Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 + 681.2

Предложен новый подход к измерению динамически искаженных сигналов, основанный на теории уравнений леонтьевского типа.

Ключевые слова: динамические измерения, уравнения леонтьевского типа

A new approach to the actual measurement of dynamically perturbed signals based on the theory of the Leontieff type equations is offered. Keywords: dynamically measurement, Leontieff type equations

Введение

Теория динамических измерений возникла и первоначально развивалась как ответвление теории некорректных задач (см. прекрасный обзор в [1]). Между тем развитие техники, в особенности - космонавтики, потребовало создания иных подходов, дающих более точные решения задач динамических измерений, чем теория некорректных задач. Одним из таких подходов, базирующихся на теории автоматического управления (см. например, [2, 3]), был предложен в [4] и развит в [5, 6].

Суть нового метода заключается в следующем. В качестве модели измерительного устройства (ИУ) предлагается взять модель автоматического управления

со следующей трактовкой: х = х{1) - вектор-функция состояний ИУ, х = (х\,Х2->... , хп), и = гл(£), у = у{Ь) - вектор-функции входа и выхода соответственно, и = (^1,^2, •. •, ит) и у — (г/1,2/25 • • • 5Уг)> причем матрицы ИУ А, датчика В и выхода С имеют соответственно размеры п х п, п х т и I х п. Модель ИУ (0.1) оказалась чрезвычайно удобной при измерении кратковременных импульсов, длящихся от микро- до наносекунд, т.к. хорошо моделирует инерционность ИУ, из-за которой не удается точно измерить пикообразные изменения входного входного сигнала. Эта модель учениками А.Л. Шестакова изучалась в различных аспектах [7-9], что показало ее адекватность широкому кругу измеряемых явлений.

Естественно, при исследовании модели (0.1) использовались понятия и методы теории автоматического управления. Между тем, имеется хорошо разработанная теория [10], апробированная в различных приложениях [11, 12], позволяющая делать более детальный анализ модели (0.1). В данной статье впервые теория уравнений соболевского типа и вырожденных полугрупп операторов [10] применяется для изучения модели (0.1).

Статья кроме введения содержит две части и список литературы. В первой части дана краткая сводка результатов теории [10], почерпнутая из [13]. Во второй части дается приложение этой теории к конкретной модели (0.1), взятой из [9]. Список литературы отражает только личные вкусы и пристрастия авторов и не претендует на полноту.

х = Ах + Du, у = Сх

(0.1)

А.Л. Шеетаков, Г.А. Свиридюк

1. Уравнения леонтьевского типа

Пусть Ь и М - квадратные матрицы порядка г. Матрица М называется регулярной относительно матрицы Ь (коротко, Ь-регулярной), если существует число а € С такое, что йеЬ(аЬ — М) ф 0. Пусть матрица М ¿-регулярна, тогда существует не более 5 точек . • •, /¿Л С С, 5 < г таких, что — М) = 0, к = 1,2,..., 5. Следуя [13], будем

называть множество аь(М) = {/¿х, ^2,..., /¿5} Ь-спектром матрицы М. Заметим, что если с^ Ь ф 0, то Ь-спектр матрицы М совпадет со спектром как матрицы Ь~1М, так и матрицы МЬ~1. Пусть теперь матрица М ¿-регулярна, выберем контур 7 = {/л Е С : |//| = г}, где г > тах{|/хх|, • •., |/лв|}, и построим матрицы

р = Ъь " "

Лемма 1.1. Пусть матрица М Ь-регулярна, тогда (г) Р2 = Р, д2 = д; ЬР = мр = дм.

Из леммы 1.1. непосредственно вытекает

Теорема 1.1. Пусть матрица М Ь-регулярна. Тогда существуют матрицы Ь~~1 и М-1 такие, что Ь~1Ь = Р, ЬЬ~г = М~1М = IГ-Р, ММ"1 - 1г - д.

Однородную линейную вырожденную (если <1е1 Ь = 0) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Ы = Мг (1.1)

будем называть системой уравнений леонтьевского типа, имея в виду ее прообраз - знаменитую балансовую модель Леонтьева с учетом запасов (подробности см. [13]). Вектор-функцию £ = (#1, ... ,2т), = /с = 1,2,..., г, £ Е К, назовем решением системы

(1.1), если при подстановке (1.1) обращается в тождество. Решение г = системы (1.1) называется решением задачи Коши для (1.1), если

^(0) = ^о (1.2)

для некоторого го Е Жг. В дальнейшем решение задачи (1.1), (1.2) будем обозначать следующим образом: г = г(1,го).

Определение 1.1. Множество ф С Жг называется фазовым пространством системы (1.1), если

(¿) любое решение 2 = г{1) лежит в ф поточечно, т.е. г(£) Е ф при любом I Е Ж;

(и) при любом го Е ф существует единственное решение г = г(Ь, ^о), ¿ЕЖ задачи (1.2) для системы (1.1).

Как нетрудно видеть, если йеЬЬ ф 0, то фазовым пространством системы (1.1) служит все пространство Жг.

Определение 1.2. Однопараметрическое семейство матриц Z = : I Е Ж} называется разрешающей группой системы (1.1), если О) г1 г8 = г1+3 при всех г е ж;

(И) при любом го Е Жп вектор-функция г(Ь) = Ztzo есть решение системы (1.1);

(ш) образ матрицы совпадает с фазовым пространством системы (1.1).

Теорема 1.2. Пусть матрица М Ь-регулярна, тогда существует единственная разрешающая группа системы (1.1).

Искомая группа задается формулой — ^ ~~ М)~1Ье^г(1ц, ¿ЕЖ, где контур 7

такой же, как при построении матриц Р и (3.

Теперь возьмем некоторую вектор-функцию / : [0, Т] —> Жг, Т Е Ж+, и рассмотрим линейную неоднородную систему леоньевского типа

Ьг = Мг + $. (1.3)

Считая, что матрица М ¿-регулярна, для системы (1.3) поставим следующую задачу

Р(*(0) - го) = 0. (1.4)

Теорема 1.3. Пусть матрица М Ь-регулярна, тогда для любого вектора zo Е Мг и любой вектор-функции / Е Сг+1((0,Т);Мг)ПСгг([0,Т];Жг) существует единственное решение г — £ Е [0,Г] задачи (1.3), (1-4), которое к тому же имеет вид

= - ¿Я^М"1^ - Я)^к){1) + + С В1'8 Я (1.5)

к=0 ^

Здесь Н = М~1(I — Я)Ь(1 — Р) - нильпотентная в силу теоремы 1.1 матрица, р - ее степень нильпотентности, р < гр, В? = ^ ~~ М)~1е^с1/л.

2. Модель измерительного устройства

Сначала редуцируем уравнения (0.1) к уравнениям (1.3). Для этого положим

1П 0\ _ (А

о о,-м=\с и, г

Отсюда

{цЬ - М)~1 =

И-Л)-1 С

Значит, ¿-спектр матрицы М совпадает со спектром матрицы А, т.е. аь{М) = а(А), поэтому матрица М ¿-регулярна.

В силу леммы 1.1 существуют матрицы

{-с о' у-

а в силу теоремы 1.1 существуют матрицы

-Ч -с о, ).""' =

(Факт совпадения матриц Ь""1 = Р, Ь = Я случаен, и в случаях общего положения таких совпадений нет). Аналогично строится разрешающая группа системы (1.1), которая в нашем случае имеет вид

¿А

( 0\ м ^ 1* Лк

N ь / I—п

к=О

По теореме 1.4 существует единственное решение задачи

®(0) = жо (2.1)

для системы уравнений

Ьг = Мг + (2.2)

которое к тому же имеет вид

го) = г1 г0 + С Я1-аЯВму{з)й8. (2.3) Jo

A.Jl. Шестаков, Г.А. Свиридшк

Матрица Вм имеет следующий вид: Вм — ^ ^ О )5 П0ЭТ0МУ (I ~~ = О? и,

значит, первое слагаемое из формулы (1.5) в формуле (2.3) отсутствует. Вектор-функции г = и V = строятся следующим образом: £ = ... ,хп,у1,у2,... , Уш)> ^ =

{их, и2,..., иул), поэтому (2.1) то же самое, что и (1.4).

Пример модели ИУ. Рассмотрим модель ИУ, приведенную в [9]. Здесь матрицы

Л ( -44 0 \ _ / -0,594 \ ^ /Л А=[ -а -16 Ь В=[ 0 )'

По ним построим матрицы

-0,594 0 0 Af = I -а -16 0 I , В= | 0

затем вектор v = (и, 0, 0). Система (1.3) приобретет вид

-0,594 0 0 0 0 0 0 0 0

где вектор z = (xi,x2,2/). Методами п.1 решаем задачу (2.1), (2.2), где xq = 0, и получаем а / 16 .о 1 . Л 1 - е~~ш 8(1 - е~ш)

= ™ 1*2 ■ л, .2 8111 ^ " 1 al , л. .2 sm2wi +

28 V 162 + 4а;2 162 + 4а;2 32 162 + 4а;2

(2.4)

44 . 2 1 . о 1 — е~ш 22(1 -е~ш)4 Sin ut + —т:-Sin 2а)t

442 + 4а;2 442 + 4а;2 88 442 + 4а;2

В качестве измеряемого сигнала взят пикообразный импульс u(t) = A sin2 out. Заметим, что на выходе (2.4) отмечается <затухание» импульса, т.е. уменьшение его амплитуды А, что согласуется с данными эксперимента.

Литература

1. Грановский, В.А. Динамические измерения / В.А. Грановский. - Л.: Энергоиздат, 1984.

2. Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Кло-уз. - М.: Наука, 1970.

3. Кузовков, Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н.Т. Кузовков. -М.: Машиностроение, 1976.

4. Шестаков, А.Л. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика / А.Л. Шестаков // Метрология. - 1987. -№ 2. - С. 26 -34.

5. Шестаков, А.Л. Коррекция динамической погрешности измерительного преобразователя линейным фильтром на основе модели датчика / А.Л. Шестаков //■ Изв. Вузов. Приборостроение. - 1991. - Т. 34, № 4. - С. 8 - 13.

6. Шестаков, А.Л. Модальный синтез измерительного преобразователя / А.Л. Шестаков // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1995. - № 4. - С. 67 - 75.

7. Солдаткина, Е.В. Алгоритмы адаптации параметров измерительной системы к минимуму оценки динамической погрешности: дис. ... канд. техн. наук / Е.В. Солдаткина. -Челябинск, 2000.

8. Бизяев, М.Н. Динамические модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов измерительных систем в скользящем режиме: дис. ... канд. техн. наук / М.Н. Бизяев. - Челябинск, 2004.

9. Иосифов, Д.Ю. Динамические модели и алгоритмы восстановления сигналов измерительных систем с наблюдаемым вектором координат состояния: дис. ... канд. техн. наук / Д.Ю. Иосифов. - Челябинск, 2007.

10. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degener-ate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.

11. Замышляева, A.A. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболев-ского типа второго порядка / A.A. Замышляева // Вычислит, технологии. - 2003. - Т. 8,

№4. - С. 45 - 54.

12. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - №3. - С. 22 - 28.

13. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Сви-ридюк, С.В. Брычев // Изв. вузов. Математика. - 2003. - №8. - С. 46 - 52.

Кафедра <Информационно-измерительная техника», Южно-Уральский государственный университет admin @ susu. ас. ru

Кафедра <У равнения математической физики», Южно-Уральский государственный университет ridyu@susu.ac.ru

Поступила в редакцию 25 сентября 2009 г.