О частично компактных по мере неограниченных линейных операторах в L2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 1, С. 36-41

УДК 517.983:517.968.25

О ЧАСТИЧНО КОМПАКТНЫХ ПО МЕРЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ В L2

В. Б. Короткое

Александру Ефимовичу Гутману в связи с его 50-летием

В статье вводятся частично компактные по мере неограниченные линейные операторы и устанавливается характеристическое свойство предельных спектров операторов, сопряженных к плотно определенным в неограниченным частично компактным по мере линейным операторам. Приводятся приложения этого результата к линейным функциональным уравнениям 1-го и 2-го рода с неограниченными операторами.

Ключевые слова: замкнутый оператор, компактный по мере оператор, предельный спектр, линейное функциональное уравнение 1-го или 2-го рода, линейное интегральное уравнение 1-го или 2-го рода.

Пусть (X, ^) — пространство с ст-конечной положительной мерой Атомом меры ^ называется множество положительной меры из X, не представимое в виде объединения двух непересекающихся множеств с положительными мерами. Будем говорить, что мера ^ те является чисто атомической, если в X есть множество положительной меры, не содержащее атомов меры Через •= Ь2(Х,^) обозначим пространство всех клас-

сов ^-эквивалентных ^-измеримых функций на X с суммируемым квадратом. Через || • || и (•, •) будем обозначать норму и скалярное произведение в Ь2(ц).

Пусть Н, И\ — гильбертовы пространства. Оператор Е : Пр С Н ^ И\ называется замкнутым, если из /п £ Пр, /п ^ и, Е/п ^ V следует и £ Пр и Ей = V. Оператор Т*, сопряженный к плотно определенному замкнутому линейному оператору Т : Пт С Н ^ Н\, плотно определен и замкнут, при этом Т** = Т [1, гл. III, §5].

Пусть Т : Пт С Ь2(^) ^ Ь2(^\) •= L2(X1,^1) — линейный оператор, || • Ц1 — норма в L2(ц.l)■ Назовем Т компактным то мере, если из /п £ Пт, ||/п|| ^ 1 ||Т/п||1 ^ 1, п = 1, 2,... , вытекает, что |Т/п} содержит подпоследовательность, сходящуюся по мере на каждом множестве конечной меры. Если Пт = L2(^) и Т — ограниченный оператор,

Т:

Пт С L2(ц) ^ L2(ц) назовем частично компактным по мере, если найдется множество е С X, ^е > 0 такое, что РеТ компактен по мере; здесь Ре/ = Хе/, / £ L2(ц), Хе — характеристическая функция множества е.

Будем говорить, что нуль принадлежит предельному спектру стс(М) оператора М : Пм С Н ^ Н, если в Пм существует ортонормированная последовательность {Нп} такая, что МНп ^ 0.

© 2016 Короткое В. Б.

Теорема 1. Пусть мера у о-конечна, не является чисто атомической и множество е, 0 < уе < го, не имеет атомов меры у, Т : Оу С ¿2 (у) ^ ¿2 (у) — плотно определенный линейный оператор, РеТ компактен по мере и замкнут. Тогда 0 £ ос(Т*).

< Определим оператор ¿е : ¿2(у) ^ ¿2(е) •— ¿2(е, у) равенством ЯеН(з) — Н(^) для всех Н £ ¿2 (у) и всех 5 £ е и рассмотрим замкнутый оператор т — геТ : Оу С ¿2 (у) ^ ¿2(е). Пользуясь полярным разложением замкнутого оператора [1, гл. VI, §3], представим г* в виде г* = У Б, где Б = (г**г*)з — самосопряженный оператор в ¿г(е), V : ¿2(е) ^ ¿2 (у) — частично изометрический оператор. Имеем т** — БУ*. Отсюда 5 — т**У — тУ — геТУ. Итератор геТ компактен то мере. Значит, 5 компактен по мере. Покажем, что 0 £ ос(Б). Предположим противное. Тогда размерность подпространства кег Б конечна, здесь кег Б — {д : д £ ¿2(е), Бд — 0}, и можно считать, что кег Б — {0} (в противном случае достаточно перейти к оператору Б + Р, где Р — ортопроектор на кег Б). Из кег Б — {0} и 0 £ ос(Б) следует, что существует обратный оператор Б-1 : ¿2(е) ^ Ds С ¿2(е) и этот оператор ограничен. Возьмем любую ортонор-мированную равномерно ограниченную последовательность {^>п} С ¿2(е). В качестве {^>п} можно выбрать систему обобщенных функций Радемахера {гп,е}, определенных на е [3] (см. также [4, с. 11-12]). Нетрудно проверить, что {^>п} не содержит подпоследовательностей, сходящихся по мере на е. Рассмотрим функции /п — Б-1 ^>п. Имеем ||/п|| ^ ||Б-1||||^>п|| — ||Б-1||, ||Б/п|| — ||^>п|| — 1, п — 1,2,... Из компактности по мере оператора Б вытекает, что последовательность {^>п} — {Б/п} компактна по мере, что, как отмечалось выше, невозможно. Значит, 0 £ ос(Б). Тогда существует ортонорми-рованная система {Нп} С ¿2(е) такая, что БНп ^ 0. Положив Нп — ХеНп, получим Т *НП — Т * Ре Нп — т *Нп — УБНп ^ 0 Таким образом, 0 £ Ос(Т * ). >

Пусть ¿о(у) •— ¿о(Х, у) — пространство всех классов у-эквивалаентных у-изме-римых у-почти всюду конечных функций на X и ¿о (X х X, у х у) — аналогичное пространство. Оператор К : О к С ¿2 (у) ^ ¿2 (у) называется интегральным, если существует функция К £ ¿о(Х х X, у х у) такая, что для всех / £ О к

К/(5) — У К(¿) ¿у(4) (1)

для почти всех в £ X Интервал в (1) понимается в лебеговом смысле. Функция К называется ядром интегрального оператора К. Будем говорить, что ядро Кпорож-

К

Из теоремы 1 и в [4, теоремы 1.6.2] вытекает следующая

Теорема 2. Пусть К : О к С ¿2(у) ^ ¿2(у) — плотно определенный интегральный оператор, мера у о-конечна и не является чисто атомической. Если К продолжается до линейного интегрального оператора К : ¿2(у) ^ ¿о(у)> то 0 £ ос(К*).

Важным примером интегрального оператора, продолжаемого на все ¿2 (у) (со значениями в ¿о(у))) может служить интегральный оператор с ядром Кудовлетворяющим условию Карлемана

J |К(5,¿)|2 ¿у(4) < го

X

для почти всех 5 £ X.

Не каждый плотно определенный замыкаемый интегральный оператор в ¿2 (у) продолжается па все ¿2 (у) со значениями в ¿о (у) с сохранением интегральности. Соответствующий пример построен в [5].

В [6] показано, что необходимым и достаточным условием продолжимости интегрального оператора Т : Вт С Ь2(и) ^ ¿2(и) с ядром К(5,4) до интегрального оператора из ¿2^) в Ьо(р>) является существование положительной функции а £ ¿о (и) такой, что

J | К| а(в) £ ^(и)-

Приведем приложение теоремы 1 к линейным функциональным уравнениям 1-го и 2-го родов с неограниченными операторами. Рассмотрим уравнение

ах(в) - АТх(в) = Ц(в), (2)

где f £ ¿2(и)) а и А — числовые параметры, Т : Вт С ¿2 (и) ^ ¿2(и) — плотно определенный частично компактный по мере линейный оператор, решение х ищется в Вт-

Ниже доказывается теорема о редукции уравнения (2) к более простому эквивалентному интегральному уравнению, к которому применимы различные точные или приближенные методы решения. В формулировке этой теоремы нам понадобятся следующие определения.

Определение 1. Пусть (к, v) — пространство с ст-конечной положительной мерой v, ¿2^) •= ¿2 (к, v), | | | • | | | , (-, •) — норма и скалярное произведение в ¿2(v). Оператор j : ) ^ ) называется ядерным, если

те

Jh = {КЯи )Н

п, Н £ ¿2^), (3)

п= 1

где {дп}, {Нп} С £2^) и

| | 9п| | И| | Нп | | |< те. (4)

п=1

Ядерной нормой оператора J называется число

те

и = ^ ^^ |||дп|

п=1

где инфимум берется по всевозможным {дп}, {Нп}, удовлетворяющим (4) и участвующим в (3). Ясно, что и У ^ и Ц1, где ||J || — операторная норма J.

Ядерный оператор является интегральным, его ядро J(£, п) принадлежит пространству х К, V х V) и имеет вид

= (5)

п=1

где ряд в (5) сходится к J(£, п) в силу (4) абсолютно по норме ¿2 (К х К, V х V) и абсолютно (V х V)-иочти всюду в У х К.

Определение 2. Пусть {^>п} с ), {еп} — последовательность попарно непере-

К

V Ven п=1 у

назовем квазивырожденным карлемановским ядром.

п

Теорема 3. Пусть меры у, V не являются чисто атомическими и а-конечны, ¿2 (у), ) — сепарабельные пространства, оператор Т в уравнении (2) удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и замыкаем. Тогда для любого е > 0 можно построить не зависящий от а А и / унитарный оператор и : ^(у) ^ ¿2 (V), приводящий уравнение (2) заменой у = их д = и/ к эквивалентному интегральному уравнению

ау(0 - А / [X(£,п)+ С(£,п)]у(п) ^(п) = д(0, (6)

у

где С(£, п) — квазивырожденное карлемановское ядро, функция N(£, п) порождает ядерный оператор в ¿2^) с ядерной нормой меньшей, чем е.

< Представим с помощью полярного разложения [1] замкнутый оператор Т* в виде Т* = ШХ, где Р — самосопряженный неотрицательный оператор в ^(у), Ш — частично изометрический оператор в ¿2(у). По теореме 10 £ ас(Т*). Отсюда и из Ь = Ш*Т* следует, что 0 £ ас(Ь).

Пусть |Ед} — спектральное семейство неотрицательного самосопряженного оператора Ь, Но = кег Ь Н = (^1/п - £1/^+1)^ (у), = (£„+1 - Удалив из совокупности подпространств Но, п = 1,2,.. ., совпадающие с {0} (если таковые имеются), получим семейство принадлежащих Ху попарно ортогональных подпространств, ортогональная сумма которых равна Ь2(у). Построим из элементов этих подпространств ортонормированный базис {ип} пространства Ь2(у). Базис {ип} принадлежит Ху = Ху» и содержит в силу 0 £ ас(Ь) последовательность }, которую Ь

0 последовательность. Имеем Т*2П — ^ 0.

Зафиксируем е > 0 и выберем подпоследовательность {«„} С } так, чтобы 11Т*< е. Положим } = {ип} \ {«2«,} и определим унитарный оператор и : Ь2(у) ^ Ь2(v) равенствами

X

июп = —^, иь2п = еп = 1,2,..., л/г^

гДе {еп } — ортонормированный базис ортогонального дополнения к замкнутой линейной оболочке ортонормированной последовательности {Хвп/у'г/ега}. Здесь {ега} — произвольная последовательность попарно не пересекающихся множеств из У с конечными положительными мерами. Обозначив через (•, •) скалярное произведение в ¿2^) и разлагая элементы 11Т11~1к в ряд по ортонормированному базису {е^, Хеп/у/1'еп} пространства ¿2(V), получим ити-1 = N + С, где оператор N определяется равенством

М = ^ <ити-1Л, е^ = ^ (Л, иТ*^е

П=1 П=1

С

Ск = у(ити-1 К = У {к ит*шп

^Гп/ ^ ¿Г

В силу ЦТ * «2пУ < е оператор N ядерный и его ядерная норма меньше, чем е. Так

как множества еп попарно не пересекаются, то С — интегральный оператор с квазивырожденным карлемановским ядром

п

Сделав в (2) замену у = их, будем иметь

аи—1 у - АТи—1 у = /. Применим к обеим частям этого уравнения оператор и. Тогда

ау - Аити—1 у = и/ = д.

Отсюда и из ити-1 = N + С получим уравнение (6). >

Если в (6) а = 0, то, умножив обе его части на функцию

те 1

Xeo + ^2~n\\T*wn\\ + lXen,

n=1

где ео = К \ и«=1 еп придем к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода с ядерным оператором. К такому уравнению применимы теорема Пикара [7, с. 102] и регуляризационные методы решения, например, метод А. Н. Тихонова [8, гл. 4, п. 4.3].

Пусть в (6) о; ф 0. Выберем в теореме 3 е < щ. Записав (6) в виде

а( 1 — — А Су = д и сделав замену г = Р\у, где Рд = 1 — получим эквива-

лентное интегральное уравнение 2-го рода с квазивырожденным карлемановским ядром

Кх&т,) =

! v/ven

п=1

где ^>п = иТ*шп. К этому уравнению применимы приближенные методы решения, предложенные в [7, с. 134-139].

Замечания:

1. Результаты статьи справедливы и в случае вещественных пространств £2(и)) ¿2^).

2. Условия теорем 1, 2, 3 охватывают важный случай, когда X К — произвольные измеримые по Лебегу множества евклидовых пространств, а и V — меры Лебега.

Литература

1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.—М.: Мир, 1972.—740 с.

2. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.—М.: Наука, 1966.—500 с.

3. Aronszajn N., Szeptycki P. On General Integral Transformations // Math. Ann.—1966.—Vol. 163, № 2.-P. 127-154.

4. Короткой В. Б. Интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1983.—224 с.

5. Короткой В. Б. О приведении семейств операторов к интегральному виду // Сиб. мат. журн.— 2006.—Т. 47, № 5.-С. 1092-1098.

6. Короткой В. В., Степанов В. Д. Критерии порождаемости интегральных операторов измеримыми функциями // Сиб. мат. журн.—1982.—Т. 23, № 2.—С. 199-203.

7. Коротков В. Б. Некоторые вопросы теории интегральных операторов.—Сиб. отд-ние АН СССР. Ин-т мат-ки, 1988.—148 с.

8. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие.—Киев: Наукова думка, 1986.—544 с.

Статья поступила 15 января 2016 г.

Коротков Виталий Борисович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, ведущий научный сотрудник лаб. функционального анализа РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4

ON PARTIALLY MEASURE COMPACT UNBOUNDED LINEAR OPERATORS ON L2

Korotkov V. B.

In this paper we introduce partially measure compact unbounded linear operators. We find characteristic property of limit spectrums of the adjoints of unbounded densely defined partially measure compact linear operators on L2 (p). Some applications of this result to linear functional equations of the first and second kind with partially measure compact unbounded operators are given.

Key words: closed operator, measure compact operator, limit spectrum, linear functional equations of the first and second kind, linear integral equations of the first and second kind.