Новый случай интегрируемой системы с диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 517.01+531.01

НОВЫЙ СЛУЧАЙ ИНТЕГРИРУЕМОЙ СИСТЕМЫ

С ДИССИПАЦИЕЙ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ К МНОГОМЕРНОЙ СФЕРЕ

М. В. Шамолин1

Исследуются уравнения движения динамически симметричного, закрепленного n-мерного твердого тела-маятника, находящегося в некотором неконсервативном поле сил. Его вид заимствован из динамики реальных закрепленных твердых тел, помещенных в однородный поток набегающей среды. Найден полный набор, вообще говоря, трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.

Ключевые слова: многомерное твердое тело-маятник, динамические уравнения, интегрируемость, трансцендентный первый интеграл.

n

pendulum situated in a nonconservative force field are studied. The form of these equations is taken from the dynamics of real fixed rigid bodies placed in a homogeneous flow of an incident medium. The complete list of (in general) transcendental first integrals expressed in terms of a finite combination of elementary functions is found.

Key words: multi-dimensional rigid body-pendulum, dynamic equations, integrability, transcendental first integral.

1. Обобщение модели реального обтекания пространственных тел. Рассмотрим однородный (п—1)-мерный круговой диск Dn-1 с центром в точке D, гиперплоскость которого в n-мерном евклидовом пространстве En перпендикулярна отрезку (державке) OD. Диск жестко прикреплен к державке, находящейся на (обобщенном) сферическом шарнире O, и обтекается однородным потоком среды. В этом случае тело представляет собой физический (обобщенный сферический) маятник. Поток среды движется из бесконечности с постоянной скоростью v = v= 0, а державка сопротивления не создает.

Предположим, что суммарная сила S воздействия потока среды на диск Dn-1 перпендикулярна ему, а точка N приложения этой силы определяется углом атаки а, измеряемым между вектором скорости vd точки D относительно потока и державкой OD, и углами fii,... ,fin-2, измеряемыми в гиперплоскости диска Dn-1 (таким образ ом, (v,a, Д,..., en—2) _ (обобщенные) сферические координаты конца вектора vd), l = OD ^ — тензор (второго ранга [1, 2]) угловой скорости маятника. Подобные условия обобщают модель струйного обтекания пространственных тел [3, 4].

Примем зависимость S = s(a)v^e, s(a) = s^a^ign cos а, e = О D/l (ср. с [3]). Пусть Dx1.. .xn — система координат, жестко связанная с телом, при этом ось Dx1 параллельна вектору е, а оси Dx2,..., Dxn-1, Dxn лежат в гиперплоскости диска Dn-1. Углами (£, П1,..., nn-2) мы определим положение державки OD в n-мерном пространстве En. При этом vгол £ будем измерять между вектором OD и направлением набегающего потока v^. Другими словами, вводимые углы являются (обобщенными) сферическими координатами точки D центра диска Dn-1 на (n — 1)-мерной сфере OD

Пространством положений такого (обобщенного) сферического (физического) маятника явля-

(n — 1)

Sn-1{(£, П1,..., Пп-2) € Rn-1 : 0 < П1,..., ПП-з < п, ПП-2 mod 2п}, (1)

а фазовым пространством — ее касательное расслоение T*Sn-1{£, Пъ ..., nn-2; Пъ..., Пп-2}

Тензор (второго ранга) Q угловой скорости в системе координат Dx1 ... xn будем определять через кососимметрическую матрицу. Так, для определенности в случае n = 5 эта матрица запишется

1 Шамолин Максим Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: shamolinQrambler.ru, shamolinQimec. msu .ru.

следующим образом:

О =

( 0 -Ш10 Ш9 -Ш7 Ш4 \ Ш10 0 -Ш8 Шб -Шэ -Ш9 Ш8 0 -Ш5 Ш2 Ш7 -шб Ш5 0 -ш1 ш4 шэ -Ш2 ш1 0 /

О € во(5).

Расстояние от центра ^ диска Рга 1 до центра давления (точки Ж) будет иметь вид |гN | = = (а, в1, • • •, вп-2), где = {0, , • • •, } в системе ... Для нашего случая оператор инерции имеет вид

,/2, • • • ,/2},

(2)

га—1

а именно в гиперплоскости • • • тело динамически симметрично (другими словами, — ось динамической симметрии).

2. Группа динамических уравнений на алгебре Ли эо(п). В нашем случае закрепленного маятника реализуется случай (2). Тогда может быть получена часть динамических уравнений движения тела, которая описывает движение тела вокруг центра масс и соответствует алгебре Ли во(п):

(/1 + (п - 3)/2)Ш 1 = 0,..., (/1 + (п - 3)/2)ШГ1_1 = 0,

(п - 2)/2Шг1 + (-1)п+1(/1 - /2)Жга—1(П) = (-1)гажга* (а,в1, • • • ,вп—2) 8(а>2,

(/1 + (п - 3)/2)шШг1+1 = 0,..., (/1 + (п - 3)/2)ШГ2—1 = 0,

п - 2)/2ШГ2 + (-1)п(/1 - /2)2(П) = (-1)п—1х„—(а, в1, • • •, вп-2) 8(а>2,

(3)

/1 + (п - 3)/2)ШГ2+1 = 0, • • • , (/1 + (п - 3)/2)шшГп-2-1 = 0,

п - 2)/2Ш гп_2 + (/1 - /2)^2 (О) = -Жэм (а,в1,...,вп-2) 8(а>2,

п - 2)/2ШГп_1 + (/2 - /1)^1(0) = Ж2М (а, в1, • • •, вп-2) 8(а>2,

гп-2+1 = гга-1, а функции ^¿(О), Ь = 1,..., п-1, — квадратичные формы по компонентам Ш1, • •., Ш/, / = п(п - 1)/2, тензора О, причем

^ (П)|ш. =...=Шкв =о = 0, 8 = (п - 1)(п - 2)/2, % = г,, 3 = 1,... ,8, г = 1,... ,п - 1.

(4)

Поясним формулу (4). Всего у тензора О € во(п) имеется / = п(п - 1)/2 компонент. Соответственно компонент у момента силы Мр = (ОЫ, Е) столько же. Поскольку вспомогательная матрица для вычисления момента силы Мр имеет вид

0 Ж2М • • • А -8(а)и^ 0 ... 0 ) ,

в правой части системы (3) по крайней мере 8 = (п - 1)(п - 2)/2 уравнений содержат тождественный нуль. Эти номера уравнений мы обозначим через &1,..., При этом соответствующие компоненты Шд^, 3 = 1, • • •, 8, тензор а О угловой скорости будем называть циклическими. Оставшиеся номера уравнений, в правых частях которых стоят величины

жш (а,въ • • •,вп-2) 8(а)^2, I = 2,... ,п,

мы обозначаем через г1,..., гга-1, поскольку / - 8 = п(п - 1)/2 - (п - 1)(п - 2)/2 = п - 1.

Очевидно, что ^¿(0) = 0 для любых Ь = 1,..., п-1, т.е. квадратичные формы ^¿(О) обращаются в нуль, когда все компоненты тензора О нулевые. Так вот формула (4) означает, что для обращения в нуль квадратичных форм ^¿(О), Ь = 1,..., п - 1, достаточно, чтобы все циклические компоненты тензора О были нулевые.

Поскольку размерность алгебры Ли во(п) равна / = п(п - 1)/2, система уравнений (3) и состав-

(п)

Видно, что в правую часть системы уравнений (3) входят углы а, в1, • • •, вп-2) поэтому данная система уравнений не является замкнутой. Для того чтобы получить полную систему уравнений

18 ВМУ, математика, механика, № 3

движения маятника, необходимо к динамическим уравнениям на алгебре Ли во(п) присоединить несколько групп кинематических уравнений.

Циклические первые интегралы. Сразу же заметим, что система (3) в силу имеющейся динамической симметрии

/2 = ... = 1п (5)

обладает в = (п — 1)(п — 2)/2 циклическими первыми интегралами

о о (n - 1)(n - 2)

wfcl = Wkl = const, . . . , L0ks = 0Jka = const, s = —

2

(6)

При этом будем рассматривать динамику системы на нулевых уровнях:

<

w0 =0.

kS

(7)

Ненулевых же компонент ,..., тензора О осталось р = /—в = п—1 штук (здесь п,..., гр -оставшиеся р чисел из множества ^ = {1,2,..., п(п — 1)/2}, те равные

При условиях (5)-(7) система (3) примет вид незамкнутой системы п — 1 уравнений:

(п — 2)/2£^п = (—1)пжгаМ (а, в1,..., вп-2) в(а>2,

(n - 2)/2£jr2 = (-1)n 1X„-1,N (а, в1,..., вп-2) s(a)v2,

(8)

(n - 2)/2£jrn-2 = -X3N (а, в1,..., вп-2) s(a)v2, (n - 2)/2£jrw = X2N (а, в1,..., вп-2) s(a)v2.

3. Первая группа кинематических уравнений. Для получения полной системы уравнений движения нам потребуется группа кинематических уравнений, связывающих скорости точки О (центра диска Рга-1) и набегающего потока:

vD = vd ■ iv(а,в1,...,вп-2) = ft

/А

0

+ ( v(-£, П1,..., Пп-2),

(9)

где

iv (а,в1,... ,вп-2) =

cos а sin а cos в1 sin а sin в1 cos в2

sin а sin в1... sin вп-3 cos вп-2 sin а sin в1... sin вп-2

(10)

Равенство (9) выражает теорему сложения скоростей в проекциях на связанную систему координат Ох1... жга. Действительно, в левой части равенства (9) стоит скорость точки О маятника относительно потока в проекциях на систему координат Ож1... жга. При этом вектор ^(а, в1,..., вп-2) — единичный вектор вдоль оси вектора ^.Вектор ^ (а, въ ..., вп-2) имеет (обобщенные) сферические координаты (1, а, в1,..., вп-2)) определяющие разложение (10).

В правой же части равенства (9) стоит сумма скоростей точки О при повороте маятника (первое слагаемое) и движения потока (второе слагаемое). При этом в первом слагаемом имеются координаты вектора СЮ = {1, 0,... , 0} в системе координат Ож1... жга.

На втором слагаемом правой части равенства (9) остановимся подробнее. В нем имеются координаты вектора (—vте) = {—0,..., 0} в неподвижном пространстве. Чтобы его записать в проекциях на связанную систему координат Ож1... жга, необходимо произвести (обратный) поворот маятника на угол (—£), что эквивалентно умножению величины (—на вектор ^ (—П1,..., Пп-2)-

Таким образом, первая группа кинематических уравнений (9) в нашем случае примет следующий вид:

vD cos а = — v^ cos £, vD sin а cos в = lwrn-1 + v^ sin £ cos ni, vD sin а sin в1 cos в2 = — lwrn-2 + v^ sin £ sin n1 cos n2, .......................................... (11)

vD sin а sin в1... sin en-3 cos вп-2 =

= ( —1)n+1lwr2 + v^ sin £ sin ni . .. sin Пп-3 cos Пп-2,

vD sin а sin в1... sin вп-2 = (—1)nlwri + v^ sin £ sin n1... sin nn-2.

4. Вторая группа кинематических уравнений. Нам также потребуется группа кинематических уравнений, связывающих тензор угловой скорости Q и координаты £, П1,..., nn-2, £, П1,..., Пп-2 фазового пространства исследуемого маятника — касательного расслоения T*Sn {£ ,n1, ...,nn-2; £, П1,..., Пп-2}-

Проведем рассуждения в стиле, допускающем любую размерность. Искомые уравнения получаются из следующих двух групп соотношений. Поскольку движение тела формально происходит в евклидовом пространстве En, сначала выражается набор, состоящий из фазовых переменных wri, wr2,..., wrn-1, через новые переменные z1,..., zn-1 (из набора z). Для этого производится следующая композиция поворотов на углы П1,..., Пп-2:

/ wn \

wr

= T.,2(Пп-2) ◦ Т2;з(Пга -3) ◦ ... ◦ ^га-2,«,- 1 ( n1 )

W„_i/

( Z1 \

Z2

\Zn-1/

(12)

где матрица

Tk

fc,fc+1

/10 0 0 0\

0''. 0 0 0

0 0 Mfc)fc+1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

к = 1,...,n- 2,

отличается от единичнои наличием минора второго порядка

Mfc;fc+1 = ' ' + , mfc;fc = mfc+1;fc+1 = cos n, mfc+1;fc = —mfc;fc+1 = sin n. \mfc+1,fc mfc+1,fc+1/

Другими словами, справедливы соотношения

/ Z1 \

Z2

\Zn-1/

( Wn \

= Tn-2,n-1(—n1) ◦ T„-3,n-2( —n2) ◦ ... ◦ T1,2(—Пп-2)

Wrn_i/

Затем вместо группы переменных z подставляется следующая зависимость:

Zn-1 = С

zn-2 = -

sin С

cos С

. sin С .

Zn-3 = V2 -- Sin Г]1,

cos С

(13)

/• ,\п + Ь sin С

Z2 = {-1) ^ rjn-3-- smr?i .. .smr?ra_4,

cos С

f Л\п ■ sin С .

Zi = {-1) T]n—2 -- Sin rji . . . Sin r?ra_3.

cos С

Таким образом, две группы уравнений (12) и (13) дают вторую группу кинематических уравнений:

í wn \

ш.

Jrl Г2

= Ti 2(Пп-2) О Т2;э(Пп-з) О ...

\Ur„_i7

(-l)ra?i„-2^|sinr?i ...sinr?ra_3 (-1)га+1?7га_3^| sin Tji ... sin r?ra_4

... 0 Tn-з,п—2 1(П1)

^^f sm Щ

■ sin g

— vl^sg

V

(14)

/

Видно, что три группы соотношений (8), (11), (14) образуют замкнутую систему уравнений. В эти три группы уравнений входят следующие функции: Ж2М (а, в1, • • •, вп-2), • • •, (а, въ • • •, вп-2), «(а). При этом функция в считается зависимой лишь от а.

5. Случай отсутствия зависимости момента неконсервативных сил от тензора угловой скорости. Выберем функцию г^ в следующем виде (диск Рга-1 задается уравнением жш = 0):

где ÍN = iv (п/2,в1,... ,вп-2) (см. (10)). В нашем случае

(

{ 0 \

X2N

\XnN J

= R(a)ÍN,

(15)

N=

0

cos в1 sin в1 cos в2

sin в1 . . . sin вп-3 cos вп-2 V sin в1 ... sin вп-2 j

Таким образом, выполнены равенства

x2N = R(a)cos въ x3N = R(a) sin в1 cos в2, ...,

Жп- 1,N = R(a) sin в1... sin вп-з cos вп-2, XnN = R(a) sin в1 ... sin вп-2,

убеждающие нас в том, что в рассматриваемой системе отсутствует зависимость момента сил от тензора угловой скорости (имеется лишь зависимость от углов а, въ ..., вп-2)-

Итак, для построения силового поля используется пара функций Л(а),5(а), информация о которых носит качественный характер. Подобно аналитическим функциям типа Чаплыгина [4, 5], динамические функции s и R выберем в следующем виде:

Я(а) = A sin а, «(а) = B cos а, A, B> 0. (16)

Теорема 1. Совместные уравнения (3), (11) (14) при выполнении условий (5)-(7) (15) (16) редуцируются к динамической системе на касательном расслоении T*Sn-1 сферы (1). Действительно, если ввести безразмерные параметр и дифференцирование

2 AB

К=1п0, Щ = --——, < • > = По-Uoo < >,

(n — 2)/2

то полученные уравнения будут иметь следующий вид:

sin £

£// + &*£/COs£ + Sin£ COs£ — [r]'i+r]2 sin2 Í?1+Í?32 sin2 Щ sin2 í?2+í?ra_2 sÍn2 Ш ■ ■ ■ Sin2 Vn-з] -7 = 0,

cos £

H it i- а/ / 1 + cos £ г /2 /2-2 /2-2 -2

Г] 1 + 6*Í?1 cos 4 + 4 Г]1- . - [r¡2 + í?3 sin r¡2 + Щ sin Г]2 sin í?3 + . . .

cos £ sin £

... + пП2-2 sin2 n2 ... sin2 Пп-з] sin n1 cos n1 = 0,

// / j- .' ' 1 + cos £ ' ' cos n1 г /2 /2 2 /2 2 2

r?2 + 5*í?2 cos £ + £ r?2 -——- + 2^2 ---[% + щ sill i?3 + ífe sill í?3 sill щ + . . .

cos £ sin £ sin n1

... + пП2-2 sin2 n3 ... sin2 Пп-з] sin n2 cos n2 = 0,

nil а а/ / 1+cos2 £ „ , , cos n1 „ / / cos n2 г /2 /2 . 2 /2 . 2 • 2

í?3+&*^cos£+fí^--—^+2r][r]'3 —!-+2rf2rf3 - [774+775 sm sin Ш sm2 r?5 + ...

cos £ sin £ sin n1 sin n2

... + пП2-2 sin2 n4 ... sin2 Пп-з] sin Пз cos Пз = 0, (17)

// 7 / a/ / 1 + cos2 £ . , cos n1

+ 4 cos e+e —_ + 2r?1r?ra_4 _ +..

— [пП-з + пП-2 sin2 Пп-з] sin Пп-4 cos Пп-4 = 0,

,, , , .. , 1 + cos2 £ , , cos n1

Vn-3 + b*Vn-3cos{ + { r?ra_3 + 2r?1r?ra_3 —— + ..

cos £ sin £

sin n1

— пП2-2 sin nn-3 cos nn-3 = 0,

// 7 / a/ / 1 + cos2 £ , , cos n1 Vn—2 + b*Vn-2 cos с + с Vn—2 . . + ^VlVn-2 —- + • •

cos £ sin £

sin n1

, , cos r?ra_ 5 + 2r?ra_5r?ra_4

, , cos r?ra_4

/ / cos r?ra_ 3

b* > 0.

zz

переменным

Zfc = nov^ Zfc, к = 1,...,n — 2, Zn-1 = nov^Z„-1 — nov^b* sin £ система (17) будет эквивалентна системе

£' = Zn-1 — b* sin £,

cos £

Z'n_l = - sin { cos С + (Zj + ... + Z2_2) —J,

sin £

yt _ у у COS£ ,y2. ,y2 xcos{cost?i

^n—2 — —¿n-2¿n-1 — Г — "Г • • • i- ¿n-3 ~ 7 ~ )

sin £ sin £ sin n1

+

Zn-3 — —Zn-aZn-

n-3Zn-1

cos £ cos £ cos n1

sin £

+ Zn-3Zn-2

sin £ sin n1

+ (Z2 +... + z2-4)

2 cos £ 1 cos n2

sin £ sin n1 sin n2

ZÍ = ^ ( £(-i)'+1 . 006 "'Г1 1,

sin С sin П1 ... sin ns-1 I

г/ - 7 COS^ Vi — —¿n-2 ——Г,

sin С

/ 7 cose (18)

Ъ — zn-3 -.—т~.-,

sin С sin n1

V'n-s = (-1Г1 ^2 - COSC

sin 4 sin ni . . . sin Пп-4

V'a-2 = ("1Г ■ , ■ C°Se ■--(19)

sin 4 sin n1... sin nn-3

иа касательном расслоении T*Sra-1{(Zra-1,..., Z1; 4, ni,..., nn-2)} (n — 1)-мерной сферы

Sn-1{(4, П1, • • •, nn-2) € Rn-1 : 0 < 4, П1,..., Пп-з < п, Пп-2 mod 2п}.

Видно, что в системе (18), (19) порядка 2(n — 1) по причине цикличности переменной nn-2 выделяется независимая подсистема (18) порядка 2(n — 1) — 1, которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем (2n — 3)-мерном многообразии.

6. Полный список первых интегралов при любом конечном n. Для полного интегрирования системы (18), (19) порядка 2(n — 1) необходимо знать, вообще говоря, 2n — 3 независимых первых интеграла. Однако после замены переменных

Z2 Z;

Wn-1 = -Zn_ 1, Wn-2 = \ Zl + ... + Z2_2, Wn-3 = —, wra_4 = -

з

^п-з ^п-2 ,огЛ

■w2 =--, Wi =----= (20)

(21)

система (18), (19) распадется следующим образом:

С' = -№п-1 - b* sin С,

2 cos С

W„ 1 = sin £ COS t—W„ 9 --,

п 1 s п 2 sin С'

' cos С

п-2 sin С

^ 1 + w2 cos ns

Ws sin ns }> (22)

nS = 4("Шп-1,... ,W1;С,П1,... ,Пп-2), s = 1,... ,n - 3,

пп-2 = ^п-2(адп-1,... ,W1; С,П1,... ,Пп-2), (23)

где выполнены условия

di(wra_i,... ,wi;£,ni, • • • 2) = -^п-г^п-ь ... ,wi)

d2(wn-1,... ,wi;£,ni, • • • 2) = Zn—^(wn—i, ...,wi) —

sin С cos С

sin С sin n1

dn-2K-1, • • • • • -,Vn-2) = (-l)nZi(wn_i,... ,101) — COS^

sin С sin n1 ... sin пп-3 '

при этом Zfc = Zfc(wn-1,..., w1) к = 1,... , n — 2, — функции в силу (20). Система (21)—(23) рассматривается на касательном расслоении (n — 1)-мерной сферы Sn-1{(£, n1,..., nn-2)l-

Видно, что в системе (21)—(23) порядка 3 + 2(n — 3) + 1 = 2(n — 1) выделяются независимая подсистема третьего порядка (21), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем трех-

n— 3

переменной), а (по причине цикличности переменной nn-2) уравнение (23) на nn-2 отделяется.

Таким образом, для полной интегрируемости системы (21)—(23) достаточно указать два незави-

n — 3

n

Для начала сопоставим системе третьего порядка (21) неавтономную систему второго порядка

dwn-1 _ sin С cos С - w2_2 cos С/ sin { dwn-2 _ wra_2wra-icos{/ sin { d¿¡ -Wn-i ~ b* sin{ ' d¿¡ -Wn-i ~ b* sin£

Используя замену т = sin £, перепишем систему (24) в алгебраическом виде

dWn-1 т — wn -2/т dWn-2 Wn-2Wn-1/T

dT — Wn-1 — b* т' dT — Wn-1 — b* т

(25)

Далее, введя однородные переменные по формулам -шга-1 = и2т, = ^т, представим систему (25) в следующем виде:

du2 1 — и? + и2 — 6и2 du1 2и1и2 — Ьи1

т "I- =-г;-' т "I- =-г;—• у26)

dr —и2 — 6* dr —и2 — 6*

Сопоставим системе второго порядка (26) неавтономное уравнение первого порядка

d■u2 1 — и\ + + Ь*и 2 du1 2и1и2 + 6*и1

которое несложно приводится к полному дифференциалу:

+ Ъ*У,2 + 1'. _

(27)

u1

Итак, уравнение (27) имеет первый интеграл

u2 + u2 + b*U2 + 1

= C1 = const,

u1

который в прежних переменных выглядит следующим образом:

п / Wl-l + wn-2 + b*wn-1 sin С + sin2 С

©i(wra_i, -шга_2; 4) =-—- =C 1 = const. (28)

Wn-2 sin £

Замечание. Рассмотрим обладающую переменной диссипацией с нулевым средним [6, 7] си-

b* = 0

£' = — Wn-1,

2 cos £

wra_i = sm4cos4-wra_2—j, ^

cos £ sin £

Она обладает двумя аналитическими первыми интегралами вида

Wn-1 + шП-2 + sin2 £ = C* = con st, (30)

wn-2 sin £ = C2 = con st. (31)

Очевидно, что отношение двух первых интегралов (30), (31) также является первым интегралом системы (29). Но при b* =0 каждая из функций

-1 + "Wt-2 + Ь*-Шп-1 sin С + sin2 С (32)

и (31) по отдельности не является первым интегралом системы (21). Однако отношение функ-

b*

Можно найти явный вид дополнительного первого интеграла системы третьего порядка (21). Он имеет следующий структурный вид (ср. с [8, 9]):

@2{wn-i,wn-2]í) = G2 ( sin£, ^zl ^zl j =C2= const. (33)

sin С sin С

Таким образом, найдены два первых интеграла (28), (33) системы третьего порядка (21). Осталось указать по одному первому интегралу для систем (22) (их всего n — 3) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (23).

Действительно, искомые первые интегралы имеют следующий вид:

h w 2

es+2(ws; r)s) = -- = C'L2 = const, s = 1,..., n - 3, (34)

sin ns

вп("п-3, "п-4; Пп-4, Пп-3, Пп-2) = = r¡n-2 ± arctg — Cn-i cosr?ra_3 _ _ cong^ ^^

\JC^-2 sin2 Пп-3 — Сп-1

при этом в левую часть равенства (35) вместо Сп-2, Сп-1 необходимо подставить интегралы (34) при s = n — 4, n — 3.

Теорема 2. Система (21)-(23) порядка, 2(n — 1) обладает, достаточным количеством (n) независимых первых интегралов (28), (33)-(35).

n

гралов (28), (33)—(35), являющихся трансцендентными функциями фазовых переменных (в смысле комплексного анализа) и выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций (см. [9, 10]).

Теорема 3. Три группы соотношений (3) (11) (14) при условиях (5)-(7) (15) (16) обладают, n первыми интегралами (полным, набором), являющимися трансцендентными функциями с точки зрения, комплексного анализа,, выражающимися, через конечную комбинацию элементарных функций.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-01-00020-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Георгиевский Д.В., Шамолин М.В. Кинематика и геометрия масс твердого тела с неподвижной точкой в R" // Докл. РАН. 2001. 380, № 1. 47-50.

2. Георгиевский Д.В., Шамолин М.В. Обобщенные динамические уравнения Эйлера для твердого тела с неподвижной точкой в!"// Докл. РАН. 2002. 383, № 5. 635-637.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983.

4. Чаплыгин С.А. Избранные труды. М.: Наука, 1976.

5. Чаплыгин С.А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости // Полн. собр. соч. Т. 1. Л.: Изд-во АН СССР, 1933. 133-135.

6. Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Экзамен, 2007.

7. Шамолин М.В. Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, методы, приложения // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 3. 3-237.

8. Шамолин М.В. Многообразие случаев интегрируемости в динамике маломерного и многомерного твердого тела в неконсервативном поле сил // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т. 125. М.: ВИНИТИ, 2013. 5-254.

9. Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. 53, вып. 3. 209-210.

10. Шамолин М.В. Многомерный маятник в неконсервативном силовом поле // Докл. РАН. 2015. 460, № 2. 165-169.

Поступила в редакцию 11.11.2015

УДК 539.4.25

О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КИРХГОФА-ЛЯВА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

В. И. Горбачёв1, Л. А. Кабанова2

В работе изучается процедура сведения трехмерной задачи теории упругости для тонкой неоднородной анизотропной пластины к двумерной задаче в срединной плоскости. Пластина находится в равновесии под действием объемных и поверхностных сил общего вида. Вводится понятие внутренних силовых факторов. Уравнения для силовых факторов (уравнения равновесия в срединной плоскости) получаются из усредненных по толщине трехмерных уравнений теории упругости. Для установления связи между внутренними силовыми факторами и характеристиками деформированной срединной поверхности используются априорные предположения о распределении перемещений по толщине пластины. Чтобы упорядочить эти предположения, перемещения точек пластины разлагаются в ряды Тейлора по поперечной координате с учетом физических гипотез о деформации материального волокна, первоначально перпендикулярного срединной плоскости. Подробно рассмотрена известная гипотеза Кирхгофа-Лява. Получена замкнутая система уравнений теории неоднородных анизотропных пластин, основанная на гипотезе Кирхгофа-Лява. Граничные условия выводятся из вариационного принципа Лагранжа.

Ключевые слова: пластины, композиционные материалы, теория упругости, неоднородные анизотропные пластины.

In this paper we study the procedure of reducing the three-dimensional problem of elasticity-theory for a thin inhomogeneous anisotropic plate to a two-dimensional problem in the median plane. The plate is in equilibrium under the action of bulk and surface forces of general form. A notion of internal force factors is introduced. Equations for force factors (equilibrium equations in the median plane) are obtained from the thickness-averaged three-dimensional equations of elasticity theory. In order to establish the relation between the internal force factors and the characteristics of the deformed middle surface, we use some prior assumptions on the distribution of displacements along the thickness of the plate. To arrange these assumptions in order, the displacements of plate points are expanded into Taylor series in the transverse coordinate with consideration of the physical hypotheses on the deformation of a material fiber that is originally perpendicular to the median plane. The well-known Kirchhoff-Love hypothesis is considered in detail. A closed system of equations for the theory of inhomogeneous anisotropic plates is obtained on the basis of the Kirchhoff-Love hypothesis. The boundary conditions are formulated from the Lagrange variation principle.

Key words: plates, composite materials, elasticity theory, inhomogeneous anisotropic plates.

1. Введение. Под пластиной понимается деформируемое твердое тело, ограниченное двумя плоскими лицевыми поверхностями £± и боковой поверхностью £5, перпендикулярной к обеим лицевым поверхностям. Плоская поверхность £о, равноудаленная от лицевых поверхностей, называется срединной плоскостью. Пересечение срединной плоскости с перпендикулярной к ней боковой поверхностью называется граничным контуром срединной плоскости пластины Г. Область, образованная пересечением пластины с плоскостью, проходящей через нормаль к срединной плоскости,

1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorbyQmail.ru.

2 Кабанова Любовь Александровна — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lkbl4Qyandex.ru.