Научная статья на тему 'Новый метод анализа временных флуктуаций нестационарных акустических сигналов'

Новый метод анализа временных флуктуаций нестационарных акустических сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
758
168
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АКУСТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ / ФЛУКТУАЦИИ / ТРЕНД / СИЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ / ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАНЖИРОВАННЫХ АМПЛИТУД / ФИТИНГ / ACOUSTIC SIGNAL / FLUCTUATIONS / TREND / STRONG CORRELATION / SEQUENCE OF RANGED AMPLITUDES / FITTING

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тобоев Вячеслав Андреевич

Предложен новый метод анализа нестационарных акустических сигналов, основанный на рекуррентном интегрировании и позволяющий существенно увеличить разрешающую способность анализа во временной области. Найден единый алгоритм, позволяющий сравнивать между собой характерные участки сигнала и находить диагностические признаки в нестационарных сигналах различной природы. Метод применен для изучения общего акустического фона зимующих пчел.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Тобоев Вячеслав Андреевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

NEW METHOD OF TEMPORAL FLUCTUATIONS ANALYSIS OF NON-STATIONARY ACOUSTIC SIGNALS

A new method of non-stationary acoustic signals analysis based on recurrent integration and allowing increasing essentially the analysis resolution in the temporal region is proposed. Common algorithm permitting to compare characteristic parts of the signal between each other and find diagnostic features in non-stationary signals of different origin has been found. The method has been applied for studies of general acoustic background of winter honey bees.

Текст научной работы на тему «Новый метод анализа временных флуктуаций нестационарных акустических сигналов»

УДК 621.391.81 ББК 32.811.3

В. А. ТОБОЕВ

НОВЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ ФЛУКТУАЦИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ*

Ключевые слова: акустический сигнал, флуктуации, тренд, сильная корреляция, последовательность ранжированных амплитуд, фитинг.

Предложен новый метод анализа нестационарных акустических сигналов, основанный на рекуррентном интегрировании и позволяющий существенно увеличить разрешающую способность анализа во временной области. Найден единый алгоритм, позволяющий сравнивать между собой характерные участки сигнала и находить диагностические признаки в нестационарных сигналах различной природы. Метод применен для изучения общего акустического фона зимующих пчел.

V.A. TOBOEV

NEW METHOD OF TEMPORAL FLUCTUATIONS ANALYSIS OF NON-STATIONARY ACOUSTIC SIGNALS Key words: acoustic signal, fluctuations, trend, strong correlation, sequence of ranged amplitudes, fitting.

A new method of non-stationary acoustic signals analysis based on recurrent integration and allowing increasing essentially the analysis resolution in the temporal region is proposed. Common algorithm permitting to compare characteristic parts of the signal between each other and find diagnostic features in non-stationary signals of different origin has been found. The method has been applied for studies of general acoustic background of winter honey bees.

Введение. При анализе стационарных сигналов, как правило, бывает достаточно применения спектрального анализа на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ). Многие типичные исследуемые сигналы имеют специфический спектральный состав и занимают характерные спектральные области, что позволяет выделять из них информативные составляющие. Сущность БПФ заключается в том, что при суммировании некоторого ограниченного временного интервала отсчетов в силу периодичности последовательность N точек может быть выражена через подпоследовательность N/2 точек, причем процедура может быть применена рекурсивно. Основными проблемами при этом являются: увеличение отношения сигнал-шум, которое достигается путём усреднения и синхронного накопления, и малая разрешающая способность анализа в высокочастотной области, что требует применения процедур детектирования (анализ огибающей) [1, 7, 9]. Традиционный спектральный анализ неэффективен для нестационарных сигналов с временным масштабом нестационарности, много меньшим продолжительности подлежащей анализу реализации. Это связано с усреднением мощности флуктуаций при спектральном анализе (спектр мощности) по всему времени наблюдения сигнала. Как правило, спектральный анализ проводится по выборке данных достаточно большой протяженности, и короткие локальные изменения не вносят значительного вклада в результирующий спектр сигнала. Вместе с тем часто именно локальные изменения свойств сигналов содержат полезную информацию.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 07-04-00305).

Наиболее очевидным путём применения БПФ к анализу нестационарных сигналов является разбиение реализации на отдельные короткие участки одинаковой длины с последующим применением алгоритма БПФ к каждому из них. Этот приём широко известен в практике анализа сигналов как БПФ на коротких реализациях (Short time FFT). Отличительной особенностью анализа на коротких реализациях является необходимость применения сглаживающих окон (например, окон Хемминга, Ханна, окна «flet-top» и др.). Как известно, без них усиливается влияние эффекта растекания дискретных составляющих в боковые лепестки. Ограниченное число участков разбиения (число спектров) ограничивает разрешающую способность анализа во временной области, поэтому в дальнейшем был предложен ряд алгоритмов анализа со скользящими сглаживающими и усредняющими окнами. Наиболее распространенными являются самый ранний вариант анализа со скользящим гауссовским окном Габора и наиболее развитый и эффективный анализ этого типа, известный как распределение Вигнера-Вилли (WW Distribution) [2]. Применение алгоритмов анализа со скользящими окнами позволяет существенно увеличить разрешающую способность анализа во временной области при сохранении достаточно высокого разрешения в частотной области, однако сопряжено со значительным увеличением объёма вычислений, а следовательно, и увеличением времени расчёта [3, 4, 8]. Рассмотренные методы анализа широко применяются при углублённом анализе сигналов во время-частотной области, например при распознавании речи, но обычно не подходят для решения задач диагностики, так как анализ не удовлетворяет требованию оперативной выработки на основе его результатов интегрального диагностического признака. Получаемые в результате анализа трёхмерные (частота-время-амплитуда) образы достаточно сложны для формального распознавания.

Из вышесказанного следует необходимость в разработке метода анализа нестационарных сигналов, который имел бы следующие достоинства:

- однозначность и контролируемость полученных результатов;

- простая интерпретация и визуализация свойств сигнала по результатам анализа;

- более высокая точность и информативность обработки сигналов по сравнению с существующими методами.

В данной работе предлагается новый метод анализа акустических сигналов, основанный на рекуррентном интегрировании и позволяющий существенно увеличить разрешающую способность анализа во временной области. Это позволяет детектировать статистически-однородные (квазистационарные) участки, сравнивать между собой различные участки и находить диагностические признаки в нестационарных сигналах различной природы. В качестве такого нестационарного сигнала в данной работе выбран общий фон пчелиной семьи, представляющий собой набор одномерных рядов цифровых данных, записанных с определенной частотой дискретизации, анализ которого в рамках предлагаемого метода позволяет распознать физиологическое состояние пчел в разные периоды их жизнедеятельности.

Основные понятия и описание метода. Основная задача анализа акустических сигналов заключается в представлении сигнала в такой форме, на основании которой можно получить новую информацию о процессах, протекающих

в исследуемой системе. Перспективным представляется подход структурного моделирования, позволяющий компактное признаковое описание сигнала. Математический метод должен выявлять и классифицировать внутреннюю структуру сравнительно коротких фрагментов сигнала, несущих информацию об исследуемом объекте. В зависимости от выбранного алгоритма выделения фрагментов сигнала можно выделить участки, имеющие одинаковую структуру, или, наоборот, участки с резкими особенностями. Это дает возможность находить закономерности в полученном наборе выделенных участков сигнала.

Будем исследовать нестационарный акустический сигнал S, заданный на временном интервале Т . Разобьем S на отдельные участки одинаковой длины т. Размеры этих участков будут определять разрешение алгоритма выделения фрагментов сигнала. Все действия алгоритма будут производиться последовательно над каждым участком. Основные характеристики сигнала, полученные на каждом последующем участке, сравниваются с такими же характеристиками на предыдущих участках.

Выбор длины участка производится по следующей схеме. В анализируемом сигнале выбирается пробный интервал [^, ^ +т], при этом ^к +т < Т, где

^к = к -Ат, к=0,1,2,3,... Временные интервалы т и Ат определяются характерными временами, наиболее важными для динамики изменения исследуемого сигнала. Значение Ат соответствует интервалу между отчетами оцифрованного сигнала, определяемого по теореме Найквиста, и зависит от длины сигнала Т и частоты дискретизации. Для нестационарного сигнала имеется набор характерных времен т , определяемых локальной структурой исследуемого сигнала. Длина участка т выбирается по максимальному значению обобщенного коэффициента корреляции Пирсона [10], вычисленного между выделенными трендами для участков одинаковой длины. Под термином «тренд» понимается сглаженное среднее значение случайной последовательности, получаемое с помощью стандартной процедуры медианного сглаживания.

Первый этап заключается в анализе свойств сигнала на каждом выбранном участке. Пусть Бк - участок сигнала, соответствующий к-му фрагменту сигнала. Единый алгоритм обработки данных каждого отдельного участка включает в себя следующие основные пункты:

1. Для выбранного участка Бк вычисляется выборка случайной последовательности пу (у = 1,...N), которая представляет собой разность значений исходных данных (акустический сигнал, представляющий собой набор одномерных рядов цифровых данных, записанных с определенной частотой дискретизации) и их среднего арифметического (центрированная случайная ве-

личина). Таким образом, случайная последовательность пу представляет собой временной ряд в равноотстоящих точках ху (у = 1,...N).

2. Далее производится её рекуррентное интегрирование по формуле:

JJ = _1 +( - _1) , (1)

где

Я у = °.5 (пу + пу-1). (2)

Формула (1) является упрощенным вариантом более общего рекуррентного соотношения, предложенного нами в работе [10] и основанного на статистике дробных моментов.

3. Полученная в п.2 последовательность Jсглаживается известным методом линейного сглаживания с гауссовым ядром для выделения оптимального низкочастотного тренда. Так, в частности, если случайная последовательность является детрендированной (лишенной тренда), то среднее значение такой последовательности равно или весьма близко к нулю. Структура тренда в общем случае определяется исходным сигналом и имеет разные количественные характеристики для различных участков.

4. Затем этот полученный тренд вычитается из проинтегрированной последовательности, и в конечном итоге получается искомая случайная последовательность распределения относительных флуктуаций 7к. У этой последовательности вновь вычисляемый тренд с помощью процедуры медианного сглаживания должен дать горизонтальную линию, практически совпадающую с осью ОХ.

5. Предварительно для удобства анализа и извлечения дополнительной информации положительная и отрицательная части случайного ряда относительных флуктуаций вычисляются отдельно по формуле:

7« =±27 ±|П|). (3)

Здесь 7к -дискретная последовательность относительных флуктуаций, индекс к, указывает на номер сегмента. Затем эти случайные последовательности Ук(±) ранжируются (или упорядочиваются) по амплитудам. Когда амплитуды последовательности подчиняются условию у^ > ук >... > укы, то этот упорядоченный набор величин {ук} образует последовательность ранжированных амплитуд (ПРА).

ПРА представляет собой, по сути, зависимость У(Ы) величины упорядоченной амплитуды последовательности (7) от номера дискретного отсчета (Ы) и определяет функцию, обратную гистограмме N(7). Отметим также, что алгоритм построения ПРА по заданной случайной последовательности содержит только ошибки измерений и не вносит никаких дополнительных субъективных ошибок. Построение же соответствующей гистограммы по заданной случайной последовательности является приближенной процедурой; точность её вычисления зависит от числа разбиения полного числа случайных амплитуд 7 на заданное число подинтервалов (п), которое, по сути, задаётся субъектом.

6. Для количественного сравнения относительных флуктуаций различных участков сигнала огибающие ПРА заменяются подгоночными функциями Е (') вида:

т

^ (/) = £ с/-', (4)

1=1

или

т

^ (' ) = Х сл

1=1

Выбор между гипотезами об экспоненциальной или степенной зависимости огибающей ПРА производится с помощью соответствия совокупности прямым линиям, по минимальной величине стандартного отклонения и близости к единице коэффициента корреляции Пирсона, вычисляемого для ПРА и соответствующей подгоночной кривой. Обоснование выбора подгоночной функций для ПРА дается в Приложении.

Вычисленные подгоночные параметры позволяют разделить амплитуды нестационарного сигнала ук (} = \..^) на некие оптимальные статистические

группы (кластеры) с параметрами (Ст ,Хт), что соответствует редуцированному описанию рассматриваемого сигнала.

7. Для сравнения трендов, полученных в каждом сегменте, находятся подгоночные функции при оптимальном значении окна медианного сглаживания по той же схеме, что и при сравнении ПРА относительных флуктуаций (п.6).

На втором этапе сравниваются характеристики сигналов, полученных в каждом фрагменте сигнала, и находятся участки с заданной характеристикой или участки с одинаковой структурой сигнала (кластеры). Нахождение статистически часто повторяющихся последовательностей позволяет выделить фоновые (шумовые) участки сигнала, скрытые периодичности, нехарактерные особенности.

Особый интерес представляют выявление и исследование сильно коррелированных участков акустического сигнала. Если две ПРА 71 и 72 (имеющие одинаковое число отсчетов N построить друг относительно друга и в результате зависимость 72(71) приближенно выразится в виде прямой линии 72(71) = а71 + Ь, (а и Ь некие постоянные величины), то такие последовательности мы определяем как сильно-коррелированные. В общем случае нахождение коррелированных участков сводится к решению функционального уравнения вида [13]:

к-1

Е (' + к т) = ^ апЕ (' + пт), (6)

п=0

где величины ап (п = 0,1,..., к-1) характеризуют вклад п-го участка в последующее к-й. Максимальная величина параметра п = к-1 определяет глубину корреляции между предыдущими участками Е(' + пт)) и последующим к-м Е(' + кт). Величина т связана с длиной участка (0 < ' < т) или соответствует периодическому изменению некоторых характерных участков сигнала.

Уравнение (6) имеет общий характер и может быть интерпретировано следующим образом: будущее событие формируется в значительной степени некоторой аддитивной комбинацией сильно-коррелированных событий, имевших место в прошлом. Это уравнение может сыграть существенную роль в предсказании будущего события на определенном временном отрезке, если это событие сильно коррелировано с прошлыми событиями и их влияние на возможное будущее событие может быть записано в виде линейной комбинаций (6) .

Таким образом, в результате анализа коротких фрагментов сигнала, описывающих относительные флуктуации, можно выявить закономерности изменения его свойств, определяемых вышеизложенным алгоритмом фрагментации. Исследование динамики изменения трендов и ПРА относительных отклонений позволяет предсказывать поведение изучаемой системы. Для этого следует полу-

чить совокупность подгоночных параметров функции (4) или (5) и построить их зависимость по отношению к какому-либо контролируемому фактору.

Анализ общего звукового фона пчелиной семьи. Пчелиная семья постоянно генерирует звуки. Интенсивность, временная и частотная структура звуков зависят от физиологического состояния пчел. Звуковой фон позволяет контролировать их физиологическое состояние.

Изменение в структуре звукового фона пчел является следствием изменения их активности [5, 6, 15]. В связи с этим звуковой фон закономерно изменяется в суточном и сезонном циклах. Для каждого определенного периода развития семьи и состояния насекомых фон обычно характеризуется стабильными показателями. Интенсивные составляющие звукового фона пчелиной семьи находятся в трех диапазонах: 75-190, 210-400 и 450-550 Гц. Первый диапазон порождается звуками, возникающими при вентилировании улья, второй - соответствует работе пчел по обогреву гнезда, третий - характеризует их активность [6]. Однако наличие корреляции шума отдельных пчел с фоном семьи и нестационарность самого фона не позволяют дифференцировать физиологическое состояние пчел по частотному признаку.

Исходными данными исследования является акустический фон пчелиной семьи, представляющий собой набор одномерных рядов цифровых данных, записанных с частотой дискретизации 44100 Гц (рис. 1).

,-------.-1----■-1-----■-1------■-1----■-1-----■-1---■ -0,4-1---------.-,--------.-,-------.-,--------.-,------.-,

0 50 100 150 200 250 300 0 1 2 3 4 5

Время, мс яхЮООО

Рис. 1. Временная структура акустического фона пчелиной семьи длительностью 10 с (а); автокорреляционная функция (б); обобщенный коэффициент корреляции Пирсона и нахождение оптимальной длины сегмента (в), тор=68 мс; зашумленный тренд изображен белым цветом) относительных флуктуаций (г)

По этим цифровым данным вычисляется выборка случайной последовательности пу. (у = 1,...N)для последующего численного интегрирования и выделения высокочастотного и низкочастотного составляющих (тренда). Амплитуда автокорреляционной функции медленно убывает с ростом шага корреляции. Она имеет слабо затухающие периодические максимумы и минимумы амплитудой от -0.3 до 0.4 с интервалом 80...100 мс. Тот факт, что автокорреляция не стремится к нулю с ростом шага, означает наличие неслучайной составляющей, подлежащей исключению. Тренд, выделенный с оптимальным значением окна сглаживания, показан на рис. 1(г).

Представленные на рис. 2, а спектры звукового фона для четырех зимующих семей абсолютно идентичны, в то время как они соответствуют семьям с разными физиологическими состояниями. Анализ на основе предлагаемого метода позволяет обнаружить эти различия как по трендам, так и по флуктуациям высокочастотной составляющей акустического сигнала (сравнения ПРА). Различные взаимные корреляции ПРА для этих семей, вычисленные относительно первой семьи (А), показаны на рис. 2, б.

Предлагаемый алгоритм обработки акустических сигналов, выраженный в терминах ПРА, представляет уникальную возможность сравнить различные участки сигнала и оценить их статистическую близость друг другу. К примеру, рис. 3 демонстрирует статистически близкие реализации для относительных флуктуаций звукового фона благополучно зимующей пчелиной семьи в течение пяти месяцев зимовки. Нахождение таких участков в нестационарном акустическом сигнала позволят решить основную проблему - вопрос предсказуемости физиологического состояния пчелиных семей.

Более детальное количественное сравнение может быть проведено по найденным параметрам фитинга ПРА относительных флуктуаций звукового фона этих семей за пять месяцев зимовки. Значения параметров фитинга степенной зависимостью (5) для них приведены в таблице. Последние две колонки показывают качество подгонки гипотезы (5) заданной ПРА. Относительная ошибка (5) вычисляется как отношение стандартного отклонения между ПРА и подгоночной функцией к среднему значению подгоняемой функции. Коэффициент корреляции Пирсона (р) вычисляется стандартным образом и заключен в интервале [0, 1].

Подгоночные параметры, полученные для ПРА, описывающие ненулевые относительные флуктуации общего звукового семьи в течение пяти месяцев зимовки. Подгоночная функция представлена степенной зависимостью (5).

Номер семьи С1 а1 Сг а2 съ а3 5 Р

0 -0.003 -0.960 0.662 -0.272 -0.303 0.702 0.044 0.967

1 -0.005 -0.947 0.599 -0.265 -0.267 0.826 0.045 0.979

2 -0.001 -0.983 0.679 -0.264 -0.333 0.655 0.022 0.951

3 -0.001 -0.952 0.681 -0.281 -0.301 0.546 0.113 0.863

4 -0.001 -0.981 0.633 -0.291 -0.299 0.642 0.247 0.810

Из анализа данных таблицы следует важный предварительный вывод о возможной предсказуемости хода зимовки пчелиных, если известно ПРА на начальном этапе зимовки. Степень предсказуемости можно оценить по сравнению найденных подгоночных параметров для разных семей с эталонными данными (аналогичными данными для семьи с известным состоянием).

Рис. 2. Спектры звукового фона для четырех зимующих пчелиных семей длительностью по 1 с, полученные методом БПФ (а); различные взаимные корреляции ПРА для тех же семей, вычисленные относительно первой семьи (б)

Кроме того, если (Г0) является сигналом с известными числовыми характеристиками (например, звуковой фон благополучно зимующей семьи или с известным исходным физиологическим состоянием), а (Уп) - исследуемый сигнал, то зависимость Уп(У0) позволяет сравнивать два этих сигнала. На рис. 4 представлены такие зависимости для пяти зимующих семей. Для каждой семьи отношение Уп(У0) различны и поэтому могут быть использованы

для идентификации и количественного отделения состояния одной семьи от другой, что позволяет прогнозировать ход зимовки относительно благополучной зимующей семьи. Степень предсказуемости можно оценить по относительной величине тангенса угла наклона прямой и величине отсечки по отношению к ПРА, отнесенного к благополучно зимующей семье.

Рис. 3. Различная взаимная корреляция ПРА для относительных флуктуаций звукового фона благополучно зимующей пчелиной семьи в течение пяти месяцев зимовки.

Все зависимости построены относительно корреляций первого месяца зимовки (декабрь). Отклонения от прямых линий можно объяснить незначительными изменениями физиологического состояния пчелиной семьи в марте (3) и апреле (4)

*0

Рис. 4. Различная взаимная корреляция ПРА для относительных флуктуаций звукового фона пяти зимующих пчелиных семей.

Все эти зависимости построены относительно корреляций благополучно зимующей семьи У0. Отклонения от прямых линий можно объяснить изменением физиологических состояний соответствующих семей (семьи 2, 3, 4)

Исследование динамики изменения трендов и ПРА относительных отклонений позволяет предсказывать ход зимовки пчелиных семей. Для этого следует получить совокупность подгоночных параметров функций (4) или (5) и построить их зависимость по отношению к какому-либо контролируемому фактору. Эти зависимости помогут понять динамику таких сильно-флуктуирующих величин, как общий звуковой фон семьи, внутригнездовая температура, концентра-

ция СО2 и др., и послужат дополнительным источником информации для построения более точной и приемлемой математической модели.

Выводы

1. Особенностью нового метода анализа акустических сигналов являются численное интегрирование и визуализация результатов вычислений. Вычисленные подгоночные параметры для огибающих ПРА (функции (4) или(5)) позволяют разделить амплитуды нестационарного сигнала на некие оптимальные статистические группы (кластеры) с параметрами (Ст, 1т), что соответствует редуцированному описанию рассматриваемого сигнала. Это дает возможность классифицировать внутреннюю структуру сравнительно коротких фрагментов сигнала, несущих информацию об исследуемой системе. Предложенный подход позволяет количественно сравнивать влияние различных факторов на поведение изучаемой системы по функциональной зависимости подгоночных параметров, описывающей поведение огибающей ПРА. Для этого следует получить совокупность параметров (Ст, 1т) и построить их зависимость по отношению к какому-либо контролируемому фактору.

Таким образом, исследование динамики изменения трендов и ПРА относительных флуктуаций на основе рассмотренного алгоритма позволяет анализировать и предсказывать поведение изучаемой системы.

2. Результаты сравнительного анализа, проведенного на примере изучения общего акустического фона пчелиных семей показывают, что метод позволяет достичь необходимого результата более естественным путем и обнаружить эффекты, которые не проявляются при использовании стандартных методов (выделение статистически-однородных участков, выявление скрытых периодичностей).

3. Общий виброакустический фон пчелиной семьи является сильнокоррелированной последовательностью. Представление различных участков акустического сигнала функциональной зависимостью (6) позволяет найти ква-зистационарные участки, скрытые периодичности и нехарактерные участки для звукового фона. Эти параметры могут служить интегральными диагностическими признаками, определяющими физиологические состояния пчелиных семей.

Математическое приложение: функциональное уравнение для флуктуаций и обоснование выбора подгоночной функции

Функциональное уравнение для флуктуаций, удовлетворяющих условию сильной коррелированности, можно записать в виде:

Р« + Т) = ЪЕ (0 + Со, (1)

где Т определяет период времени, соответствующий повторению некоторого события, например, характерных особенностей сигнала, скрытых периодичностей и т.д. Важно отметить, что для целых значений Т это уравнение имеет решение

Р (г) = Е (г )ехр(1г)+-С\ = Е (г )Ъ1Т +-С-, 1 = м^. (2)

1 - Ъ 1 - Ъ Т

Здесь Е(г) определяет некоторую периодическую функцию с периодом Т, т.е. Е(г ± Т) = Е(г). Экспоненциальный показатель 1 указывает на степень влияния предыдущего участка сигнала на последующее. Для Ъ < 1 получается

экспоненциально затухающее решение (1 < 0), при Ъ = 1 (1 = 0) получается чисто периодическое решение с возрастающей по времени частью

Р (г) = Е (г)+Со Т, (3)

пропорциональной текущему времени, для Ъ > 1 (1 > 0) получается экспонен-циально-возрастающее решение.

Общее решение (2) функционального уравнения (1) вытекает из другого функционального уравнения вида

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Р (2%) = ЪР (г) + С0, (4а)

или, будучи представленным в эквивалентной форме:

Р (1п 2 + 1п %) = ЪР (1п 2) + С0, (4б)

с помощью преобразования переменных 1п(%)=Т и 1п^) = г вновь сводится к

уравнению (1). Поэтому, принимая во внимание эту замену, легко записать решение уравнения (4а)

Р(2) = Е(1п(2))ехр(11п(2)) +-—-, 1 = ^ . (5)

1 - Ъ 1п(%)

Несмотря на различный характер решений (экспоненциальное (2) или степенное (5)), уравнения (1) и (4б) имеют одинаковую структуру. Можно сказать, что эффект сильных корреляций между соседними участками сигнала для обоих случаев должен выражаться графически в виде отрезка прямой линии, построенного в координатах: у=Р(г+Т), х=Р(г).

Уравнение (1) в более общем виде должно быть заменено функциональным уравнением вида

р (г+кТ) = у апР (г+пТ), (6)

п=0

где величины ап (п = 0,1,..., к-1) характеризуют вклад п-го участка в последующий к-й. Максимальное значение параметра п = к-1 определяет глубину корреляции между предыдущим участком Р(г + пТ) и последующим к-м

Р(г + кТ). Величина Т, как и прежде, связана с длиной сегментации (0 < г < Т)

или соответствует периодическому повторению некого события.

Решение уравнения (6) может быть записано в виде

Р (г) = 1^Еп (г) ехр( V), (7)

п=1

где функции Еп(г) представляют собой набор периодических функций с периодом Т, т.е. Еп(г ± тТ)=Еп(г) с некоторым целым значением т из интервала [1, к]. Подстановка решения (7) в (6) приводит к алгебраическому уравнению для нахождения неизвестных величин 1п. Они находятся как корни характеристического полинома вида

хк -У а хп = 0, 1 = ——т—, т = 1,2,...,к . (8)

п у т г-р у-'-'-' \ /

п=0 Т

Поэтому решения обобщенного уравнения (6) могут включать в себя периодические функции, которые могут содержаться в комплексносопряженных корнях уравнения (8).

При практическом применении решения (8) наиболее деликатной проблемой является разделение экспоненциального решения от степенного ре-

шения, так как формально они являются решениями одного и того же уравнения (6), только представленные в различных переменных. Количество экспонент или степенных функций может быть найдено с помощью процедуры распознавания (соответствия прямым линиям) и по минимальному значению стандартного отклонения между ПРА и соответствующей подгоночной функцией вида (7), представленной в виде набора экспоненциальных или степенных функций [12]. Кроме того, в качестве дополнительного критерия выбора между степенной и экспоненциальной гипотезами может быть использован коэффициент корреляции Пирсона, вычисленный по заданной ПРА и её подгоночной функцией. Чем ближе он к единице, тем предпочтительнее выбор в пользу экспоненциальной или степенной функции. Для решения этой проблемы можно использовать метод собственных координат, который предварительно распознаёт искомую гипотезу и находит искомые параметры методом наименьших квадратов [11, 14].

Литература

1. Бендат Дж. Применение корреляционного и спектрального анализа / Дж. Бендат, А. Пирсол. М.: Мир, 1983.

2. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория / Д. Бриллинджер. М.: Мир, 1980.

3. Васильев В.Н. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометриче-ским системам / В.Н. Васильев, И.П.Гуров. СПб: БХВ - Санкт-Петербург, 1998.

4. Дьконов В.П. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник / В.П. Дьяконов, И.В. Абраменкова. СПб.: Питер, 2002.

5. Еськов Е.К. Звуковая сигнализация пчел в процессе роения / Е.К. Еськов // Зоологический журнал. 1971. Т. 5о. С. 704-712.

6. Еськов Е.К. Акустическая сигнализация общественных насекомых / Е.К. Еськов. М.: Наука, 1979.

7. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Март. М.: Мир,

1990.

8. Новиков А.К. Полиспектральный анализ / А.К. Новиков. СПб.: ЦНИИ им. акад.

A. Н. Крылова, Санкт-Петербург, 2002.

9. СергиенкоА.Б. Цифровая обработка сигналов /А.Б. Сергиенко. СПб.: Питер. 2005.

10. Тобоев В.А. Новый метод статистической обработки временных рядов: исследование коллективного поведения общественных насекомых по их терморегуляторной активности /

B.А. Тобоев, Р.Р. Нигматуллин // Нелинейный мир. 2007. Т. 5, № 4. С. 183-193.

11. Nigmatullin R.R. Recognition of nonextensive statistic distribution by the eigen- coordinates method / R.R. Nigmatullin // Physica A. 2000. Vol. 285. P. 547-565.

12. Nigmatullin R.R. The quantified histograms: detection of the hidden unsteadiness / R.R. Nigmatullin // Physica A. 2003. Vol. 101. P. 214-230.

13. Nigmatullin R.R. The statistics of the fractional moments: Is there any chance to «read quantitatively» any randomness? / R.R. Nigmatullin // Journal Signal Processing. 2006. Vol. 86. P. 2529-2536.

14. Nigmatullin R.R. Statistical detection of the hidden distortions in diffusive spectra / R.R. Nigmatullin, V.A. Toboev, G. Smith, P. Butler// J. Phys. D: Appl. Physics. 2003. Vol. 36. P. 1044-1053.

15. Wenner A.M. Sound communication in honey-bee / A.M. Wenner // Science American. 1964. Vol. 210. P. 116-124.

ТОБОЕВ ВЯЧЕСЛАВ АНДРЕЕВИЧ родился в 1958 г. Окончил Казанский государственный университет. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Чувашского государственного университета. Область научных интересов -математическое моделирование, биофизика сложных систем, термоадаптация и магнито-экология. Автор более 110 научных работ.___________________________________________

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.