CC BY
11
ВЫВОДЫ
Расчеты и моделирование двумерной системы автоматического управления (см. рис.3) показывают, что при развязанных контурах управляющее воздействие на входе одного контура не оказывает никакого влияния на выходе другого контура, например, управление частотой вращения ротора вентилятора не оказывает влияния на частоту вращения ротора компрессора, а управление частотой вращения ротора компрессора не оказывает влияния на частоту вращения ротора вентилятора. Но управление частотами вращения роторов приводит к значительному изменению температуры газа за турбиной ГТД. При этом, если переходные процессы по частотам вращения роторов являются апериодическими (без перерегулирования) при различных шагах квантования к , то переходные процессы по температуре газа могут иметь весьма большое перерегулирование и необходимо выбирать минимальный шаг квантования, при котором это перерегулирование ограничено, например 20-30 %.
Отклонение температуры газа за турбиной в установившемся режиме при регулировании частоты вращения ротора компрессора значительно больше, чем отклонение температуры газа при регулировании частоты вращения ротора вентилятора на всех базовых режимах работы газотурбинного двигателя (на максимальном режиме
примерно в 7 раз, на среднем режиме примерно в 6 раз, в режиме малого газа примерно в 2,5 раза). При этом, отклонение температуры газа за турбиной в установившемся режиме малого газа при регулировании частоты вращения ротора компрессора примерно в 6 раз больше отклонения температуры газа на установившемся среднем режиме, а отклонение температуры газа на установившемся среднем режиме примерно в 2 раза больше отклонения температуры газа на установившемся максимальном режиме работы газотурбинного двигателя.
Если изменение температуры газа за турбиной нежелательно, то можно выполнить двухмерную систему с одним контуром управления частотой вращения ротора вентилятора (или компрессора) и вторым контуром управления температурой газа с развязкой этих контуров. Этот вопрос должен быть рассмотрен особо.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Штода A.B. Автоматика авиационных двигателей. - М.: Издание ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1968. - 460 с.
2. Добрянский Г.В., Мартьянова Т.С. Динамика авиационных газотурбинных двигателей. - М.: Машиностроение, 1989. -240 с.
3. Гостев В.И., Худолий Д.А., Баранов A.A. Синтез цифровых регуляторов систем автоматического управления. - К.: Радюаматор, 2000. - 400 с.
УДК 621.3.011:517.518.8
НОВАЯ КОНЦЕПЦИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В УПРАВЛЯЕМЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ И СИСТЕМАХ НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
М.Н.Горбачев, А.Д.Милка
Предложена новая концепция математического (геометрического) моделирования энергетических процессов в электрических преобразовательных и радиотехнических цепях и системах, основанная на векторном представлении полной мощности и ее ортогональных составляющих в трехмерном евклидовом пространстве. В рамках этой концепции разработаны и изложены элементы теории геометрического моделирования квазиустановившихся негармонических процессов и рабочих режимов в таких цепях и системах.
Запропонована нова концепщя математичного (геометрич-ного) моделювання енергетичних процес1в в електричних перетворюючих та радютехтчних ланцюгах та системах, що заснована на векторному представлены повноЧ потужност1 та 'i'i ортогональних складових у трьохм1рному евкл1довому простор1. У рамках щеЧ концепцп розроблет та викладеш елементи теорп геометричного моделювання кваз1усталених негармотчних процес1в та робочих режим1в у таких ланцюгах та системах.
New concept of development theory of mathematic simulation
is proposed and formulated for inharmonious power processes in controlled radiotechnic and electric circuits and systems. Based in this concept geometric models of power processes are offered.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема изучения и исследования электроэнергетических процессов в различных областях науки и техники имеет фундаментальное значение. К этим процессам относятся и энергетические процессы в управляемых электрических и радиотехнических цепях и устройствах и других подобных им технических объектах, например, в системах электропитания, системах приема, усиления, преобразования и передачи сигналов и электромагнитных колебаний, а также в линиях электросвязи и телекоммуникаций.
Теория математического моделирования указанных
процессов развивается в настоящее время за счет роста порядка описывающих их систем уравнений и повышения точности получаемых решений с помощью численных и численно-аналитических методов. Однако при таком традиционном подходе построение наглядных и удобных для исследования пространственных моделей сопряжено со значительными трудностями и удается в очень редких случаях. Это объясняется двумя серьезными причинами: во-первых, недостатками упомянутых традиционных методов математического моделирования, не имеющих общего способа построения пространственных моделей; во-вторых, отсутствием эффективных подходов и более общих методов моделирования указанных энергетических процессов, которые бы позволяли построить наиболее универсальные пространственные (геометрические) модели.
В связи с этим предлагается и обсуждается новый научный подход как дальнейшее развитие теории математического моделирования на основе реализации геометрических представлений. Фундаментом этого подхода является геометрическое (пространственное) моделирование как современный эффективный метод изучения и исследования квазистационарных (квазиустановившихся) энергетических процессов в указанных электротехнических и радиотехнических объектах, в которых используется эффект регулирования или стабилизации режимов работы с помощью управляемых электронных приборов (транзисторов, тиристоров, симисторов и др.).
Действительно, при традиционном подходе квазиуста-новившийся энергетический процесс исследуется с помощью одной или нескольких одномерных моделей, каждая из которых отражает не весь физический процесс, а лишь отдельные его стороны. Например, при таком подходе энергетические процессы во входных цепях регулируемых преобразователей параметров электрической энергии (управляемых выпрямителей, инверторов, преобразователей частоты, стабилизаторов напряжения или тока, генераторах прямоугольных импульсов напряжения с регулируемой скважностью или частотой и др.) исследуются раздельно: либо как периодические временные функции одного переменного, либо как интегральные функции одного переменного параметра (угла управления или угла отсечки) при фиксированных остальных параметрах: активная и реактивная мощности, мощность искажения, мощность несимметрии [1, 2]. Это затрудняет решение ряда актуальных и важных для практики задач, к которым относятся прежде всего построение общей (обобщенной) модели физического (электроэнергетического) процесса как единого целого с целью его всестороннего изучения, а также сравнительный анализ различных процессов и совокупности соответствующих им режимов исследуемых объектов с целью оптимизации и предпочтительного выбора наиболее близких альтернативных вариантов схемотехнических решений на этапе расчета и проектирования.
Новый подход значительно облегчает и упрощает решение указанных выше задач и, как следствие, позволяет наиболее просто и однозначно определить границы целесообразного применения сопоставляемых альтернативных и конкурентоспособных вариантов
разрабатываемых или проектируемых электротехнических объектов аналогичного назначения, но имеющих существенные различия (например, разные принципы действия) [3].
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО (ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО) МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Предложенная новая научная концепция, являющаяся дальнейшим развитием и обобщением методов теории математического моделирования квазистационарных негармонических энергетических процессов в радиотехнических и электрических преобразовательных цепях и системах, состоит в том, что физический (энергетический) процесс отображается как единое целое в виде пространственной геометрической модели на криволинейную поверхность с помощью соответствующей системы уравнений. Это дает возможность изучать энергетический процесс с помощью его геометрической модели, которую предложено находить на основе векторного представления
полной мощности S и ее ортогональных составляющих
активной (P ), реактивной (Q ) мощностей и мощности
искажений (N). Поскольку мощность искажения N в электрических цепях определяется как мощность невязки
между полной мощностью S и ее составляющими P и Q [1, 2], то это дает основание представить в общем случае
полную мощность как трехмерный вектор S (P, Q, N) в евклидовой системе координат. Компоненты P, Q, N
имеют смысл ортогональных составляющих вектора S по осям OX, OY, OZ. Следовательно, математическая постановка задачи формулируется следующим образом:
используя связи между S и ее компонентами в отдельности [1, 2], представить составляющие P , Q и N в виде единой системы уравнений, математически описывающей искомую геометрическую пространственную модель исследуемого квазистационарного энергетического процесса в виде
x = P = Sx = Sv cos ф, j = Q = Sjv2 - x2 = Sv sin ф, (1)
z = N = Sj 1 - v2 ,
где
N2 = S2 - P2 - Q2 .
(2)
Коэффициенты % , V и cos ф являются энергетическими параметрами электрических преобразовательных цепей при общепринятом допущении об идеальности питающей сети и определяются по известным расчетным формулам [1, 2], причем % = Vcosф . Система уравнений (1) задает
координаты точек M(x, y, z) некоторой криволинейной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве в
функции двух независимых переменных (% и V либо V и ф ). Так как в системе уравнений (1) переменные % и V , как известно, изменяются в ограниченных пределах (0 <Х< 1, 0 < V < 1, причем sup % = sup V = 1 ), это позволяет естественным образом перейти от декартовой системы координат х, y, z к сферической системе координат R , 9 , ф
х = R sin9cosф, y = R sin9sinф, z = R cos9 , (3)
где V = sin 9 - новая переменная, R = S - модуль
радиуса-вектора R, соединяющего произвольную точку M(х, y, z) на искомой поверхности с началом координат;
9 - угол между радиусом-вектором R и осью OZ [4]. Очевидно, что системе параметрических уравнений (3) соответствует в общем случае сферическая поверхность с центром в начале координат и радиусом R (0 < 9 < П , 0 <ф< 2 п ) [4].
Z
Рисунок 1
Известно, что в системах электропитания радиотехнических устройств и в электрических преобразовательных цепях и системах с управляемыми полупроводниковыми приборами (в выпрямительных, инвертирующих и других преобразовательных цепях [1, 2]), углы 9 и ф изменяются в более узких пределах: (0 < 9 < п/2 , 0 < ф < п ). Поэтому моделируемые энергетические процессы и режимы в указанных объектах геометрически отображаются не на полную поверхность сферы, а на некоторую ее область в виде части сферического (шарового) пояса [4,6].
Математическим обоснованием принципа геометрического моделирования является приведенная ниже теорема о геометрическом отображении квазистационарных энергетических процессов и рабочих режимов в электрических преобразовательных цепях и системах с управляемыми полупроводниковыми элементами. Суть этой теоремы
состоит в следующем.
Теорема. Геометрическим отображением совокупности квазистационарных негармонических энергетических процессов и рабочих режимов на входе электрических преобразовательных цепей и систем являются части поверхности сферического (шарового) пояса, определяемого сферой радиуса R = Б и предельными значениями, достигаемыми изменяющимися координатными углами 9 и ф .
Доказательство этой теоремы основано на геометрическом анализе систем уравнений (1) и (3) при указанных ограничениях на углы 9 и ф, налагаемых физическими условиями существования изучаемых энергетических процессов и режимов [1, 2].
ПОЛЕ ВЕКТОРА ПОЛНОЙ МОЩНОСТИ
Поле вектора полной мощности (поле параметров) является центральносимметричным полем. Это следует из уравнений (1) и (3). Его характер и основные характеристики можно определить, исходя из понятий и определений математической теории поля [5, 6]. На основании предложенного геометрического подхода введена обобщенная количественная характеристика -мера для энергетической оценки квазистационарных процессов и рабочих режимов в рассматриваемых электрических преобразовательных цепях со стороны входных зажимов. Эта мера является расчетной величиной, характеризующей множество всех возможных режимов электропотребления в этих цепях, и
представляет собой поток Ф вектора полной мощности 8 через отображающую поверхность О о в виде шарового пояса или его частей.
Таким образом, геометрическое моделирование указанных энергетических процессов и рабочих режимов основано на том, что полная мощность рассматривается
как определенный трехмерный вектор 8 , направление которого в евклидовом пространстве совпадает с
направлением радиус-вектора г(х, у, г) изображающей точки М. При этом поток этого вектора через незамкнутую отображающую поверхность О находится с помощью двойного интеграла
Ф = Ц8йо = ЦБпйо , (4)
(О) (О)
1*1 *
где Бп = = Б - проекция вектора 8 на единичный
вектор нормали п к поверхности сферы в точке М,
причем йо = п^О . В общем случае элемент площади йо поверхности О определяется с помощью коэффициентов первой квадратичной формы Гаусса для квадрата дифференциала дуги й1 произвольной кривой на криволинейной поверхности в трехмерном евклидовом
пространстве й12 = йх2 + йу2 + йг2 .
Для рассматриваемой отображающей сферы, заданной параметрическими уравнениями (3), первая квадратичная форма Гаусса имеет вид [5]
n
r 9 Х r ф JeG - F2
(1)
dl2 = E(9, ф)dQ2 + 2F(9, ф)dQdф + G(9, p)dф2 , (5) Так как E = p2 , G = p2sin29 , то искомые величины
где коэффициенты E, F и G определяются выражениями
E (*ф) = (!)2 + (!)2 + ( 19)2.
F(9 ф) = ^ ^ + <5y dy + ^Z <dl
д9дф д9дф д9дф,
G(9>P) = ( 2 + ( fP 2 + ( |)2.
d о = r9d9 х Гф
! »
= ra х r
d о и n соответственно равны
do = p 2sin 9d 9 d ф,
(6)
(7)
(8)
= r9 Х rP p2sin 9
(12) (13)
Таким образом, интегрирование выражения (6) с учетом (12) для сферы постоянного радиуса (р = Я = ^) приводит к следующему результату:
Известно, что произвольную криволинейную поверхность О в общем случае можно охарактеризовать переменным радиусом-вектором r(9, ф) произвольной точки M(x, y, z) , лежащей на этой поверхности, причем площадь малой площадки do, ограниченной двумя парами близких координатных линий на поверхности О , можно определить как площадь элементарного
параллелограмма, построенного на векторах ^d9 и Г '
[• [• /.Tmax /.max n
Ф = S J J do = Sj dp J p2 sin 9d9 =
(o) Pmin 9min
= S3(Pmax - Pmin)(cos9min - cos9max) •
(14)
к координатным линиям в точке М, как модуль векторного произведения
Таким образом, поток вектора полной мощности S является интегральной расчетной характеристикой, пропорционален кубу модуля этого вектора и может быть вычислен по формуле (14). Отсюда вытекает важное следствие, а именно:
для произвольной сферической поверхности радиуса R = S на основании полученных формул легко показать,
аФ |
что плотность потока — вектора S равна модулю d О
вектора S и является постоянной величиной при условии
IS = R = const .
Характер поля вектора полной мощности S,
порождаемого вектором S, устанавливается с помощью
* л *
основных его характеристик: rot S , divS - циркуляции и grad U, где U(x, y, z) - скалярный потенциал поля
вектора S [5, 6].
В общем случае вектор S определяется в сферических
координатах S(р, 9, ф) согласно формуле (3), либо в
Рисунок 2
прямоугольных декартовых координатах S (x, y, z) согласно формуле ( 1 ), где x = Sx = P , y = Sy = Q и
При этом имеют место следующие соотношения [5]:
(^ х гф)2 = EG - F2 > 0
do = JEG - F2 d9 dp ,
(9) (10)
г = = N. При этом поле вектора § является потенциальным, если оно является градиентом некоторого 1*1 1
скалярного поля = -grad и, иначе говоря, если существует некоторая скалярная функция и = и(х, у, г) , для которой выполняются условия
dU = c dU = c dU = -S
dX ; Ify Sy; az Sz.
(15)
Потенциал векторного поля 8 = хI + у^ + гк можно найти, учитывая, что в точке М0 (в начале координат) выполняется условие и(М0) = 0 . Тогда циркуляция
вектора 8 по произвольной кривой I, соединяющей любую точку М(х, у, г) этого поля с началом координат, легко находится следующим путем:
| 8 • г = ¡Бтй1 = | Бхйх + Буйу + =
mm0
MM0
= - J dU(X, y, z).
MM
где йг - приращение радиуса-вектора, направленное по касательной Т к некоторой кривой 1 в произвольной точке М(х, у, г).
Далее находим скалярную функцию и(х, у, г) , удовлетворяющую условиям (15)
и(х, у, г) = и(М) = - | (хйх + уйу + гйг) =
MM
Mo
= -2 (x2 + y2 + z2)
M
1
= ~2 (X2 + У2 + z2).
(16)
Отсюда следует, что поле вектора 8 является потенциальным и его потенциалом, равным нулю в начале координат, является скалярная функция (16).
Таким образом, предложенный подход на основе геометрических представлений (геометрического моделирования) на практике можно использовать также и при изучении различных электромагнитных процессов в электротехнических и радиотехнических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами, работающих в широком диапазоне частот, например, в кабельных и полосковых линиях, индуконах, линиях задержки, линиях электросвязи, системах телекоммуникаций и др. [7].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, получен ряд новых научных результатов.
1. Показано, что обобщенной математической моделью энергетических процессов в электрических преобразовательных цепях является система трех функций с двумя переменными, описывающая ортогональные составляющие полной мощности (активную, реактивную мощности и мощность искажения) и взаимосвязь между ними согласно их традиционному определению.
2. На основе принципа геометрического моделирования установившихся энергетических процессов в электрических преобразовательных цепях и системах сформулирована трехмерная постановка задачи геометрического
моделирования этих процессов и теоретически обоснован способ построения соответствующих геометрических моделей. При этом обобщенной геометрической моделью (геометрическим отображением) энергетических процессов в электрических преобразовательных цепях, описываемых системой трех функций с двумя переменными (на примере управляемых выпрямителей), являются части поверхности сферического (шарового) пояса.
3. Дан вывод формулы для нахождения потока Ф
вектора полной мощности S через отображающую сферическую поверхность.
4. Достоинством предложенного нетрадиционного подхода являются простота, наглядность и компактность геометрических моделей, которые являются не только удобной формой представления полученных результатов, но также являются инструментом для исследования энергетических процессов и рабочих режимов; это проявляется в том, что с помощью системы нормированных параметрических уравнений электрические (энергетические) процессы в рассматриваемых преобразователях (управляемых выпрямителях, ведомых сетью инверторах, управляемых генераторах негармонических колебаний, регуляторах переменного напряжения и др.) отображаются на одну и ту же сферу единичного радиуса, то есть в одном и том же масштабе. Это весьма удобно для их сопоставления.
5. Практическое значение полученных результатов состоит в том, что с помощью геометрических моделей можно сравнивать и, в ряде случаев, оптимизировать энергетические процессы и рабочие режимы, которые эти модели отображают; это позволяет сравнивать энергетические процессы не только в одном преобразователе, но и в преобразователях аналогичного назначения, имеющих разные принципы действия, что весьма полезно при проектировании вторичных источников электропитания и систем электроснабжения на основе рассматриваемых преобразователей.
6. Разработанный геометрический подход является универсальным, так как он не ограничивается применением только к указанным выше управляемым преобразователям, он может быть распространен и применен для теоретического исследования и моделирования энергетических процессов и в других электрических цепях и системах, для которых справедлива исходная система уравнений (1).
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. - M.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 440 с.
2. Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы электротехники. - M.-Л.: Госэнергоиздат, - Ч. 2, - 1955. - 216 с.
3. Горбачев М. Н. К вопросу о сопоставлении вторичных источников электропитания, питаемых от промышленной трехфазной сети. - Вестник Харьковск. политехн. ин-та. -Вып. 16. - 1986. - C. 41 - 45.
4. Погорелов А. В. Лекции по аналитической геометрии. -Харьков: Изд-во Харьков. гос. ун-та, 1963. - 182 с.
5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. - M.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., том 2. - 1956. - 628 с.
6. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - Л.-М.: Главная ред. техн.-теор. лит., 1937. -456 с.
7. M. N. Gorbachev, S. V. Polyschook. Some electrodynamics problems and many measured components // Тез. докл. 9-й Российс. Гравитац. конф. "Теоретические и
