Новый алгоритм решения задачи о максимальном потоке Текст научной статьи по специальности «Математика»

М А Т Е М А Т И К А

УДК 519.10

новый алгоритм решения задачи

о максимальном потоке

Канд. физ.-мат. наук, доц. КОРЗНИКОВ А. Д.

Белорусский национальный технический университет

Математические модели широкого круга прикладных проблем могут быть сформулированы в терминах теории графов. В частности, многие такие модели приводят к задаче построения максимального потока в сети с множеством источников и стоков. Известные алгоритмы решения этой задачи основываются на методе расстановки пометок при поиске в сети увеличивающего пути, что предполагает ее графическое представление. Это делает их неудобными для программной реализации. В статье развита идея осуществления тернарных операций над элементами сети [1], на основе чего разработан алгоритм решения задачи о максимальном потоке с рациональными исходными данными, использующий лишь матричное представление сети (матрица пропускных способностей дуг), лишенный указанных выше недостатков, а увеличение потока на каждой итерации на максимально возможную величину приводит к уменьшению их числа.

Пусть сеть 0(У, и) с множеством вершин V = {1, 2, ..., п} и множеством дуг и = {(/,у)} задана матрицей пропускных способностей дуг

D = \

ее элемент йу равен пропускной

способности дуги (/, у), ведущей из вершины 7 в вершину /. Естественно полагать ¿/( = йГ, если

дуга (/, у) неориентирована, отсутствие дуги (¡, у) означает, что йу = 0. Обозначим через и Т множество индексов вершин, которые являются источниками и стоками соответственно, а через а,, /е Л',/7,, 1 — их мощности (а, — количество потока, которое может выходить из источника / е — количество потока, которое

может принять сток у е Т ). Задача заключается

в отыскании максимального суммарного потока из всех источников в стоки, при этом для любой вершины сети, не являющейся источником или стоком величины входящих и выходящих потоков, равны. Таким образом, требуется определить дуговые потоки х° по дугам

(/',у) е и(0 < х° < г/..), т. е. потоковую матрицу

Х°=\\х°

которая дает решение сформули-

рованной выше задачи.

Прежде чем перейти к описанию алгоритма, определим тернарные операции для матрицы

.„,. , введенные в [2] для вершин сети. Тер-

IK

по ин-

нарной операцией над матрицей дексу к называется операция б/( = тах(б/(, т\п(с1(к,с1к1)) для всех / Ф / Ф к. (1)

Рассмотрим вспомогательную матрицу

Я= г , элементы которой г = 7,7=1,и. Од-

II " Ияхя "

новременно с выполнением операции (1) изменяются элементы матрицы Я по следующему правилу:

г.. =

v

J/v, если ¿/.. > min (cilt,cikj); \гл, если du < mm (dik,dkj).

(2)

Операции (1), (2) являются основой метода построения максимального потока в многополюсной сети. Опишем вначале алгоритм решения задачи, а затем приведем его обоснование.

Подготовительный этап. Для начальной потоковой матрицы X" = х° (как правило, на

3 \\пУ.п

начало работы алгоритма

для всех

Наука итехника, № 5, 2013

ПУЛ

ПАП

i — \,n,j — \,п ) формируем кососимметричную

матрицу X = х.

где х, = -х,, х, = х,,

ес-

ли х(( > 0, и модифицированную матрицу пропускных способностей , полагая

II V Няхя

(/ -</ X . 7,7=1,п.

V V V ' ' ■> '

Общая итерация. И = £>*. Осуществляем тернарные операции (1) и (2) над матрицей

И = I с/,, последовательно по всем индек-

I ЯХЯ

сам к = 1, 2, ..., п.

Если тах[тт(а^йц ,Ь )] = 0 - алгоритм за-

/е5

рт

канчивает работу. В противном случае вычисляем

та\|тт(а, й*, )] - [ттЦ, с11р, Ър )| = 5//; >0.

% т

С помощью вспомогательной матрицы

И — г„ находим путь /,,„ = (/,7,),(/,),...,

II Ияхя ' 'г 11-

(4, , вдоль которого можно увеличить поток на максимально возможную величину . Здесь 7' = г1р,и = гчр,13 = ги_р, ...,р = гчр. Шаг 1. Полагаем:

xv =

clr - -

х;/, в остапьных случаях; в остапьных случаях,

«;:=«;-8<р» bP -=bP "V

(3)

Замечание. На самом деле, после общей итерации получено х увеличивающих путей. Поэтому шаг 1 может быть осуществлен последовательно для всех Lst путей \ е Л',

t^T, s,t Ф 1,р , для которых величина min аs. min (с/Д bt - 5„ >0. При этом на каждом шаге поток будет увеличен на величину . После этого переходим к общей итерации.

После окончания работы алгоритма мы получим матрицу Х = х , элементы кото-

II Ияхя

рой Xj равны дуговым потокам по дуге (i, j)

Наука итехника, № 5, 2013

(если х(( < 0, то поток переносится из вершины /

в вершину /). Потоковая матрица Х , которая одновременно и решение задачи линейного программирования, являющейся математической моделью задачи о максимальном потоке, получается из матрицы Х следующим образом: х°=г| Ху х1;, 7,7 =1,77, где г| • - функция

Хевисайда. Кроме того, получены пути, по которым переносится поток, максимальный по сравнению с потоками по другим путям, ведущим из источников в стоки.

Обоснуем корректность описанного алгоритма. Заметим вначале, что теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе [3] не имеет места, если мощность источника или стока ограничена даже для задачи с одним источником и стоком. После завершения работы

алгоритма имеем та^ттСа .й',, А.)] = 0.

1С .V

рт

Если а1 = 0,7'е £ или Ь/ = 0,/е Т, то ситуация тривиальна (использованы все мощности источников или стоков). Пусть I = /е .V/> 0 ,

./ = / е 1' IЬ! > 0 , тогда увеличение потока

возможно только из источников множества I в стоки множества Но так как с! '. — 0 V/ е /,

/ е./, то, как было показано в [2], любой путь,

ведущий из источника множества I в сток множества 3, содержит дугу, пропускная способность которой равна нулю. Таким образом, увеличение потока невозможно. То есть получен максимальный суммарный поток из источников множества в стоки множества Т, найдена потоковая матрица Х и получены пути переноса потока с указанием его объема.

Сходимость приведенного алгоритма, если исходные данные - целые числа (задача с рациональными исходными данными легко сводится к целочисленному случаю), легко следует из следующих соображений. Любой поток, полученный в процессе работы алгоритма, определяет базисное решение соответствующей задачи линейного программирования. В силу унимоду-лярности матрицы ограничений последней, поток, полученный на каждой итерации, будет целочисленным [4], а следовательно, величина увеличения потока - целое число. Поскольку величина потока ограничена (пропускной спо-

плп

собностью любого разреза), алгоритм сходится за конечное число итераций.

Проиллюстрируем работу алгоритма на следующем примере. Рассмотрим задачу построения многополюсного потока в сети, заданной матрицей пропускных способностей дуг

D =

0 5 5 5 15 0 0

5 0 10 15 20 0 0

5 10 0 8 0 10 0

5 15 8 0 5 10 15

15 20 0 5 0 10 10

0 0 10 10 10 0 6

0 0 0 15 10 6 0

где вершины £ = 1, 2 являются источниками потока, а множество вершин Т = 6, 7 - стоками. Мощность источника 2 ограничена и равна а2 = 30 единиц. Сеть, заданная матрицей Д изображена на рис. 1 (числа около дуг -их пропускные способности).

10

Рис. 1

Полагаем элементы потоковой матрицы X" = х° равными нулю. Тогда /) = /).

II « 117x7

Общая итерация. £>=£>. Осуществив тернарные операции (1) и (2) над матрицей

1) = I с/„ , получаем:

D =

0 15 10 15 15 10 15

15 0 10 15 20 10 15

10 10 0 10 10 10 10

15 15 10 0 15 10 15

15 20 10 15 0 10 15

10 10 10 10 10 0 10

15 15 10 15 15 10 0

R =

5 5 5 5 5 5 5

5 5 3 4 5 3 4

2 2 2 2 2 6 2

2 2 2 2 2 6 7

1 2 2 2 2 6 2

5 3 3 4 5 3 4

4 4 4 4 4 4 4

517 =max[min(a^dg ,ЬЛ] = с1 n =15 >0.

ieS jcT

Находим путь Х17: /]7 = 5, г-7 = 2, /;7 = 4 гА1=1, 1Л7 = 1,5 , 5,2 , 2,4 , 4,7 . Шаг 1. Полагаем

.— Х^ •— %24 '— •— ^ I 15 .— 15, Ху^ .— Х^ •— ^25 '— *— ^ 15 .— 15,

d*5 := d24 :=d*41 := 15 -15 := 0; d*52 := 5; d74 := d*42 := d*5l : = 15 +15 := 30; d*25 :=d'25 +15 := 20 +15 := 35; ax := ax - S17 = » -15 =

b7 :=b7 -517 =oo-15 =oo.

Далее последовательно для путей:

L27 = 2,4 , 4,7 ; Llft = 1, 5 , 5, 6

16 ■

L26= 2, 3 , 3, 6

находим:

Ь21 = min (a2,d24,d*47,b7) = min (30,0,0,°°) = 0; 816 = {ax,d*s,d*6,b6) = min (°<>,0,10,°°) = 0; S26 = min (a2,d23,d36,b6)-mm (30,10,10,°=>) = 10>0.

l'Jle-^6

Шаг 1 . Полагаем:

x23. — x23 + 526 —10, x36. — x36 + 526 —10, хбз • = хбз — 826 = —10, x32. = x32 — 526 = —10, ^23 • = ^23 — 826 = 0, di6. = d36 — 526 = 0,

d*63 = <4 + 526 = 2°; <4: = dh + 526 = 2°;

a2:=a2-10 = 20; b6 :=b6 -10 = °°.

Матрица Х имеет вид:

Наука итехника, № 5, 2013

Х =

0 0 0 0 15 0 0" ^56: - ^56 _ S26 =10-10 = 0;

0 0 10 15 -15 0 0 d65: = ¿4 + 526 =10 + 10 = 20;

0 -10 0 0 0 10 0 :=«,, -8o6 =20-10 = 10;

0 -15 0 0 0 0 15

-15 15 0 0 0 0 0

0 0 -10 0 0 0 0 Последовательно для путей:

0 0 0 -15 0 0 0 L27 = 2, 5 , 5, 7 ; L16 = 1, 4

4, 6

Полагаем гр := ], /./ = 1.7.

Общая итерация. £> = 1) . После осуществления операций (1), (2) над матрицей

D =

и матрицей R -

получаем:

D =

0 5 5 5 5 5 5

30 0 10 10 35 10 10

20 20 0 10 20 10 10

30 30 10 0 30 10 10

30 10 10 10 0 10 10

20 20 20 10 20 0 10

30 30 10 30 30 10 0

"2 2 3 4 4 2 2

5 5 5 5 5 5 5

2 2 2 2 2 2 2

2 2 6 6 6 2 2

1 6 6 6 6 6 7

3 3 3 4 4 3 3

4 4 4 4 4 4 4

Вычисляем тах|тт(с/(.с/,, ,Ь )] = 8о6 = 10> 0.

,/Е Т

Находим путь = 2, 5 , 5, 6 .

Шаг 1. По формулам (3) пересчитываем элементы:

х25 : = х25 +10 = -15 +10 = -5;

х56: = х56 +10 = 0 + 10 = 10;

х52: = х52 -10 = 15-10 = 5; Х65: = -^65 —10 = 0 —10 = —10; ^25 : = ^25 _ 526 = 35 -10 = 25;

L17 = 1, 2 , 2,5 ,(5,7) находим

8о7 = min = min (10,25,10,°°) =

= 10 > 0.

Шаг 1. По формулам (3) пересчитываем компоненты матриц D и X:

= х25 + 827 =-5 + 10 = 5; = х57 +527 = 0 + 10 = 10;

75

7 *

-'25

7 *

''57

7 *

4 52

7 "

4 75

= х75 -827 = 0-10 = -10; : = </., -д. =25-10 = 15; : </. о. =10-10 = 0; : </„. + 8. =15 + 10 = 25; : = ¿/72* + S27 =10 + 10 = 20;

а2 :=а2 -S27 =10-10 = 0; 67 := ö7 - S27 = °° -10 =

516= min (al,dv,b6) = mm(al,du,ci46,b6) =

l'jSiif

= min (oo,5,10,oo) = 5 > 0.

Шаг 7:

x14: = x14 +516 =0 + 5 = 5;

x46 ■ — x46 + 816 —0 + 5 — 5,

x41. — x41 — 816 — —5,

x • =x -8 =0-5 = -564 ' 64 u16 v J

14

J *

-'46

J *

-'41

752. — d52 + 826 —15,

А/ - 516 =5-5 = 0; C-8i6 =10-5 = 5; 74;+516 =5 + 5 = 10; 76;+516 =10 + 5 = 15;

: = - 5i6 = 00 - 5 = ° 6б:=6б-516=00-5 = <

Наука итехника, № 5, 2013

517 = min («j, d*2, d*25,d*57) = = min (« 5,15,0, °o) = 0.

Получена новая матрица Х

Матрица Х имеет вид

Х =

0 0 0 5 15 0 0

0 0 10 15 15 0 0

0 -10 0 0 0 10 0

-5 -15 0 0 0 5 15

-15 -5 0 0 0 10 10

0 0 -10 -5 -10 0 0

0 0 0 -15 -10 0 0

Полагаем г* :— у, /', у = 1,7. Переходим к общей итерации. После осуществления третьей общей итерации получим матрицы:

D =

" 0 5 5 5 5 5 5

15 0 5 5 15 5 5

15 20 0 8 15 5 5

15 30 8 0 15 5 5

30 25 5 5 0 5 5

20 20 20 15 20 0 6

20 30 8 30 20 6 0

"2 2 3 3 2 3 3"

5 5 1 1 5 1 1

2 2 4 4 2 4 4

R = 2 2 3 3 2 6 6

1 2 1 4 2 4 4

5 3 3 4 5 7 7

5 4 4 4 5 6 6

Поскольку «2 = 0, то max[min («,,<i,/,ö )] =

I-' S

j^T

= di6 = di7 = 5 > 0. С помощью матрицы R находим путь LJ7 = 1, 3 , 3,4 , 4, 6 , 6, 7 .

Шаг 1. По формулам (3) пересчитываем элементы потоковой матрицы X, матрицы модифицированных пропускных способностей D и мощности aJ, a2, b6, b7.

Для пути LJ6 = 1, 3 , 3,4 , 4,6 величина

516 = min Ц, d'hз, d*34 ,d*A6,b6) = = min (oo; 0,3,0,°°) = 0.

X =

0 0 5 5 15 0 0

0 0 10 15 5 0 0

-5 -10 0 5 0 10 0

-5 -15 -5 0 0 10 15

-15 -5 0 0 0 10 10

0 0 -10 -10 -10 0 5

0 0 0 -15 -10 -5 0

Полагая := /. /. / = 1.7. переходим к общей итерации, после осуществления которой получаем:

D =

" 0 5 5 5 5 0 0

15 0 5 5 15 0 0

15 20 0 5 15 0 0

15 30 13 0 15 0 0

30 25 5 5 0 0 0

20 20 20 20 20 0 1

20 30 13 30 20 11 0

"2 2 2 2 2 6 7"

5 5 5 5 5 6 7

2 2 2 2 2 6 7

R = 2 2 3 2 2 6 7

1 2 4 4 2 6 7

5 3 3 4 5 7 7

5 4 4 4 5 6 6

Так как та\11гпп (а,.с/,, .Ь.)| = (). то полу-

I'- .V ,/еГ

ченный двухполюсной поток является максимальным. Сеть с найденным потоком изображена на рис. 2. Первое число - пропускная способность дуги, второе - дуговой поток.

10, 10

■CD

5, 0

20, 5

10, 10

О

Рис. 2

Наука итехника, № 5, 2013

Потоковая матрица

0 0 5 5 15 0 0

0 0 10 15 5 0 0

0 0 0 5 0 10 0

0 0 0 0 0 10 15

0 0 0 0 0 10 10

0 0 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 0 0

Поскольку элементы / = 1, 2; ] = 6, 7,

то величину потока нельзя увеличить, даже если мощности источников и стоков будут не ограничены. Это означает, что любой путь, ведущий из источника в сток, содержит дугу с нулевой пропускной способностью («насыщенную» дугу). Множество таких дуг образует

минимальный разрез Я, Я , отделяющий источники от стоков. В случае необходимости, минимальный разрез Я, Я легко находится с

помощью матрицы В . Действительно, вершины множества и все вершины ], для которых

ХОТЯ бы ДЛЯ ОДНОГО 7 е > О, относятся к

_*

множеству Я, остальные (с!,, =0 \ZieS) -

к множеству Я . В рассматриваемом примере Я = {1, 2, 3, 4, 5}, Я = {6, 7}, минимальный раз-

рез R, R ={(3, 6), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7)}

имеет пропускную способность, равную 55 единиц и равную величине максимального суммарного потока из источников S = {1, 2} в сток T = {6, 7}.

В Ы В О Д

Разработан новый алгоритм нахождения максимального потока в многополюсной сети, который основан лишь на матричном ее описании и не требует графического представления последней. В силу этого программная реализация данного алгоритма является очень простой, и он может быть использован при решении широкого круга проблем, математические модели которых могут быть сформулированы в терминах теории графов.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Floyd, R. W. Aigorithm 97: Shortest Path. Communication of ACM / R. W. Floyd - 1962. - № 5 (6). - 345 p.

2. Корзников, А. Д. Моделирование и оптимизация процесса перемещения грузов в логистической транспортной системе / А. Д. Корзников, В. А. Корзников // Вестник БНТУ. - 2003. - № 6. - С. 54-60.

3. Форд, Л. Р. Потоки в сетях / Л. Р. Форд, Д. Р. Фал-керсон. - М.: Мир, 1963. - 276 с.

4. Veinott, A. F. Integer Extrime Points / A. F. Veinot, Jr. and G. B. Dantzig // SIAM. Revjew. - 1968. - No 10 (3). -Р. 371-372.

Поступила 22.04.2013

УДК 517.977

управляемость существенно разнотемповых сингулярно возмущенных динамических систем

Канд. физ.-мат. наук, доц. КОПЕЙКИНА Т. Б.1}, ГРЕКОВА А. В.2)

1 Белорусский государственный технологический университет, 2Белорусский национальный технический университет

В [1] была рассмотрена проблема управляемости разнотемповой сингулярно возмущенной динамической системы (РСВДС):

х = Аих + Аиу + Auz + Biii; ji у = А21х + А22у + A23z + В2и; \x2z = А31х + А32у + A33z + В3и,

(1)

Наука итехника, № 5, 2013