CC BY
50
2013
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Г еология
Вып. 4 (21)
ГЕОФИЗИКА, ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКОВ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ
УДК 550.83
Новые технологии при решении задач гравиметрии и их применение при поиске полезных ископаемых
З.З.Арсанукаев3, Е.Г. Рудаковскаяъ
аИнститут физики Земли, РАН, Москва, ул. Большая Грузинская, д. 10. Е-mail: zaindy@mail.ru ЪРХТУ им. Д.И. Менделеева, Москва, Миусская пл. 9. E-mail: rudeg@list.ru
(Статья поступила в редакцию 25 сентября 2013 г.)
Рассматриваемые в статье исследования связаны с современным подходом при решении задачи оконтуривания геоплотностных неоднородностей путем решения систем линейных алгебраических уравнений больших порядков. На модельном примере показано как решается дискретное уравнение Лапласа с использованием пакета компьютерных программ «GrAnM». Результаты расчетов визуализируются в виде графиков восстановленных значений аномального гравитационного поля, что позволяет в наглядной форме интерпретировать результаты вычислительных экспериментов.
Ключевые слова: гравиметрия, аналитическое продолжение, уравнение Лапласа, система уравнений, плотность, точность, объект.
Рассматриваемое в статье направление ленными методами за приемлемое время, исследований связано с использованием в том числе и СЛАУ больших порядков, современных подходов при решении за- Методологическую основу выделения дачи выделения возмущающих объектов перспективных объектов (в т.ч. залежей посредством продолжения гравитацион- рудных полезных ископаемых) составляет ного поля в нижнее полупространство на метод дискретных аппроксимаций физи-основе составления и решения систем ли- ческих полей, предложенный академиком нейных алгебраических уравнений В.Н. Страховым[12]. Суть этого метода (СЛАУ) больших порядков. Выдающиеся заключается в замене трехмерного (или достижения в области вычислительной двумерного) непрерывного пространства техники в последние 30 лет, значительное дискретным (сеточным) пространством, увеличение вычислительных ресурсов Уравнение Лапласа, описывающее физи-(быстродействия и объема оперативной ческие поля вне возмущающих тел, заме-памяти компьютеров) позволяют исследо- няется на его дискретный аналог путем вателю решать разнообразные задачи чис- представления вторых частных производ-_______________________________________ ных в виде вторых разделенных разно-
© Арсанукаев 3.3., Рудаковская Е.Г., 2013
стей. Краевые условия, представленные в виде непрерывных функций, заменяются сеточными функциями. Таким образом, задачу аналитического продолжения заданных на поверхности Земли физических полей в нижнее полупространство, которая используется для выделения возмущающих объектов, дискретный метод редуцирует её к задаче составления и решения СЛАУ.
Следует отметить, что попытка непосредственного применения дискретного метода к задаче аналитического продолжения приводит к проблемам постановочного характера. Дело в том, что в классической постановке задача по восстановлению значений гравитационного поля по заданным дискретным измерениям («задача Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате» - двумерный случай) решается неустойчиво, т. к. на практике исходные данные (результаты гравиметрической съемки) бывают заданными не на всем прямоугольном контуре, охватывающем аномалиеобразующие объекты, а лишь на его части (как правило, на дневной поверхности). Была разработана методика, которая позволила, во-первых, добиться устойчивого решения возникающей здесь СЛАУ; во-вторых, оценить точность восстанавливаемых значений поля [14,15,3,10,11]. Ниже приводится модельный пример, иллюстрирующий применение дискретного метода, в котором в качестве возмущающего объекта принимается прямоугольная призма.
Решением прямой задачи для прямоугольной призмы сечения 2.4x2.1 км в плоскости Охг и бесконечного простирания в направлении оси у (двумерный случай) находятся «входные» значения поля вертикальных градиентов гравитационно-дУ
го потенциала ------, расположенные на
дг
уровнях г = 0 и г = -А ( ось г направлена вниз). Аналитическое продолжение осуществляется в нижнее полупространство в заданный горизонтальный слой (прямоугольник), нижняя отметка которого находится на глубине 4 км. Длина профиля
заданных значений поля на уровнях г = 0 и 2 = -Ъ равна 32 км; шаг сетки Ъ\ = /г 2 =
0.2 км, так что число точек наблюдений (заданий) равно 161(на одном уровне). Расстояние от г = 0 до верхней кромки призмы 4 км. Таким образом, число уровней, на которых определяются искомые значения аналитически продолженного в
дУ
дискретнои постановке поля ------ и значе-
дг
ния поля, полученные решением прямой задачи, будет равно 20. Следовательно, число искомых неизвестных здесь равно 161x20 = 3220, а число уравнений, очевидно, будет равно 159x20x2 = 6360, т. к. дискретное уравнение Лапласа СХ-и +0)% + С1имл +С1м,.ы +С1иа+1 =0(1)
рассматривается совместно на 2 шаблонах «прямой крест» и «косой крест» во всех внутренних точках профилей на уровне 2 = 0 и во всех внутренних точках е
1пЩ^ заданного горизонтального слоя.
Коэффициенты в уравнении (1) С1=1, С0=-4 для обоих шаблонов.
При проведении расчетов удобны следующие обозначения:
(Лу ) — >
~ и1+Ък > и5(х5-Ье1) = и1_1к; (2)
(и5(х5 + /2^2) — £// ,к+\ ,
(^"5 — ) — 1 ’
где Хя -узлы сетки (х5 е 1пЩ^); Ь - шаг
сетки; в1 с 2 - единичные векторы в направлении осей х,2 соответственно.
Таким образом, возникает переопределенная система линейных алгебраических уравнений
Аи = Гб, (3)
где размерность матрицы А= 6360x3220, а размерность вектора Г§= 6360х 1 (из которых ненулевых, очевидно, всего 636 компонент). Обозначение вектора правой части в виде означает, что в общем
случае заданные значения поля могут быть осложнены помехой.
Для решения прямой задачи, т. е. нахо-
дУ
ждения точных значении поля -------- в уз-
дг
лах заданной области П\- и заданных значений поля на уровнях г = 0иг = -/гс помощью формулы (4), была составлена компьютерная программа ргОс1АЫ
хІп( Xі +11) + 2 гаг^:
(4)
Решения прямой задачи [ 1 ] на уровнях г = 0 и г = -к используются в качестве «измеренных» значений в модельных условиях, решения прямой задачи в узлах заданной области П\- используются для оценки точности восстанавливаемых значений поля. Избыточная плотность <7 принималась равной 0,1 г/см , гравитаци-
9 3 12
онная постоянная/= 66,7x10" см хг" хс" , размерность значений гравитационного
дУ~
поля
дг
= см/с"'
Для формирования матрицы А и вектора ^ в правой части уравнения (3) были
составлены программы (соответственно рг 606 и рг 607) при рассмотрении дискретного уравнения Лапласа на составном шаблоне «прямой крест» и «косой крест». Матрица А в СЛАУ (3) очень сильно разрежена. Фактически при проведении различных вычислительных экспериментов с использованием различных аппроксимаций уравнения Лапласа было выяснено, что в строках матрицы А операторного уравнения Аи = Г8 могут находиться от 1 до 25 ненулевых элементов, тогда как общее число элементов в строке может составлять несколько тысяч. СЛАУ (3) решалась с использованием пакета программ БРМ, разработанного на основе метода итерационного типа [13]. Время решения СЛАУ с матрицей А = 6360x3220 и вектором правой части Г8= 63 60 х 1 составило 00:19:25 (ноутбук БЕЬЬ, процессор АМО Типоп, тактовая частота 2 Ггц). Результаты расчета по восстановлению значений поля приведены в табл. 1.
Как видно из табл. 1, на глубине, равной шагу сетки (200 м) от уровня г=0, относительная погрешность равна 2,293888 10"5, т.е. восстановленные значения поля отличаются от точных в среднем на 0.002 %, а на глубине, расположенной выше отметки верхней кромки пласта на 1 шаг сетки (т.е. на глубине 3.8 км), это отличие составляет порядка 3%.
Эти же результаты расчетов в графической форме приведены на рис.1. Аномальные кривые, построенные для восстановленных значений поля, также свидетельствуют о высокой точности, с которой получены значения поля при аналитическом продолжении в нижнее полупространство, а их форма ничем не отличается от формы кривых, полученных в результате решения прямой задачи гравиразведки
Таким образом, результаты расчетов показывают, что при аналитическом продолжении с использованием дискретного уравнения Лапласа поле восстанавливается в нижнем полупространстве вплоть до верхней кромки возмущающего объекта практически с любой априорно заданной точностью. Для этого достаточно взять подходящие (оптимальные) длину шага сетки и длину профиля (но, очевидно, точное решение не принадлежит области получаемых приближений) . Позже, используя методы функционального анализа, была теоретически доказана сходимость используемых здесь дискретных схем к точному решению при неограниченном уменьшении шага сети [6].
Далее модельные исследования проводились в условиях, когда аналитическое продолжение заданных значений поля в нижнее полупространство происходит до отметок ниже верхней кромки возмущающего объекта, т.е. когда значения поля восстанавливаются в многосвязных сеточных областях или всюду в заданной области в нижнем полупространстве за вычетом областей, занятых возмущающими массами.
Таблица 1. Относительные погрешности восстанавливаемых значенгш поля при аналитическом продолжении
№ Глубина, км Относительная погрешность |^.ТОЧ ^.ВЫЧ Р ' 1».
Т хточ Е
Шаблон “прямой крест”+”косой крест”
1 0,2 2,293888 Е-005
2 0,4 6,358421 Е-005
3 0,6 1,213529 Е-004
4 0,8 1,990522 Е-004
5 1,0 3,024380 Е-004
6 1,2 4,395415 Е-004
7 1,4 6,225612 Е-004
8 1,6 8,703333 Е-004
9 1,8 1,210503 Е-003
10 2,0 1,681312 Е-003
11 2,2 2,334194 Е-003
12 2,4 3,239488 Е-003
13 2,6 4,494939 Е-003
14 2,8 6,239593 Е-003
15 з,о 8,673592 Е-003
16 3,2 1,208882 Е-002
17 3,4 1,691917 Е-002
18 3,6 2,383403 Е-002
19 3,8 3,394990 Е-002
Рис. 1. Кривые восстановленных значенгш аномального гравитационного поля (в 161 точке на каждом уровне) при шаге сетки, равном 200м на 20 уровнях: от 0.2 км до отметки, отвечающей положению верхней кромки 4км (всего 20 кривых) (для удобства чтения каждые 5 аномальных кривых окрашены в два различных цвета)
В результате проведенных вычислительных экспериментов установлено, что на отметках ниже верхней кромки аномалиеобразующего тела начинается распад поля. Полученный результат при аналитическом продолжении поля ниже верхней кромки тем не менее содержит в себе полезный вывод: начало распада поля можно связать с прохождением отметки верхней кромки и таким образом получить правило для определения положения верхней кромки гравитирующего объекта. Этот результат вместе с другими послужил предпосылкой к созданию технологии определения контура аномалиеобразующего объекта, имеющей уже практические приложения. Отметим здесь же, что положение верхних особенностей гравитирующего объекта по оси х можно определить построением функции, подобной функции Березкина[9].
Как уже было сказано, изложенные результаты пересчета поля в нижнее полупространство были использованы при разработке технологии выделения и окон-туривания в разрезе локальных гравитирующих объектов. Для решения задачи оконтуривания из программных модулей был собран пакет программ «СгАпМ». Программная часть: каждая задача разбивается на подзадачи, которые решаются отдельно при помощи исполняемых модулей. Модули написаны на языке С. Общая схема решения подзадачи: на вход исполняемому модулю подаются текстовые файлы с некоторой информацией, используя которую формируется выходной файл с результатами работы модуля. Общие входные параметры: шаг сетки, длина профиля, гравиметрические данные (а также размеры гравитирующего объекта, глубина его залегания и избыточная плотность в модельных примерах) расположены в текстовом файле.
Приведем теперь описание технологических этапов определения особых точек и контура аномалиеобразующего тела в режиме реального времени с использованием пакета «СгАпМ» :
1. Исходные данные - результаты гравиметрической съемки, взятые по профилю, как правило, с неравномерным шагом измерений - пересчитываются в узлы равномерной сетки и по необходимости -в узлы сетки с меньшим шагом с использованием сплайн-интерполяции. Полученные значения гравитационного поля в узлах равномерной сетки пересчитываются в верхнее полупространство в узлы сетки с тем же шагом с использованием интеграла Пуассона.
2. Выбираются отметки г в нижнем полупространстве (в долях от заданной длины профиля) и осуществляется аналитическое продолжение заданных значений поля до этих отметок с составлением и решением соответствующих систем линейных алгебраических уравнений. Вектор решения СЛАУ разбивается на под-векторы, отвечающие уровням глубин в нижнем полупространстве, каждый из которых расположен на расстоянии шага сетки от соседнего. По значениям поля на каждом уровне строятся аномальные кривые и графики функции, подобной функции Березкина (начиная со 2-го уровня от поверхности Земли).
3. Определяется с высокой точностью (которую можно увеличить, переходя к более мелкой сетке) положение верхней кромки гравитирующего объекта. При этом учитывается, что при переходе через отметку, соответствующую верхней кромке аномалиеобразующего объекта, в аномальных кривых по периферии начинают зарождаться дополнительные колебании (осцилляции).
4. После определения положения верхней кромки возмущающего объекта находятся координаты верхних особенностей построением функции, подобной функции Березкина.
5. Определяется положение центра тяжести гравитирующего объекта как отметки, до прохождения которой при аналитическом продолжении вторичные колебания в аномальных кривых пока еще не достигают значительных амплитуд.
6. Положение нижней кромки аномалиеобразующего тела определяется приближенно по положениям верхней кромки, верхних особенностей и центра тяжести тела с привлечением имеющейся априорной информации.
Модельный пример, рассмотренный выше, в ряде других многочисленных модельных исследований [2,3,4,5] относится к случаю одиночных возмущающих тел однородной плотности. С практической точки зрения гораздо больший интерес, о
очевидно, представляет выделение неоднородных по плотности распределений. В недавних модельных экспериментах, проведенных для таких распределений [7,8] ,было установлено, что закономерности, отмеченные при восстановлении значений поля для одиночных тел однородной плотности, аналогичны для неоднородных по плотности распределений. Таким образом, технология оконтуривания (пп. 1-6) применима и здесь за исключением п. 6,
16 Х,км
8.0
Ж
4.0
2.П 2.18 2 Да
2.53 2.25
Рис. 2 Расчетная схема модельного примера кусочно-однородного разреза(сечение 16x2км) е двумерном случае
где для установления положения верхней кромки, помимо условий указанных в соответствующем пункте, потребуется учет априорной информации и опыт интерпретатора.
В ходе модельных исследований для неоднородных распределений плотности было также установлено, что указанная технология позволяет определять положение верхних особенностей отдельных тел (однородных по плотности), слагающих данный кусочно-однородный разрез. В связи с этим был поставлен вычислительный эксперимент, целью которого было нахождение плотностных характеристик для уже выделенных границ в разрезе с использованием данной технологии (с той или иной степенью приближения). Пред-
положим, что нам известен априори заданный конечный набор плотностей (из 8 значений) для данного района исследований, что вполне возможно в реальных физико-геологических условиях. Априори заданный набор увеличивающихся с глубиной плотностей представляет собой значения: 2.1, 2.17, 2.24, 2.31, 2.38, 2.45, 2.52, 2.59 г/см3.
На рис. 2 представлен двумерный кусочно-однородный разрез, состоящий из набора прямоугольных призм, характеризующий 5 слоев однородной плотности от 2.11 до 2.25 г/см . Геометрические размеры разреза (призматического фрагмента геологической среды) указаны на рисунке, шаг сетки /?1 = /?2 = 0.4 км, расстояние от г = 0 до верхней кромки аномалиеобра-
зующего пласта 4 км. Для этого разреза с набором плотностей от 2.11 до 2.25 г/см решалась прямая задача по формуле (4)
дУ
по нахождению значении поля ---------- в
дг
точках, расположенных на уровне г=0. Найденные значения гравитационного поля принимаются в модельном примере в качестве «наблюденных».
Постановка задачи выглядит следующим образом: получить значимые решения для интерпретационных моделей раз-
резов кусочно-однородной структуры путем прямого перебора всех возможных вариантов моделей, состоящих из 5 слоев и 8 наборов плотностей. Количество в 5 слоев выбирается исходя из необходимости оптимизации времени расчета: если разрез состоит из 5 слоев , то следует решить 85= 3 2 7 68 прямых задач, а если разрез состоит, например, из 8 слоев, надо решать уже 8 (что примерно равно 16x106) прямых задач гравиразведки, что резко увеличивает время счета.
Таблица 2. Относительные погрешности в среднеквадратичной метрике между «наблюденными» значениями и решениями прямой задачи для интерпретационных моделей из 4 класса эквивалентности
№ Плотиостиой состав интерпретационных моделей, принадлежащих к 4-му классу Относительная погрешность |хточ Хвыч У~ ||хточ|| II Не
1 2.1 2.1 2.31 2.52 2.52 4.35146556278964Е-08
2 2.1 2.1 2.31 2.59 2.45 5.1909576865242Е-08
3 2.1 2.1 2.38 2.38 2.59 4.1920575544551Е-08
4 2.1 2.1 2.38 2.45 2.52 5.46288653639013Е-08
5 2.1 2.1 2.45 2.31 2.59 5.76107322622971Е-08
6 2.1 2.17 2.17 2.59 2.52 4.19182790455427Е-08
7 2.1 2.17 2.24 2.45 2.59 4.19182790455427Е-08
8 2.1 2.17 2.24 2.52 2.52 5.80024670173613Е-08
9 2.1 2.17 2.31 2.38 2.59 6.1271546025346Е-08
10 2.1 2.24 2.1 2.52 2.59 3.96172506033659Е-08
11 2.1 2.24 2.1 2.59 2.52 6.16910726751234Е-08
12 2.1 2.24 2.17 2.45 2.59 6.52473637927171Е-08
13 2.17 2.1 2.1 2.59 2.59 8.99337695792759Е-08
14 2.17 2.1 2.17 2.59 2.52 3.90798825656027Е-08
15 2.17 2.1 2.17 2.59 2.52 6.62538179169598Е-08
16 2.17 2.1 2.24 2.45 2.59 7.01255728258207Е-08
17 2.17 2.17 2.1 2.52 2.59 7.47634783576381Е-08
Множество всех получаемых интерпретационных моделей распределяется по 4 классам эквивалентности. В качестве критерия, классифицирующего полученное множество решений, принимается относительная погрешность в среднеквадратичной метрике между «наблюденными» значениями и решениями прямой задачи для данного плотностного состава разреза (1-й класс, если относительная погреш-
ность А > 10'3 ; 2-й класс - 10'5 < Д< 10'3 ; 3-й класс - 10'5 < Д< 10'3; 4-й класс -
у
Д<10" ). Расчеты показали, что интерпретационные модели расположились по классам эквивалентности следующим образом: 1-й - 13243 моделей, 2-й - 17321 моделей, 3-й - 2179 моделей, 4-й - 17 моделей.
Очевидно, что в качестве значимых решений следует рассматривать интер-
претационные модели из 4-го класса эквивалентности с минимальной относи-
£
тельной погрешностью порядка 10" . Здесь нет неприемлемых результатов, когда все 5 слоев имеют одинаковую плотность и т.п. (они попадают в другие классы эквивалентности).
Наиболее близок к искомому разрез, расположенный в 5-й строке табл. 2 (напомним, что искомый разрез с набором плотностей слагающих его горизонтальных слоев 2.11,2.18, 2.46, 2.53, 2.25 не входит в априори заданный набор плот-
ностей). Небольшая разница между искомым разрезом и результативным, выделенным в таблице (плотности в 4-м и 5-м нижних слоях поменялись местами) давно отмечена в гравиметрии: гравитационный эффект от погребенного нижнего слоя с меньшей плотностью перекрывается гравитационным эффектом от вышележащего слоя с большей плотностью. Весьма вероятно, что можно получить однозначное решение задачи, если слои в разрезе расположить так, чтобы они не перекрывали друг друга.
6. Арсанукаев 3.3. Теорема о сходимости дискретных схем к точному решению в задаче восстановления значений гравитационного поля // Материалы 39-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Воронеж, 30 января - 2 февраля
2012) / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж,
2012. С.14-17.
7. Арсанукаев 3.3. О возможностях организации технологии выделения перспективных разрезов в виде замкнутого технологического цикла // Материалы 40-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Москва, 38 января - 1 февраля
2013). М., 2012. С.33-38.
8. Арсанукаев 3.3. Выделение и оконтури-вание гравитирующих объектов современным методом пересчета гравитаци-оннного поля в нижнее полупространство // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле.
2013. № 1. Вып.21. С. 111-121.
9. Березкин В.М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. М.: Недра,1978. 264 с.
10. Иделъсон Н.И. Теория потенциала и ее приложения к вопросам геофизики. Л.; М.: ГТТИ, 1932. 348 с.
11. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 380 с.
12. Страхов В. Н. Будущее теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Комплексные исследования
Библиографический список
1. Андреев Б. А., Клушин И.Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. Л.: Недра, 1965.495 с.
2. Арсанукаев 3.3. О некоторых вычислительных экспериментах, проведенных с использованием методов теории дискретных физических полей при решении задач гравиметрии в двухмерном случае. Ч. 1-2. Аналитическое продолжение в нижнее полупространство выше источников поля // Материалы 30-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Москва, 27-31 января 2003 г.). М.: ОИФЗ РАН, 2003. С. 12-15.
3. Арсанукаев 3. 3. Вычисление пространственных элементов аномальных полей с использованием методов теории дискретных гравитационных полей // Физика Земли. 2004. № 11. С. 47-69.
4. Арсанукаев 3.3. Аналитическое продолжение заданных значений гравитационного поля в дискретной постановке через источники в двумерном случае // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. 2009. № 1. Вып. 13. С. 47-57.
5. Арсанукаев 3.3. О решении задачи пересчета вниз заданных значений гравитационного поля с использованием пакета программ «СгАпМ» // Материалы 37-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Москва, 25-29 января 2010 г). М.: ИФЗ РАН, 2010. С.29-34.
по физике Земли. М.: Наука, 1989. С. 68-87.
13. Страхов В.Н., Страхов А.В. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии М.: ОИФЗ РАН. 1999. 40 с.
14. Страхов В. Н., Арсанукаев 3.3. Использование метода дискретного потенциала в задачах гравиметрии и магнитометрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных,
магнитных и электрических полей: материалы 28-й сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского, Киев, 20 января - 2 февраля 2001 г. М.: ОИФЗ РАН, 2001. С. 102-104.
15. Страхов В. Н., Арсанукаев 3.3., Страхов А. В. Использование методов теории дискретных гравитационных и магнитных полей при интерпретации аномальных полей // Геофизика и математика: матер. 2-й Всерос. конф. (Пермь, 1-14 декабря 2001 г.) / ГИ УрО РАН. Пермь, 2001. С. 272-274.
New Technologies at the Decision of a Problem of minerals resources search
Z. Z. Arsanukaev3, E. G. Rudakovskajab
“Institute of Physics of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Bolshaya Gryzinskaya St., 10. E-mail: zaindy@mail.ru bThe RCTU of a name of D.I. Mendeleev, Moscow, Miusskaya sq., 9. E-mail: rudeg@list.ru
Researches are connected with the modern approach at the problem of allocation of perspective cuts by the decision of systems of the linear algebraic equations of the big usages. It is shown on a modeling example as discrete Laplace equation with software package «GrAnM», use is sebbled. Results of calculations are visualized in the form of schedules of the abnormal curve restored values of a gravitational field that allows interpreting the results of computing experiments in the evident form.
Key words: gravitation measurements, analytical continuation, Laplace's equation, system of the equations, density, accuracy, object.
Рецензент - доктор физико-математических наук А. С. Долгалъ
