CC BY
18
новый подход к редукции многомерных линеиных
краевых задач к эквивалентным граничным интегральным уравнениям
Арутюнян
Роберт Владимирович,
доцент кафедры математического анализа Московского технического университета связи и информатики, г. Москва, Россия, [email protected]
Ключевые слова:
дифференциальные уравнения в частных производных; система; краевая задача; редукция; граничные интегральные уравнения.
^
<
I-
0
1
I
<
Описан новый метод редукции многомерных линейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка к эквивалентным граничным интегральным уравнениям. Метод эффективен для систем большой размерности и позволяет эффективно автоматизировать редукцию при помощи систем аналитических вычислений на ЭВМ. Формулы метода обобщают известные соотношения Гюйгенса для уравнений Максвелла, Сомилиана для задач теории упругости и др. Предложенный алгоритм состоит из следующих этапов. Нахождение на первом этапе сингулярного решения осуществляется методами стандартных интегральных преобразований. На втором этапе осуществляется переход к системе относительно нового вектора базисных неизвестных. В зависимости от типа краевых условий исходная система редуцируется к системе граничных уравнений минимальной размерности первого или второго рода.
На третьем этапе осуществляется анализ корректности получившейся системы сингулярных граничных интегральных уравнений с использованием теории символа. Анализ проблемы краевых условий существенно упрощается: определяются ранг и базисные вектора линейной оболочки строк матрицы дифференциального оператора. Для систем с кусочно-постоянными коэффициентами удобен анализ краевых условий при помощи исследования миноров соответствующей матрицы. Невырожденному минору этой матрицы соответствует корректная система граничных интегральных уравнений. На заключительном этапе формулируется система линейных алгебраических уравнений, удобная для численного решения системы граничных интегральных уравнений.
Предложенная методика обладает рядом преимуществ при решении недостаточно исследованных многомерных краевых задач или для случая нестандартных краевых условий. Предложенное интегральное представление применимо и в случае, когда коэффициенты дифференциального оператора системы являются произвольными кусочно-непрерывными функциями. Основной проблемой в данном случае является отыскание матрицы-функции фундаментального решения.
Введение
В области приложений существует тенденция к использованию все более сложных математических моделей, в результате чего появляется практическая потребность решать уже известные или новые виды систем дифференциальных уравнений большой размерности [1-13]. К таким системам, в частности, относятся уравнения электромагнетизма в случае, когда характеристики среды являются тензорными величинами и система Максвелла не распадается на независимые уравнения. Статья продолжает исследование автора в этом направлении [13]. Другим примером является система уравнений электроупругости, описывающая пьезоэлектрические явления [11]. В теории электроупругости в настоящее время являются актуальными задачи расчета собственных частот пьезоэлектрических тел сложных и разнообразных форм. Потребность в учете различного рода физических эффектов постоянно приводит к усложнению прежних и появлению новых видов систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Для решения подобных задач при помощи метода граничных интегральных уравнений могут использоваться интегральные представления общего решения системы [3-6]. Возможности такого подхода расширяются при помощи систем аналитических вычислений на ЭВМ [7-9]. В статье автора разработан новый универсальный метод редукции многомерных линейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка к эквивалентным системам граничных интегральных уравнений. В отличие от традиционных подходов [3-6] редукция осуществляется для системы дифференциальных уравнений первого, а не второго порядка.
Данный метод в принципе может применяться для решения уравнений Максвелла и других подобных систем и в том в случае, когда коэффициенты материальных уравнений зависят от пространственных координат и времени. Интегральные уравнения, к которым редуцируются исходные системы дифференциальных уравнений, получаются в результате применения выше упомянутых подходов, как правило, сингулярными. Данное обстоятельство представляет собой существенную проблему при численной реализации метода граничных интегральных уравнений вещественными и тем более интервальными методами. Эффективным способом решения данной проблемы является преобразование системы метода граничных интегральных уравнений посредством умножения на матричный сингулярный оператор, называемый эквивалентным регуляриза-тором [3-6, 10]. Другая проблема свя-зана с тем, что некоторые интегральные уравнения могут быть зависимыми. Ее решение возможно посредством перехода к новому вектору зависимых переменных при помощи метода, описанного в литературе [3-6].
Поскольку эквивалентный регуляризатор является сингулярным, то полученные после преобразований свободные члены новой системы метода граничных интегральных уравнений, как правило, представляют собой сингулярные интегралы с известными плотностями. Задача вычисления
подобных интегралов в пространстве непрерывных функций является некорректной. Данное обстоятельство создает дополнительную проблему при вычислении интервальных оценок свободных членов граничных интегральных уравнений. Ее решение возможно в ряде случаев при помощи аналитического вычисления интеграла в окрестности особой точки.
Полученные в результате соответствующих преобразований регулярные интегральные уравнения могут быть решены описанными в [1-12] численными методами с выделением особенности.
В качестве конкретного примера рассмотрим универсальный алгоритм отыскания фундаментальных решений, редукции и анализа линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных и соответствующих краевых задач, удобный для программирования в современных системах компьютерной алгебры.
Описание метода
Рассмотрим систему линейных уравнений в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами:
А (д/дх) и (х) = ^ (х), х еО, (1)
где Ос Кп — область с кусочно-гладкой границей Г, и (х)- вектор-функция п переменных, и ( х )е Кд, F(х) е Кт, т > д,
А = {А }}=¿'.'т, А = Ь +1 д/дх,
1 = 1, ... ,т; у = 1, ... ,д.
Пусть А - дифференциальный оператор, формально сопряженный к оператору А, а О (х) — решение системы
А* (д/дх) О ( х ) = Е ( х), х е К", (2)
где Е ( х )=8( х) Е, Е — единичная матрица, 8 (х) — дельта-функция.
Из (1) и (2) с помощью формул Грина получаем интегральное представление для решения исходной системы:
а(х)и (х) = | О Т(у - х)Е(у)dy -10 Т(у - х)<2(у )и (у), (3)
О Г
а( х ) =|5( у-х ) dy, (4)
0
Q = кг , %=! (у), у ег,
1 = 1, ... ,т; у = 1, ... ,д.
" (у)— координаты вектора единичной нормали, внешней к области О.
Формулы (3-4) обобщают соотношения Гюйгенса для уравнений Максвелла, Сомилиана для задач теории упругости и другие аналогичные известные интегральные представления решений систем дифференциальных уравнений в частных производных [4].
Дальнейший алгоритм состоит из следующих этапов. Нахождение на первом этапе сингулярного решения G(x) осуществляется методами стандартных интегральных преобразований, а соответствующий алгоритм легко программируется в системах компьютерной алгебры REDUCE, MAXIMA, MATHEMATICA.
Некоторую проблему представляет то, что многие краевые задачи ставятся в виде систем, в которых количество неизвестных и уравнений не совпадает. По этой причине требуется осуществлять на втором этапе соответствующую процедуру перехода от (3-4) к системе метода граничных интегральных уравнений относительно нового вектора базисных неизвестных ст (x) = C (x) u (x), где C (x) - матрица перехода от одного базиса к другому.
В зависимости от типа краевых условий система (1) редуцируется к системе граничных интегральных уравнений минимальной размерности первого или второго рода.
Анализ корректности
На третьем этапе осуществляется анализ корректности получившейся системы сингулярных граничных интегральных уравнений с использованием теории символа [10].
Анализ принципиально важной проблемы краевых условий существенно упрощается и может быть выполнен следующим образом. Определяются ранг r и базисные вектора линейной оболочки строк матрицы оператора A :
{стст^.ст}.
Интегральное уравнение можно формулировать для какого-то множества базиса, например, задавая на границе области значения ст1,ст2, ■ ■■,стр , p < r, и решая систему метода граничных интегральных уравнений относительно оставшихся ст , ,ст „,..., ст .
p+1 ' p+ 2 ' ' r
Для систем с кусочно-постоянными коэффициентами особенно удобен анализ краевых условий при помощи исследования миноров матрицы
1/2E + (2ж)("-1"2 F (GT ,ю) F (A),
(5)
где Р (От, ю) - фурье - образ От (х), Р (Л) - фурье - образ
дифференциального оператора системы (1) на произвольной гиперплоскости.
Утверждение. Невырожденному минору матрицы (5) соответствует корректная система метода граничных интегральных уравнений.
Методы решения ГИУ
На заключительном этапе алгоритма формулируется система линейных алгебраических уравнений для непосредственного приближенного численного решения системы метода граничных интегральных уравнений относительно базисных функций а (х) . Для этого (3) умножается на матрицу перехода С (х) и учитывается, что а (х) = С (х) и (х):
а(х)а(х) = | С(х) 0Т(у - х)Р(у)ау -
о
- / С (х) аТ (у - х)б (у )и (у )аГ ,
Г
в правой части последнего выражения также требуется перейти к новым базисным переменным. Для этого представим выражение Qu в виде произведения Ш а с некоторой априорно неизвестной матрицей Ш . Поскольку в рассматриваемых выражениях матрицы неквадратные, то, вообще говоря, существует произвол в выборе матрицы Ш. Один из методов ее нахождения основан на минимизации квадратичной нормы невязки:
Ь - шс112 ^
откуда, варьируя данное выражение по значениям матрицы Ж, находим:
(£ -ШС,-8(Ш)С) = 0 ^ ^ - ШС)[8(Ш)С]т = 0 ^ ( -ШС)СТ [(Ш)]т = 0,
QCT - ШССТ = 0 ^ Ш = QCT [ССТ] 1.
Таким образом, Qu = QCT [ССТ] а.
а(х)а(х) =|С(х) 0Т(у - х)Р(у)ау -о
- / С(х) 0Т (у - х^(у)СТ (у) [с(у)СТ (у)]-1 а(у)аГ ,
искомое граничное интегральное уравнение записывается в стандартном виде:
а(х)а( х) = <| К( х, у)а(у)ау + Н( х), (6)
Г
где ядро определяется по формуле
К(х, у) = -С(х) 0Т (у - х^(у)СТ (у) [С(у)СТ (у,
а свободный член равен
к(х) = | С (х) 0Т (у - х)Р(у)ау.
о
В дальнейшем уравнение (6) сводится к системе линейных алгебраических уравнений и решается методом Гаусса или другим подходящим численным методом.
Предложенная методика обладает рядом преимуществ прежде всего при решении новых недостаточно исследованных многомерных краевых задач. В случае классических систем предложенный подход наиболее полезен для случая нестандартных краевых условий.
Следует отметить, что интегральное представление (3) применимо и в случае, когда коэффициенты дифференциального оператора системы являются произвольными кусочно-непрерывными функциями. Основной проблемой в данном случае является отыскание матрицы-функции фундаментального решения.
Из данной технологии вывода граничных интегральных уравнений от пользователя требуются лишь минимальная информация о конкретных свойствах решаемой системы (1) и о деталях физической картины моделируемого объекта.
Существовавшие ранее ограничения на сложность решаемых краевых задач в настоящее время во многом сняты благодаря существованию общедоступных систем символьных вычислений [7-9].
Вывод
Предложен новый метод редукции линейных краевых задач к граничным интегральным уравнениям. Метод эффективен для систем большой размерности и позволяет эффективно автоматизировать редукцию при помощи систем аналитических вычислений на ЭВМ.
Литература
1. Жермен-Лакур П., Жорж П. Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: в 2-х кн. Кн. 2. Вычислительные методы. Геометрические методы: пер. с франц. М.: Мир, 1989. 264 с.
2. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике: пер. с франц. М.: Мир, 1988. 208 с.
3. Кацикаделис Джон Т. Граничные элементы: теория и приложения: пер. с англ. М.: Изд-во АСВ, 2007. 343 с.
4. Алексидзе М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352 с.
5. Иванов Д.Ю. Устойчивая разрешимость в пространствах дифференцируемых функций некоторых двумерных
интегральных уравнений теплопроводности с операторно-полугрупповым ядром // Вестник Томского государственного университета. 2015. № 6(38). C. 33-45.
6. Баженов В., Игумнов Л. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов. М.: Физмат-лит, 2008. 352 с.
7. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра: пер. с франц. М.: Мир, 1991. 352 с.
8. Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я. Язык аналитических вычислений REDUCE. М.: МГУ, 1988. 176 с.
9. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. 215 с.
10. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 256 с.
11. Шульга Н. А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наукова думка, 1990. 228 с.
12. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.
13. Арутюнян Р.В. Новый подход к редукции многомерных линейных краевых задач к эквивалентным граничным интегральным уравнениям // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2016. Т. 10. № 4. С. 63-66.
^ш
Для цитирования:
Арутюнян Р.В. Новый подход к редукции многомерных линейных краевых задач к эквивалентным граничным интегральным уравнениям // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2016. Т. 8. № 4. С. 6-10.
A NEW APPROACH TO THE REDUCTION OF MULTIDIMENSIONAL LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR AN EQUIVALENT BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS
Harutyunyan Robert Vladimirovich.,
Moscow, Russia, [email protected]
Abstract
The work describes a new method of reduction of multidimensional linear boundary value problems for systems of differential equations of the first order to the equivalent boundary integral equations. The method is effective for systems of large dimension and allows you to effectively automate the reduction by means of systems of analytical calculations on a computer. This method can in principle be used to solve Maxwell's equations and other similar systems and that in the case where the material coefficients of equations depend on the spatial coordinates and time.
Formula a method to generalize the ratio of Huygens for Maxwell's equations, Somiglian for problems of elasticity and similar well-known integral representations of solutions of systems of differential equations.
The proposed algorithm consists of the following steps. The finding in the first phase of the singular solution is of the standard methods of integral transformations and the corresponding algorithm is easily programmed in the computer algebra systems.
Some problem is that many boundary value problems are in the form of systems, in which the number of unknowns and equations. For this reason, it is required to carry out the second stage for the procedure to access the system on a new basis vector is unknown. Depending on the type of boundary conditions, the initial system reduces to the system of boundary equations of the minimum dimensions of the first or second kind.
The third step refers to the analysis of the correctness of the resulting system of singular boundary integral equations using the theory of the symbol. Analysis of the fundamentally important problem of boundary conditions is greatly simplified and can be performed in the following way. Define and rank of the base vector of the linear shell of the rows of the matrix of the differential operator. For systems with piecewise-constant coefficients is particularly convenient analysis of boundary conditions with the help of the study of the minors of the corresponding matrix, described in the article. Nondegenerate minor of this matrix corresponds to a correct system of boundary integral equations. At the final stage of the algorithm we formulate the system of linear algebraic equations for the approximate direct numerical solution of the system of boundary integral equations. In the future, the boundary integral equation reduced to a system of linear algebraic equations and solved by the Gauss method or another suitable numerical method.
The proposed method has several advantages, especially when dealing with new and under-researched multidimensional boundary value problems. In the case of classical systems the proposed approach is most useful for non-standard boundary conditions. The proposed integral representation is applicable in the case when the coefficients of
the differential operator systems are arbitrary piecewise continuous functions. The main problem in this case is the determination of the matrix-function a fundamental solution.
Keywords: differential equations partial differential system; boundary value problem; reduction; boundary integral equations.
References
1. Zhermen-Lakur P., Zhorzh P.L., Pistr F., Bez'e P. Matematika i SAPR: v 2-h kn. Kn. 2. Vychislitel'nye metody. Geometricheskie metody [Mathematics and CAD: Computational methods. Geometric methods]. Moscow, Mir, 1989. 264 p. (In Russian).
2. Coulomb J.-L., Sabonnadiere J.-K., CAO en electrotechnique. Paris: Hermes Pub., 1985. 242 p.
3. Katsikadelis John T. Boundary elements: Theory and applications. Oxford: Elsever, 2002. 336 p.
4. Aleksidze M.A. Fundamental'nye funkcii v priblizhennyh reshenijah granichnyh zadach [The fundamental function of approximate solutions of boundary problem]. Moscow: Nauka, 1991. 352 p. (In Russian).
5. Ivanov D. Ju. Sustainable solvability in spaces of differentiable functions of certain two-dimensional integral equations of heat conduction with operator-semigroup kernel. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. 2015. No. 6 (38). Pp. 33-45. (In Russian).
6. Bazhenov V., Igumnov L. Metody granichnyh integral'nyh uravnenij i granichnyh jelementov [Boundary integral equations and boundary elements]. Moscow, Fizmatlit, 2008. 352 p. (In Russian).
7. Davenport J., Siret Y., Tournier E. CCalcul formel : Systemes et algorithmes de manipulations algebriques. Paris etc., Masson, 1987. 263 p.
8. Edneral V.F., Krjukov A.P., Rodionov A.Ja. Jazyk analiticheskih vychislenij REDUCE [Language analytical calculations REDUCE]. Moscow, MGU, 1988. 176 p. (In Russian).
9. Klimov D.M., Rudenko V.M. Metody komp'juternoj algebry v zadachah mehaniki [Methods of computer algebra in mechanics]. Moscow: Nauka, 1989. 215 p. (In Russian).
10. Mihlin S.G. Mnogomernye singuljarnye integral'nye uravnenija [Multi-dimensional singular integral equations]. M.: Fizmatgiz, 1962. 256 p. (In Russian).
11. Shul'ga N.A., Bolkisev A.M. Kolebanija p'ezojelektricheskih tel [Fluctuations piezoelectric bodyes]. Kiev: Naukova dumka, 1990. 228 p. (In Russian).
12. Daleckij Ju.L., Krejn M.G. Ustojchivost' reshenij differencial'nyh uravnenij v banahovom prostranstve [Stability of solutions of differential equations in a Banach space]. Moscow: Nauka, 1970. 536 p. (In Russian).
13. Arutjunjan R.V. Novyj podhod k redukcii mnogomernyh linejnyh kraevyh zadach k jekvivalentnym granichnym integral'nym uravneni-jam. T-Comm. 2016. Vol. 10. No. 4. Pp. 63-66. (In Russian).
Information about author:
Harutyunyan R.V., Ph.D., assistant professor of the Moscow Technical University of Communications and Informatics, Department of "Mathematical Analysis".
For citation:
Harutyunyan R. V. A new approach to the reduction of multidimensional linear boundary value problems for an equivalent boundary integral equations. H&ES Research. 2016. Vol. 8. No. 4. Pр. 6-10. (In Russian).
