Новый метод построения инфляционных решений в киральной космологической модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.12

Новый метод построения инфляционных решений в киральной космологической модели

С. В. Червон*, А. С. Кубасов1"

* Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н. Ульянова пл. 100-летия В.И. Ленина, 4, г. Ульяновск, 432700, Россия ^ Ульяновский государственный университет ул. Л. Толстого, 42, г. Ульяновск, 432000, Россия

В работе предложен новый метод построения точных решений для киральной космологической модели в пространственно-плоской, открытой и замкнутой Вселенной. Найдены инфляционные решения для моделей с экспоненциальным расширением и со степенным масштабным фактором в рамках двухкомпонентной киральной космологической модели. Предложено специальное распределение между киральными полями, когда одно из них ответственно за динамику в пространственно-плоском сечении, а другое — за искривление этого сечения.

Ключевые слова: космология, инфляция, нелинейная сигма модель.

1. Введение

В настоящее время инфляционная стадия, как этап сверхбыстрого расширения Вселенной, становится неотъемлемой частью стандартной космологической теории. Как правило для описания инфляционной стадии рассматривается са-могравитирующее скалярное поле (инфлатон) с потенциалом самодействия. Однако такая модель приводит, в частности, к проблеме выхода из инфляции [1]. Это проблема имеет решение в «гибридной» модели инфляции, в которой присутствует второе скалярное поле и потенциал взаимодействия [2]. Модели, в которых рассматривается несколько скалярных полей, получили название «мульти-компонентных» моделей. Киральная космологическая модель [3] является естественным обобщением модели инфляции с одним или несколькими скалярными полями. Кроме того, в таких моделях учитывается кинетическое (в том числе перекрёстное) взаимодействие скалярных полей.

Для рассмотрения инфляционной стадии эволюции Вселенной наряду с экспоненциальным масштабным фактором привлекается, в целях аналитического исследования, модель степенной инфляции, когда масштабный фактор со временем меняется по степенному закону. Причём при исследовании глобальной эволюции Вселенной и космологических возмущений такая модель допускает аналитические исследования и имеет решения в элементарных функциях.

В работе мы рассматриваем обобщение метода построения точных решений для пространственно-плоской Вселенной на замкнутую и открытую модель. Интерес к открытой и замкнутой Вселенной определяется тем фактом, что в пределах точности измерения П допускаются все три фридмановские модели эволюции Вселенной [4]. Кроме того, интересные перспективы просматриваются в модели «Новорождённой Вселенной» [5] (см. также [6]), которая основана на замкнутой модели и связана с предположением, что Вселенная начала своё развитие с минимального размера больше планковского, на котором не требуется квантовая теория гравитация.

В данной работе предложен новый метод построения точных решений для киральной космологической модели в пространственно-плоской, открытой и замкнутой Вселенной. В разделе 2 представлены общие уравнения киральной космологической модели. Суть метода построения точных решений, который распространён на открытую и замкнутую Вселенную, подробно изложен в разделе 3. В

Работа осуществлена при частичной финансовой поддержке по программе Российско-Индийского сотрудничества РФФИ (Грант 08-02-91307-ИНД_а) и ДСТ (Грант RUS P/84 — DST).

разделе 4 приводятся новые точные решения для моделей с экспоненциальным расширением и со степенным масштабным фактором в рамках двухкомпонент-ной киральной космологической модели. В заключение (раздел 5) обсуждается проблема евклидовости Вселенной и делаются выводы по полученным результатом.

2. Киральные космологические модели

Действие для самогравитирующей нелинейной сигма-модели (НСМ) с потенциалом взаимодействия Ш(<р) имеет вид [7]:

^ = /^=дё4х (§: + 2ьАВд»» - wы), (1)

где д/л» (х) — метрика пространства-времени, клв — метрика пространства-целей (кирального пространства), <р = (ср1,...,<р>к) — киральные поля, грА» = д»<рА =

дх^ .

Тензор энергии-импульса для модели (1) записывается в следующей форме

V = - 9»» (^А'Аз0"3Нав - w(<р)). (2)

Уравнения Эйнштейна представим в виде

К,» = К(Нав<Ра^в - 9»»™(ф)) (3)

Варьируя действие (1) по >рс, получаем уравнение киральных полей

-¿цд^у-дуА) - 1 д^г^чВ»^ + ^а = 0, (4)

и, дw где ^А = .

Рассматривая действие (1) в рамках космологических пространств, приходим к киральной космологической модели [8,9]. В данной работе в качестве источника гравитационного поля рассматривается двухкомпонентная нелинейная сигма-модель с метрикой пространства целей

ё § I = ё р2 + Н22 ((5)

Тензор энергии-импульса (2) для киральной метрики (5) имеет вид

Т»» = <р,^,» + Н22ф,»ф,» - д»» \*ж (<Р,Ф) . (6)

Метрику пространства-времени однородной и изотропной Вселенной запишем в представлении Фридмана-Робертсона-Уокера

ё 52 = <И2 - а(1)Ч + г2ёв2 + г2 81п2 вёр2) . (7)

2.

Решения 2-компонентной НСМ с метрикой пространства целей (5) для случая предельно жёсткого состояния материи Ш(р>, ф) = 0 были исследованы ранее [7,10] (в этих работах компонента метрики Н22('Р, ф) имеет обозначение 2Р(<р)).

В работе [3] введена в рассмотрение массивная нелинейная сигма-модель — ки-ральная космологическая модель. В настоящей работе нами предложен новый подход, который позволяет находить решения не только для пространственно-плоской Вселенной, но и в случае открытой и замкнутой модели Фридмана.

3. Метод построения решений

В метрике (7) полевые уравнения двухкомпонентной киральной космологической модели (4) и уравнения Эйнштейна (3) принимают вид:

■■ . ОТТ • 1 дь'22 ; 2 , п ^

^ + — + = 0' (8)

3Н(Н22ф) + дг(Н22ф) - 2-^Ф2 + % = 0, (9)

н 2 = -

2 Ф2 + 1 + №

К

К, (10)

а

Н =- к

2Ф2 + 2 Н22^2

+ К. (11)

а

Рассматриваемая система уравнений представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с тремя неизвестными: ки-ральными полями (р и ф, а также с потенциалом Ш. Следуя методу точной настройки потенциала [10], считаем, что закон эволюции Вселенной а = а(¿) задан. Метрику кирального пространства мы не будем фиксировать однозначно, как это традиционно принято, оставляя некоторую свободу её адаптации к решаемой задаче. Простыми алгебраическими преобразованиями уравнений Эйнштейна (10)-(11) находим их следствия в виде, удобном для дальнейшего решения

1 ,2т , Ч /2^ 1

К

2Ф2(г) + 2= - ^ - н , (12)

а

м = - (н 2+1Й+3К )■

Рассмотрим три случая:

(П) К = 0 — случай пространственно-плоской Вселенной; (О) К = — 1 — открытой Вселенной; (З) К = 1 — замкнутой Вселенной.

Потребуем, чтобы отображения ф(Ь),р(Ь) и Ь(ф),Ь(р) были однозначными и простыми (не трансцендентными).

В случае (П) будем искать решение системы (8)-(11) в виде

к22(<Р,-ф) = Н22(<р), № (<р,-ф) = + Ш2(ф). В случае (О) и (З) в виде

И22(^,ф) = Ь22 (ф), № (<р,ф) = ТМ1(ф) + е1 (v)W2 (Ф). (13)

Рассмотрим подробно каждый из указанных случаев.

3.1. Открытая или замкнутая Вселенная (К = ±1)

Представленное разбиение потенциала (13) позволяет сделать следующие допущения:

^ Ш) = - (я2 + 3Н) , (14)

е/(^^2(т) = - К ■ (15)

Аналогично предполагаем связи на темп эволюции полей и метрику кираль-ного пространства:

Ф2 = — Н, (16)

ь 12 2 К

^ = ■

Тогда уравнение (8) расщепляется на две части

Ф + 3НФ + = 0, (17)

19,122 ф2 + Ш2(ф)е? М = 0. (18)

2 9< 1 д<

Из уравнения (16) киральное поле <р определяется в квадратурах

<р(1) = ± ¡\l4~Hdt. (19)

Интегрируя уравнение (19), можно перейти от Ш\(р) как функции <р к зависимости от времени = (¿). Тогда уравнение (17) позволяет определить искомую зависимость от времени = (!)

w1(t) = I (ф(г)ф(г) + зн (г)ф2(г))<и. (20)

После интегрирования восстанавливаем вид зависимости составляющей потенциала от поля: ^ Ш\((р), так как зависимость р(1) определена из (19).

Для нахождения решения для второй компоненты будем подбирать функцию £

Ф2(^=е(% (21)

2 К

1122(1) = Рщ ■ (22)

Для нахождения Ь22(<р) необходимо осуществить переход Н22(Ь) ^ 122(<р), используя (19).

Уравнение (18) с учётом уравнений (15), (22) можно преобразовать к виду

/(г) = 2 ш(Н22а)) = 1 ш () ■

Из соотношения (15) W2(ф) определяется следующим образом:

W2{t) = ^ К е-1 Ю

- а

Вновь осуществляем переход W2(t) ^ W2(ф), используя (21).

В этом разделе следует заострить внимание на форме потенциала киральных полей Ш(р,ф) = Wl(p) + Ш2(р,ф), в свою очередь Ш2(<р,ф) = л/Н22(р)'№2(ф). Таким образом, безразмерное слагаемое Н22(р) отвечает за своеобразную «перекачку» потенциальной энергии между Ш\((р) и Ш2(ф).

3.2. Пространственно-плоская Вселенная (К = 0)

Уравнение (12) разобьём на два (К = 0):

</32 = -ЛН, (23)

Н22Ф2 = ^^ Н. (24)

к

Потенциал взаимодействия киральных полей Ш (1) представим следующим образом:

w(г) = л^(г) + (1 - л)^(г) + (1 - л)(1 - ^(г),

полагая, что

ж^ф)) = wla(<p(t)) + w1ъ(<p(t)) = лш (г) + (1 - л)^ (г), (25)

Ш2(ф(1)) = (1 - л)(1 (I),

где 0 < Л, ^ < 1. Тогда, соответственно

^(¿) = £ (Н2 + 1Н)

ж1Ь(г) = (я2 + ¡я) , (26)

^(*) = -3(1 -;П)(1 -7) (я2 + ¡н

Из уравнения (25) видно — для вычисления Ш\((р) достаточно вычислить Wla(^p). Уравнение (9) распадается на две части:

■ ■ , огг. , д^1а(у) п

(р + Ш<р + —^— = 0,

-1 ^2 + ^ = 0. (27)

В уравнении (27), переходя ко временной зависимости и подставляя выражение для ф2(Ь) из уравнения (24), получим

_1 д 1п(М (-2(1 -Л)) я + д^1Ь(г) = 0 2 дí к Н + дí 0.

Подставив значение Ш\ъ(1) из уравнения (26), находим Н22(I)

- 7( вн+§) dt Н22(Ъ) = е -1 К н) . (28)

Непосредственно из уравнения (23) получаем

<р(1) = ± 1\1—ЛЯ<И. (29)

Из уравнения (24), с учётом (28), несложно определить

Л

ф(0 = ±/ V -2(1 -Л)Не 1-'("н+»№Л. (30)

Далее осуществляем переходы Н22(£) ^ Ь22(ф), \Ух(1) ^ Шх(р), \У2(1) ^ \У2(ф).

Таким образом, представленный метод позволяет при заданном масштабном факторе а(1) конструировать точные решения, используя свободу выбора компоненты Н22 метрики кирального пространства.

4. Точные решения

Для модели (12)—(13) были выбраны два масштабных фактора — степенной и экспоненциальный.

4.1. Степенная эволюция Вселенной

Выбираем масштабный фактор в виде а(Ь) = АЪп, п > 1. Случай пространственно-плоской Вселенной рассмотрим отдельно.

4.1.1. Случай К = 0

Случай К = 0 приводит к следствиям уравнений Эйнштейна (29), (30) следующего вида:

1 -2/,ч 1, ;2/,ч 1 п ттг, 1 п(3п — 1) -ср2(г) + -Н22-Ф\1) = -п, (г) = - ( ^ ).

Решение 1

Аналогичные нижеприведённым решения были получены в работе [11]. Здесь они пересмотрены в соответствии с новым методом построения решений. Используя алгоритм, представленный в предыдущем разделе, получаем следующие решения:

= Щг). к22(Ф) = ехр (-А^пВхф),

лхг ( \ (Л +(1 — Л)7)п[3п — 1]

W1 (ф) = ------ ехр (-2Вхср).

-

т = ^т&2(Ф) = (1 - \)(1 -1)п(3п~1)(В2Ф)^, ^ -

где Вх = ±,В2 = ± -7п

V

2(1-А )г.

4.1.2. Случай К = ±1

В этом случае следствия уравнений Эйнштейна (29), (30) принимают вид:

+- = - (п+¿к) • <31)

к щ = - ( + 2^ у (32)

Из (32) видно, что при £ ^ 0 в Ш(^ основную роль играет «искривляющее» слагаемое, а при £ ^ преобладает первое.

Решение 2

Используя алгоритм, представленный в предыдущем разделе, получаем следующие решения:

р{1)(1) = -1 Ы(1), к22(&) = е-2СВ^, = п [3п - 1]ехр(-2Вкр),

-

1 1 л , 1 К 2(С —п)

f( y) = 2 \n(h22( y)), ф(1)® = — t<-n+1, W2(^) = 2 К (В2ф) —

Л I 1 П I С — П + 1 *

где B1 = ± ,—, B2 = ±--- , ( = const.

Проанализируем решения для случая К = ±1 со значениями Bi, В2, С > 0. Поле y(t) в этом случае растёт логарифмически со временем, а потенциал W(y) — убывает как e-2BlV. Для анализа эволюции второго поля необходимо учитывать значение константы .

1. При С = п, ф(t) растёт линейно, W(ф) = const, а h22(y) убывает быстрее, чем W(y).

2. При С > п, ф(Ь) растёт пропорционально i1"^1-"1, W(ф) — растёт по степен-

ному закону ~ ф1+ с-™ , а Н22(у) — убывает быстрее, чем Ш(у).

3. При (+1 <п, ф(Ь) убывает пропорционально ¿-|£+1-п1, ^(ф) изменяется по

2

1| 1

закону ~ ф -(»-о .

4.2. Экспоненциальная эволюция Вселенной

При выборе экспоненциального масштабного фактора мы рассматриваем обобщение на случай новорождённой Вселенной [5]. Нелинейные сигмамодели как источник новорождённой Вселенной рассматривались в работе [6]. Выбираем масштабный фактор в виде [12]

а(г) = А(/3 + еа1 )т.

4.2.1. Случай К = 0

Случай К = 0 приводит к уравнениям (29), (30) следующего вида:

1 -2/,л 1, А 2/,ч 1 ma2l3eat Tlr/l, 1 та2 eat(3meat +1) ^2(t)+ 2 h22Q 2(t) = - K^+i^, W ® = --(l + ^)2 P) .

Решение 1

Используя алгоритм, представленный в разделе 3, получаем следующие решения:

/ at \

y(t) = — arctg^, h22(y) = tg-2(Biy), ф(1) = — \n(P + eat),

1 т а2

Wi(y) = [\ + (1 - X)7]s\n2(2yBi)[3rntg2(yBi) + 1], W2(ф) = (1 - X)(1 - 7)-ma2 (3m + е-В2фр(1 - 6m) - ¡32(1 - 3m)e-2B^) где B1 = ±—,1 , B2 = ±- 1

2.у/ 2ATO ' / -2(1-A)ma2

4.2.2. Случай К = ±1

В этом случае следствия уравнений Эйнштейна (29),(30) принимают вид:

1 -2/,л 1, ; 2/,ч 1 ( ™а2[3 еаг К

2у (1) + 2Н22ф (г) = к ( - (Р + еа,)2 + А2ф + ерЛ)

,

2

Ф а) = 1-{та2е °"(3те «+Т) +_2К_(34)

У (Ч (Т + е«*)2 + А2(Т + е^)2т] . (34)

Из (34) видно, что при £ ^ 0 в Ш(^ основную роль играет «искривляющее», слагаемое, а при £ ^ преобладает первое.

Решение 2

Используя процедуру интегрирования, представленную в разделе 3, находим следующие три решения:

1 (е§ г\ 1 ^= ~В~1 л) , т= В~2е ,

_ 2С

Ъ*2(ч>) = ¿р^ Ч(ВхЧ>)) - " сов4т(В^р),

А2р2т

2

к 4

2

^1 (<?) = 1 т^ 81п2 (2^В1)[3т tg2 (<рВ{) + 1],

Н<р) = 11п(Н22(<р)), ^2(ф) ~ 2К

2 - А[р + (В2^) с ]'

1

где В1 = ±—, , В2 = ±—р=, С = еопв1. 2Л/_ ^

; 2 г \

Решение 3

<р() = В1 ^ , к^р) = а2(р + р tg2(Вl^))2- втЬ2(«1п(^Рtg(Вl¥>))),

1 2

^&) = -тГ *{п2(2ч>Вх)[3т tg2(фх) + 1], - 4

Ф(г) = ±\ — совЬг, ¡(<р) = 1ы^Ш, Ж2(Ф) = — л,а (В2ф)2-1 ,,ч , где Вх = ±—1-, В2 = ±- 1

2 — ¡2К

Решение 4

1

= В1 ^ , Н22(1Р) = А2(р + р tg2(Вl^))2- совЬ2(« 1п(^Р tg(Вl^)))!

*2

- 4

2

2

^1 (<?) = 1 т^ в^п2(2<рВ1)[3т tg2(уВх) + 1],

т = м -к вть^ Ту2М- 2К (^)2 + 1

- ' 2уг' - А(Т + агс8тЬ(В2^))т' 11

где В1 = ±--¡==, В2 = ±

2 — ¡2К

Проанализируем полученные решения со значениями В1, В2,С > 0 для случая К = ±1. Эволюция поля р и потенциала Ш(ф) во всех трёх случаях одинакова.

Поле <р растёт ~ arctg(еа1) и при ^ ^ стремится к асимптоте 2, а Ш(ф) — пе-

ж

риодическая функция с периодом —. Поле ф(1) во всех трёх случаях возрастает.

Анализ поведения потенциала W(ф) целесообразно производить при установленных значениях констант а, £, т.

5. Заключение

В работе найдены новые точные решения для киральной двухкомпонентной модели, порождающей степенную и экспоненциальную инфляцию в пространственно-плоской, открытой и замкнутой Вселенной. Полученные результаты позволяют взглянуть, в частности, на проблему евклидовости Вселенной несколько с иных позиций. Проблема евклидовости Вселенной обсуждается с точки зрения известных противоречий теории стандартного Большего Взрыва и их устранения за счёт введения в рассмотрение инфляционной стадии [1].

По имеющимся данным, современная наблюдаемая Вселенная близка к пространственно-плоской. С этих позиций интересно рассмотреть уравнения (14)-(15).

W-i(p(t)) = 3(н2 + |я) , ef^W2m)) = —^.

В случае открытой и замкнутой Вселенной (К = ±1), как было показано, данная система уравнений распадается на (17)-(20) (строго говоря возможны и другие способы разбиения, но в данной работе мы их не рассматриваем). Компоненты (17) и (19) характеризуют пространственно-плоскую Вселенную, в то время как (18) и (20) отвечают за искривление пространства-времени до открытого или замкнутого.

Рассмотрим на качественном уровне поведение составляющих потенциала ки-рального поля (17)-(18) без привлечения характерных размеров и размерностей. Если предположить, что Вселенная на начальном этапе развивалась как открытая или замкнутая, то для того, чтобы в нынешний период она с большой степенью

точности была плоской, необходимо чтобы доминирование компоненты —~ на

3 1 —

начальном этапе сменилось на преобладание — (^Н2 + в настоящий отрезок

времени. Как несложно показать, асимптотой для такого разделения в координатах (a, t) является линейная функция, проходящая через начало координат. Соответственно для удовлетворения такому сценарию развития масштабный фактор модели при t ^ 0 должен быть меньше линейного масштабного фактора, а на современном этапе — больше. Такому поведению из простых функций удовлетворяют, например, степенной и экспоненциальный масштабные факторы, которые и были выбраны для поиска решений.

Ещё раз отметим особенности структуры решений, отвечающих открытой и замкнутой Вселенной. В нашем подходе поля распределяются таким образом, что поле р отвечает за пространственно-плоский сектор Вселенной, а поле ф — за «искривление» плоского сечения до открытого или замкнутого. В свете проблемы евклидовости наблюдаемой Вселенной [1] это приводит к выводу, что если в начальный период своей эволюции Вселенная была замкнутой или открытой и ей отвечало поле ф, то при последующем расширении преобладающим становится поле р. Однако вопрос о физических явлениях, которые соответствуют потенциалу W(р,ф), остаётся открытым и требует дополнительных исследований.

Литература

1. Линде А. Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. — М.: Наука, 1990. [Linde A. D. Fizika ehlementarnihkh chastic i inflyacionnaya kosmologiya. — M.: Nauka, 1990.]

2. Liddle A. R., Lyth D. H. The Cold Dark Matter Density Perturbation // Phys. Rep. — 1993. — Vol. 231. — Pp. 1-105.

3. Червон С. В. О киральной модели космологической инфляции // Известия ВУЗов. Физика. — 1995. — Т. 38, № 5. — С. 121-125. [Chervon S. V. O kiraljnoyj modeli kosmologicheskoyj inflyacii // Izvestiya VUZov. Fizika. — 1995. — T. 38, No 5. — S. 121-125.]

4. Tsujikawa S. Dark Energy: investigations and modelling // ArXiv:asrtro-ph.CO. — 2010. — Vol. 1004.1493. — Pp. 1-49.

5. Ellis G. F. R., Maartens R. The Emergent Universe: Inflationary Cosmology with no Singularity // Class. Quant Grav. — 2004. — Vol. 21. — Pp. 223-232.

6. Beesham A., Chervon S. V., Maharaj S. D. Emergent Universe Supported by Nonlinear Sigma Model // Class. Quantum Grav. — 2009. — Vol. 26, No 075017. — Pp. 1-9.

7. Chervon S. V. Chiral Non-Linear Sigma Models and Cosmological Inflation // Gravitation & Cosmology. — 1995. — Vol. 1, No 2. — Pp. 91-96.

8. Chervon S. V. A Global Evolution of the Universe Filled by Scalar or Chiral Fields // Gravitation & Cosmology. — 2002. — Vol. 8, issue Suppl. — Pp. 32-40.

9. Chervon S. V. Exact Solutions in Standard and Chiral Inflationary Models // Proceedings of 9th Marcell Grossman Conference, Roma, 2000. — World Scientific, 2001. — Pp. 1909-1911.

10. Червон С. В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии. — Ульяновск: УлГУ, 1997. [Chervon S. V. Nelineyjnihe polya v teorii gravitacii i kosmologii. — Uljyanovsk: UlGU, 1997.]

11. Кубасов А. С., Червон С. В. Взаимодействие полей темного сектора в модели степенной инфляции // Труды 2-ой международной конференции GRAC0S-2009, c.143. — ТГГПУ, 2009. [Kubasov A. S., Chervon S. V. Vzaimodeyjstvie poleyj temnogo sektora v modeli stepennoyj inflyacii // Trudih 2-oyj mezhdunarodnoyj konferencii GRAC0S-2009, c.143. — TGGPU, 2009.]

12. Emergent Universe with Exotic Matter / S. Mukherjee, B. S. Paul, N. K. Dadhich et al. // Class. Quantum Grav. — 2006. — Vol. 23. — Pp. 6927-6934.

UDC 530.12

New Method of Constructing Inflationary Solution in a Chiral

Cosmological Model

S. V. Chervon*, A. S. Kubasovt

* Ulyanovsk State Pedagogical University named after I.N. Ulyanov 100 years V.I. Lenin's Birthday Square, 4, Ulyanovsk 432700, Russia t Ulyanovsk State University 42, Leo Tolstoy str., Ulyanovsk, 432000, Russia

New method of constructing inflationary solution in a chiral cosmological model is proposed for spatially-flat, open and closed Universe. Inflationary solutions for the models with the exponent and power law scale factor in the framework of the two-component chiral cosmological model are obtained. The special distribution between chiral fields, when one of them is responsible for the dynamics in the spatially-flat section and another - for the warping of this section, is suggested.

Key words and phrases: cosmology, inflation, non-linear sigma mode.