CC BY
41
Cloud of Science. 2019. T. 6. № 4 http:/ / cloudofscience.ru
Новый способ решения симметричной и асимметричной задачи о цепи с грузом,
или
Лекция для великих математиков
В. Ф. Очков***, А. Е. Тарасов*, К. А. Орлов***, Е. С. Науменко***, Г. М. Липкин****, Е. В. Никульчев*****
*Национальный исследовательский университет «МЭИ» 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14
**Объединенный институт высоких температур РАН 125412, Москва, ул. Ижорская, 13, стр. 2
***Московский физико-технический институт (Национальный исследовательский университет) 141701, Московская область, Долгопрудный, Институтский пер., 9
****ГБОУ г. Москвы «Школа № 1502 при МЭИ» 111555, Москва, ул. Молостовых, 10А
""'МИРЗА - Российский технологический университет 119571, Москва, пр-т Вернадского, 78
e-mail: ochkov@twt.mpei.ac.ru
Аннотация. В статье описано новое решение известной задачи математической физики — определение параметров провисающей цепочки с бусинкой в двух вариантах: бусинка скользит по цепочке (симметрия), и бусинка закреплена на цепочке (асимметрия). Впервые применен метод минимизации потенциальной энергии для решения данной задачи и впервые для этого использованы единицы физических величин. Описан «цепной маятник». Предложен подход к решению задачи провисания конструкций из цепей в трехмерном пространстве.
Ключевые слова: математическая физика, цепная линия, центр тяжести кривой, потенциальная энергия механической системы, оптимизация с ограничениями, символьная и численная математика пакета Mathcad.
Считается, что «мечтать не вредно» и даже полезно. В мечтах человек ставит перед собой цель, к которой будет стремиться наяву. Но и бесплодные мечты-фантазии1 тоже нельзя сбрасывать со счетов. Они развивают воображение, да и просто сами по себе занимательны и поучительны.
1 Вспомним гоголевского Манилова, который в мечтах представлял себя генералом или строил через пруд «каменный мост, на котором бы были по обеим сторонам лавки, и чтобы в них сидели купцы и продавали разные мелкие товары, нужные для крестьян».
Давайте пофантазируем вот в каком плане! Представим себе современную лекционную аудиторию с компьютерами, интернетом, проектором и другими мультимедийным инструментарием. А «студентами» в этой аудитории будут такие великие математики: Исаак Ньютон (1643-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (16461716), Христиан Гюйгенс (1629-1695), Иоганн Бернулли (1667-1748) и Жозеф Луи Лагранж (1736-1813)2. По ходу лекции к ним будут присоединяться и другие математики. Преподаватель на их глазах будет решать на компьютере задачу о провисании цепочки с бусинкой — см. ниже ее описание, схему на рис. 1 и само решение. Очень интересно будет видеть лица этих математиков, и, а это главное, услышать их вопросы и комментарии3. Ведь эти люди имели прямое отношение к рассматриваемой задаче: Ньютон и Лейбниц разработали начала дифференциального исчисления, а тот же Лейбниц вместе с Гюйгенсом и Бернулли открыл формулу цепной линии. Считается, что они это сделали «одновременно и независимо друг от друга» [1]. Пятый же математик Лагранж связал свойства механической системы с ее потенциальной и кинетической энергией.
Итак, задача. Берется цепочка (абсолютная гибкая и нерастяжимая нить) длиной S и с удельной (линейной) массой шс. Цепочка подвешивается на высоте \ олева и на высоте h2 cправа. Расстояние по горизонтали между точками подвеса равно L. На цепочку нанизана бусинка (материальная точка) массой M, которая без трения может скользить по цепочке или закреплена на цепочке (усложненный вариант задачи — см. ниже). Какие силы будут действовать на цепочку, как она будет провисать и чему будет равна абсцисса и ординаты бусинки?
В точках подвеса на цепочку действуют силы FL (L — left, слева) и FR (R — right, справа) в горизонтальных (F^ и ) и вертикальных (FyL и FyR) проекциях (см. рис. 1). Если известны значения углов между цепью и горизонтом в точках подвеса слева (aL) и справа (aR), то несложно рассчитать силы FL и FR, решив систему уравнений, отображающую равенства горизонтальных и вертикальных проекций сил — см. рис. 2 (решение в среде Mathcad).
Примечание. На рис. 1 изображены в виде векторов только силы, действующие на цепочку в точках ее подвеса слева и справа: сами две силы и их вертикальные и горизонтальные проекции. Остальные три силы (вес груза, вес левой части цепочки и вес правой ее части) не показаны, но, естественно, учитываются в нижеприведенных расчетах. Эти три силы действуют вниз по вертикали.
2 С компьютера преподавателя можно перехватить управление студенческими компьютерами и вывести их экран через проектор на большой экран. На всех компьютерах, естественно, установлены современные математические программы (Maple, Mathematica, Mathcad, SMath), электронные таблицы Excel и языки программирования, включая MATLAB.
3 Уже есть подобные литературные опыты: «Прогулки с Пушкиным», «Беседы с Сократом» и др.
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
Рисунок 1. Схема задачи о цепочке с бусинкой (здесь бусинка закреплена на цепочке на расстоянии х от левого края; бусинка скользит по цепочке — см. рис. 7)
Рисунок 2. Решение системы уравнений баланса сил в точках точках подвеса
цепочки с бусинкой
Оператор solve предназначен для аналитического (символьного) решения алгебраических уравнений любого вида (линейных и нелинейных [2]). Но система двух уравнений, показанная и решенная на рис. 2, линейная вида M • x = v, где M — это квадратная матрица коэффициентов при неизвестных; x — вектор неизвестных; v — вектор свободных членов. А для анализа и решения таких систем уравнений (СЛАУ) в среде Mathcad есть специализированные средства, показанные на рис. 3. Во-первых, с помощью встроенной в Mathcad функции rank определяются ранги основной и расширенной матриц (две двойки). И неизвестных у нас две.
Поэтому наша система имеет единственное решение4. Оно находится через умножение инвертированной матрицы М на вектор V.
Рисунок 3. Анализ и решение системы линейных алгебраических уравнений в среде Макеай
Система двух линейных алгебраических уравнений, показанная и аналитически (символьно) решенная5 на рис. 2 и 3, отображает тот факт, что нашу конструкцию тянет вниз только вес цепочки плюс вес бусинки, а горизонтальные внешние силы отсутствуют6. Остается «самая малость» — найти значения углов аь и ак, под которыми цепочка крепится к краям слева и справа. А это можно сделать, имея под рукой формулу производной выражения для цепной линии.
Высшая математика в технических вузах на первом курсе обычно преподается в рамках двух дисциплин: линейная алгебра и математический анализ. Основной теоремы матанализа мы коснемся ниже. А сейчас мы затронем основную теорему линейной алгебры о единственности решения СЛАУ. У нас в России ее называют теоремой Кронекера-Капелли, а в других странах теоремой Роше-Капелли или теоремой Роше-Фробениуса и др. Так что мы можем спокойно пригласить в нашу компанию (аудиторию) еще и Леопольда Кронекера (1823-1891), Альфредо Капелли (1855-1910), Эжена Роше (18321910) и Фердинанда Георга Фробениуса (1849-1917). Если при подсчете значений сил по формулам, показанным на рис. 2 и 3, задать значения углов и ^, но не задать значение переменной G (вес цепочки с бусинкой), то формально ошибки не будет: пакет Mathcad подсчитает по формулам, решив, что G — это встроенная единица магнитного потока гаусс. Об ошибке будет говорить неправильная единица измерения в ответе. Так что великий немецкий математик («король математики») Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) тоже может быть приглашен в нашу математическую компанию. На звание «короля математики» также вполне обоснованно претендует и Леонард Эйлер (1707-1783). Этот швейцарско-немецко-российский математик [1] фактически написал все учебники по математическому анализу, по которым и сейчас учатся студенты технических вузов — см. начало сноски. Правда, на обложках этих книг стоят другие имена, но это не меняет сути дела.
5 Эту систему, конечно, можно решить и без компьютера. Но в настоящее время мы пишем не на бумаге, а набираем текст на компьютере (планшете, смартфоне) и решаем даже простые математические задачи с помощью компьютера. Спроси человека, сколько будет 7 умножить на 8, и он... полезет в карман за смартфоном!
6 Но их можно добавить. На висящую цепочку с кулоном сбоку, например, дует ветер. См. следующую сноску.
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
Если концы цепочки подвешены на одной высоте, а бусинка скользит по цепочке, то силы Fl и F будут равны и примут значение G/(2 sin а) , где G — это,
повторяем, вес цепочки с бусинкой, а — угол подвеса цепочки.
Задача имеет сугубо практическое приложение. Достаточно вспомнить подвесную канатную дорогу [3, 4] или шары, нанизанные на воздушные линии электропередачи (ЛЭП) для того, чтобы провода были хорошо видны летчикам пролетающих самолетов и вертолетов, а также операторам беспилотных летательных аппара-тов7 [5].
В бумажных и электронных источниках можно найти множество примеров решения этой задачи [6-9]. В них приводится большое количество формул разной степени сложности, которые понятны только избранным. В некоторых исследованиях цепную функцию заменяют на параболу8. Но в этой статье мы предложим новый, предельно простой подход к решению, доступный многим. Наиболее близкий по сути подход к решению такого типа задач описан в работах [10-14].
Ремарка. Полтора-два века назад путешествие по Свету могли позволить себе только очень богатые и физически здоровые люди. Но с появлением современных транспортных средств такое удовольствие стало доступно «широким массам трудящихся», а не только избранным. Сел в самолет, автомобиль или на поезд — и за короткое время с комфортом добрался практически до любого уголка Земли.
Что-то подобное можно сказать и о математике. Раньше в ее «дебри» с огромным количеством лемм, теорем, сложных формул и алгоритмов могли «забираться» только избранные люди — люди с особыми математическими способностями и с соответствующим математическим образованием. Но в настоящее время круг таких избранных существенно расширился за счет появления компьютерных математических программ, которые очень облегчают путешествие в мир математики. К таким «широким массам трудящихся» относят себя и авторы данной статьи9. Конечно,
7 Идея решения задачи о цепочке с кулоном возникла у первого автора этой статьи во время его «прогулок и бесед (см. сноску 3) с «математиками» по дачному участку, где висели электрические провода, натянутые между столбами. Так вот, на одном проводе был подвешен... кирпич для того, чтобы ветер сильно не раскачивал оголенный электрический провод, а он не задевал соседний.
8 В нашу аудиторию с пятью математиками можно пригласить и Галилео Галилея (1564-1642). Он одно время считал, что цепь провисает по параболе. Но потом, правда, осознал свою ошибку. Цепную линию заменяют параболой при малом провесе цепи. Аналогия — синус угла часто заменяют самим углом при малых значениях угла (до 7 угловых градусов). Семь, кстати, «красивое и умное» число. Вспомним семь чудес света, семь мудрецов, семь нот звукоряда, семь цветов радуги, семь дней недели, семь чудес света, семь холмов Рима и т. д. В нашей «аудитории» как раз семь «основных» математиков. Перечислим их по алфавиту: Бернулли, Галилей (староста), Гюйгенс, Дирихле (см. ниже), Ла-гранж, Лейбниц и Ньютон!
9 Эту статью первый автор редактировал в промежутках между посещениями музеев и других примечательных мест одной европейской столицы — во время его очередного «путешествия по Свету». Благо под рукой был планшет с Word'м, математическими программами и выходом в интернет. Можно сказать, что это было одновременное путешествие и по Свету, и по математике...
далеко не во все «закоулки» математики можно попасть с помощью компьютера. Но математический анализ и линейная алгебра вполне доступны для простого человека, вооруженного компьютером. Заканчивая данную ремарку, нельзя не сказать, что путешественники часто пишут путевые заметки. Эта статья и является некими заметками о путешествии в один из многочисленных уголков мира математики.
Чтобы решить задачу о цепочке с бусинкой, нужно вспомнить или найти в интернете формулу цепной линии («детище» Лейбница, Гюйгенса и Бернулли) и освежить в памяти азы математического анализа: что такое производная, интеграл (вспомним Ньютона с Лейбницем!), длина кривой10 и координаты ее центра масс (центра тяжести11) — см. рис. 4.
Формула цепной линии на рис. 4 дана не в привычном каноническом виде а Этот вид с одним параметром а приводится во всех справочниках и
учебниках, но он не годится для нашей задачи12. Мы будем использовать другую, не каноническую формулу цепной линии — формулу с тремя параметрами а, Н и х0 [3, 10-14]. Дополнительные два параметра Н (ордината) и х0 (абсцисса) будут фиксировать минимум (а > 0 — провисающая цепь) или максимум (а < 0 — арка13) цепной линии. Параметр а определяет «крутизну» цепной линии. Если цепочку натягивать, то значение параметра а будет стремиться к нулю. Если же наоборот — приближать точки подвеса цепочки друг к другу, то значение парамет-
10 Гюйгенс, кстати, впервые нашел длину циклоиды. И еще одно «кстати»: на рис. 4 определенный интеграл при расчете длины отрезка цепной линии дополнен формулой с первообразной. До этого (основная теорема математического анализа) «одновременно и независимо друг от друга» додумались Ньютон с Лейбницем. Можно найти соответствующие первообразные и для расчета координат центра тяжести отрезков цепной линии. Но лучше оставить здесь интеграл. Это более целесообразно в образовательном плане, так как интеграл тут будет более понятен в интуитивном плане. В формуле длины кривой просматривается теорема Пифагора о катетах и гипотенузе. Так что этого древнегреческого математика тоже можно пригласить в нашу компанию. И еще одно «кстати». Пакет Mathcad при включенном режиме SmartMath может самостоятельно заменять численное интегрирование на работу с первообразной и делать другие умные ходы, упрощающие и ускоряющие расчеты, делающие их более точными.
11 У нас гравитационное поле однородное. Поэтому центр тяжести и центр масс - это одна и та же точка. Но нам ничто не мешает рассмотреть нашу задачу и в неоднородном поле тяготения: подвесить, например, нашу цепь на двух огромных мачтах далеко от Земли, где уже будет сказываться эта самая неоднородность поля тяготения.
12 Математики часто дают абсолютно точные и абсолютно бесполезные ответы. Каноническая формула параболы как и цепной линии тоже имеет один параметр, но на практике опять же работают с тремя параметрами. Примеры в [11-13].
13 Формулу цепной линии можно найти не только в книгах или в интернете, но и на... архитектурных объектах, эксплуатирующих красоту и уникальное прочностное свойство перевернутой цепи. Так, например, в американском городе Сент-Луисе установлена знаменитая арка Gateway Arch в виде перевернутой цепи. У ее основания прописана ее формула с одним аргументом и двумя параметрами y = 757.7-127.7 ■ cosh(x / 127.7). В эту формулу заложены футы, но мы будем работать, естественно, с метрами.
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
ра a будет стремиться к бесконечности. И еще одно замечание. У нас буквой F обозначается и функция (F — function) цепной линии и силы (F — force). Это не очень хорошо, но функция у нас без индексов, а силы везде прописаны с индексами.
F(х. а. h,хО) -~h + a■ [cosh f ——— ] — 11 Цепная линия
F(x,a,xO):=sinh j—-—j производная цепной линии
s (х,, х2, а, Х0) :=
Vi
+ F(x,a,xO) dx Длина цепной линии
теореме , ч ( . ^(х2-хО) . (xj-xO
1а-Лей6ница s (х,, х2, а. хО) == а • sinh ——- - sinh ——
или по Ньютона-Лейбница
Х2
X.Vi +F'(x,a,xO)2 dx Абсцисса
J I 1РНТПЯ
xcg(x1>x2'a>x0)——
ycg(x1lx2,a,hlxO):=
центра
тяжести
цепочки
s (x1, x2, a, xO) ¡F(x,a,h,xO).^+F(x,a,xO)2 dx
s (x,, x2, a, xO)
центра
тяжести
цепочки
Рисунок 4. Вспомогательные функции пользователя для решения задачи о цепочке с бусинкой
Несложно сообразить14, что цепочка со скользящей бусинкой сформирует два отрезка цепной линии, симметричные относительно вертикали, проходящей через бусинку. У этих отрезков в формуле цепной линии будут одинаковыми параметры а и к, но разными параметр х0. Введем в расчет переменную Л (см. рис. 7 — верх и центр) и будем считать, что в уравнении левого отрезка цепи х0 = х + А, а в уравнении правого отрезка х0 = х — А (симметрия — см. заголовок статьи!).
Нам нужно будет вспомнить не только азы математического анализа и формулу цепной линии (Ньютон, Лейбниц, Гюйгенс и Бернулли), но и начала теоретической механики15, в частности следующий ее закон (Лагранж16): механическая си-
Сообразить тут недостаточно — нужно еще и доказать! Пусть читатель сделает это сам!
15 Не случайно МГУ (главный вуз России) имеет не два самостоятельных факультета математики и механики, а один механико-математический факультет — знаменитый МехМат. Первый автор этой статьи после школы мечтал в него поступить! Но побоялся — посчитал себя «путешественником-любителем», а не будущим профессионалом (см. ремарку выше в основном тексте).
16 Этот принцип носит имя «Лагранжа-Дирихле». Тут опять же имело место быть «одновременность и независимость». Так что Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805-1859) тоже просится в нашу аудиторию.
стема в покое принимает такое положение, при котором ее потенциальная энергия будет минимальной17. На рис. 5 зафиксировано, как после ввода исходных данных18 (значений переменных Н, Ь, Б, тс, М и Н2), расчета значения переменной О (вес цепочки с бусинкой) и определения минимальной длины цепочки Бтт создается функция пользователя с именем РЕ (потенциальная энергия [12-14]) с четырьмя аргументами — с искомой абсциссой бусинки X и искомыми параметрами двух симметричных отрезков нашей цепочки с бусинкой а, Н и А. У функции РЕ есть и параметры. Это величины g (ускорение свободного падения), тс (линейная масса цепочки) и М (масса бусинки). Их тоже следовало бы указать в списке аргументов функции РЕ. Но мы это не делаем из-за особенностей оптимизации в среде Mathcad (см. рис. 6).
Рисунок 5. Ввод исходных данных и функции потенциальной энергии цепочки с бусинкой
Потенциальная энергия цепочки с бусинкой — это сумма трех величин: потенциальной энергии левого отрезка цепочки, потенциальной энергии подвешенной бусинки и потенциальной энергии правого (короткого в условиях нашей задачи) отрезка цепочки. Кстати, на рис. 1 и 7 можно видеть над отрезками цепочки у их середины кружочки, отмечающие центры тяжести этих двух отрезков кривой. Координаты этих точек вычислить несложно по функциям с именами х (абсцисса) и у^ (ордината), показанным на рис. 4. Функция с именем б возвращает длину отрезка цепной линии на интервале от х до X. Этот же интервал используется и для
17 Если мы у нашей цепочки просуммируем потенциальную энергию каждого звена, то эта сумма окажется минимальной по сравнению с другими «способами провисания»: парабола, гипербола, синусоида и др.
18 Они вводятся с единицами измерений (еще одна новинка при нашем решении задачи о провисании цепи), что упрощает расчеты и позволяет вести контроль за правильностью ввода формул. Кстати, в нашей аудитории есть человек, в честь которого названа единица силы. Это Ньютон. Но нам в данных расчетах удобнее и привычнее измерять силы не в ньютонах, а в килограммах-силы. Кроме того, использование единицы ньютон может обидеть других математиков, сидящих в нашей аудитории.
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
вычисления координат центра тяжести. В нашей задаче эти интервалы будут такими: 0 - х и х - Ь.
Решение задачи о форме провисания цепочки с бусинкой сводится к решению задачи оптимизации (поиск минимума) с ограничениями: нужно найти значения абсциссы бусинки х и параметров цепной линии для ее левого (а, h и х + Д) и правого (а, И и х — Д) отрезков, при которых целевая функция РЕ примет минимальное значение, а ограничения выполнялись бы. Ограничений четыре. Они (равенства) показаны на рис. 6.
Рисунок 6. Решение задачи оптимизации с ограничениями
Ограничения описывают геометрию провисания цепочки с бусинкой: левый конец цепочки находится на высоте h; правый конец цепочки находится на высоте h; два отрезка цепочки держат бусинку в точке х — у. Сумма длин двух отрезков цепочки остается постоянной и равной величине S.
Вызов функции Minimize требует начального приближения. На рис. 6 показано, что были выбраны значения в метрах 5, 2, 2 и 1 в качестве первого приближения для переменных х, a, h и Д. Хорошее правило предписывает, чтобы ответ, полученный при численном решении задачи (при вызове функции Minimize), был скопирован и подставлен в качестве первого приближения. И это иногда приходится делать несколько раз, пока ответ не перестанет изменяться. Это является необходимым, но не достаточным условием правильного численного решения. Но в нашем решении на рис. 6 была сделана только одна подстановка, что говорит о стабильности решения.
Решение задачи о цепочке с бусинкой графически отображено на рис. 7.
Рисунок 7. Графическое отображение задачи о цепочке со скользящей по ней бусинкой
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
На рис. 7 видно, как меняется сила растяжения цепочки в трех местах: в месте нахождения бусинки (минимум), в точке правого крепления (среднее значение) и в точке левого крепления (максимум). При желании несложно построить соответствующую эпюру — график изменения силы растяжения цепочки по ее длине (см. также пункт 3 олимпиадного задания в конце статьи). Такие эпюры часто рассматриваются в курсах теоретической механики и сопротивления материалов.
С решением, показанным на рис. 7, можно «поиграть», протестировав их. Если бусинку убрать (М = 0), то две цепные линии сольются в одну (Ь), а форма этой кривой не будет зависеть от значения удельной массы цепочки. Если же вес бусинки увеличивать (и/или уменьшать вес цепочки), то две цепные линии превратятся в почти прямые линии (натянутые струны19), в точке пересечения которых будет висеть бусинка (см. рис. 7, c). Центры тяжести в этом случае будут находиться в центре «почти прямых» отрезков. При значительном весе бусинки по сравнению с весом цепочки (это уже не бусинка, а некий груз) решение задачи существенно упрощается и сводится к решению несложной системы уравнений — это уже будет не цепочка с бусинкой, а так называемый веревочный многоугольник [14].
На рис. 8 показана проверка решения задачи о цепочки с плавающей бусинкой посредством расчета моментов сил относительно бусинки и крайних точек подвеса: они равны для обоих направлений, что свидетельствует о правильности нашего решения. Равенства проекций сил по горизонтали и вертикали проверять не нужно, т. к. они уже заложены в математическую модель цепочки с бусинкой — см. рис. 2 и 3.
Сумма моментов сил по часовой стрелке относительно бусинки Ру1.,х+9-тс'3(х: 1-.в.х-А)*(хя—х) (Л2-у) = 26.901 т Сумма моментов сил против часовой стрелки относительно бусинки
-у) + д-т,.-5(0, х.э,х+Л).(х-х^) + РуЯ. (1-х) = 26.901 kgf.ni Сумма моментов сил по часовой стрелке относительно точки левого подвеса цепочки 9-те-5(0,х.а,х+Л)-х^ + й-М.х + й.тс.я(хД,а,х-Л)-уя = 26.195 кдГ-т Сумма моментов сил против часовой стрелки относительно точки левого подвеса цепочки
РуЯ-1. + Р1К.(/1,-Лг)=26.195 kgf.IT>
Сумма моментов сил по часовой стрелке относительно точки правого подвеса цепочки ^•¡. = 30.398 кдГ-т
Сумма моментов сил против часовой стрелке относительно тонки правого подвеса цепочки
(х, ¿., а, х- 4). (¿-хд) = 30.398 кдГ-т
Рисунок 8. Проверка правильности решения задачи о цепочке со скользящим кулоном
19 Тут можно отвлечься от основной темы статьи и показать нашим великим математикам, как можно смоделировать колебание струны через аналитическое или численное решение соответствующего дифференциального уравнения.
С цепочкой можно «поиграть» и в таком «направлении» — оттянуть бусинку вниз и/или вбок и отпустить ее в свободный полет. Получится интересный маятник, где потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и наоборот. Сумма же этих энергий будет оставаться постоянной, если не учитывать диссипацию энергии (трение о воздух и проч.): принцип «Лагранжа-Дирихле» применим не только к статике, но и к динамике.
А сейчас мы усложним задачу — закрепим бусинку на цепочке так, чтобы она по горизонтали отстояла от левого края на расстоянии х. Такая постановка задачи более близка к реальности, если вспомнить канатную дорогу. Скользящая по цепочке бусинка (симметричная задача), которую мы рассмотрели выше, — это некая аварийная ситуация, когда кабина подвесной канатной дороги отрывается от тянущего ее троса и повисает на середине поддерживающего троса. Если бусинку закрепить на цепочке, то симметрия пропадет, и мы будем иметь уже две независимые цепные линии со своими разными по значению тройками параметров, а задача будет иметь не четыре, а шесть (aL, hL, x0L, aR, hR и ход) параметров оптимизации — см. рис. 9. И ограничений будет уже не четыре, а пять — к четырем геометрическим, задействованным в задаче со скользящей бусинкой, нужно будет добавить еще одно — уравнение баланса моментов сил относительно какой-либо выбранной точки. Расчет развивался так. Сначала в задаче с шестью параметрами оставили только четыре геометрических ограничения. Но проверка полученного решения показала, что нет баланса моментов сил — см. рис. 8. Тогда и было добавлено еще одно уже «силовое» ограничение-равенство — баланс момента сил относительно точки подвеса бусинки. После этого проверка двух других балансов моментов дала положительный результат.
Пятое ограничение-уравнение на рис. 9 было сформировано с использованием элементов программирования пакета Mathcad [3]. В среде этого пакета, как известно, есть три таких инструмента: использование локальных переменных, объединение операторов в программные блоки и изменение естественного порядка выполнения операторов. В решении, показанном на рис. 9, использованы только два первых инструмента: стрелочка влево — это локальное присваивание значения переменной, которая видима только в программном блоке, отмеченном двойной вертикальной чертой слева и одинарной вертикальной чертой справа (Mathcad Prime; в среде Mathcad 15 есть только одна вертикальная черта слева). Третий инструмент программирования для данной задачи был описан в [3]. Там с помощью цикла с параметром (цикла for) рассчитывался момент силы через разбиение кривой на отдельные участки (метод конечных элементов). Тут просматривается некая «троица» математического анализа: сумма переходит в интеграл, а в интеграле просматривается первообразная.
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
Рисунок 9. Задача о цепочке с закрепленной на ней бусинке
На рис. 9 показано, какая потенциальная энергия будет у нашей цепочки с бусинкой при значениях параметров оптимизации, заданных первым приближением, и после оптимизации. Пакет Mathcad выдает эти величины в джоулях У), но мы перевели их в килограммы-силы, умноженные на метры. Джоули20 будут выдаваться и при расчетах моментов сил — см. рис. 8. Но мы опять же эти величины будем «выдавать на печать» не в джоулях, а в к^ • т. Здесь разные физические величины имеют одинаковые единицы измерения. Это одна из недоработок СИ.
На рис. 10 графически отображено решение задачи о цепочке с зафиксированной на ней бусинкой.
С бусинкой, показанной на рис. 10, также можно «поиграть». На сайте статьи https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad/Equations-parametrs-degree-freedom/td-р/606762 помещена анимацию движения бусинки слева направо (моделирование работы подвесной канатной дороги).
20 Джеймс Прескотт Джоуль (1818-1889) был теплотехником, но его тоже каким-то боком можно причислить к математикам — он первым рассчитал эквивалент тепловой и механической энергии: в одной калории содержится 4.19 джоулей. Во многих странах мира 14 марта отмечают день математики. Авторы (преподаватели Московского энергетического института) предлагают 19 апреля праздновать день теплотехника. Кстати, в цепной функции, в гиперболическом косинусе и синусе (см. рис. 4) запрятана вторая важная математическая константа — число е, в котором дважды «запрятан» год рождения Льва Толстого — 2.718281828. Это число носит имя Эйлера. Но у нас тут часто вспоминают не великого, в том числе и российского математика, а великого русского писателя.
Рисунок 10. Бусинка отстаит на 7 метров от левого края крепления цепочки
Задача, отображенная на рис. 9 и 10, поставлена не совсем корректно. Очень трудно физически закрепить бусинку точно на расстоянии X от левого края. Бусинку можно закрепить на цепочке, лежащей горизонтально, отмерив расстояние от левого края, а потом подвесить ее. При таком подходе к задаче заданной константой будет уже не значение х, а длина отрезка цепочки ^ от ее начала до бусинки. В этом случае параметров оптимизации будет уже не шесть, а семь — добавиться еще параметр X. Тут для правильного решения задачи нужно будет добавить еще одно ограничение (равенство) — баланс моментов сил относительно еще одной точки — точки крепления цепочки слева — см. рис. 11.
При такой постановке задачи можно поступить иначе — оставить только шесть параметров оптимизации, менять вручную значение х и методом последовательных приближений добиваться заданного значения длины левого отрезка цепочки.
Почему в задаче о бусинке, скользящей по цепочке, число параметров оптимизации равно числу ограничений-уравнений, а в задачах о бусинке, закрепленной на цепочке, ограничений-уравнений меньше, чем параметров, можно понять, вспомнив о степени свободы в механике. Для расчетов степеней свободы механизмов
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
применяется формула Чебышёва-Граблера-Кутцбаха21. Эта формула учитывает помимо прочего и число звеньев механизма. Но у цепочки бесконечное число звеньев. Как тут быть? Сколько степеней свободы у цепочки, составленной из п звеньев? При такой неопределенности в постановке задачи приходилось экспериментировать — добавлять новые ограничения и проверять правильность решения.
хи<-хсв(0,х,а1^,х0и)
Рисунок 11. Еще одно ограничение в решении задачи о цепочке с закрепленной бусинкой
Описанный метод расчета годится и для объемных конструкций. Такой, например. Берется две цепочки. Они подвешиваются к неровному потолку в четырех точках, а к их серединам или другим двум точкам подвешивается третья цепочка с грузом или без груза. Как все это будет провисать? Тут можно говорить не только о практической, но и эстетической стороне вопроса (см. авторский сайт https://nplus1.ru/material/2018/04/05/kinetic-art «Математика во плоти: Что такое кинетическое искусство и как оно работает»).
А теперь вернемся к нашим великим математикам!
Часто можно услышать такой риторический вопрос: «Как бы сейчас выглядело дифференциальное исчисление, если б у Ньютона (и у других великих математиков, перечисленных выше) был бы компьютер?!» Риторический вопрос — это, как известно, вопрос, не требующий ответа, но мы попытаемся его дать.
У истории не бывает сослагательного наклонения, но... Одни считают, что если бы у Ньютона был компьютер, то никакого дифференциального исчисления не было бы. А было бы нагромождение решенных и якобы решенных задач, множество таблиц и кривых на дисплеях компьютеров, обобщить которые было бы чрезвычайно трудно, — «голь (люди без компьютера) на выдумки хитра». Другие же утверждают, что «компьютеризированный Ньютон» помог бы нам избежать многих
21 Пафнутия Львовича Чебышёва (1821-1894) мы точно пригласим в нашу аудиторию. Он как любой грамотный русский инженер и ученый знал немецкий, французский и английский языки и смог бы помочь нам общаться со слушателями. О механике Граблере интернет молчит. О Франце Карле Кутцбахе (1875-1942) в Сети сказано, что этот инженер-механик был профессором Дрезденского университета.
ошибок и заблуждений, уберег бы от поисков аналитических решений там, где их нет, что, в конце концов, привело бы к более бурному развитию науки и техники в целом и математики в частности. Но близкий к истине ответ, наверно, таков: «Если б у Ньютона был компьютер, то это бы означало, что... дифференциальное исчисление как наука уже существовало в течение трехсот лет до Ньютона, а сам Ньютон (один из создателей дифференциального исчисления) носил бы другое имя...».
Читатель может сам пофантазировать, как вышеотмеченные великие математики реагировали бы на вышеприведенное решение нашей простенькой задачи, в которой запрятаны многие положения высшей математики, и как бы они восклицали: «Вот если б у меня был компьютер!» или, наоборот: «Слава богу, что у меня не было компьютера!».
А теперь проведем среди наших математиков олимпиаду с такими задачами.
1. Решить задачу о цепочке со скользящей по ней бусинкой не численно (см. выше), а аналитически. Сначала принять, что ¡\ = к2, а потом снять это ограничение. Результатом расчета должна быть функция с аргументами ¡\, Б, Ь, к2, М и тс. Возвращать же эта функция должна координаты цепочки х и у и/или стрелу ее провеса при 1\ = к2.
2. Найти соотношение длины цепочки без бусинки и расстояния между точками крепления цепочки = к2), при котором сила крепления цепочки будет минимальна [4, 10, 12].
3. Рассчитать изменение площади сечения цепочки (троса, нити) с бусинкой и/или без нее так, чтобы удельная сила ее растяжения была постоянной величиной по ее длине.
4. Рассчитать изменение площади сечения цепочки так, чтобы она провисала по параболе, гиперболе, дуге эллипса.
5. Замкнуть цепочку и накинуть ее на гардеробные плечики — на равнобедренный треугольник с тупым верхним углом. Определить угол, при котором замкнутая цепочка будет соскальзывать с плечиков. Силами трения пренебречь [10, 12].
6. Заменить «плечики» на прямой круговой конус и проанализировать поведение замкнутой цепочки на нем [15]. Силы трения также не учитывать.
7. Вбить в стену два гвоздя и повесить на них замкнутую цепочку. Как она будет себя вести, если опять же силы трения не учитывать.
8. Решить задачу о цепочке с бусинкой через решение системы уравнений, описывающих балансы сил и моментов сил, а не через минимизацию потенциальной энергии.
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
9. Заменить цепочку на резинку, степень растяжение которой подчиняется закону Гука. Учитывать изменение линейной массы цепочки при растяжении. Затем от линейного закона Гука отказаться и работать с нелинейной моделью растяжения резинки.
10. Подвесить на цепочку две (три и более) закрепленных бусинок с разной массой.
11. Написать книгу «Введение в механику гибкой нити: работаем с компьютером».
Поставленные задачи можно и нужно решать гибридно [16], т. е. сочетая аналитические и численные методы. Ну и, конечно, используя «специфику» человека и компьютера. Что авторы попытались показать в данной статье. Заодно авторы обрисовали технологию STEM в образовании, когда в рамках одного лекционного или семинарского занятия охватываются темы, прямо связанные с наукой (S — science), с технологиями (T — technology), с инженерным делом (E — Engineering) и, конечно, с математикой (M — mathematic). В эту аббревиатуру можно добавить и букву A (art — искусство: STEAM). Слово steam по-английски — это и водяной пар, который в начале XIX в. совершил первую промышленную революцию (Industry 1.0 — вспомним паровые машины, пароходы, паровозы...). Образовательная технология STEM/STEAM в настоящее время помогает четвертой промышленной революции (Industry 4.0).
Литература
[1] Очков В. Ф., Очкова Н. А. Проект памятника трем математикам или Матметрия // Cloud of Science. 2017. Т. 4. № 4. С. 548-571.
[2] Очков В. Ф., Богомолова Е. П., Хейнлоо М. Решатели или Великолепная семерка Mathcad // Открытое образование. 2015. № 3. С. 37-50.
[3] Очков В. Ф., Богомолова Е. П., Иванов Д. А. Программное уравнение или ФМИ // Cloud of Science. 2015. T. 2. № 3. С. 473-515.
[4] Сайт с расчетом провисания каната между опорами подъемника [Электронный ресурс]. URL: https://studwood.ru/1605299/tehnika/raschet_parametrov_provisaniya_kanata_ oporami_podemnika
[5] Сергей И. И., Бладыко Ю. В. Механический расчет гибких проводов воздушных линий с заградительными шарами // Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. 2018. Т. 61. № 4. С. 299-309.
[6] Wang C. Y. Optimum Length of a Heavy Cable with a Concentrated Load // Journal of Engineering Mechanics. 2017. Vol. 143. No. 12. (doi:10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001387)
[7] Меркин Д. В. Введение в механику гибкой нити. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. литры, 1980.
[8] Qin J., Ba Y., Ding Y., Bai J., Zhang H. Newton Iteration Method for Analysis of Suspension Cable // Proceedings of the 2015 International Conference on Modeling, Simulation and Applied Mathematics. — Atlantis Press, 2015. P. 350-354.
[9] Qin J., Chen J., Qiao L., Wan J., Xia Y. Catenary Analysis and Calculation Method of Track Rope of Cargo Cableway with Multiple Loads // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 82. P. 01008.
[10] Toklu Y. C., Bekdas G., Temur R. Analysis of cable structures through energy minimization // Structural Engineering & Mechanics. 2017. Vol. 62. P. 749-758. DOI: 10.12989/sem.2017.62.6.749
[11] Очков В. Ф., Цуриков Г. Н., Чудова Ю. В. Осторожно: цепная функция // Информатика в школе. 2017. № 4. С. 58-62.
[12] Очков В. Ф., Нори М. Playing with a chain Or Physical and Mathematical Informatics // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2018. Т. 14. № 2. С. 333343.
[13] Очков В. Ф. и др. Цепная линия = физика + математика + информатика // Информатика в школе. 2018. № 3. С. 56-63.
[14] Очков В. Ф., Ленер Ф., Чудова Ю. В., Капитонец В. К., Тараканова Д. Ю. Физика vs информатика: веревочный многоугольник с гирьками в статике, кинематике и динамике Или Ньютон vs Лагранж // Cloud of Science. 2017. Т. 4. № 2. С. 147-180.
[15] Зубелевич О. Э., Самсонов В. А. Цепь на конусе // Сб. науч.-метод. статей. Теоретическая механика. Вып. 30. — М. : Изд-во МГУ, 2018. С. 131-138.
[16] Очков В. Ф., Бобряков А. В., Хорьков С. Н. Гибридное решение задач на компьютере // Cloud of Science. 2017. Т. 4. № 2. С. 5-26.
Авторы:
Валерий Федорович Очков — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретических основ теплотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ», Объединенный институт высоких температур РАН
Александр Евгеньевич Тарасов — старший преподаватель кафедры физики, Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Константин Александрович Орлов — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой теоретических основ теплотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ», Объединенный институт высоких температур РАН
Евгений Сергеевич Науменко — студент, Московский физико-технический институт (Национальный исследовательский университет)
Григорий Михайлович Липкин — учащийся, школа № 1502 при МЭИ
Евгений Витальевич Никульчев — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры управления и моделирования систем, МИРЭА — Российский технологический университет
В. Ф. Очков, А. Е. Тарасов, К. А. Орлов и др.
New Solution for the Symmetric and Asymmetric Task of Chain with a Load or the Lecture for Great Mathematicians
V. F. Ochkov*,**, A. E. Tarasov*, K. A. Orlov*,**, E. S. Naumenko***, G. M. Lipkin****, E. Nikulchev*****
*National Research University Moscow "Power Engineering Institute"
Krasnokazarmennaya st., 14, Moscow, Russia 111250
**Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences
Izhorskaya st. 13/2, Moscow, Russia 125412
***Moscow Institute of Physics and Technology
Institutskiy per., 9, Dolgoprudny, Moscow Region, 141701
**** "School 1502 at MPEI" Molostovykh st., 10A, Moscow, Russia 111555
***** MIREA — Russian technological university 78, Prospect Vernadskogo, Moscow, Russia, 119571 e-mail: ochkov@twt.mpei.ac.ru
Abstract. The paper describes new solution for the well-known task of mathematical physics -how to determine the parameters of a sagging chain with a pearl. The task is presented in two versions: the pearl slices along the chain (symmetry), and it is fixed on the chain (asymmetry). For the first time, the method of minimizing potential energy is applied to solve this task, and first, the physical values are used for this. "Chain pendulum" is described. The authors propose the approach to solve the problem of sagging chain structures.
Keywords: mathematical physics, chain line, center of gravity of a curve, potential energy of a mechanical system, optimization with constraints, symbolic and numerical mathematics of the Mathcad package.
References
[1] Ochkov V. F., Ochkova N. A. (2017) Cloud of Science, 4(4):548-571. [In Rus]
[2] Ochkov V. F., BogomolovaE. P., KheynlooM. (2015) Otkrytoye obrazovaniye, (3):37-50. [In Rus]
[3] Ochkov V. F., Bogomolova E. P., Ivanov D. A. (2015) Cloud ofScience, 2(3):473-515. [In Rus]
[4] https://studwood.ru/1605299/tehnika/raschet_parametrov_provisaniya_kanata_oporami_podemnika
[5] Sergey I. I., Bladyko Yu. V. (2018) Energetika. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy i energetich-eskikh ob"yedineniy SNG, 61(4):299-309. [In Rus]
[6] Wang C. Y. (2017) Journal of Engineering Mechanics, 143(12)
[7] Merkin D. V. (1980) Vvedeniye v mekhaniku gibkoy niti (Moscow). [In Rus]
[8] Qin J., Ba Y., Ding Y., Bai J., Zhang H. (2015) Newton Iteration Method for Analysis of Suspension Cable. In Proceedings of the 2015 International Conference on Modeling, Simulation and Applied Mathematics, 350-354.
[9] Qin J., Chen J., Qiao L., Wan J., Xia Y. (2016) MATEC Web of Conferences, 82:01008.
[10] Toklu Y. C., Bekdas G., Temur R. (2017) Structural Engineering & Mechanics, 62:749-758. DOI:10.12989/sem.2017.62.6.749
[11] Ochkov V. F., Tsurikov G. N., Chudova Yu. V. (2017) Informatika v shkole, 4:58-62. [In Rus]
[12] Ochkov V. F., Nori M. (2018) Sovremennyye informatsionnyye tekhnologii i IT-obrazovaniye,
14(2):333-343. [In Rus]
[13] Ochkov V. F. et al. (2018) Informatika v shkole, (3):56-63. [In Rus]
[14] Ochkov V. F. et al. (2017) Cloud of Science, 4(2):147-180. [In Rus]
[15] Zubelevich O. E., Samsonov V. A. (2018) Tsep' na konuse. In book Teoreticheskaya mekhanika. (Moscow; MGU, Vol. 30), pp. 131-138. [In Rus]
[16] Ochkov V. F., Bobryakov A. V., Khor'kov S. N. (2017) Cloud of Science, 4(2):5-26. [In Rus]
