О базисах Рисса из собственных функций интегральных операторов с переменным пределом интегрирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

^,/>2еР(ц) (ц(Р„Р2)=0оР1=Р2), (3)

а все известные простые метрики, для которых протоминимальных метрик не существует, данным свойством не обладают, возникает следующая гипотеза.

ГИПОТЕЗА. Для того, чтобы у простой метрики р существовала протоминимальная метрика, необходимо и достаточно выполнение условия (3).

ТЕОРЕМА 3. Пусть р, р - простые вероятностные метрики. Если для \х существует протоминимальная метрика V с отображением достижения ф и существует К > 0, для которого верно неравенство

ц^.Рг^Яц'^.Рг) (р„Р2еР1), то для (I также существует протоминимальная метрика с отображением достижения ф, причём её можно построить по формуле

у(Р12)=М[р(Р1(&)+- + ^п,Р2)-.М{Рп)}, где ^(р12)=|а>...,ел)бР1х-хР1 :у'(р12)^ц'(Р1,а)+.-.+ц(е„,Р2)}.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Золотарёв В, М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986.

УДК 517.984

В. П. Курдюмов, А. П, Хромов

О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ*

Рассмотрим интегральный оператор

1-х

АДх)= ¡Л(1-х,0/№,хе[0,1]. (1)

о

Будем предполагать, что при 0 < ? < х < 1 существуют и непрерывны

производные —---А(х,1) (у = 0,1,...,«; 5 = 0,1) и, кроме того, считаем,

дх'дг1

д>

что —и = 0,1,...,и), где 6,-символКронекера.

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.

Оператор (1) исследовался в [1, 2], где была установлена равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) оператора (1) и разложений в тригонометрические ряды Фурье. Теперь мы установим, что система с.п.ф. такого оператора образует также базис Рисса в Ь2 [0,1]. При п = 1 этот результат установлен ранее в [3].

В пространстве вектор-функций размерности 2 введем инте-

гральный оператор

1/2

№)= рхе[о,±], о

где М(х,1) = ВГ~1Я(х,1)Г, =

.11(*. ■0 = ~ [\ + ^ -' »*). Щ2 (х, 0 = 0,

~ , . эм г 1 1 ^ ~ . , эм г 1 1 V ч

?) — ядро интегрального оператора 7У1 = (.Е + Л „- £, Е - единичный оператор, Л „/(*) = ^ е(х,?) = 1 при / < л: и е(л,г) = 0

о <Эх

(1 (П [1 Г

при I > х, В = , Г =

1° -и I1 -1,

Обозначим далее через Ь интегродифференциальный оператор Ьу = Ву^\х) + Иу{п-х\х), *е[Ц], с граничными условиями

ик(У)-Р^к~1\0) + Оу(к-1){\)= о (к = 2г-\, г = !,...,§),

гле/>,= Г ^/>2 =

1 0 о о

, е=

0 о

1 -1

(считаем, что п - четное).

ЛЕММА 1. Система с.п.ф. оператора А образует базис Рисса в [0,1], тогда и только тогда, когда система с.п.ф. оператора Ь образует базис Рисса в [о,

ЛЕММА 2. Достаточно большие по модулю собственные значения Хт оператора Ь однократны.

ЛЕММА 3. Справедлива оценка

73

те/

где Е(Хт) = —— , = (I - ХЕ) 1, Ст - замкнутый контур в X -

2ШСт

плоскости, содержащий только одно собственное значение Хт оператора Ь, J- произвольный конечный набор попарно различных натуральных чисел, С >0 и не зависит от 7, || • || - норма оператора в [о,

ЛЕММА 4. Если Е(кт)/= 0 для всех собственных значений Хт оператора Ь, то /(х) = 0 почти всюду.

ТЕОРЕМА. Система с.п.ф. оператора А образует базис Рисса в

¿2 [ОД]-

Доказательство. Пусть Е (Хк) - оператор, сопряженный к

00 #

Е(Хк). Покажем, что (Хк)/ безусловно сходится к /(х). Из леммы 4 к =1

следует, что система с.п.ф. сопряженного к Ь оператора полна в

Поэтому для любого е>0 существует номер т и числа ак

(к = \,...,т), такие, что /- ¡к

к=1

< е. Зафиксируем некоторый порядок

а членов ряда ^Е*{Хк)/(х) и обозначим = Х^Ч^-А:)- Тогда по лем-к=1 ' к=1 ме 3 при I достаточно больших имеем

т т ( т ^

||/ - ^ / - X + X а*V* - 5/,а I ак\ук

к=1

1*=1 Ч*=1

м

< б + Се.

ы\

/

Так как )/(*) = ХС/'Ф/ОЧ'аМ» гДе {ф*(*)} _ система с.п.ф. опе-

к = 1

ратора Ь, то система {»¡/^(л:)} образует перестановочный базис, а система к(х)|\|/к| 11 и биортогональная к ней, которая состоит из с.п.ф. оператора Ь, - базис Рисса [4, с. 374, 381]. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хромов А. П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб. статей, посвященный 70-летию П. Л. Ульянова. М.: Изд-во АФЦ, 1999. С. 255-266.