Новый подход к моделированию сложных объектов и процессов в медико-биологических исследованиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Советов Б. Я., Кузнецов О. П., Головин Ю. А., Асветов Ю. К. Применение микропроцессорных средств в системах передачи информации. Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 1987 - 256 с.

2. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. Перевод с англ. - М.: Мир, 1994 - 284 с.

3. Черкесов Г. Н. Надёжность аппаратных программных комплексов. -СПб.: Питер, 2005 - 479 с.

4. Чернобровцев А. Двухъядерные процессоры доступны. - Мир ПК, 2005, № 5, с. 25-27

НОВЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ И

ПРОЦЕССОВ В МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Магомедов Д.А. д.тн., профессор, Алиев Э.А., доцент ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет»

Аннотация: Научно-обоснованный выбор методов и средств биомедицинских исследований требует значительной априорной информации об измеряемых физиологических показателях и динамике функционирования систем. Адекватность выбранных моделей истинным объектам и процессам, с учетом целей измерений и воздействий на систему, определяет, в конечном итоге, эффективность технических средств для биомедицинских исследований.

Ключевые слова: моделирование, объекты, исследования.

A NEW APPROACH TO MODELING COMPLEX OBJECTS AND PROCESSES IN BIOMEDICAL RESEARCH

Abstract: Evidence-based selection methods and tools for biomedical research requires substantial prior information on the measured physiological indicators and the dynamics of the operation of systems. The adequacy of the selected model and the real process object, with the goals of measurements and impacts on the system, determines ultimately the efficiency of means for biomedical research.

Key words: modeling, objects of research.

Научно-обоснованный выбор методов и средств биомедицинских исследований требует значительной априорной информации об измеряемых физиологических показателях и динамике функционирования систем. Адекватность выбранных моделей истинным объектам и процессам, с учетом целей измерений и воздействий на систему, определяет, в конечном итоге, эффективность технических средств для биомедицинских исследований. При этом, учитывая большую индивидуальную вариабельность исследуемых процессов, модель должна быть инвариантной по отношению к несущественным для решаемой задачи параметрам, состоятельной и устойчивой.

В биомедицинских исследованиях непрерывно возрастает роль методов математического моделирования. Как известно методология решения практических задач с использованием моделей, (в том числе построенных на основе представления биообъектов или процессов как систем с переменными во времени параметрами) является общей для сложных систем и состоит из трёх этапов.

1. Понять исследуемый объект или процесс (систему) и дать по возможности полное его математическое описание. Задача моделирования при этом формулируется

как получение такого непротиворечивого математического описания исследуемой системы, что динамическое поведение моделируемого объекта полностью определяется начальными значениями его внутренних переменных и текущими значениями внешних воздействий, действующих на него.

2. Понимание сути исследуемых явлений или процессов не является гарантией, что интересующая исследователя практическая задача будет решена. Надо ещё сопоставить эту модель и имеющуюся априори информацию об объекте с реальной информацией в конкретном случае. Обычно процесс соотнесения модели и конкретного реального объекта или процесса принимает форму идентификации модели. Поскольку объём текущей информации от объекта никогда не бывает достаточен для идентификации глобальной модели, её приходится модифицировать, упрощать. Поэтому на практике приходится иметь дело с довольно простыми рабочими описаниями объекта или процесса, т.е. с упрощёнными моделями, отражающими только те грани сущности системы, которые интересуют исследователя.

3. Искомые рекомендации и прогноз характеристик работы системы, т.е. то, что составляет суть решения задачи с помощью методов моделирования, получается в ходе эксперимента с идентифицированной моделью.

В реальных условиях текущее состояние биосистем наблюдается плохо, структура их обычно известна описательно, а задача идентификации решается с большим трудом или не решается совсем. Одним из путей преодоления этого препятствия состоит в разработке новых принципов моделирования. Цель таких модификаций - восполнить нехватку текущей информации за счёт лучшего использования априорных знаний об объекте, которые в биологических и биотехнических применениях могут быть весьма обширными.

Эффективность математического моделирования как методологии исследования процессов и явлений, происходящих в них, на их математических моделях (ММ), зависит прежде всего от уровня адекватности ММ исследуемой сложной системе. Проблема обеспечения высокого уровня адекватности разрабатываемых ММ осложнено тем, что биообъекты и процессы характеризуются существенной нелинейностью, сложностью, многообразием и изменчивостью связей между элементами, индивидуальной неоднородностью, нестационарностью и т.д.

На основе проведённых в работе исследований определены следующие принципы, лежащие в основе нового подхода к моделированию сложных систем (объектов или процессов) в биомедицинских исследованиях как систем с переменными во времени параметрами или, по-другому, параметрических систем:

1. Модель должна относиться к классу динамических моделей, законы изменения которых отражаются во временных вариациях их определяющих параметров.

2. Оптимальность, означающая, что уровень адекватности модели биосистемы следует оценивать по показателю его экономичности, так как этот показатель в любой биологической системе высокий, близкий к предельно возможному.

3. Выборность определяющих параметров биосистемы, которые должны в достаточной мере характеризовать закономерности её функционирования, иметь способ конкретного определения и использования в разрабатываемых моделях.

4. Необходимость ограничения набора регистрируемых параметров, характеризующих сложный объект, которая связана с одной стороны необходимостью экспериментального подтверждения адекватности модели исследуемой биосистеме, а с

другой - с широчайшим спектром параметров, характеризующих саму биосистему (объект или процесс).

Рассмотрим конкретные примеры математического моделирования нестационарных биологических объектов и процессов биомедицинских исследований.

1. Модель нейрона с параметрическим управлением

Как известно, сигналами нервной системы являются нервные импульсы. Они имеют электрическую природу и распространяются по мембранам длинных отростков нейронов (аксонов). Процесс возбуждения нервной клетки (нейрона) происходит под влиянием раздражителя. Передача же возбуждения по нервам осуществляется в виде электрических импульсов с различиями лишь в числе импульсов в серии (пачке) и продолжительностью межимпульсных (межпачковых) интервалов. Между нейронами основным способом передачи информации является химический, реализуемый с помощью специальных образований, называемых синапсами [1]. Под действием квантового химического передатчика (медиатора) в постсинаптической мембране нейрона генерируются миниатюрные постсинаптические потенциалы (импульсы), возникающие с непостоянным интервалом времени (в среднем около 1 с), но всегда одинаковой для данного нейрона амплитудой (порядка единиц мВ). Миниатюрные потенциалы (МП) являются результатом спонтанного освобождения единичных квантовых медиаторов.

При поступлении к пресинаптической мембране нервного импульса, число квант освобождающегося медиатора резко возрастает, одномоментно формируется множество "медиатор-рецепторных" комплексов, участвующих в генерации постсинаптического потенциала (ПСП), т.е. из таких единиц как МП складывается ПСП. В зависимости от природы медиатора и характера связывающих его рецепторов постсинаптическая мембрана может деполяризоваться (уменьшение разности потенциала между внутри и межклеточной средой), что характерно для возбуждения и появления возбуждающего ПСП (ВПСП), или гиперполяризоваться (увеличение разности потенциалов), что типично для торможения и появления тормозных ПСП (ТПСП). При внутриклеточной регистрации ВПСП и ТПСП - это импульсы соответственно положительной и отрицательной полярности, примерно одинаковой малой амплитуды (от единиц до 20-40 мВ) и большой длительности (до 20-50 мс), следующие через случайные интервалы времени.

Процессы суммации (пространственный и временной) ВПСП и ТПСП определяют уровень деполяризации нейрона и, соответственно, вероятность генерации потенциала действия (ПД) [1,2,3]. ПД или, по другому, спайковые потенциалы, возникают в момент достижения мембраной некоторого критического уровня (порога) деполяризации, когда начинается самоподдерживающий процесс распространения возбуждения в нервном волокне. ПД при внутриклеточной регистрации имеют вид высокоамплитудных (порядка 50-125 мВ), коротких (порядка 1-2 мс) положительных импульсов, с относительно стабильными для каждого нейрона амплитудой и длительностью.

В известных моделях нейрона не уделяется достаточного внимания имитации механизмов управляющих процессов, манипулирующих потоками информации. Достигается это введением в модель нейрона управляемого параметрического активного (резистор) и реактивного (индуктивность, емкость) элементов (рис.1). Модель состоит из сумматора 1, выпрямителя 2, формирователя управляющего напряжения 3, инвертора 4, параметрического резистивного элемента 5,

параметрического генератора потенциалов действия с управляемой частотой

следования импульсов 6.

ВПС ТПСП

с

о

ТПлСП I

I/1

о

1 4 V

5

Вых 2

Вых 1

2

3

1

6

Рис.1. Блок-схема модели нейрона с параметрическим управлением

Модель функционирует следующим образом. На входы сумматора 1 поступают импульсные потоки, следующие через случайные интервалы времени, возбуждающих постсинаптических потенциалов положительной полярности (ВПСП), тормозных постсинаптических потенциалов (ТПСП) отрицательной полярности. С выхода сумматора импульсы поступают на выпрямитель 2 и далее импульсный поток положительной полярности поступает на вход формирователя 3. Он формирует напряжение управления величиной сопротивления параметрического резистора 5. Параметрический резистор 5 принимает одно из двух значений: 1.Максимальное -^ахО) - соответствует случаю, когда напряжение на мембране нейрона меньше порога его возбуждения и его проводимость мала (такое сопротивление имеет место, когда на выходе формирователя 3 управляющее напряжение отсутствует); 2.Минимальное -Ятл© - соответствует случаю, когда напряжение на мембране нейрона выше порога возбуждения и его проводимость резко возрастает. Во втором случае (ДтьО)) в работу включается генератор потенциала действия 6 и на Вых 1 имеет место последовательность выходных возбуждающих сигналов, а на Вых 2 - тормозящих сигналов. Частота следования потенциалов действия (спайков) зависит от амплитуды результирующих (на выходе сумматора 1) возбуждающих положительных импульсов (управление параметрической ёмкостью генератора 6 с целью изменения частоты следования импульсов осуществляется со второго выхода формирователя 3.

Разработанная модель нейрона позволяет понять механизмы управляющих процессов, происходящих в нём, что важно при проектировании, например, электронейростимуляторов и, кроме того, эта модель может быть использована для моделирования нейронных сетей в качестве основного структурного элемента.

2. Математическая модель участка сосудистого русла как канала распространения сигнала пульсовой волны

В современной диагностике заболеваний сердечно-сосудистой системы (ССС) широкое применение находят сигналы пульсовой волны (ПВ). Эти сигналы, распространяясь вдоль сосудистых русел и претерпевая изменения в процессе распространения, несут ценную информацию о состоянии ССС в целом. От правильной оценки состояния сосудистого русла как канала распространения пульсовой волны и от возможностей аппаратуры регистрации зависит правильность поставленного диагноза. Поэтому проблема создания адекватной модели канала распространения сигнала ПВ является актуальной.

Среди известных способов регистрации сигналов пульсовой волны наибольшее применение на практике нашли неинвазивные способы, такие как сфигмография, реография, фотоплетизмография и др. Среди методов же анализа сигналов ПВ наибольшее распространение получили [4]:

а) контурный анализ;

б) анализ, основанный на спектральном представлении сигнала.

Контурный анализ не позволяет связать полученные числовые значения с биохимическими свойствами крови сердечно-сосудистой системы. Его применение для диагностики возможно только при накоплении большого экспериментального материала.

Методы же анализа, основанные на спектральных представлениях сигнала, применяются относительно редко. В этих методах заранее предопределено, что сигнал ПВ относится к классу разложимых в ряд Фурье, поэтому эквивалентная электрическая модель канала распространения пульсовой волны здесь рассматривается как стационарная система с постоянными во времени параметрами: собственной частотой, затуханием, коэффициентом передачи. Однако в действительности сигнал ПВ является импульсным сигналом со сложной огибающей, а радиус одного и того же участка сосудистого русла, имея сложную структуру и разные значения по всей длине, изменяется во времени как под воздействием внешних, так и внутренних факторов [5], т.е. канал распространения сигнала ПВ можно считать параметрическим.

Такое представление сосудистого русла позволяет применить к нему аппарат синтеза параметрических систем, что способствует дальнейшему развитию методов спектрального анализа применительно к обработке сигналов пульсовой волны.

В канале с переменными во времени параметрами [6,7]характер зависимости между входным и выходным сигналами в процессе передачи изменяется, т.е. его

к (/©, t)

передаточная характеристика зависит не только от частоты, но и от времени.

Импульсная характеристика также зависит от двух параметров: от интервала времени

^ = (t т) между моментом приложения единичного импульса т и моментом наблюдения выходного сигнала t (как и для цепи с постоянными параметрами) и,

кроме того, от положения интервала ® на оси времени.

Определим импульсную характеристику сосудистого русла как системы с переменными во времени параметрами. Для этого рассмотрим большой круг кровообращения, сохраняя подход, использованный в работе [4]. Пусть сердце является источником импульсного сигнала пульсовой волны, а сосуды большого круга кровообращения - каналами передач ПВ с переменными во времени параметрами.

Для определенности рассмотрим сигналы, регистрируемые одним и тем же методом, одинаковыми датчиками в 2-х точках участка сосудистого русла, на разных расстояниях от сердца (например, регистрируются сфигмограммы плечевой и лучевой артерии). Представим их как амплитудно-модулированные сигналы с частотой

"несущей" f 0: на входе участка Ul (t), на выходе - U2 (t). Тогда

<х>

ui(t) = J Ui( т) g(t, x)dx

0 , (1) g(t, т)

где - импульсная переходная характеристика канала распространения

ПВ с переменными во времени параметрами;

ш (г) = аЯ(г) ; Ы2 (г) = ЬЯ(г) е" ш

(2)

где а, Ь - постоянные коэффициенты; Я(1;) - закон изменения во времени амплитуды сигнала.

1/ а. (г)

В приведенной шкале амплитуд (приведенная система координат)

^) = 240 = ае°

[6,7]

(3)

сигнал (2) представляется в виде:

т.е. имеет вид обычного гармонического колебания.

Для примера предположим, что участок сосудистого русла описывается как линейная система второго порядка. Данное допущение широко применяется в теоретических работах по гемодинамике сосудов [8-10].

Для приведенного сигнала (3) линейная система второго порядка описывается дифференциальным уравнением вида [7]:

¿^иЖ) Ши2(г) . 2~ 2 ----V 2а—---V а>2и2(г) - о»2 • т(г)

Ш ш . (4)

Это уравнение является уравнением приведенного параметрического контура

[7].

В реальном масштабе времени и амплитуд с допущением того, что добротность Q -«о/2а >> 1, имеем

Ш2 т(г) Шг2

+

2а- 2

мл

Я(г)

Ши2(г)

Шг

+

+

2 Я(г) Я(г) Я (г) оо - 2а----V 2-

Я(г) Я(г) Я1 (г)

и2(г) - ООо и1(г);

Ш2 т(г) Шг2

+

- 2

м

Я(г)

Шиг(г)

+

+

°° -Я(г) + 2 я2 (г)

Шг

и2(г) - оОи1(г),

(5)

где

1 (г) - ^; х (г) - Ш

Ш Ш

ШЯ (г)' Шг

Импульсную характеристику g(?,т) участка сосудистого русла, описываемого выражением (5), ищем в виде решения однородного уравнения [11]:

Ш2 и2(г) Шг2

+

- 2-

1 (г) | Ши2(г)

Я(г X

Шг

+

00-Я(г) + 2 я2 (г)

и2

(г) - о.

(6)

Находим частные решения данного однородного уравнения:

У (/) - Я) е •;

[у 2(г) - €Я(г) е""

Импульсная характеристика gт) определяется из следующего выражения

(7)

g (t,х)

1 yx(t) y2(t)

W(x) yi(x) y2(x)'

(8)

где W (x)

g(t, X)

(9)

Полученное выражение (9) есть ничто иное, как математическая модель канала распространения сигнала пульсовой волны. По данному выражению можно получить его частотные характеристики, перейдя от временной оси на частотную.

Список литературы:

1. Эккле Дж. Физиология синапсов. М.: Мир, 1966.-366с.

2. Мещерский Р.М. Анализ нейронной активности. М., 1972.-222с.

3. Пятигорский П.Я. Спонтанная активность первых центральных нейронов восходящих путей кожной чувствительности // Биофизика. 1967. Т.12, вып. 3. С. 516-

4. Ахутин В.М., Оболонкин В.В. Оценки передаточных характеристик сосудистого русла //Биомедицинские измерительные системы и аппараты. Вестник ГЭТУ. 1994, вып. 468. С 3-7.

5. Щукин С.И. Аппараты и системы для электромагнитной индивидуальной терапии и активной диагностики // Вестник МГТУ, сер. Приборостроение. 1993. №4. С

6. Винницкий А.С. Модулированные фильтры и следящий прием ЧМ. М.: Сов. Радио, 1969. 547с.

7. Гаджиев М.И. Основы параметрической фильтрации и режекции. Махачкала: РИО ДГУ, 1988. 80с.

8. Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Уравнение гемодинамики и дифференциальные формы. Ч.1 Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека // Вестник новых медицинских технологий. 1996. Т. III, №1. С 10-16.

9. Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Уравнение гемодинамики и дифференциальные формы. Ч.2. Поверхности «постоянной энергии» в гемодинамике // Вестник новых медицинских технологий. 1996. Т. II, №3. С 13-17.

10. Константинова Н.В., Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Уравнение гемодинамики и дифференциальные формы. Ч.3. Поверхности «полной энергии» для специального потока крови в аппроксимированных граничных условий // Вестник новых медицинских технологий. 1996. Т. III, №4. С 74-77.

11. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь,

1994. 480с.

УДК 330.4:519.62:519.86

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ

523.

9-23.