О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с интегральным краевым условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

В. II. Курдюмов, А. П. Хромов

О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ"

Н [1] установлена базисностъ Рисса системы собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) оператора L :

Ly = by(x) + y\ 1-х), *е[0,1], (])

i

\y(t)da(t) = 0 (2)

о

в том случае, когда a(f) является ступенчатой функцией. Теперь этот результат распространяется на случай, когда ст(?) является произвольной функцией ограниченной вариации. Предполагаем, что выполняются условия

Ъ1 ф 1, aß*0, (у2сс2-ß2)(y2ß2-a2)*0, (3)

где a = ст(+0)-cr(0), ß = a(l)-a(l-0), y = d(\ + bd)~\ d = (b2 -1)~1/2. Введем в рассмотрение операторы:

1-х 1-х

Л,°/= J/(* + t)¿ct(т), Л°/ = }/(' - х- x)da(x),

0 с

1 1

Alf = J/( т - х) da( х), Alf = |/( 1+ Х-Т )da(~),

х х

где f{x) е С[0,1]. Гак как где норма берется в 12[0Л], то

эти операторы могут быть продолжены по непрерывности на все [0.1] и эти продолжения будем обозначать А-г Далее, для определенности будем считать, что Re Xd > 0.

ЛЕММА 1. Обозначим через Я, =(L-\E)~~ резольвенту оператора L (Е - единичный оператор, к - спектральный параметр). Тогда, если f(x) е Ln [ОД], то R, f представляет собой линейную комбинацию опера-

1 .г

торов ^^"'Эф(t)dt и je~Ad<x '^0(r)dt с постоянными коэффициентами и

х 0

операторов e~XdxF,(/Д), e>J<-x~]-Fj(f,X) с коэффициентами, представи-

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1). РФФИ (проект 03-01 -000169) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.375).

61

мыми в виде произведения постоянных чисел на элементы матрицы Д_1(А.). Здесь Ф(.г) есть линейные комбинации /(х) и /(1-х) с постоянными коэффициентами.

1

о

Д(Л)= |5(ГК(тД ))Лт(т), Г = ^ 0 У(л:,Я,) = Лед(гЫ(я-1),е-ХА),

5 — оператор, определяемый по формуле

(Р] (х) Р2(х)) = ( Р)(х) />2 (*) ЧлМ /^4(■*)/ 1яз0 - /^О"*)/

ЛЕММА 2. Собственные значения ¡Ц оператора Ь находятся в некоторой полосе |ЯеХ<Л<й, причем в любом прямоугольнике с < \т"к.а < с +1 этой полосы их число ограничено постоянной, не завися-шей от с.

Лемма 2 и условие (3) позволяют представить всю полосу | ЯеЛя? |< И [1, с. 81] в виде объединения конечного числа различных групп прямоугольников, границы которых Гт состоят из отрезков, лежащих на прямых Кекс/ = ±к и отрезков, параллельных вещественной оси длины 2к. При этом Ъ - Хкс/\\ > 0 и, кроме того, каждая группа состоит из

равных между собой прямоугольников, и для каждого прямоугольника конкретной группы существует целое 1т, что Гт = Г + Нт, Г - граница некоторого фиксированного прямоугольника из этой группы.

ЛЕММА 3. Пусть 3 - любой конечный набор целых чисел. Тогда и.меет место оценка

I К/^

¿с,

равномерная по .7.

ЛЕММА 4. Система с.п.ф. оператора I полна в Ь2[0,1]. Теперь сформулируем основной результат.

ТЕОРЕМА. Система с.п.ф. оператора Ь образует базис Рисса со скобками в ¿2[ОД]- При этом в скобки нужно объединить те с.п.ф., которые отвечают Кк, для которых ккс! попали в контуры Гт.

Доказательство. Обозначим Е(т) - - ¿¿А. и покажем,

ОС

что ряд ^Е(тк)/(х) сходится к /(х), где т1,т2,... - какой-то наперед

¿=1

заданный порядок целых чисел. Г1о лемме 4 система с.п.ф. {(рк(х)} опера-

тора 1 полна в Ь2[0,\\. Зададим е>0. Тогда существует номер г и числа

ак , к = 1,2,...,г, такие, что |/ -

I

лемме 3 при q достаточно больших

< е . Пусть S = ^ Е(тк ). Тогда j

к=1

I/-vH/-i«*s>*

I!

Г г

2>*Ф* 2>*Ф* !

м

к = 1

*=1

< Е + СЕ .

Единственность разложения очевидна. Теорема доказана. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Курдюмов В. П.. Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с многоточечным краевым условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Выгг. 6. С. 80-82.

УДК 517.5

С. Ф. Лукомский

СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ - УОЛША В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА, БЛИЗКИХ К Z.x."

Пусть ф:[0,+ж) ->[0,+оо) - функция Орлича, т.е. возрастающая выпуклая непрерывная функция, такая, что lim ф(/)// = +» и lim (p(t)/t = 0,

t-*+x г-»+ 0

и пусть Lisp) - пространство Орлича, порожденное этой функцией, т.е.

Цф) = |/ е КОД): II /\\т= infjx > 0: * 1J J ■

Если ф удовлетворяет Д2 условию, т.е. 3/о,С>0, что Vi>i0 tp(2t) < С ■ cp(t), то [1] для частичных сумм Sm(f) рядов Фурье - Уолша функции / бДф) при некоторой постоянной С|(ф) справедливо неравенство

i! SJf) ||£(ф)< С,(ф)-1| / \\т, где ф(х) = xf^dt.

1 t

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 03-01-00390), гранта Президента РФ для поддержки ведупдах научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.374).

63