Нутационные автопараметрические колебания вертикального ротора при обкатывании статора Текст научной статьи по специальности «Физика»

Г.В. Павлов, В.С. Бородин

НУТАЦИОННЫЕ АВТОПАРА МЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО РОТОРА ПРИ ОБКАТЫВАНИИ СТАТОРА

Исследована задача о качении статически несбалансированного двухопорного вертикального ротора в режиме обкатывания внутренней поверхности статора. Найдены границы устойчивости режима и проведен численный анализ уравнений движения ротора. Построены амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики.

Рассматривается качение статически несбалансированного двухопорного вертикального ротора, моделируемого тонким неоднородным диском на жестком валу, подвешенного в опорах системой горизонтальных пружин с жесткостями С1а, С1р, С2а, С2^, создающих упругое поле, вращающееся вместе с ротором. Вертикальное смещение ротора стеснено вертикальной пружиной с жесткостью С . Влияние внешнего трения учтено введением в опоры диссипативных сил с неполной диссипацией. Считаем, что при равновесии ротора диск касается цилиндра и, вообще говоря, отклоняется от оси цилиндра. Движение ротора происходит вне связи с двигателем, по инерции. Такой характер движения ротора может соответствовать аварийному режиму.

Движение ротора отнесено к неподвижной системе координат ОХУ2 (рис. 1). Вертикальная ось 7 совмещена с осью е3, вращающегося репера

е2

ось

е2 которого лежит в одной

вертикальной плоскости с точкой Д. Эта точка выбрана за начало полуподвижной системы ее'2е3. Ось е2 проходит через геометрический центр диска и точку Д, а е/1 — по касательной к диску в точке Д и направлена в сторону возрастания угла собственного вращения р диска. С центром масс диска совмещено начало жестко связанных с диском осей хуг. За обобщенные координаты приняты у г, следящие за точкой касания, и углы Резаля а,Р и р.

Задача в такой постановке приводит к трем динамическим нелинейным уравнениям движения и двум линейным по скоростям уравнениям неголономных связей [1]. Важным представляется анализ режима движения ротора, когда траектория точки касания лежит в плоскости параллельной основанию. В этом случае уравнения связей становятся интегрируемыми. Удерживая в уравнениях первые слагаемые разложения функций в ряды Тейлора относительно нулевых значений переменных, положим, для полноты исследования, что зависимость силы нелинейной упругой связи от перемещения в плоскости угла Ь представлена функцией /(Р) = у3Р3 + у5Р5. Тогда система уравнений, описывающих движение ротора в окрестности локального минимума потенциальной энергии, определенной нулевыми значениями обобщенных координат принимает вид

Р и с. 1. Схема качения ротора

Р+О2(р)Р = -п1г + в/1(Р, Р, Р,р,р) + е2..., (р = 0,7 = 0.

Здесь о(р)=Л\[08(- Г р )]; М -

цилиндра-статора; е = —, є

г

масса диска ротора; г

С

(1)

радиус диска; Я — радиус

эксцентриситет диска; пг = 0.8

Мг2

Л(Р,Р,Р,р,р) = 1.6(Роо&р -рР8Іпр-р Роо&р -кх Р- у3Р3 - у5Р5); кх = 0.

2Я

Мг2

е

п - коэффициент внешнего трения; С22 = С1^Ь] + С2р Ь2, С23 = Сгг,Ьг,Ь2 — расстояния от опор

до точки крепления диска. Как следует из (1) движение ротора сопровождается смешанными вынужденно автопараметрическими колебаниями, обусловленными статической

r

. 2

неуравновешенностью и наличием слагаемого —р / cos р, вносящего параметрическое

2R

возмущение.

Характерна зависимость собственной частоты системы ротор упруго демпфирующие опоры от частоты вращения ротора, представленная на рис. 2. Первое уравнение (1) можно рассматривать как математическую модель маятника с вибрирующей верхней точкой подвеса, а при о<0, как модель колебания обращенного маятника в поле центробежных сил инерции. Интегралом третьего уравнения является константа. Полагаем ее равной нулю. Наличие ненулевого члена с постоянным значением координаты z не повлияет на характер изменения амплитуды и фазы колебаний. Это приводит лишь к уводу центра колебаний, вследствие несимметричности функции /(a,Y).

Такое заключение нельзя считать очевидным, если

1400

Р и с. 2. Зависимость собственной частоты • • системы от частоты вращения

р = W ф const. Предполагая, что частота р

медленно изменяется в течение периода и что расстройка частот а-p охватывает как резонансную зону, так и зоны подходов к резонансу, будем искать решение системы (1) в виде

• •

b = a cos Y, b = -ap sin Y, р = —,(Y = pt + X). (2)

Здесь W- порождающее решение второго уравнения соответствующего системе (1). Неизвестная частота p в выражении полной фазы Y определяется, исходя из анализа фаз

• •• •

комбинационных частот функции f1(b,b,bРР), стоящей под знаком интегралов [2]: г2ж Г О О

f [- О2 cos Y cos —(Y- X) - 2а0 sin Y sin —(Y- X)] sin Yd Y ;

Jo R p p

f2p [- О2 cos Y cos — (Y - X) - 2аО sin Y sin — (Y - X)] cos Yd Y.

Jo R p p

После преобразования произведения косинусов и синусов получаем подынтегральные

W W e

выражения, содержащие тригонометрические функции с фазами (2 • — )y ± — X . Отсюда

pp

следует, что при отношении — равному целому числу, для обнаружения синхронного

p

резонанса в первом приближении, необходимо выполнение равенства W = 2p. Следуя методу возмущений, амплитуду а, фазы X и угловую скорость W определим из системы уравнений

— = sA¡(a,X, — ), — = а - p + eBI(a,X,W), d— = eC1(a,W), dt dt dt

где функции A1,B1 находятся как частные, периодические по X решения уравнений

(а - p)a ^Bl + 2®Aj =—— f [F1(a cos Y, -ap sin Y, О) + F2(a cos Y,—(Y-X))]sin YdY ;

^X p Jo p

ЭХ

3At

Ґ 2ж Jo

(w - p)a ^Al - 2awBl = — í [Fl(a cos Y, -ap sin Y, W) + F2(a cos Y, — (Y-X))]cos YdY ; ДХ ’ Jo p

C¡ = í sin W (Y - X )dY. Здесь Fl(a cos Y, -ap sin Y, W) = -kl b - g3 b3 - Ys b5;

op

W r 2

F2(a cos Y,—(Y-X)) = b cos j - jb sin j-j b cos j.

p 2R

Проводя усреднение при у5 = 0 по быстрой фазе у, запишем амплитудно-фазовые уравнения в явном виде:

da

dt

n—a Wa

SMr w 10

. e dX W 3ga2 W

sin2X; — = w----------+ —--------

dt

10w 10

dW

cos2X; — = 0. dt

(3)

Слагаемое с гармонической составляющей вызывает субгармонические колебания,

r •2

источником которых является, кроме нестационарной силы —р b cos р, диссипативная сила

R

2pbsinр и нестационарная сила инерции bcosр.

Первые слагаемые в правых частях (3) моделируют автоколебательный процесс. Анализ этой системы проведен при следующих численных данных, заимствованных из [3]

C1a = C1P = C2a = C2b = 3260кгс»с2*см'1, Lx = 21 см,L2 = 18.9 см, Cz = 10000 кгс»с2»см'1. R=9.99см, R=10см, М=7.55^10-3кгс«с2«см_1, п=0.5кгс»см»с, у3=0.2кгс»см~3.

В соответствии с (3) найдем уравнения стационарных амплитуд и фаз субгармонических колебаний центра масс ротора:

4 20 w

a +------------

3 Y tg 2X = —

W

w----

v 2,

2 4 n W2 100 w

a +---------;——;r +

9 M2 r4 Y2 9 Y2

2

W

w----

v 2,

w2 W2

10g

2

= 0;

nW

SMr w

W 3 y 2

w----+ ——a

2 10 w

; sin 2X =-

2nR

Mr w(R - 2r)

(4)

W

C точностью до e»w-----имеем

2

a2 =

10

3g

W 2 0.2 2 4 4 2r 2 2 2

- w ±——^4 M r w (1----------)2 -4n w

R

2nW

tg2X =--------2

3Mr Ya

Г раница зоны синхронизации находится в интервале

w2 --0і2^Л M2r4w4(1 - —)2 -4n2w2 < Mr 2 \ R

W

v2/

< w2 + -0l2^. M2r4w4(1 - —)2 - 4n2w2. Mr 2 V R

Ширина резонансной зоны, в которой положение равновесия ¡5 = 0 оказывается неустойчивым и в системе самовозбуждаются колебания, равна

л 0.4 2 4 4

Д = —т. M r w Mr2 V

'1 -

v R

2

- 4n2w2 .

/

На рис. 4 приведены результаты численного анализа переходного режима колебаний как в непосредственной близости к резонансной зоне, когда расстройка частот 2а — £ Ф 0, так и в самой зоне резонанса. Нутационные колебания носят симметричный характер, происходящие с постоянной фазой. Амплитуда ограничена и стремится к фиксированному значению, т.е. существует устойчивый придельный цикл. Для анализа устойчивостью стационарного режима, т.е. постоянных решений при Х0 образуем уравнения в вариациях, которые приводят к двум

условиям устойчивости:

C,

2n

Mr 2w2

< 0, M2 r V

'1 - 2:

R

2

> 4n . Эти условия будут выполнены,

если а) =—^----------------О > 0. По соотношениям (4) построены амплитудно-частотные и фазово-

Мг2 Я

частотные характеристики (рис. 3).

Из рис. 3 следует, что существует пороговое значение угловой скорости вращения ротора, при которых наступает резонанс.

Рис. 3. Амплитудно-частотные (а) и фазово-частотные характеристики (б)

-0,01

Ж: ' -'і' ї

іН:мі ..........

о.о і

в г

Р и с. 4. Численный анализ переходного режима: а - угол нутации; б - угол у; в - угол прецессии; г - фазовая плоскость по амплитуде колебаний ротора

а

б

а

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А.А. Алифов, К.В. Фролов. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. М.: Наука, 1985. 327с.

2. Кельзон А.С., Журавлев Ю.Н., Январев Н.В. Расчет и конструирование роторных машин. Ленинград: Машиностроение, 1977, 287с.

3. Павлов Г.В., Бородин В.С., Вронская Е.С. Динамика вертикального несбалансированного ротора, имеющего точку касания со статором // Труды международного форума по проблемам науки, техники и образования. М., 2001. С 14-16.

Поступила 10.03.2003 г.