, излагаемые более популярно) станут более распространёнными, а для людей, связанных с преподаванием математики — обязательными.
1.2. Абстрагирование. Упомянутое выше абстрагирование есть способность отвлечься от природы считаемых предметов при овладении концепцией натурального ряда. Наиболее полное понимание этой способности (и отдельных людей, и их групп — от малых народов до цивилизаций) достигается с помощью языкового материала, в изобилии поставляемого современной лингвистикой.
Путь от счёта количеств (однородных) предметов до абстрактного понятия натурального числа человечество проходило постепенно. Замечательно, что это утверждение в наше время может быть обосновано не только с помощью гипотетических реконструкций, но и на основе прямых наблюдений (и потому оно несравненно убедительней, скажем, энгельсовского предположения о труде, создавшем человека из обезьяны...). Лингвистам удалось обнаружить и описать живые — увы, исчезающие — языки, сохранившие некоторые архаические черты частичного абстрагирования от свойств предметов при их подсчёте.
В книге Данцига10 приводятся сведения о языке индейцев цим-шиан, в котором имеется семь наборов числительных для разных сортов предметов. Плоские предметы и животные считаются в этом языке с помощью одних слов, круглые — с помощью других, длинные предметы и деревья — с помощью третьих, люди — с помощью четвёртых и т.д. Аналогичное явление встречается в нивхском языке; оно описано у Крейновича.11 В этом замечательном языке различается 26 сортов считаемых предметов (включая, например, связок корма собакам и прутьев с нанизанной на них корюшкой). Сформированы специальные средства для счёта парных объектов — глаз, ушей, лыж,
вёсел, ...; таким образом, в нивхском языке сделан важный шаг в сторону теоретико-множественных конструкций.
Математику может показаться, что в современных языках подобные явления полностью преодолены, и в результате подсчёта элементов множества информация об их природе полностью уничтожается. Однако наличие русских словоформ двое, трое,.., семеро — поиск в Интернете показывает, что они называются собирательные числительные12 — опровергает это скороспелое предположение. Вряд ли исследование данного рудимента древнего счёта (и его аналога в других языках) составляет глубокую лингвистическую проблему, однако отметим, что здесь язык помечает границы малых конечных множеств: словоформы *восьмеро, видимо, не существует. Другая граница определяется последовательностью вдвоём, втроём,.., вдесятером: видимо, *водиннадцатером сделать ничего нельзя.
1.3. Именование. Осознание природы абстрактного натурального числа (напомним, классаравномощности конечных множеств, см. подраздел 1.0) примыкает к лингвистическим задачам: назвать, записать, канонизировать прочтение и т.п. Литература по этим вопросам обширна; ограничимся ссылкой (наряду с уже цитированной работой Данцига) на популярную, но фундаментальную книгу Меннингера.13 В качестве недавней более серьёзной работы можно предложить, например, Regier.14
Многократно описан сложный путь человечества от зарубок на костях животных до современной позиционной (десятичной) системы счисления — той единственной, которой в наше время учат всех детей планеты.
Далее будет использоваться обозначение N = {0,1,2,3, ...} для множества натуральных чисел15; в него, согласно французской16 традиции включён 0 как мощность пустого множества, являющегося, согласно определению из пункта 1.0, конечным. Обозначение N = {0,1,2,3, ...} будет использоваться для множества положительных натуральных чисел. Алфавитом будет называться произвольное конечное множество, элементы которого принято называть буквами, а в одном всем известном случае — цифрами.
Линейным квазитекстом11 в алфавите ЭД мы будем называть либо отображение {1, ... , n} ^ ЭД при n е N, либо отображение N ^ ЭД; соответствующие тексты называются конечными и бесконечными. Интуитивно линейный квазитекст {1,2,3,...} ^ ЭД следует представлять себе как написание на 1-ю, 2-ю, 3-ю, ... позицию сопоставленных этим позициям букв. В случае конечного квазитекста {1, ... , n} ^ ЭД число n е N называется его длиной; подчеркнём, что допускается случай n = 0, соответствующий пустому тексту (ничего никуда не
отображается и не пишется). Бесконечные квазитексты в связи с натуральными числами не встречаются.
Именованием натуральных чисел (термин нестандартный) называется инъективное отображение либо множества N, либо отрезка {1, ... , N} при N> 1 в множество конечных линейных квазитекстов в некотором фиксированном алфавите. Иначе говоря, именование натуральных чисел — это способ их исчерпывающего описания некоторыми квазитекстами, которые, видимо, в этом случае всё-таки можно назвать текстами.
Каждый язык мира выработал свои именования натуральных чисел (кроме, возможно, упомянутого в начале статьи языка пирахан, относительно которого, впрочем, имеется предположение, согласно которому его числительные просто атрофировались). Эти именования весьма разнообразны; дешифровка и анализ сохранившихся текстов, начиная с вавилонских клинописных глиняных табличек, весьма интересна даже с одной только математической точки зрения18.
С точки зрения чистой математики наиболее существенная характеристика любого именования — способность или неспособность поименовать как угодно большое натуральное число, то есть определённость на всём множестве N или только на его отрезке.
Самый, по-видимому, древний метод изображения чисел зарубками, в котором алфавит ЭД = {|} одноэлементен, позволяет (теоретически) выразить как угодно большое число. Тем же свойством обладает древневавилонская десятично-шестидесятеричная система сложения. А вот именование чисел, основанное на римских цифрах и ещё в первой половине минувшего тысячелетия господствовашее в Европе, охватывает числа лишь до 3999 — это «наибольшее» число задаётся (квази?)текстом MMMCMXCIX. И лишь вытеснение этого именования современным позиционным, основанным на алфавите ЭД = {0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9}, окончательно расчистило человечеству путь к (актуально) бесконечному множеству N.
В Европе это вытеснение началось с появления в 1202 книги Леонардо Пизанского (Фибоначчи) Liber Abaci19. Оно происходило в напряжённой борьбе абакистов (последователей Фибоначчи) с алгоритмиками (приверженцами римских цифр). Победа потребовала более двух веков; она ковалась, в частности, в итальянских коммерческих школах, в которых преподаватели обучали людей практических профессий тем действиям с числами, которым наши современники обучаются в начальной школе. Самое трудное заключалось в том, чтобы преодолеть стойкое недоверие деловых людей к нулю, таинственному символу 0, который не отражает никакого количества (является мощностью пустого множества), но приписывание которого удесятеряет величины.
К концу шестнадцатого века десятичная система счисления охватила Европу, а ещё через два-три столетия образовалась ситуация, которую мы наблюдаем сейчас: почти всё человечество пользуется одними и теми же именами натуральных чисел в одном и том же алфавите.20 При изобилии и разнообразии языков на нашей планете это явление представляется удивительным, особенно в исторической перспективе.
Итак, после многотысячелетней конкуренции огромного количества разнообразнейших способов именования натуральных чисел победил один-единственный — тот, которым мы все сейчас пользуемся и на котором мы «общаемся» с миллиардами вычислительных устройств, наводнивших нашу планету. Этому способу всего сотни лет — ничтожный срок по сравнению с продолжительностью эпохи, в течение которой человечество умеет считать. Является ли победа позиционной системы счисления окончательной? У математиков есть одна неочевидная причина для утвердительного ответа на этот вопрос.
Колмогоровской сложностью произвольного линейного квазитекста Qout называется минимальная возможная длина линейного квазитекста Qin, который можно ввести в (идеальный21) компьютер с тем, чтобы компьютер напечатал Qout. Колмогоровская сложность определена приближённо: её значение зависит от специфики идеального компьютера, участвующего в её определении, однако чем длиннее квазитекст, тем меньше относительная погрешность, вносимая этой зависимостью. Последнее утверждение и утверждение о корректности приведённого выше определения — глубокие математические результаты, последние из полученных А.Н. Колмогоровым и изложенные в работе его учеников22. В этой же работе приводится доказательство теоремы Колмогорова 1.4, которую можно интерпретировать как утверждение о том, что колмогоровская сложность наугад взятого большого числа приближённо равна логарифму этого числа, то есть (если логарифм десятичный — а выбор основания логарифма есть просто выбор единицы измерения сложности) как раз количеству десятичных знаков числа. Это и означает, что принципиально более эффективных, чем позиционное, именований натуральных чисел не существует.
1.4. Большие числа. Наряду с проблемой выражения на данном языке сколь угодно больших чисел, рассмотренной в предыдущем разделе, имеется проблема выражения конкретных больших чисел.
Первой работой, в которой рассматривалась вторая из этих проблем, была написанная Архимедом в Ш-м веке до Р.Х. книга «Исчисление песчинок»23. В ней отмечалось несовершенство принятой в древней Греции системы записи натуральных чисел — невозможность стандартными средствами записать ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ
числа. Был предложен выход: выйти за пределы мириад — так называлось число 105, наибольшее из именованных в те времена — путём введения (на современном языке) позиционной системы счисления с основанием 10000. Архимед расширил систему именования языковыми средствами, введя первые числа, вторые числа и т.д., вплоть до мириадо-мириадных чисел; затем были введены периоды, и наибольшим числом, допускающим архимедово именование, оказалось 108 • 1016. Новшество было блистательно применено к называнию наибольшего числа, которое представлялось имеющим смысл: количество песчинок в шаре, центр которого расположен на Земле, а радиус равен расстоянию от Земли до Солнца (это число связывалось с объёмом Вселенной).
Во времена Архимеда, по-видимому, лишь люди с патологически повышенным воображением чувствовали себя в обыденной жизни окружёнными огромными числами. Сейчас всё иначе. Образованный человек уже в Х1Х-м веке имел представление о том, что в некотором небольшом объёме24 вокруг него содержится около 6.8 • 1023 молекул — так называемое число Авогадро. На памяти одного поколения килобайты были сменены мегабайтами, а затем гигабайтами и терабайтами25; соответствующие количества информации (в битах) могут храниться в наших кошельках или на связках ключей. Согласно таблицам ГОСТа, доступным в Интернете, грядущие поколения могут оказаться окружёнными петабайтами и эксабайтами. Возможности соединений корней разных языков когда-нибудь будут исчерпаны, и нашим потомкам придётся придумывать новые приёмы...
Несмотря на упомянутую в предыдущем разделе оптимальность позиционного именования больших натуральных чисел, связанное с ними словотворчество неизбежно. Свежий пример: наибольшее известное на сегодняшний день простое число обнаружено в январе 2016 и равно 274 207 281 — 1. В нём 22 338 618 цифр, и его позиционная запись немыслима. Приходится воспользоваться известным понятием числа Мерсенна Мп = 2п — 1, ввести букву М в цифровой алфавит и пользоваться для наибольшего известного простого числа именем
М74 207 281.
Введение специальных имён для больших чисел было весьма распространено до воцарения позиционной системы счисления. Так, на Руси определённые степени десятки обозначались словами тьма (и даже тьма тьмущая, синонимичная легиону), ворон и колода. Относительно чисел, превосходящих 1050, летописцы утверждали, что и более сего несть человеческому уму разумети.
Для степеней десятки есть специальные слова и в современных языках. Однако здесь международная стандартизация даёт
сбой — взаимоотношения между именами billion и миллиард числа 109 не урегулированы. Имя googol и его русская калька гугол числа 10100 не являются общеизвестными; то же касается имён googolplex и гуголплекс числа 1010100. Наконец, в современном английском есть слово zillion, не соответствующее никакому определённому числу, но применимое к числам, которые несть уму разумети.
2. Немного о бесконечном
В этом разделе мы выйдем за пределы натурального ряда и кратко обсудим некоторые плоды фантазии чистых математиков Х1Х-го века.
2.0. Порядки. Порядком на множестве X называется такая структура (более официальное название - бинарное отношение) <, что для любых € X либо 'х 1 %2 9
либо х2 Х1 ^ либо х1=х2. Требуется транзитивность: если х1 < х2 и х2 < х3, то х1 < х3. Множество вместе с фиксированным порядком на нём называется упорядоченным.
Множество натуральных чисел N вместе с обычным порядком < доставляет пример упорядоченного множества. Запишем это следующим образом: (М, <) = {{0,1,2,3,...}}. Следует обратить внимание на (нестандартные) сдвоенные скобки: порядок следования элементов, в отличие от обычного перечисления элементов множества, заключённых в одинарные скобки, существенен; множество натуральных чисел с противоестественным порядком {{1,0,3,2,5,4,...}} как упорядоченное множество отлично от (М, <).
Ещё один обширных класс упорядоченных множеств — алфавиты естественных языков. Обычно (во всех известных автору случаях...) на них имеется исторически сложившийся порядок, например, {{а, Ь, с, ... , х, у, г}}.
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если в каждом его непустом подмножестве есть наименьший элемент (точное определение восстанавливается по языковым ассоциациям). Все приведённые только что примеры обладают этим свойством — как, разумеется, и все конечные множества. Множество целых чисел с обычным порядком упорядочено, но не вполне.
Не очень сложные размышления показывают, что два конечных вполне упорядоченных множества одинаковы как упорядоченные множества (на официальном языке — изоморфны, то есть допускают сохраняющую порядок биекцию) тогда и только тогда, когда равно-мощны. Для бесконечных вполне упорядоченных множеств, как мы сейчас убедимся, это далеко не так.
2.1. Новое сложение. Вполне упорядоченные множества можно складывать. Ограничимся примером:
{{а, Ь ..., у, г}} + {{А, Б, ... , Ю, Я}} = {{а, Ь ..., у, г, А, Б, ... , Ю, Я}}
Нетрудно понять, что сложение конечных вполне упорядоченных множеств не даёт ничего нового по сравнению с арифметикой натуральных чисел. Введём всё же имена 1={{1}}, 2={{1,2}}, 3={{1,2,3}},..
Вышесказанное выражается формулами вроде 1 + 2 — 3, где — — знак изоморфизма (для установления которого требуется очевидный сдвиг в нумерации чисел из двухэлементного множества).
То, что произошло до сих пор, может показаться переписыванием жирным шрифтом простых истин, известных малым детям. Однако переход к бесконечным вполне упорядоченным множествам приводит к новым и весьма нетрадиционным объектам.
Введём стандартное (не очень удачное) имя ш = (Ш, < ).
2.2. Бесконечности бывают разные. Поработаем немного со введёнными объектами. Очевидно, например, что 2 + ш — ш -опять требуется очевидная перенумерация в левой части. Однако ш + 2 = {{1,2,3, ... ,1',2'}}; здесь подразумевается, что штрихованные числа превосходят любые нештрихованные. И, очевидно26, ш + 2 ф ш, поскольку в левом множестве есть наибольший элемент, а наибольшего натурального числа нет. Мы убедились в том, что ш + 2 ф 2 + ш.
2.3. Как сравнивать бесконечности? Введём символ < для префиксного неравенства, связывающего вполне упорядоченные множества. По определению, одно вполне упорядоченное множество префиксно меньше другого, если меньшее не изоморфно большему, но изоморфно некоторому его начальному отрезку (сочтём очевидным определение последнего понятия). Так, {{а, )3}} < {{а, у}}, 5 < 7 и т. д. Наиболее фундаментальна цепочка префиксных неравенств, охватывающая все конечные (непустые) вполне упорядоченные множества 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Опять может показаться, что обсуждается детская математика в чуть-чуть необычных обозначениях. Но выписанная цепочка может быть продолжена по-взрослому! Действительно,
1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ... < ш + 1 < ш + 2 < ... < ш + ш
Двигаясь по копии натурального ряда, можно пройти бесконечность и двигаться дальше!
* * *
Мы познакомились с началами теории ординалов, построенной Георгом Кантором в 1883 году. Углубиться в неё можно, например, с помощью работы Верещагина и Шеня.27
Представляет ли эта теория, далеко не самая популярная в современной математике, интерес для лингвиста? Вряд ли — в рамках математики.
Да — в общефилософской и общекультурной перспективе.
В течение минувшего тысячелетия многократно повторялось, что Бесконечное непостижимо слабым человеческим разумом, а доступно лишь Богу. Характерные цитаты из Николая Кузанского (1401-1464):
Наш конечный разум, двигаясь путем уподоблений, не может... в точности постичь истину вещей. Причина в радикальной диспропорции между конечностью человеческого разума и бесконечностью, которую он хочет охватить.
Творение Георга Кантора (после некоторого сопротивления воспринятое математическим сообществом) опровергло такого рода самоуничижительные рефлексии мыслящего человечества.
Примечания
Крейдлин Г.Е., Падучева Е.В. Взаимодействие ассоциативных связей и актуального членения в предложениях с союзом а // НТИ. Сер. 2. 1974. № 10. С . 31-37.
Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Теорема как вид текста: I. Понятность // Вестник РГГУ. 2007, № 8. С. 102-112; Они же. Теорема как вид текста: II. Когнитивные операции над формулировками теорем // Вестник РГГУ, 2011, № 11. С. 241270.
Слова один, два, три, четыре, пять входят в 207-словный список Сводеша, а слова один, два — в 100-словный.
Иванов Вяч. Вс. Типология языков бассейна Амазонки. II. Числительные и счёт // Вопросы языкознания. 2005, № 5. С. 3-10.
Отметим, что распространённое среди нематематиков «определение» множество называется конечным, если состоит из конечного количества элементов содержит в себе порочный круг.
Понятие отображения является первичным, и не через какие ещё более фундаментальные не определяется.
Точнее, изъяты; в США, по общему мнению, провалилась построенная на теоретико-множественной основе так называемая программа new mathematics, которая была раскритикована (см. Kline М. Why Johnny Can't Add: The Failure of the New Mathematics. St. Martin's Press, 1973), высмеяна и отвергнута; это, однако, свидетельствует не о ложности идеи, а о её плохой реализации. По-видимому, русского эквивалента уместного слова numeracy, часто употребляющегося вместе с literacy, не существует.
Согласно отчёту OECD (Organisation for Economic Cooperation), около 9 миллионов британцев испытывают трудности с каждодневными расчётами, вроде определения по показаниям датчика, сколько литров бензина осталось в баке — см. Kuczera М., Field S., Windisch H.C. Building skills for all: a review of England. Policy insights from the survey of adult skills. OECD, 2016.
1
2
3
4
5
6
7
8
10 11
21 22
23
24
26 27
Данциг Т. Числа — язык науки. М.: Техносфера, 2008.
Крейнович Е.А. Гиляцкие числительные. Л., 1932. (Труды научно-исследовательской ассоциации Института народов Севера ЦИК СССР). В Интренете удалось обнаружить лишь непостижимую для нелингвиста дефиницию формы местного-предложного падежа склонения прилагательных...
Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. М.: Центрполиграф, 2011.
Xu Y., Regier T. Numéral systems across languages support efficient communication: From approximate numerosity to recursion // Proceedings of the 36th Annual Meeting of the Cognitive Science Society / Eds. P. Bello et al. 2014. Следует обратить внимание на написание буквы И, при котором, как положено в современных математических текстах, использован blackboard bold фонт, предназначенный для мировых констант; обычная буква N — это другой знак, и вполне допустима, например, запись N е И, означающая N есть натуральное число.
Отличающейся от русской и американской.
Определение не является общепринятым, и математики называют квазитексты просто текстами, но Г.Е. Крейдлин объяснил автору, что лингвисты требуют от текстов осмысленности.
Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959; BuckR.C. Sherlock Holmes in Babylon // American Mathematical Monthly. 1980. № 87 (5). P. 335-345. См. английский перевод: Sigler L. Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer-Verlag, 2003.
Автор встретился с единственным исключением: после путешествий по Армении, Израилю, Японии, в которых глаз европейца отдыхает на привычных цифрах среди неизвестных букв, в Иране были обнаружены написания цифр, которые с трудом можно угадать. Интересно, что при этом математика в современном Иране находится на довольно высоком уровне и что даже в годы международной изоляции иранские математики сохраняли тесные контакты с европейскими и американскими коллегами.
Понятие идеального компьютера формализуемо на основе тезиса Чёрча. Звонкин А. К., Левин Л. А. Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов // Успехи математических наук. 1970. Том 25, вып. 6 (156). С. 85-127. См. Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит). М.-Л.: ГТТИ, 1932. 108 с. В так называемом моле вещества, определение которого не всегда понятно далёкому от естественных наук человеку.
По пояснениям Международной электротехнической комиссии, название терабайт общепринято, но неверно; вместо приставки тера- следует употреблять теби-. * — знак неизоморфности.
Верещагин Н.К., Шень А. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 2012.
12
13
14
15
18
19
20
25
