CC BY
12
УДК 517.984
В. П. Курдюмов, А. Г1. Хромов
О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЁННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА С МНОГ ОТОЧЕЧНЫМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ*
Рассмотрим оператор :
Ьу = ау'(х) + у'( 1-х), х е [0,1]
с краевым условием:
Щ(У) = >'(0) + ау(Э) + Р>'(1) = 0, 0 < 9 < 1
(трёхточечное условие рассматривается из-за простоты). Предположим, что выполняются условия:
(Р2~У2)(1-РУ)*0, ¿ = {а2-1)Т
1 + аа
ЛЕММА 1. Если ReA.fi? >0, то для резольвенты единичный оператор, А - спектральный параметр) имеет место формула
1 * где й;/) = -}Ф,(Ов^'^Л + у ¡Ф2(1)е-и<*-')Л,
Л- О
fiF(x) = (Ф, (л-),Ф2(х))Г (Г- знак транспонирования),
т 1 Г1 1 Г-« О
^(х) = (/(*),/(1-*))г ,В=Щ,Г =-у , И'=----=5" ,
1-уЧ-Т 1 ) \ — а V-1 а)
-и2(дъ{.хХП)[хпетх~Х) . С/2(у) = М0) + а>(1-») + М1),
0з (Х, X; /) = -у |Ф, (Ое^^ск + )ф2 (,) е'^-'^Г, Д"1 (X) = [*121,
г 0 4^21 *22>/
= { ""и \и<2\".2 и2\
ууи21 ^22 }
и22 = и2{е-^).
ЛЕММА 2. Все собственные значения находятся в некоторой полосе \ReXd |< И , причём в любом прямоугольнике с < \m~Kd < с + 1 этой полосы их число ограничено постоянной, не зависящей от с.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 03-01-00169) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.041).
Пусть \с1 = х + гу и через П обозначим полуполосу
со
П = {х + гу|| л: |< к,у > 0}. Представим П = уп^ , где П* = {х + />|| х |< И,
к=о
к<у<к + \}. Тогда по лемме 2 существует натуральное N такое, что в каждом Пк собственных значений не больше N. Удалим из П все собственные значения вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 8 и получившуюся область обозначим П(5) (считаем, что к таково, что все собственные значения с указанными окрестностями целиком находятся в | КеХс11< А).
ЛЕММА 3. Для достаточно малого 8>0 существует натуральное п такое, что для каждого к существует по меньшей мере один отрезок
х + ¡у\ | х|< И, у = к + — >, где $к - целое из системы 0,1,...,«-1, целиком п \
лежащий в I \к (6) = П^ П П(8).
Доказательство, В каждом П^ проектируем выброшенные кружки на ось у параллельно оси х Получим на к < у < к + 1 некоторую систему отрезков, сумма длин которых <2М5. Дополнение этой системы отрезков до к < у < к + 1 образуют также какую-то конечную систему отрезков (не обращаем внимания на концы отрезков).
Пусть с1к - длина наибольшего отрезка из этого дополнения. Тогда
{Ы + \)(1к > 1 — 2ЫЪ. Отсюда с1к > ^ ' Выбираем 8 так, чтобы 2М> < 1.
1 1 - 2АГ5 _
Пусть п - такое натуральное число, что — <-------. 1огда существует по
п N +1
меньшей мере одно 5 из системы ОД,...,и — 1, что точка к + — принадлежит
п
наибольшему отрезку дополнения. Лемма доказана.
Образуем прямоугольные контуры следующим образом: в каждом П^ по лемме 3 возьмём по одному отрезку
ук -\х + 1у\\х\<И, у - к + , целиком лежащему в П4(8), и состоит
I и ]
из отрезков ук, ук+], у+к и У*> где = \х + ¡у\х = ±И, к + у <
I "
< к + 1 + I. Тогда Г4 с П(8). Далее, из построения видно, что множе-
п ]
ство {Г4} разбивается на конечное множество подмножеств, состоящих из одинаковых контуров. Аналогичное построение проводится и для полосы
{х + 1у\\х\<Ь, у <0}.
ЛЕММА 4. Пусть J - любой конечный набор натуральных чисел.
Тогда существует С> О, не зависящая от J, что
I
keJ rt
^ с (1
норма в пространстве операторов над Ь2[0,1]).
В том случае, когда все контуры , входящие в J, одинаковы, этот факт устанавливается также, как в случае дифференциальных операторов с двухточечными краевыми условиями. Общий случай сводится к этому, так как в силу рассуждений выше любой набор У можно разбить на ограниченное число множеств индексов, для которых все \\ одинаковы.
ЛЕММА 5. Система собственных и присоединённых функций (с.п.ф.) оператора Ь полна в ¿2 [0,1].
ТЕОРЕМА. Система с.п.ф. оператора Ь образует базис Рисса со скобками в [0,1]. При этом в скобки нужно объединять лишь те с.п.ф., которые отвечают собственным значениям, попавшим в контуры ГА.
УДК 517.984
Д. С. Лук-омский
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ТОЧКОЙ ПОВОРОТА НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ*
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
y"{x) + {p2r(x) + ipp{x){x) + q(x))= 0, дсе[0,я]. (1)
Пусть а>0, r(x) = sign(x - а) на [0,7i], р(х), р'(х), q(x) е 1(0,оо), р(х) - абсолютно непрерывна.
Обозначим П+ := {р : ±1шр > 0}, П = П+ иП_. Пусть Ф(х,р) является решением уравнения (1) при условиях: С/(Ф) = 1, К(Ф) = 0, где линейные формы U и V заданы следующим образом:
t/W:=/(0)-(ß,P + ßoMO), V(y)-y'(n)-(ß2p + ß3)y(n). (2) Здесь ß,-, i = 0,3 - комплексные числа и ß, ±1, ß2 * ±i ■
Функция Ф(х, р) называется решением Вейля, а М(р):=Ф(0,р) -функцией Вейля задачи (1), (2). Последнее условие исключает из рассмотрения задачу типа Редже [1], которая требует отдельных исследований.
' Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1),
