Новый подход к задаче о брахистохроне с учетом сухого трения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.332.3

doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-6

Новый подход к задаче о брахистохроне с учетом сухого трения

С. О. Гладков

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия

sglad51@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Предложен новый вариационный подход к решению задачи о брахистохроне, целью которого является математически строгое обоснование всех основных уравнений динамического движения тела в подвижном базисе. Актуальность темы исследования продиктована прежде всего новизной поставленной задачи и методики ее решения. Материалы и методы. Метод решения основан на использовании подвижного базиса и вариационного подхода. Результаты. Получена строго обоснованная с помощью вариационного подхода система дифференциальных уравнений, описывающая оптимальную траекторию движения тела в подвижном базисе. Выводы. Предложен общий алгоритм решения подобного рода задач.

Ключевые слова: брахистохрона, сухое трение, уравнение движения, вариационный принцип

Для цитирования: Гладков С. О. Новый подход к задаче о брахистохроне с учетом сухого трения // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1. С. 64-75. doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-6

A new approach to brachistochrone problem with an account dry friction

S.O. Gladkov

Moscow aviation institute (National Research University), Moscow, Russia

sglad51@mail.ru

Abstract. Background. The study proposes a new variational approach to solving the problem of the brachistochrone the purpose of which is to mathematically rigorously substantiate all the basic equations of the dynamic motion of a body in a mobile basis. The relevance of the research topic is dictated primarily by the novelty of the task and the methodology of its solution. Materials and methods. The solution method is based on the use of a moving basis and a variational approach. Results. A general fundamental solution of the two-dimensional Laplace equation for a function dependent on three independent coordinates is obtained. Conclusions. A system of differential equations strictly substantiated with the help of the variational approach describing the optimal trajectory of the body's motion in a mobile basis has been obtained.

Keywords: brachistochrone, dry friction, equation of motion, variational principle

For citation: Gladkov S.O. A new approach to brachistochrone problem with an account dry friction. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matemati-cheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1):64-75. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-6

© Гладков С. О., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Введение

Задачу, о которой сейчас пойдет речь, нельзя отнести к новой области исследования, поскольку этой проблемой занимаются уже более трехсот лет -начиная со времен Я. Бернулли и Л. Эйлера. Первая классическая постановка задачи о брахистохроне в идеальном случае, когда тело движется по кривой наискорейшего спуска под действием одной лишь силы тяжести (без учета каких-либо диссипативных сил) была сформулирована им в 1696 г. Позднее, как известно (см., например, [1-3]), с помощью разработанного Л. Эйлером математического аппарата, который в современной трактовке называется методом вариационного исчисления, эта задача была решена аналитически и получено параметрическое представление формы траектории, описывающее брахистохрону.

В последнее время (примерно с середины 50-х гг. прошлого столетия) интерес к этой проблеме оживился с новой силой, что ознаменовалось множеством опубликованных работ, в которых задача о брахистохроне решалась с различных точек зрений и в разных постановках, в том числе и с учетом сил сухого, а также вязкого трения (см. работы [4-12]). В этой связи интересно обратить внимание на следующий факт. В отмеченных оригинальных исследованиях решение задачи приводилось с помощью разных методических подходов, среди которых можно выделить четыре основных: метод управляющего параметра, метод интегральных уравнений, метод подвижного базиса и вариационный принцип. Все четыре метода позволяют найти решение задачи, и они качественно довольно похожи друг на друга.

Формально, на наш взгляд, более информативным является метод подвижного базиса, который позволяет получить не только траекторию движения (т.е. форму желоба), но также вычислить еще и ряд других, не менее важных зависимостей. К ним, прежде всего, можно отнести зависимость от времени угла наклона а между касательной и осью х, а также силу реакции желоба в виде некоторой функции от времени (см. работы [10, 11]).

Геометрию задачи удобно представить с помощью рис. 1, на котором изображены все основные физические характеристики задачи.

На рис. 1 схематически изображена также сила Магнуса, которая всегда проявляет себя в условиях криволинейной движения вращающегося с определенной частотой сферического тела (аналитическое объяснение этой силы см. в [13]). Ввиду малости частоты вращения этой силой обычно пренебрегают.

Основная идея заключается в следующем. Несмотря на тот факт, что мы будем использовать хорошо известные принципы вариационного исчисления, алгоритм предложенного ниже решения существенно отличается от классического подхода, подробно изложенного в монографии [1]. Действительно, пусть имеется функционал времени

Вариационный подход и подвижный базис

(1)

где - элемент длины траектории; V - скорость тела.

Рис. 1. Геометрическая постановка задачи в общем случае В отличие от классического функционала, а именно такого:

^1 + у'2 ёх

< {у}= I

ря (Н — у)

мы будем искать вариацию непосредственно функционала (1). Имеем для него

»=№+-(1 11=№ - - $ ].

. V ( V 11 ^ ( V V"

ё 51 „5 V

В силу очевидных равенств

находим

Откуда

V2 = v2, ё12 = ёг 2

v = —г, ё1ё 51 = ёг ■ ё 5г .

■у = т ■ -V, ё 51 = т ■ ё 5г ,

где т — единичный вектор касательной к траектории движения. Учитывая также, что

V = т ■ V .

Из (3) с учетом (4) получаем т ■ ё 5г „5

Д—

&=I

51=I

т■5г ] 5гё|1

Л

V2 1

(2)

(3)

(4)

(5)

Интеграл от первого слагаемого в правой части, который представляет собой полный дифференциал, исчезает благодаря условию неподвижности граничных точек, и мы получаем с учетом (4):

о

&=—{( Srrf (i ]+

,V v-5r

2

V ]

^ rff dT 1 t л vv ^

=-Jlld7v-7vl+— ■

l

V V

v ]

■ 5rd/ =

_r ( n T (t ■ v) V v

= -J| R v^+

Л

l

5rdl

= 0,

(6)

где Я — радиус кривизны траектории в данной точке. Согласно уравнениям Гамильтона

VU F

v = —

m m

где т — масса тела.

Поэтому из (6) согласно основной лемме вариационного исчисления [1] следует, что

n t (т ■ F) V v n

----—+-= 0.

R

(7)

m v

Поскольку под силой F следует подразумевать все действующие на тело силы, то для нее в рамках нашей задачи имеем

F = N + mg + Ffr, (8)

где N = Nn — сила реакции желоба; g = g (n cos a + т cos a) - ускорение силы тяжести; Ffr = —Fjrт — сила трения, направленная против направления движения тела.

В подвижном базисе n — т градиент скорости, фигурирующий в уравнении (7), можно представить как

„ д v д v V v = —— n + —- т дп дт

(9)

д v д v д v

где--производная по направлению нормали к траектории; — =--

дп дт д1

производная по касательной к траектории.

Таким образом, с учетом (9) и всего сказанного векторное уравнение

(7) приобретает следующий вид:

n т (т ■( Nn + mg (n cos a + т sin a) — FV/г)) 1 f д v д v

v v "+-| — n + —т I = 0. (10)

R

mv

v l дп дт

Проектируя уравнение (10) на базис п — т, немедленно приходим к двум уравнениям:

д v

v— = g sin a-

д1 S

^ + ^ = 0.

R дп

F

JL m

(11)

Производные по направлениям нормали и касательной следует раскрыть в явном виде согласно их общим определениям:

д V „ д V . д V

— = п V V =—sm а--cos а,

дп дх ду

д V „ д V д V .

— = т V V =--cos а--sm а.

д1 дх ду

(12)

Поскольку

V = Да, (13)

то согласно (12) с учетом (13) уравнения (11) переходят в следующую систему:

К

¡Г

т

■ я sm а + V

(д V д V . ]

—cos а +--sm а

дх ду

д V . д V

а +--sm а--cos а = 0.

дх ду

(14)

Как видим из (14), наша задача сейчас свелась к формальному вычислению частных производных от модуля скорости по координатам. Чтобы их найти, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии, который с учетом силы трения гласит:

т V

- + тяу-

х I-

■ I 1 + у'2 ёх = тяН

(15)

где

¥<г = ц^ = цт

( 2 V

Д

\

— я cos а

(16)

С учетом (16) из (15) следует

х( 2 V

- + яу + цЦ — — я ^ а

Л

о(

Д

ёх

cos а

= ян.

Отсюда немедленно получаем, что

ЭУ = — дх |cos а|

ц

( 2 V

Д

\

- — я cos а

д V

ду

(17)

(18)

Подставляя (18) в уравнения (14), будем иметь

т

=ц

( у2

Д

\

— я cos а

V а + цяа

( 2 V

Д

\

- — я cos а

+ я cos а = 0.

(19)

2

Верхнее уравнение в (19) совпадает с (16), как и должно быть, а нижнее с учетом (13) приводится к виду

v a(1 + цtg a) + g (cos a —цsin a) = 0.

То есть

(1 — цtg a)

v a = — g cos a-. (20)

(1 + цtg a)

Здесь необходимо заметить, что уравнение (20) при ц = 0 чисто гипотетически впервые было предложено в работе [9]1.

Если учесть теперь уравнение движения и формулу (16), то получим

v+ц v a = g (sin a + ц cos a). (21)

С учетом уравнения (20) мы приходим, следовательно, к интересующей нас системе:

v = gcos a

[(tg a + ц) + цtg a) +1 — цtg a]

1 + №a (22) (1 — ц^ a)

v a = — g cos a---.

(1 + ^g a)

Заметим, что если ц = 0, то верхнее уравнение в (22) переходит в хорошо известное уравнение движения под действием одной силы тяжести: v = g sin a (см. работы [9, 10]).

Если теперь верхнее уравнение поделить на нижнее, то найдем

1 dv = (ц + tg a)(1 + ц tg д) + ц(1 — цtg a) (23)

v d a 1 — ц tg a

Интегрируя уравнение (23), после довольно громоздких преобразований приходим к следующему весьма компактному решению:

(cos a — цsin a)2

v = — C^-Z-L, (24)

cos a

где C — константа интегрирования.

Согласно нижнему уравнению в системе (22) приходим к такому уравнению для его определения:

C1a = g

1 — ц2tg2a

После интегрирования получаем неявную зависимость a(t):

1 В статье [12] была допущена досадная оплошность: перед формулой (7) при-

ведена неверная ссылка на статью авторов А. А. Вагеик, F. Ра1а&, на самом деле она относится к работе [11].

г = С1

(1 +12) (а - а1) -12 (( а - tg а,)

(25)

где угол а, определяется с помощью начального условия а(0) = а,. С учетом силы трения угол а должен подчиняться неравенству

а, < а < а2. (26)

Форма траектории (желоба)

Чтобы определить искомую зависимость у (х), обратимся к очевидным уравнениям:

Х = -vcos а, у = -vsin а.

С учетом решения (24) после интегрирования находим отсюда

-/

vcos а

Ы а С{

2 а

СИ

| а(1 -tg а)2 (1 -|а^2а)а,

У:

а 2 а

г ы а С1 р 2/92

= Н - J vsin а— = Н + — J cosаsinа(1 -tg а) (1 tg'

(27)

а) а.

Благодаря подстановке и = tg а интегралы в (27) легко вычисляются, в результате мы приходим к следующим интересующим нас решениям:

С

х = -

1 + 3|2 )-)а- +1 (1 -|4 )(2а- sin2а1) +

+| (1 +12 ) (а - cos2 а1) - 2|31п

cos а

cos а1

-|4 (tg а- ^ а1

С12

у = Н +^

1

2

2 2 cos а1 - cos а

1

-|(1 + 3| )(а-а1) +—1(1 + | )(п2а-sin2а1) +

+2|3 [ tg а - tg а1 -1 (2а - tg2а1) | + 2|41п

cos а

cos а1

(28)

Таким образом, найденная параметрическая зависимость (28) позволяет определить интересующую нас форму желоба при учете сил сухого трения. С целью графического построения зависимости у(х) нам необходимо установить значения углов а1, а2, чтобы можно было более наглядно проиллюстрировать параметрическое решение (28).

Вычисление углов a2 и приближенное решение

Угол a¡ находится сравнительно легко. В самом деле, с помощью начального условия

yla=a1 = g

и с учетом равенства y = —vsina, согласно которому в соответствии с (22) v|a=a = g (sin a¡ + |cos a¡) ,имеем

y |a=a =(-Vsin a + v a cos a)

a=a1

откуда следует, что

и, значит,

= -g (sin a¡ + | cos a¡ )sin a¡ =-g,

1

tg ai = —, |

(29)

cos ai = -

sin ai =

|

a/i + I 1

(30)

4.

1+|

Угол а2 и константу С несложно найти из двух дополнительных

условий, которые непосредственно следуют из решений (28).

Действительно, поскольку решается вариационная задача с неподвижными границами, т.е. точки начала движения Мд = М(0,Н) и окончания

„( пН 0 движения М11 —~,0

неподвижны, мы имеем право воспользоваться еще

двумя условиями:

■ =—, y| = 0.

ia=a2 2 la=a2

(31)

Исходя из уравнений (28) в соответствии с (31) можно вычислить обе независимые переменные а2 и С . В общем виде решение трансцендентных уравнений (31) невозможно. Однако с точки зрения аналитического определения этих двух констант положение «спасает» формальное присутствие коэффициента трения в высоких степенях. Действительно, поскольку коэффициент трения ц практически всегда мал, то его значение, начиная от второй степени, оказывается значительно меньшим единицы.

Сказанное означает, что общие решения (28) мы можем существенно упростить и с учетом равенств (29), (30) в линейном по ц приближении можем представить их в значительно более простой форме, т.е. в виде

С2

2 Я

У - Н-

1 I 2

а-а1 + —эт2а + |(1 + 2cos а

С2

2 Я

cos2 а + 2|[ а-а1 - 1-эт2а

(32)

Полагая, что С1 = 2яНЬ , где безразмерную постоянную Ь следует

определить, имеем из (33):

X = — - Ь Н

1 I 2

а-а1 +—эт2а + |(1 + 2cos а

7 = У - Ь Н

2 (1 - cos2а)-2| [ а-а1 -1-эт2а

(33)

Согласно условиям (31) благодаря решениям (33) мы приходим к системе уравнений, из которых однозначно находятся интересующие нас постоянные Ь и а2.

В результате имеем

а2 -а1 + 1-зт2а2 + 2cos2а2)-'

2(1 -cos2а2)-2|^а2 -а1

—эт2а2 | - 0. 2 2

(34)

В линейном по | приближении с учетом соотношений (30), в соответствии с которыми следует считать, что а1 - +1, а угол а2 ищем в виде

а2 =я-Х, (35)

где параметр X необходимо оценить.

В результате уравнения (34) переходят в такую систему:

Ь

2[ ^-Х + этXcosХ + 2|cos X

(36)

sin2Х-2|[ -2^-^этХсоэX |.

Считая, что X ■ 1, из нижнего уравнения системы (36) благодаря приближенным соотношениям

X2

эт X- X, соэ X-1 - —-1 2

находим интересующее нас решение

X ^ ^/л! .

х

Значение же постоянной Ь тогда согласно верхнему уравнению в (36)

будет

1

, 4

1 + — | П

(38)

В соответствии с найденными решениями (37) и (38) параметрические зависимости (34) можно представить следующим образом:

X--

1

, 4 1 +—| П

1

4

1 +—| П

П 1 2

а---+—sin 2а + 2|cos а

2 2

• 2 „ i П 1 . „

sin а-2|| а-——sin2а

(39)

Еще раз подчеркнем, что решение (39) является приближенным, поскольку мы считали, что ц мало, т.е. ц ■ 1. Однако, если это условие не соблюдается, то точное решение следует искать исходя из общих уравнений, которые согласно условиям (31) приводят нас к такой трансцендентной системе уравнений:

(1 + 3|2 )(а2 -а1) + —(1 -|4 )(т2а2 -sln2а1) +

cos а2

-i4(gа 2 - tg а1 )=2b

+2|(1 + |2 )(cos2 а2 - cos2 а1)- 2|3ln

\ > cos а1

1 + (1 -|4 )(cos2 а1 - cos2 а2)-2|(1 + 3|2 )(а2 -а1) +

+|(1 + |2 )(т2а2 - s1n2а1) + 4|3 I tg а2 - tg а1 -1 (2а2 - tg^ ) 1 +

(40)

+4|4 ln

cos а2

cos а1

= 0.

Точное решение уравнений (40) с учетом (29), (30) и (35) может быть найдено лишь численно.

Результаты и обсуждение

Резюмируя все вышеизложенное, отметим следующее:

1. С помощью вариационного подхода получена точная и математически строго обоснованная система уравнений, основанная на уравнении (20).

2. Предложенный подход базируется на впервые предложенном вариационном принципе, использующем функционал (1), в отличие от всех предыдущих подходов, основанных на функционале (2).

3. Изложенный метод позволил получить строго обоснованную (а не гипотетически предложенную в работах [11, 12]) систему точных уравнений (19).

b

4. В линейном приближении по коэффициенту трения ц найдено параметрическое решение уравнений (19) в виде (39), совпадающее с решением (19) из работы [12].

Список литературы

1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. : Наука, 1969. 424 с.

2. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М. : Мир, 1974. 488 с.

3. Гельфад И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М. : Физматгиз, 1961. 284 с.

4. Гладков С. О. О траектории движения тела, входящего в жидкость под произвольным углом // Ученые записки физического факультета МГУ. 2016. № 4. С. 164101-1-5.

5. Lipp S. C. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM J. Control Optim. 1997. Vol. 35, № 2. P. 562-584.

6. Hayen J. C. Brachistochrone with Coulomb friction // Int. J. Non-Linear Mech. 2005. Vol. 40, № 8. P. 1057-1075.

7. Гладков С. О., Богданова С. Б. Обобщенные динамические уравнения плоского криволинейного движения материального тела по желобу с учетом сил трения (их численный анализ в некоторых частных случаях) // Ученые записки физического факультета МГУ. 2017. № 1. С. 171101.

8. Ashby N., Brittin W. E., Love W. F., Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction // American Journal of Physics. 1975. Vol. 43. P. 902-905.

9. Гладков С. О., Богданова С. Б. Геометрический фазовый переход в задаче о брахистохроне // Ученые записки физического факультета МГУ. 2016. № 1. С. 161101.

10. Gladkov S. O., Bogdanova S. B. Analytical and numerical solution of the problem on brachistochrones in some general cases // Journal of Mathematical Sciences. 2020. Vol. 245, № 4. P. 528-537.

11. Gladkov S. O., Bogdanova S. B. On a class of planar geometrical curves with constant reaction forces acting on particles moving along them // Journal of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 257, № 1. P. 27-30.

12. Гладков С. О. Точное решение задачи о брахистохроне с учетом сил сухого трения // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 2. С. 3-10.

13. Гладков С. О. К вопросу о выводе силы Магнуса // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2022. Т. 507. С. 20-23. doi: 10.1134/S1028335822110040

References

1. El'sgol'ts L.E. Differentsial'nye uravneniya i variatsionnoe ischislenie = Differential equations and calculus of variations. Moscow: Nauka, 1969:424. (In Russ.)

2. Yang L. Lektsii po variatsionnomu ischisleniyu i teorii optimal'nogo upravleniya = Lectures on the calculus of variations and optimal control theory. Moscow: Mir, 1974:488. (In Russ.)

3. Gel'fad I.M., Fomin S.V. Variatsionnoe ischislenie = Calculus of variations. Moscow: Fizmatgiz, 1961:284. (In Russ.)

4. Gladkov S.O. On the trajectory of a body entering a liquid at an arbitrary angle. Uchenye zapiski fizicheskogo fakul'teta MGU = Proceedings of MSUfaculty of physics. 2016;(4):164101-1-5. (In Russ.)

5. Lipp S.C. Brachistochrone with Coulomb friction. SIAM J. Control Optim. 1997;35(2):562-584.

6. Hayen J.C. Brachistochrone with Coulomb friction. Int. J. Non-Linear Mech. 2005;40(8):1057-1075.

7. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Generalized dynamic equations of plane curvilinear motion of a material body along a chute taking into account friction forces (their numerical analysis in some special cases). Uchenye zapiski fizicheskogo fakul'teta MGU = Proceedings of MSU faculty of physics. 2017;(1):171101. (In Russ.)

8. Ashby N., Brittin W.E., Love W.F., Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction. American Journal of Physics. 1975;43:902-905.

9. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Geometric phase transition in the brachistochrone problem. Uchenye zapiski fizicheskogo fakul'teta MGU = Proceedings of MSU faculty of physics. 2016;(1):161101. (In Russ.)

10. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Analytical and numerical solution of the problem on brachistochrones in some general cases. Journal of Mathematical Sciences. 2020;245(4):528-537.

11. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. On a class of planar geometrical curves with constant reaction forces acting on particles moving along them. Journal of Mathematical Sciences. 2021;257(1):27-30.

12. Gladkov S.O. Precise solution of the brachistochrone curve problem taking into account dry friction forces. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(2):3-10. (In Russ.)

13. Gladkov S.O. On the issue of withdrawing Magnus's power. Doklady RAN. Fizika, tekhnicheskie nauki = Reports of the Russian Academy of Sciences. Physics, engineering sciences. 2022;507:20-23. (In Russ.). doi: 10.1134/S1028335822110040

Информация об авторах / Information about the authors

Сергей Октябринович Гладков

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры № 311 «Прикладные программные средства и математические методы», Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (Россия, г. Москва, Волоколамское шоссе, 4)

Sergey O. Gladkov Doctor of physical and mathematical sciences, professor, professor of the sub-department No. 311 of applied software and mathematical methods, Moscow aviation institute (National Research University) (4 Volokolamskoye highway, Moscow, Russia)

E-mail: sglad51@mail.ru

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 15.06.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 12.01.2024 Принята к публикации / Accepted 03.02.2024