CC BY
8
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2004. №1. С. 19-21. © Омский государственный университет
УДК 543.123
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ СЛОЖНОСТИ ПО ПРОСТРАНСТВУ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
А.Н. Рыбалов
Омский государственный университет кафедра математической логики и логического программирования 644077, Омск, пр. Мира, 55а1
Получена 14 ноября 2003 г.
Space complexity over arbitrary algebraic structure of finite type is considered. Separation results about polynomial space complexity classes over non-ordered real field are proved.
Время работы машины Тьюринга и пространство (память), используемое при работе, - естественные ресурсы, рассматриваемые в классической теории сложности алгоритмов над конструктивными объектами, такими, как слова в конечном алфавите или натуральные числа. Начиная с работы [3], активно изучается сложность вычислений над произвольными алгебраическими системами. Цель этой работы - исследование отношений между полиномиальными классами сложности по пространству и времени для неупорядоченного поля действительных чисел в рамках модели вычислимости, предложенной в [1].
Пусть A = {A, а) - алгебраическая система с конечной сигнатурой а. Следуя [1], рассмотрим систему HL(A) = {HL(A),a*), где
HL(A) = U:=o Ln(A), Lo = A, Ln+i = L(Ln) U Ln.
Здесь L(M) - множество всех списков с элементами из M. Сигнатура а расширена до а* добавлением функций cons (добавление одного списка в конец другого), tail (отбрасывание первого элемента списка), head (взятие первого элемента списка) и константы nil (пустой список). На основе абстрактного вычислительного устройства (МНР), которое работает со списками из HL(A), используя функции и предикаты а* , в [1] была развита теория вычислимости функций на множестве HL(A).
Следующие определения переносят основные понятия классической теории сложности на алгебраическую систему A.
1 e-mail: rybalov@omskreg.ru
Определение 1. Размер списка x
, . Г 1, если x = nil или x £ A, ( ) I J2i=i size(xi) + 1, x = {xi,...,xn).
Определение 2. Функция пространства МНР M
sm(x) = max {size(Rk)},
где Rk - регистры МНР M, и максимумы по их содержимому берутся за все время работы машины. Если машина не останавливается на входе x, полагаем sm (x) = ж.
Определение 3. Подмножество S С HL(A) принадлежит классу PSPACE, если его характеристическая функция (она равна nil на элементах S и {nil, nil) на остальных списках) вычислима на детерминированной МНР с функцией пространства, ограниченной полиномом от размера входа.
Определение 4. Подмножество S С HL(A) принадлежит классу NiPSPACE (соответственно N2PSPACE), если существует МНР M с недетерминированными ветвлениями (соответственно с недетерминированными подсказками) и полином p такие, что
x £ S ^ M(x) I , M(x) = nil, sm(x) < p(size(x)).
Замечание 1. Класс NiP SPACE является прямым аналогом класса NPSPACE в классической теории сложности. Класс N2P SPACE связан со спецификой основного множества алгебраической системы. Для тьюринговой теории
20
А.H. Рыбалов
сложности, когда основное множество конечно, эти два класса совпадают. Теорема 2 этой работы показывает, что существуют алгебраические системы, где такие классы могут не совпадать. Подробнее о двух видах недетерминизма можно прочитать в [2].
Рассмотрим неупорядоченное поле действительных чисел
К= (R, {0,1, +,-,/, х}).
Теорема 1. PS РАСЕ ^ Ni PS РАСЕ над П. Доказательство. Рассмотрим множество
LIN = {(xi,..., хп) : Xi £ R, г = 1,..., п xi,..., хп линейно зависимы над Z}.
То, что LIN G NiPSPACE, следует из возможности построить машину с недетерминированными ветвлениями, которая может генерировать наборы целых коэффициентов и проверять линейные комбинации на равенство нулю. Если такая комбинация существует, машина остановится, и при этом используемое пространство, очевидно, полиномиально.
Докажем теперь, что LIN ф PS РАСЕ. Пусть существует МНР (необязательно с полиномиальным пространством), которая распознает множество LIN. Подадим ей на вход алгебраически независимый над Z набор а = (а^аг). Получим конечный вычислительный путь, заканчивающийся выдачей (nil, nil) (так как а, очевидно, не лежит в LIN). Вдоль этого пути во всех условных ветвлениях имеют место неравенства вида fi(ai,a2) ф 0, % = 1 где fi - раци-
ональные функции с целыми коэффициентами. Множество
А= |(.ri,.r2) : /i(.ri,.r2).../„(.ri,.r2) =о| не может полностью включать множество
оо
B=U |(;Г1,;Г2) : XI + кх-2 = о}. fc=0
Поэтому можно выбрать вход /3 = (61,62) такой, что /3 G В, но [3 А. Теперь /3 G LIN, но вычислительный путь МНР на нем тот же, что и у а, так как /¿(61, 62) ф^ 0 для всех г = 1,... ,п. А значит, /3 ф LIN - противоречие.
Замечание 2. Доказанное утверждение показывает, что на систему 1Z не переносится классическая теорема Сэвиджа, утверждающая, что в тьюринговой теории сложности классы PS РАС Е и NPSPACE совпадают.
Теорема 2. NiPSPACE ± N2 PS РАСЕ над
системой 1Z.
Доказательство. Покажем, что эти классы разделяет множество
ORD = {(ai,..., ап) : Vi = 1,..., п - 1 сц < ai+1}
всех упорядоченных по неубыванию элементов списков глубины 1.
Принадлежность ORD классу NIPSPACE немедленно следует из того, что предикат нестрогого порядка на R можно смоделировать с помощью одной подсказки из R:
а < 6 -ФЗ- 3g G R : 6 = а + д2.
Теперь легко построить полиномиальную недетерминированную МНР с подсказками из R, которая проверяет, что вход является списком глубины 1, и все его элементы упорядочены по неубыванию.
Докажем, что ORD £ NiPSPACE. Пусть существует полиномиальная МНР с недетерминированными ветвлениями, которая распознает ORD. Подадим ей на вход упорядоченный по неубыванию список алгебраически независимых над Z действительных чисел (?"i,..., гп), где п > 1. По определению, должен существовать конечный вычислительный путь, на котором эта МНР выдает nil. Причем так как элементы входного списка алгебраически независимы над Z, то для всех условных переходов в проверках регистров на равенство вдоль этого пути не могут выполняться равенства, так как в любой момент времени в регистрах находятся дроби с полиномами с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе от чисел ri,...,r„. Теперь переставим числа во входном списке так, чтобы он перестал быть упорядоченным. Но при этом они останутся алгебраически независимыми над Z, а это означает, что существует тот же самый вычислительный путь (на условных ветвлениях опять только неравенства, а на безусловных нужно выбирать те же номера команд, что и в первом случае). Но этот путь заканчивается выдачей nil - противоречие.
Формулировка теоремы 3 требует следующих определений.
Определение 5. Время работы 1м(х) машины М на входе х есть сумма времени выполнения каждой инструкции М на х. Причем время выполнения инструкции со списками равно сумме их размеров, а остальных инструкций -единице. Если машина не останавливается на х, то t]\i(x) = 00. Будем называть функцию i-м HL(A) —>■ N функцией времени машины М.
Полиномиальные классы сложности.
21
Определение 6. Класс Р состоит из множеств списков, характеристические функции которых вычислимы на МНР с функциями времени, ограниченными полиномиально от размера входа.
Теорема 3. Р ± РSPACE над К. Доказательство. Покажем, что классы Р и PSPACE разделяет проблема
INT = {(.Г!,..., хп) : Vi .г; € Z, | < 22" }.
Легко понять, что INT G PSPACE: алгоритм состоит в генерации последовательных натуральных чисел т = 0,1, 2,..., к до тех пор, пока не выполнится равенство к = 22 , и сравнении каждого элемента Xi входного списка с т и — т. Число 22 вычисляется возведением 2 в квадрат п раз.
Допустим теперь, что INT распознается детерминированной МНР со временем работы, ограниченным полиномом р. Подадим на вход список длины п (а, 0,..., 0), где а - трансцендентное число. Рассмотрим вычислительный путь МНР на нем. Вдоль него совершается некоторое число (ограниченное р(п)) сравнений вида
fi(a) =0, г = 1,..., к, к < р( 1),
гДе f i ~ рациональные функции с целыми коэффициентами (могут быть и константами). Так как а - трансцендентно, во всех случаях имеют место неравенства, а сам путь заканчивается выдачей (nil, nil). Теперь возьмем целое число /3, не принадлежащее множеству корней fi и такое, что |/3| < 22 . Это возможно при достаточно больших 11, так как степень многочленов в знаменателях f i ограничена , а значит, число корней у всех f i не больше р(п что меньше 22 при доста-
точно большом п. Подадим список (/3,0,..., 0) на вход. Путь останется тот же, так как опять всегда будут выполняться неравенства /¿(/3) ф^ 0, значит, МНР выдаст опять (nil, nil). Но теперь вход лежит в I NT. Противоречие.
[1] Aiua.ee И.В., Беляев В.Я., Мясников А.Г. Подходы к теории обобщенной вычислимости // Алгебра и логика. 32. № 4 (1993). С. 349-386.
[2] Романов Р.В. Некоторые проблемы обобщенной вычислимости: Препринт № 98-03. Омск, 1998. С. 1-32.
[3] Blum L., Shub М., Smale S. On a theory of computation and complexity over the real numbers: NP-completeness, recursive functions and universal machines // Bull. Amer. Math. Soc. 1989. V. 21. № 1. P. 1-46.
