CC BY
85
Cloud of Science. 2017. T. 4. № 2 http:/ / cloudofscience.ru
Физика vs информатика: веревочный многоугольник в статике, кинематике и динамике, или Ньютон vs Лагранж
В. Ф. Очков*, Ф. Ленер**, Ю. В. Чудова***, В. К. Капитонец***, Д. Ю.Тараканова***
Национальный исследовательский университет «МЭИ» 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14
**Инженерный центр Германия, Бургштеттен, Айхенвег 4, 71576
***ГБОУ Лицей № 1502 при МЭИ 111555, Москва, ул. Молостовых, 10А
e-mail: ochkov@twt.mpei.ac.ru
Аннотация. В статье рассказано, как можно провести реальную лабораторную работу по физике (механике) с привлечением современных математических пакетов, в частности пакета Mathcad. Рассматриваются методы решения задач статики, кинематики и динамики с использованием анализа сил, действующих на материальные точки (ньютоновский подход), и с минимизацией энергии (метод Лагранжа). Описаны методы визуализации решений с помощью статической графики и динамической анимации с отображением траекторий движущихся материальных точек.
Ключевые слова: физика, механика, статика, кинематика, динамика, метод Ньютона, метод Лагранжа, Mathcad, анимация.
Как-то раз первый автор статьи расчищал ящики своего письменного стола. На дне одного из них оказались две вещи, которые почти вышли из употребления в наш электронно-компьютерный век: пачка миллиметровой бумаги и разновесы для лабораторных весов. Там же нашлись катушка ниток и коробочка с булавками. А в это время автор обдумывал лабораторную работу для школьников и студентов, где реальный физический эксперимент сопровождался бы его компьютерным моделированием в среде Mathcad [1-3] и сравнением результатов «физики» и «компьютерной математики»; см. сокращение vs в названии статьи: vs, versus — противопоставлять (лат). Находки в столе (миллиметровка, разновесы, нитки и булавки) подсказали такую работу из области механики в трех ее составных частях: статика, кинематика и динамика. При этом появилась возможность показать решение физи-
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
ческих задач в ключе классической (ньютоновской) механики, а также с использованием метода Лагранжа. Насколько работа оказалась интересной и поучительной — судить читателю.
Часть I. Статика
Рисунок 1. Физический эксперимент с гирьками на нити
Лист миллиметровой бумаги крепится на стене — см. рис. 1. С помощью булавок к бумаге с двух концов пришпиливается нить, к которой привязаны три гирьки массой 20, 2 и 10 грамм из коробочки с разновесами. Известны координаты крепления нити к бумаге: (0; 180) и (280; 150), а также длины отрезков нити между узлами с гирьками: 90, 68, 96 и 130 мм. Необходимо определить координаты «узловых» точек 1, 2 и 3 — точек излома провисающей нити. «Физически» это сделать несложно — достаточно взглянуть на рис. 1 и снять с миллиметровки координаты узлов. Они примерно такие: (31; 95), (95; 72) и (191; 68). А как эти координаты рассчитать вручную или на компьютере в среде Mathcad?! Сначала, конечно, нужно справиться об этой задаче в Интернете. А для этого лучше всего «вывесить» задачу на профессиональном форуме — на форуме пользователей пакета Mathcad (https://www.ptcusercommunity.com/community/mathcad). В настоящее время, в эру Интернета это довольно распространенная практика решения задач школьниками, студентами, инженерами [4].
После опубликования вопроса по задаче «посыпались» ответы из Италии, Германии, США, Великобритании... Один итальянец подсказал, что наша задача относится к классу хорошо известных задач классической механики из раздела статики под названием «задача веревочного многоугольника» (по-английски Funicular
Polygon) [5]. Берется невесомая нерастяжимая абсолютно гибкая нить («веревка»), которая крепится с двух концов и к которой прилагаются силы в разных точках и в разных направлениях. Веревка принимает форму разомкнутого многоугольника, параметры которого необходимо определить. Если веревка довольно весомая (металлическая цепь, например), то под действием силы тяжести, равномерно распределенной по длине, она примет форму кривой, которая описывается цепной функцией [6]. Задачу веревочного многоугольника приходится решать инженерам, когда, например, проектируется висячий мост. А наша конструкция на рис. 1 именно такой мост и напоминает: стоит только гирьки заменить на дорожное полотно для пешеходов и транспорта.
В учебниках и справочниках, найденных в Интернете, приведен ряд формул и хитрых алгоритмов, по которым можно решить задачу о веревочном многоугольнике. Но все эти формулы и алгоритмы создавались во времена, когда не было компьютерных математических пакетов с их новыми мощными инструментами численного и аналитического решения задач. Теперь же они есть, и это дает нам возможность внести что-то новенькое в решение этой задачи.
Классическая механика рекомендует в данном случае составить систему уравнений баланса сил и решить ее. Мы так и поступим, но... в конце статьи. Сейчас же мы забудем на минутку о Ньютоне, вспомним о Лагранже и о том, что в среде Mathcad есть встроенные инструменты численного решения задачи оптимизации с ограничениями. Наши гирьки на рис. 1 зависают так, чтобы их потенциальная энергия была минимальной. Не дают же гирькам упасть на пол отрезки нити между узлами — эти самые ограничения. Тут кроется расшифровка второго названия статьи («Ньютон vs Лагранж»), которое мы раскроем ниже.
На рис. 2-6 показано решение задачи о трех гирьках в среде Mathcad Prime с использованием встроенной функции Minimize.
На рис. 2 показана, во-первых, настройка пакета Mathcad на решение данной задачи, во-вторых, ввод постоянных параметров нити с гирьками и, в-третьих, создание пользовательской функции с именем PE, возвращающей потенциальную энергию трех висящих гирек, отмеренную от нулевого уровня, — от нижней линии миллиметровки (см. рис. 1). Функция PE имеет два аргумента х и у, хотя в ее описании присутствует только один аргумент у. Фиктивный аргумент х введен для того, чтобы работал инструмент минимизации, который будет показан ниже на рис. 3 и который минимизирует по двум, а не по одному параметру (ниже на рис. 28 функция PE будет создаваться без фиктивного параметра х, но другая функция — функция PSE получит фиктивный аргумент F).
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Рисунок 2. Расчет равновесия гирек на нити — начало
Настройка пакета Mathcad включает в себя следующие моменты:
1. Перевод системы измерений с СИ (умолчание) в систему СГС — грамм-сантиметр-секунда. Суть расчета это не меняет, но делает удобным работу на компьютере, т. к. ответы будут выводиться не в метрах и килограммах, а в сантиметрах и граммах. Само собой разумеется, что наша физическая задача решается с использованием физических величин — длины, массы, силы, времени, скорости, ускорения... «Злые» языки программирования и электронные таблицы сыграли с нами злую шутку — отучили нас работать с физическими величинами, что неудобно и чревато ошибками. Пакет Mathcad исправляет это не совсем нормальное положение вещей!
2. Пакет Mathcad, настроенный на систему измерений СГС (см. выше п. 1), будет выдавать значение силы в динах (основная единица силы в системе СГС), что не очень удобно. Поэтому в расчет вводится пользовательская единица гс (грамм силы), которой мы будем заменять выводимые в ответах дины.
3. Параметры наших гирек будут храниться в трех векторах: mass (масса гирек), х и у (координаты узлов крепления гирек к нити). Гирьки нумеруются как 1, 2, 3, а не 0, 1, 2. Поэтому системной переменной ORIGIN присваивается единичное, а не нулевое (умолчание) значение. В расчете также есть переменные с индексами 0 и 4 (х0, у0, х4, у4), но это не элементы векторов х и у, а скалярные величины, у которых индекс — это не номер элемента соответствующего вектора, а часть имени переменной, сдвинутая вниз. Точки 0 и 4 — это неподвижные точки крепления нити. Во второй части статьи мы точку 4 будем двигать вправо, решая кинетическую задачу.
4. По умолчанию точность численных расчетов составляет 0.001. Это означает, что расчет будет вестись с точностью до одного грамма (одна тысячная килограм-
ма). А этого недостаточно. Поэтому системным переменным TOL и CTOL присваиваются значения 107. Переменная TOL отвечает за точность поиска минимума, а переменная CTOL — за точность выполнения ограничений.
5. Исходные данные вводятся в расчет через новый инструмент, появившийся в Mathcad Prime, — через таблицу, первая строка которой — это имя переменной, вторая — единица ее измерения, а третья — численное значение или формула. Формулу мы использовали, когда вводили грамм силы, умножая ускорение свободного падения на грамм. В такую таблицу можно вводить и векторы (переменная mass), и скаляры (остальные переменные).
Рисунок 3. Расчет равновесия гирек на нити (окончание — начало на рис. 2)
Расчет положения грузиков, при которых их потенциальная энергия будет минимальной, показан на рис. 3. Внизу рис. 3 выведен результат расчета значений векторов х и у (значений, найденных функцией Minimize) и цифры, снятые с миллиметровки на рис. 1. Отклонения составили менее одного процента. Они связаны в том числе и с тем, что при расчете не учитывался вес нити. А какой он? Гирьки, как мы уже отметили, уже вышли из употребления в лабораториях. Сейчас в ходу электронные весы, которые (читатель будет смеяться!) также оказались в ящике письменного стола автора — см. рис. 4. В них пришлось только заменить севшие батарейки. Весы после этого заработали и показали вес, вернее, массу трех гирек с привязанной к ним нитью. Вес нити оказался равен примерно 210 мг, что, повторяем, является одним из объяснений различий в данных, снятых с миллиметровки и рассчитанных на компьютере (см. нижнюю часть рис. 3).
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Рисунок 4. Взвешивание трех гирек с нитью
На рис. 5 показано графическое отображение нашего решения в среде Mathcad Prime. Маркерами (горизонтальными и вертикальными линиями) отмечены узловые точки на графике с показом соответствующих численных значений.
(сш)
(и) 16 3.089 & [|вла)
11 1^17 ^ /
О • /
5.687 ---—_____ /
Б 1 з 2 1
1 2 : 4 5 в Г 8 Я 10 II 12 13 14 IS 16 17 18 Я 20 21 22 23 24 25 26 27 ; t
(cm)
Рисунок 5. График провисания нити с гирьками
Примечание. Графика пакета Mathcad Prime существенно отличается от графики Mathcad 15. Тут есть и преимущества, и недостатки. Главным недостатком графики пакета Mathcad Prime многие считают отсутствие возможности нанесения сетки. На «мертвом», бумажном графике (см. рис. 1) эта сетка нужна. По ней мы, в частности, определили координаты узловых точек нашей реальной изломанной ни-
ти. На живом же графике — на графике пакета Mathcad Prime эти точки можно отметить отдельными «живыми» маркерами без использования сетки.
А какие силы растягивают нить на ее разных участках? Ответить на этот вопрос поможет еще одна функция из великолепной семерки Mathcad [7] — функция Find, предназначенная для решения систем алгебраических уравнений1. Минимизация энергии — это реализация метода Лагранжа при решении задачи классической механики. Анализ действующих сил — это ньютоновский подход, и мы еще раз вернемся к нему в конце статьи.
На рис. 6 показана работа функции Find по нахождению значений сил, какие натягивают нить на двух ее концах. Функция Find также работает в блоке Решателя с областью начальных предположений, областью ограничений, где записываются уравнения системы, и областью решения. В системе четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Число уравнений и неизвестных можно сократить, заменив, например, переменную F0k на F4у, но мы не будем этого делать, оставляя ясность в
«физике» уравнений: горизонтальные составляющие (проекции) сил в опорных точках равны, сумма вертикальных составляющих (проекций) этих сил равна весу подвешенных гирек, отношения горизонтальных и вертикальных составляющих (проекций) сил равны отношениям длин соответствующих катетов прямоугольных треугольников, в которые эти силы вписываются. Сама же сила, растягивающая нить, связана с гипотенузой этого прямоугольного треугольника или с диагональю соответствующего прямоугольника или параллелепипеда, которыми часто иллюстрируют результирующее действие двух сил.
Рисунок 6. Расчет сил, растягивающих нить на ее двух концах
1 Под алгебраическими уравнениями в настоящее время понимают все типы уравнений (степенные, тригонометрические и прочие), а не только, состоящие из полиномов. Этим отличают их от дифференциальных, а которых мы поговорим позже.
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
На сайтах, дополняющих статью [1-3] — на форуме пользователей Mathcad, где обсуждалась задача, можно видеть анимацию, показывающую изменения формы нити с грузиками и значений сил, удерживающих нить, при движении правой опорной точки слева-направо. В момент, когда нить натягивается до предела и становится почти прямолинейной, она «обрывается» — функция Find возвращает сообщения об ошибке. Там же на сайте статьи расположена анимация изменения формы ломанной линии (нити) при изменении значения точности численного решения — значений переменных TOL и CTOL. Ясно видно неверное решение при значениях, равных 103, например, а не 107.
Функция Find предназначена для решения систем уравнений — линейных и нелинейных. Несложно понять, что наша система уравнений линейна (рис. 7), и применить для ее решения соответствующие специализированные средства пакета Mathcad: умножение инвертированной матрицы М, хранящей коэффициенты при неизвестных, на вектор v, хранящий значения свободных членов системы линейных уравнений, или функцию lsolve. Функция lsolve появилась в среде Mathcad сравнительно недавно. Она использует более совершенный алгоритм решения СЛАУ и позволяет, в частности, решать недоопределенные и переопределенные системы, где число уравнений не равно числу неизвестных, а матрица М как следствие этого неравенства неквадратная. Работа с оператором М 1 • v или с функцией lsolve не требует начального предположения, но неудобна тем, что скрыта «физика» задачи. Нам пришлось на рис. 7 до формирования матрицы М и векторов v переписать (подготовить) нашу систему уравнений с добавлением нулевых коэффициентов и переносом неизвестных в левую часть уравнений.
Рисунок 7. Численное решение СЛАУ в среде ЫаАсай двумя способами
Нашу задачу о равновесии сил можно решить не только численно (см. рис. 6 и 7), но и аналитически, символьно — автоматически вывести формулы для расчета значений сил, действующих на концы нити в зависимости от ее конфигурации и массы грузиков — см. рис. 8. Оператор «^» — это оператор вывода не числового (это делает оператор «=»), а символьного ответа. В нашем случае перед его использованием нужно заглушить численные значения переменных оператором clearsym. Иначе в символьном ответе будут не имена переменных, а их численные значения или результат их численной обработки (суммирования, вычитания и проч.). В формулы, показанные на рис. 8, можно подставлять численные значения переменных и получать нужный численный ответ. Точность расчета при этом будет выше, чем при использовании численных итерационных методов, заложенных в функции Find и lsolve, а также в операции инвертирования квадратной матрицы и перемножения матрицы на вектор. Но следует не забывать, что символьное решение более-менее сложных задач либо невозможно, либо дает очень громоздкий ответ.
д• hnass^ + mass^ + mass^j • + — x^ 'x3~z0-:r4j
ха'У3~Уо'х3~х4'У1+У4'хг ~х1'У3+У^'х3~хо'У4 + Уо'х4 g ■ fnmss^ + mass^ + mass^ ■ • x^ + x4 • y^ - j/j • x^ - y„ ■ x^j
хп'У3~Уп'х3~хл'У1 + Ул'х1~х1'У3 + У1'х3~хп'Ул + Уп'хл g • + mass^ + mass^j • • x^ + x4 • x^ — x^ • x^ — x0 • x4 j
хо'У3~Уо'х3~х4'У1 + У4'х1~х1'У3+У1'х3~хо'У4+Уо'х4 g • ^mass^ + mass ^ + mass^ • • у ^ + yt • x | — x^ • у (—xa • yt j
хо'У3-Уо'х3-х4'У1+У4'х1-х1-У3+У1'х3~хо-У4 + Уо-х4
Символьное решение СЛАУ
Мы уже отметили, что в системе уравнений, показанной на рис. 6-8, можно убрать первое уравнение, учтя в оставшихся уравнениях, что горизонтальные составляющие сил на опорах равны, заменив при этом две разные переменные F0х и F4х на одну Fx. Можно идти дальше в этом направлении и сократить систему до одного уравнения, а потом решить его символьно или аналитически. Численное решение такого итогового уравнения показано на рис. 9. Перед решением одиночное уравнение переносом правой части в левую часть с изменением знака превращается в функцию, у которой ищется нуль — значение аргумента, при котором функция равна нулю. Примерно равна, если учесть, что мы используем численные, а не аналитические методы расчета.
Рисунок 8.
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Уравнение, которое можно решить по Fiy
Функция, у которой можно найти нуль по Ftll
Два способа поиска нуля функции - вызова функции root
Рисунок 9. Поиск нуля функции
Одиночное уравнение тоже можно решить численно с помощью функции Find, но лучше использовать для этого специализированные инструменты. На рис. 9 показана работа еще одной функции из великолепной семерки Mathcad — функции root, предназначенной для численного поиска нуля функции методом половинного деления (функция root с четырьмя аргументами) или методом секущих (функция root с двумя аргументами). Четырехаргументный вызов функции root не нуждается в первом предположении, но требует задания интервала поиска нуля (у нас это 0-20 грамм силы). Двухаргументная же запись функции root требует задания первого предположения (у нас это 1 грамм силы). Но ответ в обоих случаях оказался одинаков.
Функция root хороша тем, что она работает и в бесплатной укороченной версии Mathcad Prime — в Mathcad Express, где функция Find (и многие другие) заглушены. Что такое Mathcad Express? Пользователь скачивает с сайта ptc.com полную версию Mathcad Prime и работает с ней месяц. Далее она укорачивается до Mathcad Express, если не произведена оплата.
Несложно также определить значения сил, растягивающих нить между точками 1-2 и 2-3. Можно для этого добавить в нашу систему (см. рис. 6-8) еще шесть уравнений, и мы сделаем это в конце статьи, «закругляя» ее. Но можно такой расчет сделать вне блока Решатель, учтя «геометрию прямоугольных треугольников» искомых сил — см. рис. 10.
Из рис. 10 видно, что наша нить имеет самое большое напряжение на участке от левой опоры (точка 0) до первой точки с самой тяжелой подвешенной гирькой. Этот факт мы обыграем в третьей части статьи.
Рисунок 10. Нахождение сил, растягивающих нить между точками 1-2 и 2-3
Часть II. Кинематика
Продолжим лабораторную работу, переключив фотоаппарат из режима фотосъемки в режим видео!
Давайте аккуратно вытащим из стенки правую булавку с привязанной к ней нитью (см. рис. 1) и станем медленно и плавно перемещать этот узел вправо в горизонтальном направлении. По каким траекториям будут при этом перемещаться остальные вершины углов нашего «веревочного многоугольника» — точки 1, 2 и 3?
Сделанное видео мы опять же сохраним на компьютере, затем будем просматривать его покадрово и фиксировать (оцифровывать) меняющиеся координаты точек, прорисовав их потом на миллиметровке. Эти траектории можно рассчитать, а потом сравнить с видеокадрами.
Ясно, что точка 1 будет перемещаться по дуге окружности с радиусом Ьт. Для расчета траекторий точек 2 и 3 достаточно блок Решения, показанный на рис. 3, слегка изменить так, чтобы он возвращал не конкретные числа, объединенные в векторы х и у, а пользовательскую функцию, аргумент которой имеет имя
х4 (рис. 11).
Рисунок 11. Формирование функции пользователя на базе блока Решение
Созданную таким образом функция с именем f, возвращающую составной массив (вектор с двумя элементами, каждый из которых представляет собой вектор
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
из трех элементов), нужно будет разложить на отдельные простые (несоставные) функции с именами х2, у2, х3 и у3 — см. рис. 11.
Далее несложно отобразить эти функции графически, построив так называемый параметрический график — график, где на осях записаны не функция (ось абсцисс) и ее аргумент (ось ординат), а две разные функции, с одним аргументом хх — параметром графика, заданным в виде дискретной переменной области на первой строке рис. 12.
Блок Решение неудобен тем, что его нельзя вставлять в Mathcad-программы. Решение тут такое: создается функция пользователя на базе функций Find, Minimize, Maximize или Minerr, которая затем вставляется в программу.
Рисунок 12. Построение траекторий перемещения точек 2 и 3 при сдвиге правой опоры вправо (анимация https://www.ptcusercommunity.com/thread/143232)
Есть другой способ построения траекторий перемещения точек 2 и 3 при сдвиге правой опоры. Его условно можно назвать «рабоче-крестьянским», так как он не требует создания довольно сложной функции, возвращающей составной массив, и разбивки ее на отдельные простые функции (рис. 11). При реализации «рабоче-крестьянского» метода требуется работа в основном руками, а не головой — см. рис. 13 и 14.
На рис. 13 отображена такая ручная работа: пользователь Mathcad вручную меняет значение системной переменной FRAME (она управляет анимацией) от 0 с шагом 50. Пакет Mathcad автоматически высчитывает значения переменных х2, у2, х3, у3, которые пользователь заносит (копирует и вставляет — работа руками) в столбцы матрицы М. Затем по этим точкам формируются функции, интер-
полирующие кусочно-линейно (левый график) или сплайнами (правый график) дискретные данные из матрицы.
Рисунок 13. Кусочно-линейная интерполяция и интерполяция сплайнами
Интерполяция (см. рис. 13) подразумевает прохождение кривой точно через точки. В нашей задаче о построении траекторий движения узлов нити можно применить и аппроксимацию, когда кривая проходит вблизи точек — см. рис. 14, где задействована встроенная в Mathcad функция regress.
Функция regress работает с полиномом степени к (третий аргумент функции regress). Из рис. 14 (верхний график) видно, что наши дискретные точки довольно хорошо описываются полиномом шестой степени. Если уменьшать значение переменной к, то появятся заметные отклонения кривой от точек. А что будет, если увеличивать значения переменной к ? Известно, что через к точек можно провести полином к — 1 степени. В этом случае аппроксимация превратится в интерполяцию. Но все не так просто! При высоких значениях к наблюдается явление, похожее на... грыжу — см. нижний график на рис. 14: кривая полинома проходит через точки, но интерполяцией это уже не назовешь. По научному это явление называется осцилляцией, а не грыжей. Об осцилляции (о колебаниях) мы поговорим ниже.
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Рисунок 14. Аппроксимация полиномом
На странице https://www.ptcusercommunity.com/thread/60126 можно увидеть анимацию процесса интерполяции сплайнами, на https://www.ptcusercommuni ty.com/videos/1473 — аппроксимацию полиномом, а на странице https://www.ptcuser community.com/videos/1512 — кусочно-линейную интерполяцию.
На сайте https://www.ptcusercommunity.com/groups/kinematic-models-in-mathcad собраны примеры авторской анимации кинематических моделей различных механизмов, реализованных в среде Mathcad.
При перемещении точки 4 вправо в какой-то момент наша задача уже не будет иметь решения, т. к. не будет хватать длины нити, и функция Minimize (рис. 14) начнет возвращать сообщения об ошибке. График (рис. 15) тем не менее будет построен, но без показа нереальных участков траекторий. Реальная же нить при таком сдвиге вправо четвертой точки порвется на участке от левой опоры до первой точки, где подвешена самая тяжелая гирька. Что тут может произойти — см. третью часть нашего повествования!
Часть III. Динамика
Давайте запишем скоростной видеосъемкой момент разрыв нити на самом напряженном участке и «задокументируем» траектории движения ее узлов. Это явление также можно смоделировать на компьютере, решив уже систему не алгебраических, а дифференциальных уравнений, опираясь на второй закон Ньютона: сумма сил, действующая на материальную точку, равна произведению ее массы на ее ускорение. За материальные точки мы примем узлы нити, придав им массу соответствующих гирек, а сами гирьки уберем (срежем). Силы, действующие на эти материальные точки, мы опять же разложим (спроецируем, как говорят механики) в двух направлениях — по оси абсцисс и по оси ординат. А силы тут такие — силы тяжести и силы натяжения нити. Мы несколько изменим маркировку узлов и отрезков нашей задачи — см. рис. 15. Исходными данными будут массы материальных точек, расстояния между ними и углы 0 — начальные отклонения отрезков нитей от вертикали.
На рис. 16 показана область ограничений блока Решателя, где записаны начальные условия, а также алгебраические и дифференциальные уравнения. На первую и вторую точки действуют силы натяжения двух нитей (левой и правой, которые мы, повторяем, спроецируем на оси абсцисс и ординат) и силы тяжести, которые действуют только в вертикальном направлении. На третью нить действует сила натяжения только одной (правой) нити и сила тяжести. Все это уравновешивается произведением массы соответствующей материальной точки на ее ускорение — на вторую производную пути по времени. Принимается, что в начальный момент времени скорости точек равны нулю. Равны нулю также и силы, растягивающие нити, — мы как бы поддерживаем навесу эти точки, а потом при ? = 0 разом отпускаем их в полет, сдерживаемый «вожжами» — натянутыми нитями.
Рисунок 15. Схема задачи о трех маятниках
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Рисунок 16. Начальные условия, алгебраические и дифференциальные уравнения
На рис. 17 показана область Решения блока Решить, где задействована встроенная в Mathcad функция Odesolve, возвращающая девять функций, которые можно отобразить на графиках, а также создать по ним анимацию — см. рис. 18.
Рисунок 17. Решение алгебро-дифференциального уравнения тройного маятника
Примечание. Функция Odesolve возвращает не настоящие функции, некие псевдофункции, полученные путем интерполяции точек численного решения дифференциального уравнения — см. пример такой интерполяции на рис. 13. По этим псевдофункциям можно строить графики (что мы и делали), искать у них особые точки, но нельзя видеть их аналитический вид. На то оно и численное, а не символьное решение задачи.
1! Воспроизвести анимацию - □ X Б Воспроизвести анимацию -ах
1=0.005 / 20 г" ^- ,, 2 г < 10 г 1=0.168 / \ ^^^
► ■ Щ » Щ
Ш ..................... - □ X Е Воспроизвести анимацию -ах
1= 0235 / 1 1 > \ \ \ Г- \ \ \ \ / \ Ч / \ т \ / \ / / 1= 0.35в 1 Обратный 1 \ ход \ \ © V \ \ V \ \
► в :............................ |..... ► ® .............................................щ
Рисунок 18. Четыре кадра анимации качания оторванной нити с тремя грузиками (тройной маятник — анимация https://www.ptcusercommunity.com/message/488608)
А всегда ли нити, удерживающие наши материальные точки, растягиваются? Может быть, в какой-то момент времени они сжимаются, что невозможно физически? График на рис. 19 показывает, что после примерно 1.7 секунд качания нашего тройного маятника сила, действующая на третью материальную точку, кратковременно будет не растягивать нить, а сжимать ее. Физически это, повторяем, невозможно, поэтому можно сделать вывод о том, что наша модель более-менее верна (не противоречит явно законам физики) при t < 1.7секунд.
Р2(1Г) IКдГ] К>(Я) 1«»П
' • I»)
Рисунок 19. Графики изменения во времени значений сил, действующих на нити
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
~' N
п (5)
Рисунок 20. График соотношения потенциальной и кинетической энергии материальных точек тройного маятника
Еще один способ проверки правильности нашей модели — это построение графика общей энергии нашей системы, представляющей собой сумму потенциальной (ре) и кинетической (ке) энергий. При качании маятника потенциальная энергия переходит в кинетическую, и наоборот, но общая энергия должна оставаться постоянной, что и отмечено на рис. 19. Незначительные всплески на графике фиксируют некие ошибки численных методов, заложенных в функцию Odesolve.
При упоминании энергий можно вспомнить о методе Лагранжа для решения подобных задач: материальная точка движется так, чтобы разность ее потенциальной и кинетической энергий была минимальна. График на рис. 20 иллюстрирует этот принцип!
Важное замечание. В настоящее время почти все физические журналы не принимают к рассмотрению не только статьи с описанием вечных двигателей, но и статьи по динамике с опорой только на ньютоновскую механику. Принцип Лагран-жа, повторяем, состоит в том, что траектория материальной точки должна быть такая, чтобы минимизировалась разность между кинетической энергией и потенциальной энергией. Вот мы и закругляемся! Не только в том смысле, что заканчиваем статью, а и в том смысле, что мы возвращаемся к ее началу, где принцип минимизации был применен к задаче статики (см. рис. 3), а не динамики. Но это «закругление» не окончательное. Окончательно мы «закруглимся» в конце статьи! Предлагаем читателям решить задачу о тройном маятнике, опираясь не на второй закон Ньютона (см. рис. 16), а на принцип Лагранжа. При этом нужно принять во внимание, что этот принцип разрабатывался тогда, когда не было компьютеров с их мощными численными методами решения задач. Нужно также не забывать и о том, что эти «мощные» численные методы нередко дают большую погрешность, которая может неузнаваемо искажать решение задачи.
Но данная статья не о механике и не о нюансах решения задач при разных «физических» подходах к ним, а о том, как старые не очень сложные задачи механики можно решать с помощью современных компьютерных средств.
Наша нить с грузиками, как мы уже отметили в начале статьи, подобна цепи или канату, удерживающему пролеты моста. Обрыв каната влечет за собой разрушение всей конструкции. Но перед такой техногенной катастрофой мост, как правило, начинает раскачиваться, колебаться. На сложных мостовых конструкциях ведется постоянный мониторинг этого явления. Давайте и мы смоделируем этот процесс: отклоним третий узел нашей нити (см. рис. 1) вправо и вниз, а затем отпустим гирьки «в свободный полет» — рассчитаем траектории движения узловых точек, рассматривая их опять же как материальные точки с массой соответствующих гирек — см. рис. 21-26. Точки 1 и 3 должны при этом качаться по дугам окружности, а точка 2 — делать замысловатые па. «Читатели избавят меня от излишней обязанности описывать развязку» (А. С. Пушкин «Барышня-крестьянка). Читатель избавит нас от излишней обязанности описывать рис. 21 -26: достаточно только подписей к ним.
РЕ 1 (х,,у,,х,,уг):=к -пшм-у,
13=^+2 ст = 4.091 гт
х,:=х 1/1 = 1/, х2-.= хг У!~У2
¿0. *о) 2 2 ¡22 + (У|-!/о) £ц-у(в1-®1) + (¡/1 ~ У*)
/г 2 ¿и =у(ха-хз) +(У1~Уз)
Х|
1/| ■■= Мшишхе [РЕ\ ,х1,|/,.,у2)
У 2
Рисунок 21. Расчет координат узловых точек 1 и 2 нити при отклонении ее третьей точки вправо на 2 сантиметра.
Рисунок 22. Геометрия положения нити с тремя грузиками в начале ее качания (ломаный пунктир) и при новом равновесном состоянии (сплошная ломаная линия)
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Solve
Point 1
xl(0 s) = x, yl(0s) = y, xl'(0s) = 0kph yl'(0 s) = 0 kph Lm' = (xl(t)-x,^ +(yl(t)-y„)2 F01 (0 s) = 0 N
Lol Li2
mass .yl"(t) + e.mass -Jia(t). *(«)-"(')
Lm L)2
Point 2
x2(0s) = x2 y2(0s) = y2 x2'(0 s) = 0 kph y2'(0 s) = 0 kph
L)22=(x2(t)-xl(t))2+(y2(t)-yl(t))2 F12(0s) = 0N
„„/ ч r, Xl(i)-x2(t) _„, . x2(t)-x3(t) mass •x2"(t) = F12(t)--bi-l±-P23(t)---i-L
2 L12 La
mass • y2"(t) + g-mass =F12(t). ^(«b^O -F23(t). V2(t)-y3(t) 2 2 ^12 Point 3
x3(0s) = x3 y3(0s) = y3 x3'(0 s) = 0 kph y3'(0s) = 0kph L232 = (x3(i)-x2(i))2 + (y3(i) -y2(t))2 F23 (0 s) = 0 N
^23 ^34
mam .y3"(t) + g.mass = rc3(t).^b^-F34(t).
^23 ^34
Л312 = (x4-x3(t))' +(y4-y3(t))2 F34(0 s) = 0 N
Рисунок 23. Система уравнений качания трех грузиков на необорванной нити
Рисунок 24. Численное решение системы уравнений качания трех грузиков
на необорванной нити
Рисунок 25. Траектории качания трех грузиков на необорванной нити (анимация: без трения https://www.ptcusercommunity.com/thread/143505, с учетом трения гирек о воздух https://www.ptcusercommunity.com/thread/143572 и с резинками вместо нитей https://www.ptcusercommunity.com/thread/143571)
-ах ■ ' РЬу Дл|т«юп Р X
«.,,-20*. 1 - 0.005 « ■а», - 20;« 1-ОГО«
ГуО) - »22р* /
»йМ" 7 44 , / 3 РуО)- 11-Мв*
► * 1
• Р1»у ДлтМюл □ X •' Р1ау АттИюп □ X
\ ■а», -208« 1-0И0« 1 - 2.005 «
»»»> -: р» ->". -'-г*
\ Гр,СО - Э0Л7В-Г ■au3.1t Рм(|)- 1520 в* / аааа, - Юр.
11720* 2 - ,
• И .05 Ш 3
" * 1 ► г «
Рисунок 26. Четыре кадра анимации качания трех грузиков на необорванной нити (анимация https://www.ptcusercommunity.com/thread/143505)
По адресам https://www.ptcusercommunity.com/thread/143385 и https://www.ptcu sercommunity.com/message/487152, повторяем, размещены анимации качания нашей нити с грузиками с учетом закона Гука (степень растяжения нити пропорциональна силе, ее растягивающей) и с учетом сил трения о воздух, пропорциональных произведению значений сечения тела, плотности среды и квадрату скорости. Два кадра анимации качения нити с учетом трения — первый и последний кадр — показаны на рис. 22.
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Рис. 23 позволяет нам «закруглиться» окончательно — перейти в начало статьи.
А в чем суть этого «закругления»? Если в системе уравнений, описывающей динамическую модель и показанную на рис. 23, убрать слагаемые со второй производной — с ускорением, то мы получим... систему уравнений, описывающую нашу статическую задачу, показанную на рис. 1.
Рисунок 27. Система уравнений, описывающая статическую задачу без минимизации потенциальной энергии, а с учетом баланса сил
На рис. 27 мы имеем уже систему нелинейных уравнений, которая имеет два решения (нить провисает и нить выгибается аркой). Численное решение этой системы при некоторых первых предположениях дает сбои, что обсуждалось на сайте статьи. Решение же, основанное не на балансе сил (ньютоновский подход к реше-
нию), а на минимизации энергии (метод Лагранжа), более простое и более стабильное.
На сайте https://www.ptcusercommunity.com/message/487296 размешено решение несколько усложненной задачи о провисающих грузиках, где жесткие нити заменены на невесомые пружины (резинки) с разным коэффициентом упругости на разных участках. Применен метод Лагранжа (рис. 28: минимизация энергии — 4 уравнения) и метод Ньютона (рис. 29: анализ баланса сил — 10 уравнений). При реализации метода Лагранжа учитывалась сумма (РБЕ) потенциальных энергий грузиков (РЕ) и потенциальной энергии пружин (5Е). Два расчета дали одинаковые результаты. На сайте статьи можно найти анимацию колебания грузиков, когда жесткая нить мгновенно заменяется на пружины. Ведется учет сопротивления среды. Система при этом переходит из одного стабильного состояния (рис. 3) в другое (рис. 28) после затухающих колебаний (см. анимацию https://www.ptcusercom munity.com/thread/143572). Потенциальная энергия гирек (рис. 3) частично рассеивается за счет трения о воздух. Остаток же энергии переходит в потенциальную энергию гирек в новом положении и в потенциальную энергию пружинок-резинок.
Рисунок 28. Расчет провисания трех гирек на пружинах — минимизация суммы энергий (к — величина, обратная коэффициенту упругости пружины)
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Рисунок 29. Расчет провисания трех гирек на пружинах — баланс сил
Но при уменьшении значений коэффициента k с 0.03 до, например, 0.000001 разница в результатах работы метода Ньютона и метод Лагранжа становится заметной, что можно объяснить особенностям численного (приближенного) решения задач.
Какой способ решения задачи провисания пружин (резинок) с грузиками — по Лагранжу или по Ньютону проще, решать читателю. У Лагранжа проще система уравнений (ограничений), но довольно сложная функция для расчета потенциальной энергии пружин. Раньше, повторяем, не было простых и точных инструментов оптимизации, а были только довольно сложные и труднодоступные инструменты решения систем уравнений. Поэтому в учебниках и задачниках по механике задачи статики решаются, как правило, только по Ньютону.
На сайте https://www.ptcusercommunity.com/groups/dynamic-models-in-mathcad собраны примеры авторской анимации динамических моделей различных механизмов и явлений, реализованных в среде Mathcad.
Выводы
Первый автор статьи ведет занятия по численным методам в среде Mathcad со школьниками в продвинутом московском лицее № 1502 при Московском энергетическом институте [8]. Две лицеистки, посещающие эти занятия, стали соавторами данной статьи. В лицее физические кабинеты расположены рядом с кабинетами информатики. На уроках информатики школьники изучают язык Паскаль. Такие уроки — это фактически не уроки информатики, а уроки программирования, что, как понимает читатель, далеко не одно и то же. При этом напрочь игнорируются современные компьютерные математические пакеты, которые могут помочь школьникам не только изучать информатику, но и решать школьные задачи по математике, физике, химии... Сейчас же на уроках информатики решаются абстрактные задачи, никак не связанные с учебным процессом. А такая, междисциплинарная связь должна быть.
Так вот. Школьники, выполнив в кабинете физики лабораторную работу, могут перейти в класс информатики и реализовать там на компьютере математическую модель исследуемого физического явления, что, как понимает читатель, повысит эффективность занятий. Пример такой комплексной работы приведен выше. При этом лабораторную работу и математическую модель можно усложнить в таких направлениях:
- Учитывать вес нити или лучше металлической цепочки, к которой подвешены грузики. Можно к нити или цепочке подвязать воздушный шарик, тянущий нить вверх, или создать такую силу с помощью блока. Подходы к решению такой задачи с использованием цепной функции изложены в этюде 7 учебного пособия [8].
- Некоторые или все отрезки нерастяжимой нити, показанной на рис. 1 и 5, можно заменить на растяжимые пружины или резинки, подчиняющиеся не только закону Гука, но и другому более сложному (нелинейному) закону растяжения-сжатия. Тут уже придется прибегнуть к программированию, но не в среде языка Паскаль, а в среде Mathcad.
- Висящие на нити грузики можно отклонить не только вправо и отпустить этот специфический плоский маятник, но и. вперед, смоделировав... трехмерный маятник, качающийся не на плоскости, а в объеме. Пока он будет колебаться, переводя потенциальную энергию в кинетическую и обратную, можно пойти в компьютерный класс и смоделировать колебания такого 3D маятника.
- Смоделировать колебание маятников, опираясь не на второй закон Ньютона, а на принцип Лагранжа. Этот принцип (принцип минимиза-
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
ции) мы применили в задаче статики, когда минимизировали потенциальную энергию системы (см. рис. 3) и сумму потенциальной энергии и энергии растянутой пружины (рис. 28). Если этот принцип применять к динамической модели, то нужно минимизировать разность потенциальной и кинетической энергий [9].
- На сайте статьи можно найти моделирование колебания маятников с учетом силы сопротивления среды. При этом используется довольно простая модель: сила сопротивления пропорциональна произведению сечения тела, плотности среды и квадрату скорости. При этом коэффициент пропорциональности принимается за постоянную величину. А в реальности этот коэффициент зависит от режима обтекания тела потоком воздуха — ламинарный ли он или турбулентный. Внесите в расчет изменения, учитывающие такую газодинамику!
Во втором издании учебного пособия [8] приведен список подобных лабораторных работ, объединяющих физику, математику и информатику.
И последнее. В многочисленных статьях по методу Лагранжа приводится пример решения задачи о точечной бусинке массой т, движущуюся без трения по неподвижному вертикальному кольцу. Делается вывод, что эта задача решается намного проще, если учитывать энергии, а не силы. Мы же привели еще один такой пример. А главное, показали, что современные математические программы с их численными методами могут кардинально поменять представления о том, какое решение проще, а какое сложнее. Ту же бусинку, «катящуюся» из учебника в учебник, можно катить с трением и с учетом сопротивления воздуха. Тут Лагранж может и не помочь! Придется звать на помощь старого доброго Ньютона.
Дивертисмент. Маятник-тюльпан
Вернемся к самому первому рисунку статьи с висящими гирьками. Если нити на двух концах подвески не закреплять на булавке, а перекинуть их через блоки и прикрепить к концам нити еще пару гирек, то получится новая задача на равновесие. Упростим ее — оставим в центре только одну гирьку (рис. D1).
Крайние же гирьки поместим в воздушные цилиндры (амортизаторы), сдерживающие движение гирек с силой, пропорциональной скорости гирек в квадрате. Коэффициент пропорциональности обозначим как к.
На рис. D2 показана траектория движения центральной гирьки после ее оттягивания вниз и отпускания в свободный полет без учета сил трения и сил сопротивления в амортизаторах (к = 0).
Рисунок 01. Схема маятника с двумя блоками и двумя амортизаторами
Рисунок 02. Траектория маятника (точки 0) при отключенных воздушных амортизаторах
Мы получим некий маятник с периодом колебания равным примерно 15.37 секунды. На рис. D2 зафиксированы семь «петель» такого маятника. Наш центральный грузик (мы опять же рассматриваем его материальную точку) через каждые примерно 15 целых 37 сотых секунды будет возвращаться на исходную позицию — на нижнюю точку траектории, показанной на рис. D2. В центре рисунка пересече-
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
нием двух прямых с координатами х = 1.55; у = —0,689 отмечена точка равновесия, от которой мы оттянули центральную гирьку вниз и вправо. Трения и рассеивания энергии нет (к = 0), поэтому наша гирька будет бесконечно колебаться вокруг точки равновесия, переводя потенциальную энергию в кинетическую и обратно.
На рис. Б3 показана траектория движения центральной гирьки с учетом сил сопротивления в амортизаторах (к > 0): замысловатая траектория имеет начало (точка, куда мы оттянули гирьку) и конец (точка равновесия).
Рисунок ОЗ. Траектория маятника (точки 0) при включенных амортизаторах
На рис. Б4 показаны уравнения, которые решаются с помощью встроенной функции Odesolve. Уравнения фиксируют постоянство длин двух отрезков нитей Ь10 и Ь12, перекинутых через блоки, и балансы сил, действующих на три материальные точки. Силы, действующие на центральную материальную точку, проецируются по горизонтали и вертикали. Для двух других точек рассматривается, естественно, только «вертикаль». К силе веса этих гирек и силе натяжения нити прибавляется и сила сопротивления движению в воздушных амортизаторах, что приводит к затуханию движения маятника и что зафиксировано на рис. Б3.
Рисунок Б4. Система уравнений, описывающих маятник с тремя грузиками, двумя блоками и двумя амортизаторами
При определенных начальных условиях траектория движения центральной гирьки превращается в ...некий тюльпан, «распускание» которого показано на рис. D2, а «расцвет» — на рис. D5. Рисунок довольно пошловатый, но интересный с позиций математики, механики и информатики.
Рисунок П5. Маятник-тюльпан
Анимацию маятника-тюльпана можно видеть на сайте https://www.pteuser community.com/thread/143754). Решение, заложенное в анимацию, опирается не на
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
координаты точек, а на углы отклонения центральных нитей от вертикали. Оно предложено Аланом Стeвенcом (Alan Stevens) из Великобритании.
Читатель может скачать с сайта Mathcad-документ, изменить в нем исходные данные и... получить новую красивую фигуру.
И самое последнее. Часто можно услышать такой риторический вопрос: как бы великие математики Нового времени решали некоторые задачи, если б они имели компьютер с выходом в Интернет?
Возьмем простейшую задачу: камень с массой т подбрасывается вверх с нулевой высоты со скоростью v0 в поле тяготения, характеризуемого ускорением свободного падения g. Как будет меняться высота полета камня h с течением времени t ?
Можно представить, как бы решил эту задачу Ньютон (рис. D6) и Лагранж (рис. D7) на компьютере с выходом в Интернет на самый популярный расчетный математический сайт http://www.wolframalpha.com.
Ь(0)=0, 1Г(0)=у0, т*1п"(1)=-д*т
Рисунок О6. Решение Ньютона: сумма действующих на материальную точку сил равна произведению массы точки на ее ускорение
1п(0)=0, (т*уОл2)/2=д*т*11(1)+(т*Ь'(1)л2)/2
Рисунок О7. Решение Лагранжа: сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна
В обоих случаях ответ получился одинаков — выведена известная школьная формула полета камня, но у Лагранжа обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, а у Ньютона — второго. Если уравнение усложнить — учитывать, например, сопротивление среды полету камня и другие факторы, приближающие математическую модель к реальности, то придется отказаться от символьного (аналитического) решения (рис. Б6 и Б7) и переходить к численным решениям. В этом случае метод Лагранжа, основанный на балансе энергий, а не сил, часто оказывается эффективнее (точнее, быстрее и т. д.).
К англичанину Ньютону и французу Лагранжу может присоединиться и немец Лейбниц, напомнив первым двум, что первообразная имеет и другое название — антипроизводная. На рис. D8 показано решение в среде Maple несколько измененной задачи о полете материальной точки в среде тяготения Земли: Ньютон сидит под яблоней и на его голову падает яблоко. Как будет меняться скорость яблока во времени?
Рисунок D8. Аналитическое (символьное) решение интегрального уравнения (IE)
в среде Maple
Тут решается уже не дифференциальное, а интегральное уравнение. Решается аналитически. Но, как известно, более сложные подобные уравнения приходится решать численно. А численная работа с интегралом намного проще и точнее, чем численная работа с производной. «Чистые» математики не устают повторять «прикладным» математикам, что численное нахождение производной — это вообще некорректная операция, «сапоги всмятку».
И самое-самое последнее. Раз мы коснулись антипроизводной, то поговорим и об... антианимации. Ее идея возникла после прочтения первым автором рассказа Аверченко «Фокус великого кино». Вернее, дело было так, этот рассказ «вертелся» в голове автора как маятник около точки равновесия. Рассказ был «выужен» из дебрей Интернета. Вот начало рассказа.
«Однажды в кинематографе я видел удивительную картину:
Море. Берег. Высокая этакая отвесная скала, саженей в десять. Вдруг у скалы закипела вода, вынырнула человеческая голова, и вот человек, как гигантский, оттолкнувшийся от земли мяч, взлетел на десять саженей кверху, стал на площадку скалы — совершенно сухой и сотворил крестное знамение так: сначала пальцы его коснулись левого плеча, потом правого, потом груди и, наконец, лба.
Он быстро оделся и пошел прочь от моря, задом наперед, пятясь, как рак. Взмахнул рукой, и окурок папиросы, валявшийся на дороге, подскочил и влез ему в пальцы. Человек стал курить, втягивая в себя дым, рождающийся в воздухе. По мере курения, папироса делалась все больше и больше и, наконец, стала совсем свежей, только что закуренной. Человек приложил к ней спичку, вскочившую ему в руку с земли, вынул коробку спичек, чиркнул загоревшуюся спичку о коробку, отчего спичка погасла, вложил спичку в коробку; папиросу, торчащую во рту, сунул обратно в портсигар, нагнулся — а плевок с земли вскочил ему прямо в рот. И пошел он дальше также задом наперед, пятясь, как рак. Дома сел перед пустой тарелкой и стаканом, вылил изо рта в стакан несколько глотков красного
intsolve(IE, v(f))
v(f) = ~gt
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
вина и принялся вилкой таскать изо рта куски цыпленка, кладя их обратно на тарелку, где они под ножом срастались в одно целое. Когда цыпленок вышел целиком из его горла, подошел лакей и, взяв тарелку, понес этого цыпленка на кухню — жарить... Повар положил его на сковородку, потом снял сырого, утыкал перьями, поводил ножом по его горлу, отчего цыпленок ожил и потом весело побежал по двору.
* * *
Не правда ли, вам понятно, в чем тут дело: это обыкновенная фильма, изображающая обыкновенные человеческие поступки, но пущенные в обратную сторону.
Ах, если бы наша жизнь была похожа на послушную кинематографическую ленту!..
Повернул ручку назад — и пошло-поехало...»
Взглянем еще раз на последний кадр анимации движения маятника-тюльпана на рис. Б3. Там самый интересный момент — момент затухания движения около точке равновесия — смазан: траектория движения накладывается сама на себя и поэтому практически невидима. Давайте запустим анимацию движения в обратном порядке: не «время — вперед» а «время — назад» И траекторию точки будем рисовать тоже в обратном порядке, чтобы она была хорошо видна в начале, вернее, в конце пути. На рис. Б9 показаны кадры анимации и антианимации движения тройного маятника в вязкой среде.
Рисунок D9. Кадры анимации (вверху) и антианимации (внизу) движения маятника-тюльпана в вязкой среде (сама анимация здесь https://www.ptcusercommunity.com/message/490775).
Прокрутка анимации нашего необычного маятника в обратную сторону позволяет дать ему еще одно название, связанное уже не с флорой, а с фауной: затухающий маятник в конце, вернее, в начале своего обратного движения вырисовывает...
рыбку — см. правый нижний кадр анимации на рис. D9. При прямой анимации ее, повторяем, увидеть невозможно.
Литература
[1] PTC Community [Электронный ресурс]. URL: https://www.ptcusercommunity.com/thread/ 143140
[2] PTC Community [Электронный ресурс]. URL: https://www.ptcusercommunity.com/thread/ 143385
[3] PTC Community [Электронный ресурс]. URL: https://www.ptcusercommunity.com/ message/487296
[4] Очков В. Ф., Герк С. Активность на форумах — важная часть учебы и последующей инженерной деятельности студента // Открытое образование. 2014. № 5. С. 93-101 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Ochkov-Gurke-OE-5-2014.pdf)
[5] Валле Пуссен. Лекции по теоретической механике. — М. : Государственное издательство иностранной литературы, 1948. (http://stu.alnam.ru/lect_teor_m1-46)
[6] Очков В. Ф., Богомолова Е. П., Иванов Д. А. Программное уравнение или ФМИ // Cloud of Science. 2015. T. 2. № 3. С. 473-515 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/PMI.pdf)
[7] Очков В. Ф., Чудов В. Л., Соколов А. В. Использование форума РТС Community/Mathcad на школьных занятиях по информатике // Информатика в школе. 2015. № 10. С. 46-51 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/PTC-Community-Lyc-maket.pdf)
[8] Очков В. Ф., Богомолова Е. П., Иванов Д. А. Физико-математические этюды с Mathcad и Интернет. — СПб. : Лань, 2016 (https://www.ptcusercommunity.com/groups/etudes)
[9] Лагранжева математика. Википедия [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Лагранжева_механика
Авторы:
Валерий Федорович Очков — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретических основ теплотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ» Фолькер Ленер — дипломированный инженер, Инженерный центр, Бургштеттен, Германия Юлия Владимировна Чудова — методист, ГБОУ Лицей № 1502 при МЭИ Виктория Кирилловна Капитонец — ученица, ГБОУ Лицей № 1502 при МЭИ Дарья Юрьевна Тараканова — ученица, ГБОУ Лицей № 1502 при МЭИ
В. Ф. Очков, Ф. Ленер, Ю. В. Чудова и др.
Physic vs IT:
Funicular polygon in static, kinematic and dynamic or Newton vs Lagrange
V. F. Ochkov*, V. Lehner**, Ju. V. Chudova***, V. K. Kapitonets***, D. Yu. Tarakanova***
*National Research University «Moscow Power Engineering Institute» Krasnokazarmennaya, 14, Moscow, Russia 111250
"Engineering сenter Eschenweg 4, 71576 Burgstetten, Germany
'"Lyceum 1502 at MPEI Molostovykh, 10A, Moscow, Russia 111555
e-mail: ochkov@twt.mpei.ac.ru
Abstract. The article tells how it is possible to do real laboratory work on physics (mechanics) with the use of modern mathematical packages, in particular, Mathcad. Methods for solving statics, kinematics and dynamics problems using the analysis of forces acting on mass points (the Newtonian approach) and minimizing energy (the Lagrange method) are considered. Methods for visualizing solutions using plots and animation with the mapping of the trajectories of moving mass points are described.
Key words: physics, mechanics, statics, kinematics, dynamics, Newton's method, Lagrange's method, Mathcad, animation.
References
[1] https://www.ptcusercommunity.com/thread/143140
[2] https://www.ptcusercommunity.com/thread/143385
[3] https://www.ptcusercommunity.com/message/487296
[4] Ochkov V. F., Gerk S. (2014) Otkrytoye obrazovaniye, 5:93-101 (http://twt.mpei.ac.ru/ ochkov/Ochkov-Gurke-OE-5-2014.pdf) [In Rus]
[5] Valle Pussen (1948) Lektsii po teoreticheskoy mekhanike. Moscow, Gosudarstvennoye iz-datel'stvo inostrannoy literatury (http://stu.alnam.ru/lect_teor_m1-46) [In Rus]
[6] Ochkov V. F., Bogomolova Ye. P., Ivanov D. A. (2015) Cloud of Science, 2(3):473-515 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/PMI.pdf) [In Rus]
[7] Ochkov V. F., Chudov V. L., Sokolov A. V. (2015) Informatika v shkole, 10:46-51 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/PTC-Community-Lyc-maket.pdf) [In Rus]
[8] Ochkov V. F. et al. (2016) Fiziko-matematicheskiye etyudy s Mathcad i Internet. Saint-Petesburg, Lan' (https://www.ptcusercommunity.com/groups/etudes) [In Rus]
[9] https://ruwikipedia.org/wiki/.naipaH®eBa_MexaHHKa
