CC BY
14
УДК 539.3 Долотов Алексей Митрофанова ч,
д.т.н., профессор, зав. каф. «Прикладная механика», ИрГУПС, тел. 89086572297, e-mail:amdolotov@mail.ru Саакян Карен Гургенович,
ст. преподаватель каф. математики, Братский государственный университет,
тел. 89641091509, e-mail: loram66@rambler.ru
НОВЫЙ ВАРИАНТ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ А.Н. КРЫЛОВА
A.M. Dolotov, KG. Saakyan
NEW VARIANT OF A.N. KRYLOV'S FUNCTIONS
REPRESENTANION
Аннотация. В статье рассматривается новый вариант представления нормальных фундаментальных функций А.Н. Крылова для задач расчета стержней и оболочек, содержащих производную искомой величины четвертого, второго и нулевого порядков.
Ключевые слова: А.Н. Крылов, функции А.Н. Крылова, короткие цилиндрические оболочки с учетом сдвига, продольно-поперечный изгиб стержня на упругом основании.
Abstract. In the article a new variant of representation of normal fundamental A.N. Krylov's functions offor problems of calculation of cores and covers containing a derivative of required size of the fourth, second and zero usages is considered.
Keywords: A.N. Krylov, A.N. Krylov's functions, short cylindrical covers taking into account shift, a longitudinal-cross-section bend of a core on the elastic basis.
В ряде задач механики деформируемого твердого тела, а именно: изгиб стержня на упругом основании, продольно-поперечный изгиб стержня, осесимметричная деформация тонкой короткой цилиндрической оболочки и др. - используются функции академика А.Н. Крылова.
В частности, для осесимметричной тонкой короткой цилиндрической оболочки с постоянными параметрами по длине задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения вида
d4 w
dx4
. + 4f4 w = f,
(1)
где w - радиальное смещение точки срединной
„ /3(1 -у2)
поверхности, р = 4 - параметр оболочки,
R - радиус срединной поверхности оболочки, h -толщина оболочки, V - коэффициент Пуассона материала оболочки, / - правая часть уравнения, отражающая условия нагружения оболочки.
Общее решение такого уравнения может быть построено с помощью нормальных фундаментальных функций, предложенных академиком А.Н. Крыловым. Функции А.Н. Крылова для уравнения (1) записываются в виде
70(Дх) = сЬ(Дх)со>5(Дх);
^ (Дх) = — (сИ(Дх) 8т(Дх) + ^(Дх) ^(Дх));
2Д
J_
2f2
Y2 (fx) = — sh(Px)sin(fx);
1
(2)
Y (fx) = —г- (ch(fx) sin(fx) - sh(fx)cos(fx),
и тогда
4f-
w(x) = £ CY (fx) + w*, i = 1...4,
(3)
/1 *
где С,. - постоянные интегрирования, м - частное
решение,
либо в виде
К0 (fx) = ch(Px)cos(Px); К (fx) = 1[ch(fx) sin(fx) + sh(fx) cos(fx)];
К (fx) =1 sh(fx) sin(fx); (4)
2
1
К (fx) =- [ch(fx) sin(fx) - sh(fx) cos(fx)],
4
и тогда
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
х) = £ С К (Д*0 + , г = 1...4.
(5)
Авторами предлагается несколько видоизмененная форма функций И.А. Биргера, полно-функции Крылова в виде (4) в расчетах ис- стью совпадающих при ё = Гс функциями
пользУются чаще, чем в виде (2). В частности, таб- а.Н. Крылова, записанными в виде (4): лицы для К(Рх) приведены в [4, 5], в этом виде
функции А.Н. Крылова используются для определения функций влияния [3, 4].
При рассмотрении задач продольно-поперечного изгиба стержней на упругом основании, осесимметричной деформации тонкой короткой цилиндрической оболочки с учетом влияния осевого усилия, а также оболочки в рамках модели Тимошенко - Рейснера (с учетом сдвиговых деформаций) уравнение (1) несколько видоизменяется и, например, для оболочки Тимошенко -Рейснера принимает вид
Б^ (х) =
Б,о( х) = -^Щг1ск(%х)соа(г1х) -2ёГ
- (ё2 -Г>к(£х)яп(Гх)];
1 [ё(3Г -#2)ск(#х)яп(лх) -
+ Г
-^(З^2 - л2)5к(^х)ео8(лх)]; 4ёГ
(8)
04w 2(1 + и) й2w 12(1 -и2)
0х
кЯ2 0х2
Як
w = /,
(6)
(х) = ^ё _+Г [ёск(ёх)8Ш(гх)-Ч 2Л
-щк(ёх) соБ(лх)].
где к - коэффициент сдвига.
Анализируя корни характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению (6), учитывая, что оболочки относят к тонким или толстым в зависимости от величины отношения к / Я (обычно оболочку относят к тонким при к / Я < 1/20, хотя теорию тонких оболочек применяют и при к /Я «1/5...1/3 [4]), можно заключить, что корни характеристического уравнения всегда комплексные.
Общее решение дифференциального уравнения (4) можно построить с помощью нормальных фундаментальных функций, предложенных И.А. Биргером [1, 2]:
1
В(х) [2^лск(^х)соБ(лх)-(ё2 - г/2)як(ёх)Бш(лх)]; 1
2/ х) =
-[#(3г2-ё2)ск(#х)ап(гх) -
2ёг(ё + Г ) (7)
- г(3ёё -г2)як(£х)со$(гх)];
В (х) = 8И(ёх) бш(гХ) ;
Вз(х) =
1
2ёг(ё2 +г2)
2ёг
[ёск(ёх) в1п(/х) - г^к(ёх) со8(/х)],
, ф(1 V 1+ У ф(1 -V2) 1+ У
где ё = Г~^~+2+2; г = ^к--
Функции И.А. Биргера при ё = Г совпадают с функциями А.Н. Крылова (2), а с функциями (4) с точностью до множителя.
Дифференцирование функций (8) выполняется по следующим формулам:
^ ^Т^ёГТ^ х);
ах
сЩ(х) _ р(ё2 +Г)
йх
АЗД х);
^ШГрад + «,,(х)];
ах 2 ё + Г
б, (х)_ё+гг
0х а2 Б, (х)
ББ2{х);
0х
= -2(ё2 +г2)ББ2(х);
02 Б, (х) 1
0х'
2 — [(ё + Г )БЗД + 4(ё -г2)БЗД]; 2
02 Б, (х) 1
0х
= -[(ё + Г )БЗД + 4(ё - г )Б53(х)];
= -V2(ё2 +Г2)[(ё2 +Г2)Б^1(х) + 4(ё2 -Г2)Б^з(х)];
ах
= 42(ё2 +Г2)3Б52(х); (9)
03Б^х)_ф(ё2 +Г).
Сх
ё2 +Г
-[(ё4 -Г4)Б^,(х) + (ё2 - ЗГ2) х
:(3ё2 -Г2Бз(х)];
0Б3(х) _^2(ё2 +Г2) 0х3 " 4
[(ё2 +Г2)Б,о(х) + 4(ё2 -Г2)Б^2(х)];
04 Б, (х)
0х4 04 Б, (х)
0х4
= -(ё2 + Г2)2 Б,0 (х) - 4(ё4 - Г4)Б,2 (х);
= -(ё2 + Г2)2Б,1 (х) -4(ё4 - Г4)Б,3(х) ;
2
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
d 4 DS2( x) =-(#2 +V2)2 DS2( x) - -14)DS0( x) + ax
+4(#2 - T12)DS1(xy,
= (Г -14)DS1(x) + (£2 -3i2)(3^2 -i2)DS3(x) .
dx
Справедливость приведенных выше соотношений подтверждается подстановкой общего решения (10)
м(х) = Х СДО (х), , = 1...4 (10)
в однородное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (6), которое с учетом принятых ранее обозначений принимает вид:
d4 w
dx4
d 2_w
dx2
-2(#2-12)+ (#2 + 1> = 0 . (11)
Выводы
Предлагаемый вариант представления функций академика А.Н. Крылова может быть полезен при построении с единых позиций расчет-
ных схем, использующих различные модели описываемых элементов, например оболочки Кирхгофа - Лява и оболочки Тимошенко - Рейснера.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Биргер И.А. Стержни, пластинки, оболочки. -М. : Физматлит, 1992. - 392 с.
2. Биргер И.А. Некоторые математичекие методы решения инженерных задач. - М. : Оборонгиз, 1959. - 149 с.
3. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчеты на прочность деталей машин : справочник. -М. : Машиностроение, 1993. - 640 с.
4. Прочность, устойчивость, колебания : справочник / Под. ред. И.А. Биргера и Я.Г. Па-новко. - М. : Машиностроение, 1968. Т.1. -832 с., Т.2. - 463 с., Т.3. -567 с.
5. Расчеты на прочность в машиностроении / под ред. С.Д. Пономарева. - М. : Машгиз. Т. 1. -1956. - 884 с. Т. 2. - 1958. - 974 с. Т. 3. - 1959. -1118 с.
УДК 625.03: 625.1.03: 629.4.015 Новосельцев Виктор Петрович,
к.т.н., доцент УУИЖТ- филиала ГОУ ВПО «ИрГУПС», г. Улан-Удэ, тел.: 8 (3012) 28-37-82
Гордеева Анна Александровна,
ст. преподаватель УУИЖТ - филиала ГОУ ВПО «ИрГУПС», г. Улан-Удэ, тел.: 8 (3012) 28-37-82
ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ РЕЛЬСОВОГО ПУТИ НА ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕСНОЙ
ПАРЫ И РЕЛЬСА
V.P. Novoseltsev, A.A. Gordeeva
THE INFLUENCE OF LONGITUDINAL FLEXIBILITY OF A RAILWAY LINE ON THE INTERACTION BETWEEN THE SET OF WHEELS AND THE RAIL
Аннотация. Рассматривается возможность возникновения параметрических явлений в задачах взаимодействия колесной пары с рельсовым путем, обладающим продольной упругостью.
Ключевые слова: продольная динамика рельсового пути, параметрические колебания, приведенная жесткость.
Abstract. The publication studies the possibility of the parametrical phenomena occurrence in the
cases of interaction between the set of wheels and the rail having longitudinal elasticity.
Keywords: longitudinal dynamics of a railway line, parametrical fluctuations, the resulted flexibility.
Исследованиями последних лет показана степень влияния продольной жесткости верхнего строения пути на динамику подвижного состава. Этот факт подтверждает необходимость систематического контроля за состоянием железнодорож-
