CC BY
30
ОБЩЕСТВО
НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИСТОРИИ Мазуров Вл.Д.
Рассматриваются концепции выбора вариантов, процессов обмена, а также операции диагностики и прогнозирования производственных систем. Используются обобщения моделей Леонтьева и Неймана. Исследование выполнено в рамках междисциплинарной программы УрО РАН «Историческая динамика России: факторы, модели, прогнозы».
NEW DIRECTIONS IN THE ECONOMIC HISTORY Vl.D. Masurov
Concepts of variation choice, exchange processes and operations of diagnostics and forecast are examined in the article. Generalization of Leontiev's and Neumann's models are involved. The research is implemented under inter-disciplinary program of the Urals Department of RAS 'Historical dynamics of Russia: factors, models, forecasting'.
В экономической истории существенны понятия выбора вариантов, обмена, диагностики и прогнозирования. В принципиально важной и сложной проблеме обмена есть удивительная глубина, она притягивает исследователей. В прошлом веке знаменитые классические линейные модели международного обмена (такие, например, как модели Д. Гейла, они, впрочем, и сейчас являются отправной точкой для обобщений) в определенной мере улавливали эффекты международного сотрудничества. Они описывали условия равновесия в этой сфере. Равновесие крайне желательно, но оно недостижимо в простой форме. Оно сложно и противоречиво. Оно может быть и циклическим равновесием, и равновесием динамического роста. Сейчас в исследовании процессов обмена, как и в самом обмене, все сильно усложнилось и ускорилось. Возникают гигантские биотехноценозы, происходят институциональные преобразования, возрастает роль обмена информацией как внутри региональных экономик, так и между ними. Процессы обмена становятся не-
линейными и неустойчивыми. И статическая модель, описывающая равновесное состояние обмена через систему линейных неравенств (как у Гейла) или через выпуклые отображения (как у Эрроу), должна уступить место более общей модели
х(1 + 1) е Р(х(1:) + Н(х(£), £ = 0,1,..., хе М,
с многозначным нелинейным отображением F и стохастической составляющей Н. Здесь х - вектор состояния обмена - элемент многомерного пространства, t - дискретное время (номер периода). Статическое равновесие - неподвижная точка
х е Р(х~), хе .N1
среднее значение Н(х) - нулевой вектор.
Это равновесие если и существует, что вовсе не обязательно, то может не иметь особенно большого значения, так как оно может быть неустойчивым и так как на самом деле важна равновесная динамика или приближение к ней. Крайне сложна проблема идентификации отображения F, но она решаема с применением распознавания обра-
зов, нейронных сетей и генетических алгоритмов поиска эффективных состояний.
Вообще, рассматриваемые экономико -математические модели истории разделяются на две группы. В одну из них входят модели, служащие для исследования общих качественных свойств экономических систем. Коэффициенты, параметры и признаки объектов в таких моделях не обязательно оценивать по эмпирическим данным. Например, когда речь идет об улавливании эффектов обмена между большим числом подсистем. Это собственно относится к экономической теории. Во вторую группу входят модели, в которых коэффициенты зависимостей поддаются их идентификации по эмпирическим данным, по наблюдениям. Мы здесь рассматриваем обе группы моделей.
Заметим, что в линейной модели обмена мы полагаем, что х(]) - доход ] - го региона (или страны), х = [х(1),...,х(п)]*, * -знак транспонирования, п - число стран, х -вектор - столбец. Далее предполагается, что а(у) - доля этого дохода, тратимая на импорт из i - го региона (страны). Обозначим через А неотрицательную п х п - матрицу [а(у]. Тогда можно записать баланс
Здесь у, z - другие векторы экономической активности. В этом случае аппарат линейного программирования позволяет найти равновесие в форме совпадения результатов обмена с соответствующими стоимостными показателями. И даже вычислить цены равновесия. Но на самом деле нелинейность возникает сразу же, причем совершенно естественно, и ее необходимо учитывать уже по той причине, что реально коэффициенты а(у) зависят от х, у, z.
Непосредственным важным обобщением является модель
В к(Ъ + 1) + £(Х)^ А к(Х) -г у^) -г Н®.
Здесь i может быть равно 0, 1, 2, ... Таким образом, может учитываться запаздывание.
Процессы обмена можно также моделировать с помощью стохастических дифференциальных уравнений и, конечно, разностных уравнений.
Процессы обмена все более характеризуются неустойчивостью и даже некоторой неопределенностью, эффекты обмена нелинейны. Возникают противоречивые ситуации, при описании которых для соответствующих противоречивых моделей оптимизации и диагностики приходится исследовать циклы возможных непротиворечивых подмоделей. Обмен связан с эффективным использованием пространства вариантов состояния экономики. Не все в экономике можно выразить символически, с помощью формул. Но если что-то можно записать строго аналитически, то это надо делать.
Итак, в процессах обмена важно учитывать пространственно-временные фак-то-ры. Пространственный аспект человеческой деятельности изучался с XIX века рядом не-мецких экономистов (Тюнен, затем Вебер и Изар). Однако и до сих пор это наименее исследованная область экономики и социологии. Фактически надо ставить вопрос об эффективном распределении человеческой деятельности в пространстве и времени, при этом в рассмотрение включается и обмени между территориями. При таком взгляде на вещи естественным образом возникает мысль о применении методов распознавания, математической диагностики и классификации, методов оптимизации и обучения (настройки) нейронных сетей. Имеются также достаточно хорошо схватывающие суть дела модели производственно-транспортных задач размещения и развития производства (А.Г. Аган-бегян, В.Л. Макаров и др.).
Использование пространства в экономике возможно на основе распознавания образов, так как с помощью соответствующих методов можно анализировать структуру возможных вариантов деятельности в многофакторном пространстве.
Вл.Д. Мазуров
Условия равновесия (статического и динамического) - одна из важных проблем математической экономики. В модели Вальраса - Эрроу - Дебре для равновесия требуется, чтобы пространство вариантов экономики обладало свойствами линейной структуры, топологии (непрерывность) и упорядо-чиваемости. Однако и этого недостаточно, чаще мы встречаемся с более или менее выраженным неравновесием. Одна из форм неравновесия системы - отсутствие согласованности между целями и ресурсами. В этом случае мы применяем обобщения понятия решения системы уравнений и неравенств на случай несовместности этой системы.
Равновесие - фундаментальная конструкция в математической экономике и в других областях (в физике и механике, в химии, геологии и т.д.). Это понятие больше относится к классическому периоду развития математической экономики. Более общими являются формы сингулярного равновесия или вообще формы неравновесия. Исходные модели равновесия пришли из механики, где их удалось представить как чисто геометрические конструкции. Условия равновесия записываются как некая модель, двойственная к исходному состоянию системы. В оптимизации, где связи могут быть нежесткими и записываются не только как уравнения, но и как неравенства, эта линия ведет к теории двойственности для задач математического программирования.
Имеются модели двойственности (описывающие некоторые стороны фактического равновесия) в математической экономике, в общих моделях выбора и диагностики применительно к сложным системам. В наших работах [1,2] построена общая схема двойственности, объединяющая конструкции для задач оптимизации, исследования операций и распознавания образов. При этом модель двойственности использует аналоги функции Лагранжа. В Институте математики и механики Уральского отделения РАН мы в рамках проекта РФФИ - Урал рассматриваем сравнительную равновес-
ную динамику территорий, обмен между ними, их диагностику и прогнозирование.
Для моделирования зависимостей в моделях равновесной динамики мы используем нейроматематику.
При широком взгляде на нейроматематику можно сказать, что в этой сфере находятся математическая теория, модели и алгоритмы распараллеливания процедур обработки данных и знаний. Речь идет, в частности, о представлении зависимостей через суперпозиции функций. Сюда примыкают также итерационные процессы, для которых изучается сходимость к аттракторам. Другое направление связано с грамматикой классов объектов. На нейронные сети можно также смотреть как на средство согласования индивидуальных решений и как на средство установления связи между глобальными свойствами и локальными. И, наконец, как на новый эффективный аппарат факторного анализа.
Все эти подходы объединяются идеями самообучения и самонастройки алгоритмов, а также согласованием отдельных алгоритмов. Поэтому к данной области относится и теория комитетных конструкций. Фактически эта теория рассматривает процессы обучения слоистых нейронных сетей.
Нейроматематика и нейрокомпьютеры -это теория и практика применения нейронных сетей в вычислительной математике и логике, когда речь идет о сложных неформализованных системах. В теории нейронных сетей решается вопрос о представлении решений задач в нейросетевом базисе. Нейросетевой базис образуется линейными пороговыми функциями (каждая такая функция есть сигнум или сигмоид от аффинной функции), далее получаем суперпозиции таких функций.
Есть несколько ветвей глубокой фундаментальной математики, которые используются в исследовании нейронных сетей. Одна из ветвей - теория и методы приближения функций. В методах обучения широко используется метод наименьших квадра-
тов и его модификации. В этой области актуально разложение решений по специальным классам функций. Настройка соответствующей нейронной сети выливается в подбор коэффициентов разложения.
Распознавание образов тесно связано с нейросетями. Есть детерминированные модели распознавания, но теория распознавания позволяет решать и проблемы стохастического моделирования. Использование распознавания образов в комбинации с регрессионным анализом привело к новым типам моделей - классификационным и кусочно-линейным. Нахождение скрытых зависимостей в базах данных - это основа задач моделирования и обработки знаний, в том числе для объекта с трудно формализуемыми закономерностями.
Рассмотрим пример. В ситуации обмена задачу сравнения предприятий можно понимать либо как задачу ранжирования предприятий, либо как задачу выбора наиболее предпочтительного объекта из некоторого их множества. Практика показала, что методы, основанные на использовании априорных весов факторов и поиске объекта, отвечающего максимальной взвешенной сумме факторов, приводит к необъективным результатам. Веса - это то, что надо определить, в этом и состоит задача. Причем наборы весов локальны - каждый из них годится только для данной конкретной задачи.
Нейросети нужны для самоорганизации системы обработки данных. Мы применяем нейронные сети для моделирования эмпирических зависимостей Но мы должны обосновать применимость нейронных сетей к таким задачам. Это называется проблемой плотности нейронных сетей в пространстве всех зависимостей: для любой кусочно непрерывной зависимости и любой заранее заданной степени точности найдется нейронная сеть, моделирующая эту зависимость с заданной точностью. Мы доказали плотность слоистых нейронных сетей с пороговыми аффинными нейронами на основе метода комитетов [3].
Поэтому теперь рассмотрим применение комитетных конструкций в задачах выбора и диагностики. Идея состоит в том, чтобы вместо одного решающего правила искать коллектив решающих правил, этот коллектив вырабатывает коллективное решение в силу процедуры, обрабатывающей индивидуальные решения членов коллектива. Так, например, комитет системы неравенств (которая является моделью равновесной динамики) - это такой набор элементов, что каждому неравенству удовлетворяет большинство злементов этого набора. Комитетные конструкции - некоторый класс обобщений понятия решения для задач, которые могут быть как совместными, так и несовместными. Это класс дискретных аппроксимаций для противоречивых задач, их можно также соотнести с размытыми решениями. Метод комитетов в настоящее время определяет одно из направлений анализа и решения задач эффективного выбора вариантов, оптимизации, диагностики и классификации.
В процессе эксплуатации метода комитетов выявились такие его важные для прикладных задач свойства, как эвристичность, интерпретируемость, гибкость - возможность дообучения и перенастройки, возможность использования наиболее естественного класса функций - кусочно-аффинных, причем для постановки задачи классификации требуется, чтобы один и тот же объект не был отнесен к разным классам.
Другая сторона вопроса о комитетных конструкциях связана с понятием коалиций при выработке коллективных решений, при этом ситуации резко различаются в случае коллективных предпочтений (здесь много подводных камней) и в случае правил коллективной классификации, в этом случае процедуры можно строго обосновать и они имеют более широкие возможности. Поэтому важно уметь сводить задачи принятия решений и задачи прогнозирования к классификационным задачам.
Вл.Д Мазуров
При диагностике и прогнозировании предприятий часто используются веса факторов, которые даются экспертами, а далее проводится голосование мнений экспертов. Однако такие процедуры могут быть некорректными, и существует аппарат построения корректных процедур.
Нами показано, что при сведении задачи к классификационной можно строить коллективы экспертов (комитеты), корректно решающие задачу диагностики методы обучения нейросетей в двух слоях, а затем метод комитетов позволил получить точные результаты и обоснованные процедуры обучения, которые позволяют решать широкий класс задач, сводимых к разделению конечных множеств с единственным требованием непустоты их пересечения.
В наших работах мы выдвинули прецедентно-классификационный принцип, применение которого позволяет избежать противоречий выбора. Предлагается следующая схема: задача принятия решений сводится к задаче классификации или к обучения распознаванию на основе прецедентов. Далее задача классификации сводится к системе линейных неравенств, которая может быть несовместной. Для этой системы находится комитетное решение, которому соответствует корректное решающее правило диагностики.
Решение почти любой задачи можно представить в виде схемы:
Задача Z -> параметризатор S -> х = [xl,...,хп]-> решатель -> arg Z = f(x). Решатель - это компьютер того или иного вида. Вместо того, чтобы говорить об алгоритме решения задачи Z из класса З, будем говорить об алгоритме, позволяющем с помощью программы П восстанавливать по последовательности (коду) х из Х последовательность (код) y = argZ, у - из Y
Этот круг вопросов связан с идеей расщепления сложной задачи в сеть простых задач. Спрашивается, можно ли синтезировать решение большой сложной задачи из множества решений подзадач.
В рамках теории комитетов изучается взаимодействие алгоритмов - в последовательной схеме (комитеты старшинства) и в параллельной схеме (комитеты большинства). Этот вопрос связан с нейросетями.
Проблему полноты в нейросетевом базисе описал А.Н. Горбань [7]. Проблему полноты в комитетных нейросетях исследовал Вл.Д. Мазуров [3].
Для нейросетей доказана их полнота: возможность моделирования любой непрерывной функции нескольких переменных, заданной на компакте.
Использование коллективов решающих правил есть создание надежных решений из ненадежных правил.
Экспертизы и выбор, диагностика и классификация, прогнозирование и сжатие информации - это задачи, требующие применения нейронных сетей. Одна из основных моделей в этой области: оптимизация, включающая нейросетевой блок. Эффективное использование экспертиз, исходящих из ряда источников, реализуется на основе метода комитетов, который и сам по себе естественно описывается на языке слоистых нейронных сетей. Согласование мнений экспертов - это особая отдельная важная задача в принятии решений, в том числе в экономике и социологии. Она связана как с моделированием отношений различной арности, так и с согласованием комплексов задач распознавания и экономического управления. Это важно, в частности, для моделирования организационных сетей. Для моделирования ценностей с использованием, в частности, аппарата двойственности.
Рассмотрим понятие группового выбора [1,2].
У нас есть индивидуальные мнения о предпочтениях между объектами. И мы строим из них групповое предпочтение. Задача: определить, какая форма группового предпочтения справедлива или разумна. Обобщение: у каждого индивидуума есть свой набор данных. Надо от них перейти к
единому компактному набору данных. Как это сделать разумно?
Примеры агрегирования индивидуальных данных можно представить в следующей схеме:
№ Индивидов. Их данные. Задачи.
1. Эксперты. Их оценки. Анализ экспертных оценок.
2. Члены. Их голоса. Моделирование голосования коллектива.
3. Потребители. Их предпочтения. Теория потребительского спроса.
4. Наименования. Значения показателей. Принятие решений по показателям качества многих критерий.
5. Признаки, порождаемые ими. Задача классификации и разбиения объектов диагностики.
6. Члены комитета. Их решения. Теория комитетов.
7. Нейроны. Их реакции. Теория нейросетей.
Более конкретные примеры:
1. Результаты работы конкурсных комиссий.
2. Работа законодателей по согласованию нескольких альтернативных законопроектов.
3. Работа экспертов - они ранжируют новые промышленные изделия по степени эффективности их внедрения.
Простейший способ задания предпочтений между вариантами - это их ранжирование, упорядочение по убыванию их предпочтительности. Еще проще задача, когда можно предложить и относительную оценку Да) предпочтительности каждого варианта или объекта а. При этом если А - это множество объектов, то Д есть отображение: А а R.
В простейшем случае: из функций индивидуальных предпочтений Д1,.,Дт ( где т -число индивидуумов) мы создаём групповое предпочтение Д Д = ф( А,... ,Дт). Это есть некоторая нейросеть. В методе комитетов
сами функции й подбираются или синтезируются, тогда происходит синтез формальных нейронов и нейросети из них.
Настройка нейронных сетей основана на идее распараллеливания и декомпозиции решения задач. Между тем и сама настройка может проводиться с использованием декомпозиции, но уже самой нейронной сети: мы настраиваем сначала блоки сети, а потом связи между блоками.
Существует актуальная задача обеспечения устойчивого развития - социального, экономического и экологического, во взаимосвязи этих составляющих. Речь идет о сбалансированной динамике всех сфер человеческой деятельности.
Рассмотрим одну модель социальной динамики. Пусть М - множество социально-экономических объектов. Объекты представлены как элементы в признаковом про-стран-стве. Имеется разбиение множества М на таксоны Мі (і = 1,.. ,,т). Модель динамики социально-экономической системы описывает эволюцию таксонов.
В проблеме динамики территорий есть тема развития городов. Урбанизация характерна для современности, этот процесс набирает темпы. Урбанизация - центральная тема региональной науки, науки о территории. Укрупнение городов, их слияние и агломерация связаны с наиболее сложными задачами в рамках системного подхода. Действительно, речь идет о совокупности материальных и организационных структур, существующих в их тесной взаимосвязи. Поэтому здесь необходим аппарат искусственных нейронных сетей, настраиваемых на адекватное отображение динамики территорий. Формальные нейроны - подсистемы - могут быть задействованы в составе горизонтальных и вертикальных, прямых и обратных связей.
Модель динамики в общем виде: [х(^, х^+1]ЄМ, t = 0,1,2,...,К В данном случае мы детализируем модель, используя разбиение пространства и времени (например. для города) на элементарные ячейки в трех-
Вл.Д. Мазуров
мерном евклидовом пространстве R3. Тогда можно рассматривать балансы между ячейками, пространственные потоки и меж-поколенные (между поколениями - в актуарной математике), потоки строительства и потоки технологий (производства). В этом случае можно исследовать условия динамики и равновесия процессов обмена на основе методов абстрактной алгебры и функционального анализа. В пространстве состояний нам нужно тогда иметь линейную структуру, свойство частичной упорядоченности состояний и топологические свойства (последние позволяют использовать понятие близости объектов).
В основе математической экономики лежат выбор, диагностика и развитие. А в их основе - понятие различия. Интервалы классификации объектов - степени подробности отражения признаков, при которых объекты классов эквивалентны.
Математика в своей эволюции старается быть как можно более открытой для понимания. И притом предельно (насколько это возможно) рациональной и строго аргументированной. Математики стремятся излагать свои идеи все более ясно. Но почему-то в результате они все больше удаляется от нематематиков. Математика хочет быть открытой, но впечатление таково, что она как будто становится замкнутой. Как будто опять возникает герметическая школа Пифагора. Математики стараются как можно проще выводить свои конструкции из самых простых базисных элементов. Но парадоксальным образом именно достигаемые в математике простота, ясность и прозрачность ее конструкций служат психологическим препятствием для понимания. Человеку нужны детали, много лишних подробностей, чтобы возникало неформальное содержательное понимание.
В 1992 году на конференции "Экономический континуум" в Уральском государственном университете я сделал доклад "Пространство эффективных решений в противоречивых системах", где выдвинул есте-
ственную для математика (ибо в математике есть метаматематика) идею метаэкономики как науки о логических принципах экономической теории. Не будучи экономистом, но, обладая некторыми знаниями в области математической экономики, я говорил, разумеется, слишком абстрактно. Однако эту идею с интересом воспринял и поддержал профессор Уральского государственного университета известный экономист В.И. Олигин-Нестеров. Он говорил о важности этой проблематики в ряде предварительных публикаций. В частности, он включил этот раздел в программу курса теоретической экономики. Заметим, что естественное для экономиста эмпирическое рассмотрение экономических явлений может приводить к временному противоречию с теоретическим взглядом, с абстрактным рассмотрением проблем выбора.
Есть макро-, микро-, мезо-, мини - экономики. Ну, а методология экономической теории неизбежно приводит к метаэкономике. Имеются в виду основания теории, анализ самих исходных предпосылок. Один из существенных вопросов в этой сфере -виды существования экономических объектов и ситуаций, проблемы формализации экономических исследований. Необходимо также, применяя структуралистский подход, учитывать не только рациональные, но и внерациональные составляющие процедур принятия решений, выбор вариантов, управления. Нужно рассматривать реальные механизмы коллективных решений. И к основаниям экономического выбора относится психология лица, принимающего решение.
Так как в экономике существеннейшую роль играет математика, то значительным разделом метаэкономики должна быть метаматематика. Но это уже самый глубинный фундамент рациональных конструкций. В силу тактических соображений (а именно, учитывая, что экономисты предпочитают анализ конкретных экономических ситуаций) лучше говорить не о метаэкономике, а о логических принципах теоретических по-
строений в экономике. При этом нужно рассматривать и реально применяемые в практических задачах методы имитационных моделей, моделей распознавания, факторного анализа, нейронных сетей, генетических алгоритмов. Возникает необходимость обращения к экспертным системам с неклассической логикой вывода следствий из данных и знаний. Нужно исследовать основания дедукции и индукции, возможность нелинейных моделей, учета неформа-лизо-ванных и противоречивых факторов. Можно даже учитывать неформальное - через системы отношений. Можно расшивать противоречия. В отражении реальных экономических процессов предположение о рациональности имеет свои границы. Понятия прогресса, идеальных целей мало пригодны для описания социальной и экономической динамики. Если бы экономика была в большей степени похожа на системы, изучаемые физиками, то физические методы были бы применимы в экономике без больших изменений. Однако это не так, сходства мало. Преимущества физика - простота объектов его изучения. Физик-экспериментатор в существенной степени может задавать свойства изучаемых им систем. Не то в экономике. Фирма со всей ее экономикой, психологией и социологией сложнее молекулы.
Но если искать самые фундаментальные основы экономических явлений, то нужен минималистский подход. Так, например, экономическое равновесие по своей идее требует таких (минимальных) предположений о пространстве состояний экономических объектов, как линейная структура, непрерывность, упорядочиваемость. Это довольно ясно выражено в книге К. Алипран-тиса и других. «Существование и оптимальность конкурентного равновесия».
Метаэкономика - экономика сама по себе, по своей сути. И потому метаэкономика всегда под вопросом. Это вытекает из ее статуса. Метаэкономика - это подлинное эконо-мической теории. Ее начала - эконо-
мическое бытие и экономическая история. Метаэкономика готовит принципы экономики. Метаэкономика фундаментальна, она есть базис экономического мышления, она глубинна, подлинна. Метаэкономика есть экономическое мышление, экономическое становление и бытие.
Вообще же это один из важнейших разделов математической экономики - принцип динамики и равновесия сложных систем. Имеются различные математические модели, каждая из которых выделяет свои особые определенные стороны экономической деятельности:
- достижение равновесия или сбалансированной динамики через конкурентный рынок;
- равновесие через коллективные договоры;
- принцип прецедентности и обучение диагностике ситуаций принятия решений.
В этом случае мы должны учитывать следующие аспекты рановесия:
- равновесие на основе согласования функций спроса и предложения:
- равновесие на основе теории игр, ядерное равновесие;
- устойчивое равновесие - стремление цен к равновесным.
Модели, достаточно приближенные к реальности, должны синтезировать эти принципы, а также использовать формы упорядоченного диалога лиц, принимающих решения, друг с другом и с экспертными экономическими системами.
Я хочу здесь осмыслить мой спор с экономистами в УрГУ, неожиданно возникший в июне 2004 года. Впрочем, не столь уж неожиданный, просто появился повод: оценка магистерских диссертаций по экономике, а так я все время понимал, что у нас разные подходы, разный взгляд на роль математических моделей и особенно на роль их строгого математического анализа. Грубо говоря, основной вопрос: вот теорема - может ли она считаться вкладом в экономику? Экономисты склонны считать, что
Вл.Д. Мазуров
все это - только инструментарий. Между тем ясно, что теоремы Эрроу, Дебре, Канторовича - прямой и существенный вклад в экономическую теорию. В экономике только математика позволяет выйти за пределы непосредственно воспринимаемого. С другой стороны, как правило, математик плохо воспринимает непосредственную содержательную данность экономических явлений.
Вообще-то наше "Я" многогранно, оно многоаспектно, не едино, размыто - таково сейчас понимание вместо прежнего субъекта, который самотождественен. Наши размышления становятся неуловимо текучими не только в нашем потоке сознания, но и в наших публикациях. Стабильности нет ни в экономических явлениях, ни в их модельном отражении.
Я думаю, что расхождения во взглядах математиков и экономистов неизбежны. Это просто две разные культуры, это разные системы критериев. Это особенно явно, если сопоставить творчество конкретного экономиста в конкретной экономической отрасли (там прочувствован каждый показатель, каждый фактор) и такого адепта чистой математики, как Харди, который надеялся, что его работы никогда не найдут практического применения. Я думаю, что Харди был неправ. Действительно, его работы по теории чисел востребованы сейчас в теории кодирования. Да и диалог неизбежен, он и полезен ввиду этих расхождений.
И все-таки всегда отношения математиков с экономистами были сложными. Это видно из всей истории экономической мысли. Идеи Петти о математической статистике, даже такие естественные, отвергались. Идеи Вальраса, Джевонса отвергались Марксом и не только им: мол, это вульгаризация. Идеи субъективной полезности, предельной полезности отвергались марксистами и не только ими. Идеи Канторовича вначале (ну что значит вначале: в течение по крайней мере 30 лет!) были приняты в штыки. Б.М. Кедров вспоминал совещание статистиков 1954 года, на нем экономисты
и статистики пытались доказать, что ничего общего между статистикой экономической и математической нет и быть не может.
Особенно интересной и поучительной была дискуссия 1963 года между математиками и экономистами о роли двойственных оценок задач оптимизации в экономической теории. Тогда ставились и такие вопросы:
1) означает ли применение ЭММ отказ от марксизма;
2) приведет ли использование ЭВМ к эволюции советского строя.
Приходилось говорить: нет, нет, что вы! А на самом деле - да!
И даже несчастные деятели из журнала "Наш современник" в конце 1980 -х - начале 1990-х годов на волне профанических народных инициатив выступили с циклом статей против математической экономики. Ближе к нашему времени: в Екатеринбурге в УрГЭУ спор выдающегося молодого математика О.В. Матвеева с кафедрой общей статистики. Там некоторые договорились до того, что термины "математическая экономика" и даже "математическая физика" - нонсенс.
Но все это история. Отвергаемые вначале идеи органически вплетались в экономическую теорию. Давайте посмотрим, о чем шла речь в нашем совсем свежем споре. Здесь интересно еще то, что я был один против пяти экономистов, и они дружно отвергали мои принципы! Ну хоть бы один хоть в чем-то признал бы правомерность моих аргументов!
Мы спорили о том, каковы критерии оценки магистерских диссертаций по экономической теории. Я по ходу дела заметил, что создатели современной экономической теории - нобелевские лауреаты-математики, и новая математическая модель - это важный результат творчества, это должно сильно влиять на оценку диссертации. Итак, кто эти наши новые герои: это Леонтьев, Нейман, Канторович, Эрроу, Нэш, Марковиц, Самуэльсон. Но мне возражали: при-
чем здесь эти лауреаты? Мы обсуждаем вот эту работу Иванова (фамилия условная, но в работе исследовалась одна модель согласования индивидуальных решений)... Этот аргумент я, признаюсь, не понял. То есть я на самом деле не понял, что этим хотели сказать. Я действительно хотел бы понять, почему нельзя сослаться на критерии, по которым оценивалась, допустим, работа Эрроу. Мне кажется, что с этих ученых можно брать пример, они на самом деле строили экономическую теорию. Они дали кри-терии настоящей работы в этой сфере. Они прояснили основы экономической динамики и равновесия, они предложили методы объективной оценки факторов, слово "ценность" наполнилось более глубоким смыслом. Вроде бы (или мне только кажется) сквозила мысль, что Эрроу - это одно, это высоко, а здесь студенты, и речь идет всего лишь о магистерской степени. Но ведь именно кто-то из студентов - будущий корифей. Откуда еще они берутся?
Говорят, что в историко-экономических работах надо точно определять, что в них есть объект исследования и что есть предмет исследования. Но эти понятия неоднозначны, и в разных школах их трактуют по-разному В ЭММ - работах объектом может быть проблема, задача. Вообще, что есть объект - это изучает логика, и вопрос не только непростой - он фундаментален. Далее, в математике объектом может быть проблема (задача). И так же в математической экономике. Для математика это маленький кошмар: он доказал интересную теорему или предложил оригинальную модель, а теперь его спрашивают: каковы были цели и задачи, каковы предмет и объект исследования? В теории двойственности, например, объект - это пара двойственных задач оптимизации.
В принятии решений в практических задачах нужны изощренные методы, реа-ли-зованные в программных системах. Простыми средствами здесь не обойтись.
Это видно на многочисленных примерах экономических, медицинских, технических задач.
И в этих областях возникают не только трудности детального анализа, когда необходим современный математический аппарат. Там еще и социальная проблема. Практикам еще надо полученные результаты анализа объяснять, обосновывать на их языке. Я могу сослаться на свой опыт общения с экономистами, техниками, медиками, биологами. Всегда ощущается сопротивление материала, и приходится не только доказывать, обосновывать полученные выводы, но и самому их переосмысливать.
Основания математической экономики как науки о математических моделях динамики и равновесия экономических систем должны включать в себя:
- модели выпуклого анализа и топологии;
- модели распознавания, диагностики, классификации и нейронных сетей;
- модели согласования индивидуальных отношений предпочтения как с логической, так и с психологической точек зрения;
- модели логического вывода как дедуктивного, так и эмпирического;
- модели диалога.
Высока роль сопряженных или двойственных моделей выбора вариантов решений, так как везде присутствует рефлексия. Двойственные задачи для широкого класса задач, включая распознавание и обработку знаний, исследованы нами в рамках широкой схемы идеи двойственности и сопряженности.
Идея использования выпуклых конструкций в анализе динамики и равновесия объектов и ситуаций вполне закономерно и естественно приобрела основополагающее значение в современных исследованиях технико-экономических и природных систем.
Развитие теории экстремальных задач с учетом ограничений на векторы состояний, а также открытие условий раздели-
Вл.Д. Мазуров
мости множеств гиперплоскостью в 1940 году (эти условия математикам были известны и раньше, но важно, что экономисты внесли новое качественное понимание) дали возможность Нейману и Мор-генштерну, а позднее Эрроу и Дебре представить в новой более конструктивной и общей форме основные принципы модели равновесия Вальраса - можно отказаться от излишних и ограничительных предположений дифференцируемости. Выпуклость стала организующим принципом математической экономики. Решающий вклад в это преобразование теории был реализован в статье Дж. фон Неймана в 1937 году.
Упомянутая теорема отделимости множеств связана с теоремой Брауэра о неподвижных точках отображений (своего рода теоремой равновесия) и является просто интерпретацией известной в функциональном анализе теоремы Хана - Банаха. Но ее переот-крытие в 1940-х и 1950-х годах было важным, так как в разделяющих гиперплоскостях экономисты увидели поверхности равенства ценностей, а в разделяемых множествах - совокупности эквивалентных вариантов состояний - множества, ограниченные поверхностями безразличия.
Разделимость множеств совершенно конструктивно рассматривается также в рамках распознавания образов (модели и методы дискриминантного анализа) и в нейронных сетях - это средства новых информационных технологий для исследования эво-люцион-ных и равновестных процессов в экономике. технике, экологии и других областях.
С разделимостью связана также теорема Куна-Таккера в выпуклом программировании, теорема о седловой точке в неймановской теории игр. Дискриминантный анализ - средство реального построения поверхностей безразличия и вычисления объективных ценностей факторов.
В фундаменте этих построений, а значит,
и в фундаменте математической экономики, лежат такие свойства пространства вариантов выбора, как линейная и выпуклая структуры, частичная упорядочиваемость, различимость и разделимость вариантов. В фундаменте также аксиома выбора в теории множеств (она, например, нам с М.Ю. Ха-чаем понадобилась в обосновании коллективных решений). Нейман и Моргенштерн использовали аксиому выбора в обосновании теории игр.
Мы работаем с множествами. Но множества можно задавать по-разному. И надо уметь переходить от одной формы задания к другой. Так обстоит дело в оптимизации с заданием допустимого множества. И в распознавании - с заданием класса объектов.
Можно задать как выпуклую оболочку некоторой совокупности: М = со А (изнутри), можно - как множество решений системы ограничений (извне). Можно А отсечь от В, как в распознавании образов.
В алгебре часто изучают внутреннее строение алгебраических структур. Но есть и работы, где эти структуры описываются извне - так в теории категорий. Например, можно множества и пространства воспринимать как единые и неделимые объекты, важны множества отображений одних пространств в другие.
Рама/фрейм - символ неучтенного, неформализованного, туда отжимается все дополнительное.
Эти вопросы тесно связаны с основаниями математики, с метаматематикой. В рамках канторовского понятия множества развита классическая дескриптивная теория множеств. Ее основное содержание - исследование связи между способами построения множеств и внутренними свойствами множеств.
Предложенные нами модели двойственности в исследовании операций (и, в частности, в дискриминантном анализе) также опираются на теоремы разделимости множеств [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Дж. фон Нейман, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.
2. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ.
3. Мазуров Вл.Д., Хачай М.Ю. Комитетные конструкции.
4. Васина Л.Л. (редактор). Нобелевские лауреаты XX века. Экономика. М.: РОССПЭН, 2001.
5. Мазуров Вл.Д. Двойственность в исследовании операций.
6. Mazurov Vl.D. Conjugacy in Pattern Recognition. Yugoslav J. Oper. Res., 1997. Vol 7. No1. Pp. 15-38.
7. Mazurov Vl.D. Efficient Choice and Diagnostics in the Neural network Modeling - Pattern Recogn. & Image Anal. 2000. Vol 10. No1. Pp 153-155.
8. Мазуров Вл.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации М.: «Наука», 1990.
9. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М.: «Наука», 1974.
10. Горбань А.Н., Россиев Д. А. Нейронные сети на персональных компьютерах. Красноярск, «Наука», 1996. 277 с.
11. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного. Доклады. АН СССР. 1957. Т.114. №5. С. 953-956.
12. Горбань А.Н. Функции многих переменных и нейронные сети // Соросовский образовательный журнал. 1998. №12. С. 105-112.
13. Вайдлих В. Социодинамика. М.: УРСС, 2004. 478 с.
14. Gale D., Nikaido H. The Jacobian matrix and global univalence of mappings. Math. Ann, 159. No2. 1965. Pp 178-187.
15. Arrow K., Debreu G. Existence and equilibrium for a competitive economy. Econometrika, 22. 1954. Pp 265-290.
16. Бергстром А. Построение и применение экономических моделей. М.: «Прогресс» 1970. 176 с.
