Алгоритм улучшения идентифицирующих свойств в задачах оценки параметров линейной регрессионной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИИ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ май-июнь 2016 Том 16 № 3 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/

SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS

May-June 2016

Vol. 16 No 3 ISSN 2226-1494

http://ntv.ifmo.ru/en

УДК 681.51

АЛГОРИТМ УЛУЧШЕНИЯ ИДЕНТИФИЦИРУЮЩИХ СВОЙСТВ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ С.В. Арановский11, А.А. Бобцов", Ц. Вань, Н.А. Николаев", А.А. Пыркин"

a Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация b Институт автоматизации, Университет Ханчжоу Дяньцзы, Ханчжоу, 310018, Китай Адрес для переписки: nikona@yandex.ru Информация о статье

Поступила в редакцию 11.03.16, принята к печати 01.04.16 doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-3-565-567 Язык статьи - русский

Ссылка для цитирования: Арановский С.В., Бобцов А.А., Ван Ц., Николаев Н.А., Пыркин А.А. Алгоритм улучшения идентифицирующих свойств в задачах оценки параметров линейной регрессионной модели // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 3. С. 565-567. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-3-565-567

Аннотация

Представлен новый подход к идентификации неизвестных постоянных параметров для линейной регрессионной модели. Основная идея предлагаемого подхода заключается в преобразовании исходной модели к новому виду, для которого регрессор будет обладать идентифицирующими свойствами или для него будут выполнены условия незатухающего возбуждения. Для иллюстрации работоспособности предлагаемого подхода представлен пример идентификации двух неизвестных параметров для линейной регрессионной модели. При моделировании был взят регрессор, не обладающий свойствами незатухающего возбуждения, а следовательно, параметрическая идентификация не гарантируется. Ключевые слова

идентификация параметров, условия незатухающего возбуждения Благодарности

Работа выполнена при государственной финансовой поддержке ведущих университетов Российской Федерации (субсидия 074-U01) и поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации (проект 14.Z50.31.0031).

IDENTIFICATION PROPERTIES ENHANCEMENT ALGORITHM FOR PROBLEMS OF PARAMETERS ESTIMATION OF LINEAR REGRESSION

MODEL

S.V. Aranovskiy", A.A. Bobtsov", J.Wangb, N.A. Nikolaev", A.A. Pyrkin"

a ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation b Hangzhou Dianzi University, Hangzhou, 310018, China Corresponding author: nikona@yandex.ru Article info

Received 11.03.16, accepted 01.04.16 doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-3-565-567 Article in Russian

For cit"tion: Aranovskiy S.V., Bobtsov A.A., Wang J., Nikolaev N.A., Pyrkin A.A. Identification properties enhancement algorithm for problems of parameters estimation of linear regression model. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2016, vol. 16, no. 3, pp. 565-567. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-3-565-567

Abstract

This brief paper describes a new approach to identification of unknown constant parameters for a linear regression model. The main idea of the method lies in transformation of initial model into a new kind one. The new model regressor possesses identification properties or meets persistency of excitation conditions. An example of two unknown parameters identification for the linear regression model shows efficiency of the proposed approach. Simulation was carried out for a regressor with no persistency of excitation conditions, hence, parameter identification is not guaranteed. Keywords

parameters identification, persistency of excitation conditions Acknowledgements

This work was partially financially supported by the Government of the Russian Federation, (Grant 074-U01) and by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (Project 14.Z50.31.0031).

АЛГОРИТМ УЛУЧШЕНИЯ ИДЕНТИФИЦИРУЮЩИХ СВОЙСТВ

Рассмотрим типовую линейную регрессионную модель [1, 2]

у(') = (')в , (1)

где у(') е Я1 и ю(') е Л" - известные функции, в е Я" - вектор неизвестных постоянных параметров, и типовой алгоритм идентификации параметров модели (1)

в = -Гюютв + Гту , (2)

положительно определенная мат-

где в е Я" - оценка вектора неизвестных параметров в е Я", Г = Г рица.

Из (1) и (2) получаем ошибку в оценивании параметров в е Я" следующего вида: в = -Гюютв .

Хорошо известно (см., например, [3-6]), что Нш |в(')| = 0 в случае, если на регрессор ю(') е Я"

распространяются условия незатухающего возбуждения, т.е. существуют такие положительные числа Ь и р, для которых выполнено соотношение

| ю(т)юг (т)й?т > р1.

(3)

Отметим, что условие (3) часто называется условием интегральной невырожденности (см., например, [7, 8]). Условия, аналогичные (3), используемые в задачах идентификации и управления с эталонной моделью, можно найти в [9].

Очевидно, что условие (3) выполняется не всегда. Например, для случая " = 2 и ю1 = е- и ю2 = е"2' легко показать, что алгоритм идентификации (2) не обеспечит параметрической сходимости, а условие (3) не удовлетворяется. Чтобы обойти затруднения, связанные с нераспространением на регрессор т(') е Я" условий незатухающего возбуждения (3), преобразуем уравнение (1) следующим образом: х(') = гат (')в , (4)

где х(') = Н(р)у('), га(') = Н(р)ш('), Н(р) = 2Х' + 2Х2 +... + Х"

Р 2 + Р 2 + 42

раметров линейной регрессионной модели (1), х 1 > 0, q¡ > 0 и

X1 , Х 2 , , X.

2

Р +{

" - число неизвестных па-

при 1 Ф у. Выбор оператора

Н (р) =

Р2 + 41 Р2 + 42

+... +

2

Р +{

при нулевых начальных условиях и отсутствии шумов позволит

обеспечить для нового регрессора га = Н(р)ю наличие " гармоник (см., например, [3-5]), что является достаточным условием для идентификации " неизвестных параметров для модели (1). Для модели (4) можно использовать алгоритм настройка параметров, аналогичный (2):

1 (5)

в = -Ггага в + Гга х .

01(0 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

0

', с

02(') 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

0

30 б

, с

Рисунок. График переходного процесса функции 9^') (а) и 02(') (б) для 01 = 1, 62 = 3 и у1 = 5 , у2 = 10

Для иллюстрации работоспособности алгоритма идентификации (4), (5) в задаче оценивания неизвестных параметров линейной регрессионной модели вида (1) рассмотрим случай " = 2. Пусть исходные

[1 при 0 <' < 1,

регрессоры ю1 (') =

0 при ' > 1,

и ю2(') = е '. Для преобразования модели (1) к виду (4) выберем опе-

а

С.В. Арановский, А.А. Бобцов, Ц. Ван, Н.А. Николаев, А.А. Пыркин

ратор H (p) =

p2 +1

матрицу Г = diag{j1,у2} и проведем компьютерное моделирование. На рисунке

представлены графики переходных процессов по параметрам 0j(t) и 02(t). Как можно видеть из предлагаемых графиков, оба настраиваемых параметра сходятся к истинным значениям.

Литература

1. Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Каскадная редукция в задачах идентификации // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 3(79). C. 149-150.

2. Ljung L. Systems Identification: Theory for the User. New Jersey, Prentice Hall, 1987. 519 p.

3. Fradkov A.L., Miroshnik I.V., Nikiforov V.O. Nonlinear and Adaptive Control of Complex Systems. Springer, 1999. 528 p. doi: 10.1007/978-94-015-9261-1

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999. 475 с.

5. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness. Dover, 2011. 400 p.

6. Loria A., Kelly R., Teel A.R. Uniform parametric convergence in the adaptive control of mechanical systems // European Journal of Control. 2005. V. 11. N 2. P. 87-100. doi: 10.3166/ejc.11.87-100

7. Деревицкий Д.П., Фрадков А.Л. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления. М.: Наука, 1981. 216 с.

8. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управления управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990. 296 с.

Арановский Станислав

Владимирович

Бобцов Алексей Алексеевич

Ван Цзянь

Николаев Николай Анатольевич Пыркин Антон Александрович

Stanislav V. Aranovskiy Alexey A Bobtsov Jian Wang Nikolay A. Nikolaev Anton A. Pyrkin

кандидат технических наук, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, s.aranovskiy@gmail.com доктор технических наук, профессор, директор мегафакультета, заведующий кафедрой, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, bobtsov@mail.ifmo.ru кандидат технических наук, научный сотрудник, Институт автоматизации, Университет Ханчжоу Дяньцзы, Ханчжоу, 310018, Китай, wangjian@hdu.edu.cn

кандидат технических наук, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, nikona@yandex.ru доктор технических наук, доцент, доцент, декан, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, pyrkin@corp.ifmo.ru

PhD, Associate professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, s.aranovskiy@gmail.com

D.Sc., Professor, Dean, Head of Chair, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, bobtsov@mail.ifmo.ru PhD, scientific researcher, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou, 310018, China, wangjian@hdu.edu.cn

PhD, Associate professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, nikona@yandex.ru

D.Sc., Associate professor, Dean, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, pyrkin@corp.ifmo.ru

1