NP-неполные проблемы над полем действительных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2004. № 3. С. 48-50. © Омский государственный университет

УДК 510.52

NP-НЕПОЛНЫЕ ПРОБЛЕМЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

А.Н. Рыбалов

Омский государственный университет, математической логики и логического программирования 644077, Омск, пр. Мира, 55а1

Получена 14 апреля 2004 г-

Unconditional existence of non-complete problems in NP over non-ordered real field are proved.

Классическая теорема Ладнера [5] утверждает, что если Р ф^ NP, то в классе NP существуют множества, не принадлежащие Р и не являющиеся ./VP-полными. Этот результат был перенесен на поле комплексных чисел в [6] и на упорядоченное поле действительных чисел в [3]. Над неупорядоченным полем действительных чисел в [4] было доказано, что имеет место Р =/= NP. Это дает возможность установить подобный результат, не опирающийся на гипотезу типа Р =/= NP.

За основу теории сложности над произвольной алгебраической системой примем подход, основанный на модели вычислимости, предложенный в [1]. Дадим основные определения теории сложности, перенесенные на произвольную алгебраическую систему.

Пусть А = (А, а) - алгебраическая система с конечной сигнатурой а. Рассмотрим систему НЦЛ) = <НЦА),а*), где

HL(A) = {JZ0Ln(A),

Lo = А, Ln+1 = L(Ln) U Ln.

Здесь L(M) - множество всех конечных списков с элементами из М. Сигнатура а расширена до а* добавлением функций cons (добавление одного списка в конец другого), tail (отбрасывание первого элемента списка), head (взятие первого элемента списка) и константы nil (пустой список). Основным вычислительным устройством является машина с неограниченными регистрами (МНР), которая может вычислять функции и предикаты из сигнатуры а*.

1 e-mail: [email protected]

Определение 1. Размер списка х

{1, если х = nil или .t G 4,

E"=l size(xi) +1, .Г = (;ГЬ . . . ,;Г„).

Определение 2. Время работы 1м(х) машины М на входе х есть сумма времени выполнения каждой инструкции М на х. Причем время выполнения инструкции со списками равно сумме их размеров, а остальных инструкций -единице. Если машина не останавливается на х, то t]\i(x) = оо. Будем называть функцию i-м HL(A) —>■ N функцией времени машины М.

Определение 3. Множество S С HL(A) принадлежит классу Р, если его характеристическая функция

{(nil, nil), если х <G S,

nil, если х ^ S.

вычислима на МНР с функцией времени, ограниченными полиномиально от размера входа.

Определение 4. Множество (проблема) S С HL(A) принадлежит классу N^P (соответственно, классу /V2P), если существует МНР с недетерминированными ветвлениями (соответственно, с недетерминированными подсказками) М и полином р(п) такие, что х £ S -ФФ- существует вычислительный путь М, на котором она выдает результат nil и при этом 1м(х) < p(size(x)).

Определение 5. Множество S <G /V2P называется Л^Р-полным, если для любого другого множества Т £ N2Р существует функция / (сводимость), вычислимая на МНР с полиномиально ограниченной функцией времени, такая, что

.г ет о /(.г) G s.

NP-неполные проблемы над полем действительных чисел

49

Рассмотрим неупорядоченное поле действительных чисел

U=(R, {0,1, +, —, /, х}).

Рассмотрим последовательность натуральных чисел {а»}:

cto = 1, ап+1 = 2а,\

Определим следующие множества списков глубины 1 из действительных чисел:

fil = {(;Г1,... , хп) : ViXi > 0, а4к <п< а4к+1},

= {(^ь • • • , хп) ■ V«Xj > 0, а4к+2 < п < а4к+3}.

Лемма 1. Для г = 1,2 ilj € N-2P, но fij ф P.

Доказательство. Полиномиальная недетерминированная машина с подсказками, распознающая f]j, работает так. Сначала получает число п, равное размеру входа. Затем находит такое к, что ак <п< ak+i. Для этого она вычисляет [log(n)\, [log([log(n)])\... до тех пор, пока не получит 1. Число операций log и есть к. Если к ^ Am для fii или к ф Am + 2 для Пг, машина выдает (nil, nil). Иначе проверяет неотрицательность каждого элемента входа при помощи подсказки:

Xj >0»3r£l: Xj = г2.

Если все проверки успешны, выдает nil.

Пусть теперь, например, Oj € Р. Подадим на вход МНР, распознающей fii, список а = (а), где а - положительное трансцендентное число. Очевидно, а € !li и МНР выдаст (nil, nil). Вычислительный путь МНР на а содержит некоторое число условных переходов с проверками fk(a) = 0?, где fk - отношения полиномов с целыми коэффициентами. Так как а - трансцендентное, то fk(a) ф 0 для всех к. Теперь подадим на вход МНР список /3 = (—а). Для него тоже fk(—а) ф 0 для всех к, а потому вычислительный путь МНР на /3 тот же самый и заканчивается выдачей (nil, nil). Но ¡3 ф fii. Противоречие. Аналогично доказывается, что Пг Р-

Лемма 2. Множество Пг не сводится полиномиально к множеству fii. Доказательство. Пусть сводится и / - соответствующая сводимость. То есть .г £ Пг ^ /(.г) £ f2i. Пусть size(x) = п. По определению множеств f]j имеет место а4к+2 < п < а4к+з и либо size(f(x)) > а4к+4, либо size(f(x)) < «4fe+i • Первое не может быть, так как в этом случае size(f(x)) > - противоречие с по-

линомиальной сводимостью /. Во втором случае size(f(x)) < log(n). Докажем, что и это невозможно.

Подадим на вход МНР, вычисляющей /, список (;Г1,..., хп) из алгебраически независимых над Ъ действительных чисел. Выход при этом будет иметь ВИД (/1 (;Г1 ,... , хп),..., /т (х 1,..., хп)) , где т < п и fi - отношение полиномов с целыми коэффициентами. Это сохраняется и для других алгебраически независимых Х1,..., хп , так как во всех условных переходах МНР будут неравенства, а значит вычислительный путь МНР для них один и тот же.

Итак, согласно определению сводимости /, для всех алгебраически независимых над Ъ чисел XI,..., хп имеет место

•п О... ,,хп ()::./•;.'•: о...../т(х) > 0, (*)

гДе /г — отношения полиномов с целыми коэффициентами и т < п. Заметим теперь, что

(| > о) ^ дк > 0.

Знаменатель дроби не равен нулю из-за выбора чисел ;Г1,...,;Г„. Поэтому без ограничения общности можно считать все f^ полиномами с целыми коэффициентами. Из соображений непрерывности следует, что (*) имеет место для всех наборов XI,..., хп. Докажем, что таких многочленов /г не существует.

Покажем, что если в наборе (.гх,..., хп) а^ = = 0 для некоторого г и хк > 0 для к ^ г, то существует ] такое, что fj(x) = 0. Пусть нет. Тогда по (*) для всех ], fj(x) > 0 и по соображениям непрерывности существует окрестность точки (;Г1,... , хп), в которой для всех ] , fj(x) > 0. Но любая окрестность этой точки содержит точки, в которых Хг < 0, а тогда из (*) следует, что существует I такое, когда значение /; отрицательно. Противоречие с (*).

Теперь покажем, что для каждого г существует такое ], что fj(x) = . Если положить

, . . . , Хп) | | /I (х^,... , хп),

то из проведенных выше рассуждений следует, что для любого набора (;Г1,..., хп), в котором XI = 0 и хк > 0 при к ф г, -Р(.г) = 0. Тогда, представляя полином как полином от х^ с коэффициентами-полиномами от переменных хк, к =/= г, получаем, что делится на х^, а значит, хотя бы один из сомножителей fj делится на Хг.

Положим .гх = 0. Тогда некоторый fj (без ограничения общности /1) тождественно равен 0. По (*)

.гх = 0, х-2 > 0,..., хп > 0 -ФЗ- /х (0, х-2,..., х„ ) = 0, /2(0,х2,...,х„) > 0,...,/т(0,х2,...,х„) > 0.

50

А.H. Рыбалов

Или

х2 > 0,... ,х„ > 0 ^ д2{х) > 0,... ,дт{х) > О,

где дг(х) = /¿(0, х-2,..., хп). Повторяя вышепро-веденные рассуждения, получаем случай для п — 2 переменной и т — 2 полинома и т. д. В конце получим, что

XI > 0,..., х; > 0 /г(х1,..., х;) >0 (**)

для некоторого полинома /г и I > 1. Из приведенных выше рассуждений также следует, что

/г(х 1,... , х;) = XI ... х;/г(х).

Теперь положим XI = —1, = 0,..., х; = 0 /г(х) = 0 - противоречие с (**).

Теорема . В классе А^Р над 71 существуют ,множества, не лежащие в Р и не являющиеся N2 Р-полными.

Доказательство. Из лемм 1 и 2 следует, что таким множеством будет Пх.

Автор благодарит И.В. Ашаева за полезные дискуссии в процессе написания этой статьи.

[1] Aiua.ee И.В., Беляев В.Я., Мясников А.Г. Подходы к теории обобщенной вычислимости // Алгебра и логика. 32. № 4. (1993). С. 349-386.

[2] Романов Р.В. Некоторые проблемы обобщенной вычислимости: Препринт № 98-03. Омск, 1998. С. 1-32.

[3] Ben-David S., Meer К., Michaux С. A note on non-complete problems in NPr // Journal of Complexity. 2000. Vol. 16. № 1. P. 324-332.

[4] Blum L., Cucker F., Skub M., Smale S. Complexity and Real Computation. Springer, 1998.

[5] Ladner R. On the structure of polynomial time reducibility // Journal of the ACM. 1975. Vol. 22. P. 155-171.

[6] Malajovich, G., Meer K. On the structure of NPc // SIAM Journal on Computing. 1999. Vol. 28. №.1. P. 27-35.