CC BY
58
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИИ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ сентябрь-октябрь 2017 Том 17 № 5 ISSN 2226-1494 http://ntv.i1mo.ru/
SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS September-October 2017 Vol. 17 No 5 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/en
УДК 681.51
НОВЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ Ле Ван Туан", А.А. Бобцов", А.А. Пыркин"
a Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация Адрес для переписки: bobtsov@mail.ru Информация о статье
Поступила в редакцию 14.06.17, принята к печати 17.07.17 doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-5-952-955 Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Ле Ван Туан, Бобцов А. А., Пыркин А.А. Новый алгоритм идентификации нестационарных параметров для линейной регрессионной модели // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17. № 5. С. 952-955. doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-5-952-955
Аннотация
Обсуждается проблема идентификации неизвестных переменных параметров для линейной регрессионной модели. Предлагается новый алгоритм, позволяющий в случае выполнения ряда допущений обеспечивать оценки неизвестных параметров и их динамических моделей c асимптотически нулевой ошибкой. Подробно анализируется случай с двумя неизвестными параметрами, который позволяет понять основную идею предлагаемого подхода. Работоспособность рассматриваемого в работе алгоритма иллюстрируется компьютерным моделированием. Ключевые слова
идентификация параметров, линейная регрессионная модель, DREM Благодарности
Данная работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, контракт № 16-11-00049.
NEW ALGORITHM OF VARIABLE PARAMETERS IDENTIFICATION FOR LINEAR REGRESSION MODEL Le Van Tuana, A.A. Bobtsov", A.A. Pyrkin"
a ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation Corresponding author: bobtsov@mail.ru Article info
Received 14.06.17, accepted 17.07.17 doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-5-952-955 Article in Russian
For citation: Le Van Tuan, Bobtsov A.A., Pyrkin A.A. New algorithm of variable parameters identification for linear regression model. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2017, vol. 17, no. 5, pp. 952-955 (in Russian). doi: 10.17586/22261494-2017-17-5-952-955
Abstract
This brief paper discusses identification problem of unknown time-varying parameters for a linear regression model. A new algorithm is proposed that guarantees-in case of a set of assumptions existence-an estimate of unknown parameters and their dynamical model with an asymptotically zero error. We analyze in details the case with two unknown parameters that enables to understand the main idea of the proposed approach. The efficiency of the algorithm considered in the paper is illustrated by computer modeling. Keywords
parameters identification, linear regression model, DREM Acknowledgements
This work is supported by the Russian Science Foundation, project No.16-11-00049.
Работа посвящена решению проблемы идентификации нестационарных параметров для классической линейной регрессионной модели вида [1]
у(t) = mT (t)0(t), (1)
где y(t) e R1 и m(t) e Rn - известные скалярная и векторная функции, 0(t) е R" - вектор неизвестных переменных параметров.
Модели вида (1) широко распространены в задачах теории управления, оценивания и обработки сигналов, многие задачи идентификации параметров решаются с использованием уравнения (1). Хорошо известно (см., например, [2-5]), что в случае постоянных параметров, необходимым условием экспоненциальной параметрической сходимости (и достаточным условием асимптотической сходимости) является условие незатухающего возбуждения, накладываемое на регрессор т(?). Однако условия незатухающего возбуждения не позволяют что-либо утверждать в случае переменных параметров. В данной работе рассматривается задача идентификации неизвестных параметров В(?) е К" при условии, что регрессор т(?) удовлетворяет условиям незатухающего возбуждения. Предлагается алгоритм идентификации параметров В(?) е К", обеспечивающий высокую точность оценивания для специальных допущений на динамическую модель изменения параметров.
Для упрощения понимания основной идеи работы, рассмотрим регрессионную модель (1), состоящую из двух элементов
у (?) = тх(? ) + т2(? )В2(?), (2)
где т1(?),т2(?) - известные скалярные функции, 91 (?),02(?) - неизвестные нестационарные параметры. Будем полагать, что для В, (?) выполняется
Рл при 0 < ? < ^2,
Р,-2 пРи 2 < ? < ^
В, = Р, =
(3)
Рщ ПРи ?щ-1 < ? < ? щ
где Р.. - неизвестные числа. Такой вид изменения параметров В, ) характерен для электромеханических
объектов, где сопротивление обмоток может меняться по линейному закону в силу их нагрева, а также для элементов солнечных батарей [6], где возможно линейное изменение параметров вольт-амперной характеристики, обусловленное наличием или отсутствием облаков на небе.
Для вывода основного результата проведем ряд преобразований. Отфильтруем каждый элемент
регрессионной модели (2) с использованием апериодического звена —. Тогда для (2) имеем
р +1
У1 =
1
р +1
т1В1 +
1
1
р +1 1
1 р +1 1 р +1 1
1 р +1 1
1 1 -т. —
р +1 р +1
р +1
= В!т! - Р1--т! + В2т2 - Р2-
р + 1 р + 1
= В1т1 + В2т2 - Р1т3 - Р2т4,
(4)
где т1 =
1
1
1
1
р + 1 р + 1 " (р +1)2 ' ' (р +1)2 Умножим соответственно (2) на т1 и (4) на т1, и далее вычтем одно уравнение из другого. Тогда
имеем
или
ут1 - у1т1 = В2 (т2 т1 - т1т2) + Р1т1т3 +Р2 т1т4
= Ут1 - У1т1 = В2т5 +р1тб +р2т7.
Отфильтруем сигнал §1 с использованием апериодического звена
(5)
1
§2 ="
1
1
-В2 т5 +Р1т8 +Р2 т9 = В2
1
1
1
1 61 , 1 2 5 ' 1 8 ' 2 9 2 т 5 л
р + 1 р + 1 р + 1 р + 1
= В2 т10 +Р2 т11 +Р1т8. Умножим соответственно (5) и (6) на т10 и т5 . Тогда имеем
§1т10 - §2т5 = Р1 (бт10 - т8т5 ) + Р2 (т7Ш10 - т11т5 ) .
Запишем (7) в более компактном виде
у = Р1М1 +Р2 М 2,
2 1 5
р +1
р +1
+ Р1т8 + Р2 т9 =
(6)
(7)
(8)
НОВЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ...
где У = g1m10 - g2т5, М1 = т6т10 - т8т5 и М2 = т7т10 - т11т5 - скалярные функции времени.
Очевидно, что для идентификации р.. (г) и, как следствие 0. (г), необходимо обеспечить высокое быстродействие алгоритмов их оценивания. Для этого воспользуемся методом БИБЫ [7, 8]. Не раскрывая подробно технологию БИБЫ, запишем алгоритм идентификации р. (г).
1. Пропустим известные элементы регрессионной модели (8) через блок запаздывания [ Н (•)] (г) = (•)( - т), где те Я+ . Тогда для (8) имеем
У (г-т) = м1(г-т) •р1 + м2(г-т) ^р2.
2. Обозначим
У = А р ,
е ег ?
(9)
где У =
У (г) У (г -т)
2 , А„ =
■К2
р =
еК2
М1(г) м 2(г)
м1(г-т) м2(г-т) Умножая (9) на ай]{Ае}, алгебраическое дополнение матрицы Ае, получаем
У =др,, I = 1,2, _
где А = det{Ае} е К1 - определитель матрицы Ае, У = со1(У1,У2) = аф'{Ае}Уе е К2. 3. Оценку параметров р. (г) будем осуществлять по формуле
р, = -у. А(Ар,. - У), где у. - любое положительное число.
Легко показать, что для ошибки оценивания параметра р. = р. - р. справедливо
р. = -У, А 2р ,
(10)
откуда следует Ишр. (г) = 0 А (г) г Ь2
г ^да
1
0,5 0
-0,5
-1
1
г Ц- 1
г ■ и
1 (
г
20 15 10 5 0
-5
0
20
40 60
- {М
а
80
г, с
01(0 е2(г)
01(г) -02(г)
б
Рисунок. Графики оценок параметров р. (а) и 0. (б)
Для иллюстрации работоспособности предлагаемого алгоритма идентификации рассмотрим следующий пример. Пусть элементы регрессора т(г) е Я" имеют вид т1 = 7Бт(5г), т2 = 7Бт(4г).
0 при 0 < г < 20,
Пусть параметры р1 (г) =
0 при 0 < г < 20, 0,25 при 20 < г < 100.
0,5 при 20 < г < 40, 0 при 40 < г < 60, р2(г) = -0,5 при 60 < г < 80, 0 при 80 < г < 100,
Выберем параметры т = 0,01, у.. = 0,5 и проведем компьютерное моделирование. На рисунке представлены графики оценок параметров р.., а также 0.. и 0... Очевидно, что настраиваемые параметры сходятся к их истинным значениям.
В работе представлен новый алгоритм идентификации неизвестных нестационарных параметров для регрессионной модели (1)-(2). Было выдвинуто допущение, что динамика неизвестных параметров может быть представлена в виде модели (3). С использованием преобразований (4)-(7) была получена регрессионная модель (8), состоящая из неизвестных, но постоянных параметров. Для идентификации
неизвестных параметров модели (8) была использована технология БИБЫ, позволяющая получить высокое быстродействие сходимости оценок (10) неизвестных параметров к их истинным значениям.
Литература
1. Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Каскадная редукция в задачах идентификации // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 3. C. 149-150.
2. Ljung L. Systems Identification: Theory for the User. New Jersey, Prentice Hall, 1987. 519 p.
3. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.
4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999. 475 с.
5. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness. Courier Dover Publications, 2011. 400 p.
6. Pyrkin A., Mancilla F., Ortega R., Bobtsov A., Aranovskiy S. Identification of the current-voltage characteristic of photovoltaic arrays // Proc. 12th IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing ALCOSP. 2016. V. 49. N 13. P. 223-228. doi: 10.1016/j.ifacol.2016.07.955
7. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Parameters estimation via dynamic regressor extension and mixing // American Control Conference. 2016. P. 6971-6976. doi: 10.1109/ACC.2016.7526771
8. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing // IEEE Transactions on Automatic Control. 2016. V. 62. N 7. P. 3546-3550. doi: 10.1109/TAC.2016.2614889
Авторы
Ле Ван Туан - аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, Visaosang89@gmail.com Бобцов Алексей Алексеевич - доктор технических наук, профессор, директор мегафакультета, заведующий кафедрой, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, bobtsov@mail.ifmo.ru
Пыркин Антон Александрович - доктор технических наук, доцент, декан факультета, профессор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, pyrkin@corp.ifmo.ru
References
1. Aranovskiy S.V., Bobtsov A.A., Pyrkin A.A. Cascade reduction approach for identification problems. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2012, no. 3, pp. 149-150. (In Russian)
2. Ljung L. System Identification: Theory for the User. New Jersey, Prentice-Hall, 1987, 519 p.
3. Miroshnik I.V., Nikiforov V.O., Fradkov A.L. Nonlinear and Adaptive Control of Complex Dynamic Systems. St. Petersburg, Nauka Publ., 2000, 549 p. (In Russian)
4. Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Izbrannye Glavy Teorii Avtomaticheskogo Upravleniya s Primerami na Yazyke MATLAB [Selected Chapters of Control Theory with Examples in MATLAB]. St. Petersburg, Nauka Publ., 1999, 475 p. (In Russian)
5. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness. Dover, 2011. 400 p.
6. Pyrkin A., Mancilla F., Ortega R., Bobtsov A., Aranovskiy S. Identification of the current-voltage characteristic of photovoltaic arrays. Proc. 12th IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing ALCOSP, 2016, vol. 49, no. 13, pp. 223-228. doi: 10.1016/j.ifacol.2016.07.955
7. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Parameters estimation via dynamic regressor extension and mixing. American Control Conference, 2016, pp. 6971-6976. doi: 10.1109/ACC. 2016.7526771
8. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing. IEEE Transactions on Automatic Control, 2016, vol. 62, no. 7, pp. 3546-3550. doi: 10.1109/TAC. 2016.2614889
Authors
Le Van Tuan - postgraduate, ITMO University, Saint Petersburg,
197101, Russian Federation, Visaosang89@gmail.com
Alexey A. Bobtsov - D.Sc., Professor, Dean, Head of Chair, ITMO
University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation,
bobtsov@mail.ifmo.ru
Anton A. Pyrkin - D.Sc., Associate Professor, Dean, Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, pyrkin@corp. ifmo. ru
