Новая форма меры деформации в тензорном виде Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. Романовский В.П. Справочник по холодной штамповке. Л.: Машиностроение, 1979. 520 с.

3. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В. А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 332 с.

4. Теория обработки металлов давлением: учебник для вузов / В.А. Голенков [и др.]; под ред. В.А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.

K.S. Remnev, V.N. Chudin, J.V. Bessmertnaya

THE DRA WING OF BOXES WITH LARGE ANGULAR RADIUSES

The mathematical model and the results of theoretical investigations of low box details drawing with the relatively large angular radiuses are provided.

Key words: box detail, mathematical model, stress, deformation, plasticity, power, capability, anisotropy, die, punch, drawing.

Получено 16.09.11

УДК 621.787.4

С.Ю. Радченко, д-р техн. наук, проф., проректор, (4862) 437125, [email protected] (Россия, Орел, Госуниверситет - УНПК), Д.О. Дорохов, канд. техн. наук, доц., (48646) 31951, [email protected] (Россия, Орел, Госуниверситет - УНПК)

НОВАЯ ФОРМА МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ В ТЕНЗОРНОМ ВИДЕ

Предложено строгое математическое обоснование меры в тензорном виде. Дан элементарный алгоритм расчета. Показано, что данная мера может использоваться наравне с другими.

Ключевые слова: деформация, тензор деформации, интенсивность деформаций, тензор градиента деформаций

В производственных процессах обработки металлов давлением (ОМД) все большую роль играет автоматизация и оптимизация, что невозможно без качественного математического моделирования; последнее основано на методе конечных элементов (МКЭ) с использованием положений теории упруго-пластического деформирования. В первую очередь, определяющую роль играют уравнения связи между напряжениями и деформациями, модель среды, начальные и граничные условия, существенно влияет и сам подход к линеаризации разрешающих уравнений связи. В последние годы в качестве инструмента для математического моделирования процессов обработки давлением широкое применение получили пакеты прикладных программ (DEFORM, QFORM и др.), однако производителями

202

данных программных продуктов исходные теоретические положения моделирования приведены в кратком описании, что не дает возможности оценить адекватность решения, особенно при моделировании сложных нестационарных процессов. Это может привести к реальным производственным просчетам и ошибкам. Отсюда вытекает необходимость обязательной экспериментальной проверки результатов математического моделирования, что не всегда экономически целесообразно.

Например, часто забывают, что нет единого мнения о том, какую величину принимать за основу при описании деформаций. Так, чаще всего за основу принимают выражение для мер деформаций в виде [1]

т,о„,=(Ц 2т -1 > (1)

или

Те(п) = -/), (1')

п

где п = 2т ; п; т - варьируемые показатели; Цц = —-— правый тензор удлинений; 1у = Ь-] - метрический тензор исходного состояния (единичный тензор); Ь-] - символ Кронекера.

Из выражений (1) и (1'), варьируя показатели п и т, можно получить хорошо известные представления деформаций, при этом правый тензор удлинений получают из полярного разложения градиента деформации:

^ = Я ■Ц, (2)

где Я - ортогональный тензор, характеризующий вращение элементарного

объема как твердого целого, причем Я 1 = ЯТ ; ^ - тензор градиента деформации, который преобразует произвольно ориентированный вектор йХ в недеформируемом объеме в актуальную конфигурацию йх:

йх = ^ ■ (X . (3)

Из правого тензора Коши - Грина (мера деформации Коши - Грина)

имеем

С = ¥Т ■ ^ = Ц2, (4)

где РТ - тензор деформации места (тензор, транспонированный к тензору градиента деформаций).

Тогда (1) можно записать в виде

Те(т) = ^ (Ст -1). (5)

Положив в формуле (1) или (4) т = 1, получим тензор деформаций

Грина

1 1 2

То = ^ (С -1) = ^(Ц2 -1), (6)

или

eG=I ij 2

Tg =

Эи;

e

XX

e

xy

e

xx

e yx e zx

e yy e zy

e yz e zz

Эик Эик ^

эхj dXt dXt эх,

k = 1,2,3,

Эи; Эu j где ^ и

компоненты вектора смещения.

ЭХ j ЭХ;

Тензор (5) характеризует изменение квадрата длин элементарных отрезков:

\dx\2 -\dX\2 = 2dX ■ TG ■ dX. (7)

Традиционно значение m принимают или равным 0,5, или стремящимся к 0, получая соответственно линейную (инженерную) меру деформации (biot strain tensor) TE = (U -1) или логарифмическую (тензор Генки,

Hencky strain) Тн = 1^п(С) = ln(U). Введем в рассмотрение два тензора деформации: первый

Ту = (1 - U 1)

/Е

(8)

т.е. в формуле (1) положим m =

= - I

2 , и второй

л

= 0,5 ■ (U - U _1),

(9)

Тм = 0,5 • ТЕ + Т1

^ /Е)

представляющий средние значения инженерного тензора и тензора (8).

Представления (7) и (8) вполне правомерны, и по ним можно проводить расчеты деформаций [1, 2]. Например, пусть тензор градиента деформации имеет следующий вид:

F =

t 0 0 t +1 00

0

0 1

t2 +1

(10)

где ^ - некоторый параметр, при этом ? > 0 .

Очевидно, что в данном представлении Р = и, а компоненты тензора (10) выражают удлинения в направлении соответствующих осей:

2

1 х = 1 у = ? +1; 12 = 1/(? + ?). Для сравнения мер деформаций будем использовать величину интенсивности деформаций, являющуюся

функцией вторых инвариантов тензоров деформации. Для тензора деформаций в главных компонентах данная величина определяется как

= у- V(£1" е2 )2 + (е2 " ез )2 + (е3 - £1 )2 •

При этом тензоры деформаций Грина и по представлению (7) выглядят следующим образом:

Та =

0,5 • И - 0,5 0

0 0,5+ 1)2-0,5

0 0

0 0

0,5

-0,5

Ы '

II

ТЛ/ =

0 0

0 / 0 ' -1

0 0

г

Результаты расчетов представим в виде графика зависимости

8г =/(0 (рИС.1).

По аналогии с (7) тензоры (8) и (9) можно интерпретировать как

Щ-\йХ\=йХ*Ту и Щ2-\с1Х\2 =2с1Х-с1х-Тм.

Вернемся, к примеру, к тензору (10), и пусть теперь компоненты тензора деформации рассчитываются по следующему алгоритму: если > 1, т.е. имеет место растяжение вдоль данной оси, то деформации считаются по представлению (8) \с1х\ - \(1Х\ = с!Х • Т\/ , в противном случае

/Е

(сжатие в данном главном направлении) - по ТЕ = (и -1). Таким образом, по аналогии с (6) получим

\(Щ - |*ЙГ| = ¿/% • 7\ (11)

где - большие из и |<ЙГ|.

Сравнение данной меры с логарифмической и инженерной (как это сделано на рис. 1) приведено на рис. 2.

Из анализа рис. 2 видно, что значение интенсивности деформаций при принятой мере (10) в зависимости от изменения параметра t изменяется аналогично мере Генки, так, например, они имеют близкие минимумы и интервалы возрастания и убывания, т. е. качественно они близки друг к другу. При более простых градиентах деформации значения лучше

205

соответствуют в значимом интервале логарифмической мере, так как условие постоянства объема выполняется более точно [1]. Обращает на себя внимание тот факт, что выражение меры (11) нельзя однозначно получить из (1), так как расчет конечных компонентов тензора деформаций зависит

дх-

от значения компонент Цц = —- и рассчитывается по Те = (и -1) или по

Т1/ = (I - и-1). Однако мера (10) имеет физическую интерпретацию:

/Е

XI — Хо ^

е = —-—, где хо - начальная измеренная линейная геометрическая ха-

Хтах

рактеристика образца; Х1 - конечная измеренная линейная геометрическая характеристика образца; хтах - большее из Х1 и хо [1]. Сложность использования такой меры деформации заключается только в применении некоторого алгоритма расчета по выбору большего значения из Х1 и хо, что элементарно разрешается программными средствами.

Таким образом, предложено строгое математическое обоснование меры [1] в тензорном виде, дан элементарный алгоритм расчета, показано, что данная мера может использоваться наравне с другими.

1 2 I

Рис. 1. Интенсивность напряжений в зависимости от принятого тензора (меры) деформации при градиенте деформаций (10)

Рис. 2. Интенсивность напряжений в зависимости от принятого тензора (меры) деформации при градиенте деформаций (10)

Отсюда возникает задача по интеграции данного представления о мере деформации в программные расчеты процессов ОМД (не только в представленном виде, но и в виде производной по времени) и сравнения их с традиционными решениями как в качественном и количественном описании процесса пластического деформирования, так и в скорости проведения расчетов.

Список литературы

1. Радченко С.Ю. Новый способ представления деформаций // Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 2. С. 446-457.

S.J. Radchenko, D.O. Dorokhov

A NEW FORM OF THE STRAIN MEASURE IN TENSOR FORM

A rigorous mathematical justification of the measures, in tensor form. A simple formula is given. At is shown that this measure can be used on an equal basis with others.

Key words: deformation, strain tensor, the intensity of deformation, gradient strain

tensor.

Получено 16.09.11