Новая форма представления меры линейной деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 2 Список литературы

1. Ковка и штамповка: справочник: в 4 т. Т. 4. Листовая штамповка / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2010. 717 с.

2. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427с.

3. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.

V.D. Kuhar, S.N. Larin, A. V. Bessmertniy

THE MATHEMATICAL MODEL OF TRILAMINAR SHEET CONSTRUCTIONS FROM THE ANISOTROPIC MATERIAL DEFORMATION POSSESSING ENERGETICAL THEORY OF CREEPING AND DAMAGING

The mathematical model of the isothermal pneumatic forming of trilaminar sheet constructions from the anisotropic material deformation possessing energetical theory of creeping and damaging is shown. The influence of the law of load on power circumstances and extreme deformation levels of high-strength materials isothermal deforming is identified.

Key words: anisotropy, trapezoidal element, energetical theory, stress, deformation, failure, pressure, creeping, deforming, pneumatic forming.

УДК 621.787.4

С.Ю. Радченко, д-р техн. наук, проф., проректор, (4862) 437125, [email protected] (Россия, Орел, ФГОУ ВПО «Государственный университет -учебно-научно-производственный комплекс»),

Д.О. Дорохов, канд. техн. наук, (48646) 31971, [email protected] (Россия, Мценск, Мценский филиал ФГОУ ВПО «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс»)

НОВАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МЕРЫ ЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрены меры деформации: относительная, Генки (логарифмическая), Алъманси - Эйлера и Грина - Лагранжа. Представлены их анализ и физический смысл. Для устранения ряда недостатков традиционных мер деформации предложена новая мера, отвечающая требованиям простоты и выполнению условия постоянства объема.

Ключевые слова: деформация относительная, деформация Генки (логарифмическая), деформация Алъманси - Эйлера, деформация Грина - Лагранжа, условие постоянства объема, новая мера деформации.

Формоизменение в технологических процессах обработки металлов давлением (ОМД) может быть весьма сложным и неоднородным, поэтому адекватно оценить его полностью какой-либо одной универсальной мерой

невозможно. В практике принят ряд различных мер, оценивающих отдельные компоненты деформации или деформации отдельных элементов изделия: изменения линейных размеров, изменения углов, некоторых площадей И т.д.

«Простые» меры деформации. Рассмотрим одну из этих мер, вернее, группу мер, оценивающих изменения линейных размеров заготовки.

Самой распространенной и часто используемой мерой является относительная деформация

где £ - относительная деформация (часто данную величину выражают в процентах), или нормальная инженерная деформация [1]; хд - начальная измеренная линейная геометрическая характеристика образца; - конечная измеренная линейная геометрическая характеристика образца.

Данная мера проста, и физический смысл ее очевиден.

Также, особенно при расчетах параметров волочения, используются такие меры, как

- логарифмическая (истинная) степень деформации, называемая также деформацией Генки [1],

Данные меры относительно просты, имеют свои недостатки и достоинства, они объективно понятны и в первом приближении адекватно описывают элементарные деформации в простых процессах деформирования - растяжении и осадке.

Под первым приближением в данном случае следует понимать однородность деформации по всему объему, монотонность процесса деформирования [2], идентичность геометрии образца до деформации и после (т.е. отсутствие шейки, бочкообразности и т.д.). Понятно, что в реальности в силу объективных причин (например, шероховатости плит при осадке) невозможно осуществление таких идеальных условий деформирования.

Однако, при оценке неэлементарных (бесконечно малых) деформаций данные меры дают существенные расхождения в результатах, например, имеем историю деформирования образца: осадка с 10 до 8 мм и затем растяжение - с 8 до 10 мм. По зависимости (1) получаем при осадке деформацию -0,2, а при растяжении - по 0,25. То есть при расчете по формуле (1) имеем существенное различие величины деформации между осадкой

(1)

х0 ’

(2)

- коэффициент вытяжки

(3)

и растяжением, и хотя образец вернулся к первоначальным размерам, его суммарная деформация нулю не равна.

При расчете в логарифмических деформациях по зависимости (2) осадка —0,223, растяжение - 0,223; процессы идентичны по модулю и противоположны по знаку, суммарная деформация равна нулю, как и должно быть по логике и физическому смыслу.

С другой стороны, сравним процесс осадки с 10 до 8 мм и растяжения с 10 до 12 мм. При расчете по формуле (1) значения деформаций одинаковы по модулю и равны 0,2, а при расчетах по зависимости (2) имеем соответственно 0,223 и 0,182.

У выражения (1) есть и еще два существенных недостатка.

Представим себе осадку призмы, помещенной между двумя вертикальными плитами, при такой деформации изменяются только два линейных размера образца при неизменном третьем. В результате, например, двукратного уменьшения высоты заготовки получим двукратное увеличение ее ширины при неизменной толщине. По формуле (1) высотная деформация составит -0,5 (или -50 %), деформация в направлении ширины - 1 (или 100 %). Таким образом, получается, что одна и та же деформация может оцениваться двумя совершенно разными цифрами, а условие постоянства объема (представляемое как равенство нулю суммы трех линейных деформаций) не выполняется. Кроме того, при оценке осадки по выражению (1) максимально возможная деформация по величине приближается к единице (100 %), а при оценке растяжения может быть сколь угодно большой, достигая 100 % уже при двукратном увеличении размера.

Оценивая показанный пример с помощью выражения (2), убедимся, что логарифмическая мера деформации свободна от перечисленных недостатков, однако у нее есть свои - это все-таки относительная сложность представления, не всегда удобная при расчетах, особенно при интегрировании, и не вполне очевидный физический смысл, понять который можно из следующего анализа [5].

Образец с начальной длиной хд растягивают до конечной длины

Х£, относительная деформация составит £ = ———. Если же процесс рас-

сматривать как поэтапный с промежуточными длинами *1, Х2, Х3,..., Хк_1, то деформации на каждом этапе

и их сумма не будет совпадать с деформацией, рассчитанной по формуле (1). При условии, что разбиение равномерно, разница Ах = хг- - хг_^ на каждом участке одинакова, т.е. процесс пластического течения равномерен и устойчив и направление деформации волокон материала не изменяется:

хк хк_1

хк _1

(4)

хк

е= I - = 1п(х/с)-1п(х0) = 1п

х0 Х

А л

Хк_

х0

(5)

Таким образом, логарифмическая деформация имеет физический смысл только при представлении деформации как суммы бесконечного числа бесконечно малых шагов формоизменения.

Тем не менее, показанные выше «простые» меры широко применяются при расчетах реальных технологий деформирования, например, для процесса прокатки используют соотношения, полностью аналогичные процессу осадки (формула (1)), для кручения под высоким давлением (наковальня Бриджмена) - формулы для чистого кручения и т.д. При этом для более сложных немонотонных процессов, сочетающих в себе глобальное и локальное нагружение [3,4], формулы (1) - (3) во многом теряют свою актуальность.

Затронутая тема является важной не только с методической точки зрения - расчета деформации, но имеет и практическое значение, так как по деформациям можно судить о напряженном состоянии, а следовательно, рассчитывать энергосиловые параметры процессов ОМД. Важно отметить, что данная работа не затрагивает вопросов о применимости «единой кривой» растяжения - сжатия и вопросов, определяющих соотношения между напряжениями и деформациями (или их скоростями), а оперирует лишь с геометрическими параметрами.

Рассмотрим, существуют ли другие меры линейной деформации, и если да, то каковы их свойства и возможности.

«Сложные» меры деформации. Как известно, в теории обработки давлением под деформацией понимают изменение взаимного расположения точек тела под действием любых внешних воздействий, при этом важно отметить, что пластическая деформация определяется не только взаимным изменением положения точек континуума, но и историей таких изменений - т.е. историей пути деформирования. Например, известный случай [5]: при растяжении образца длиной /д на 50 % до длины 1\ (см. формулу (1)) и последующую его осадку с 1\ до /() суммарная истинная деформация не будет равна 0, т.е. в этом случае имеем

е = 2|е2\,

где е2 - деформация во время каждой из этих операций.

Показанные результаты определяются выбранным подходом для описания опорной геометрии тела на всех этапах нагружения, при этом различают полную формулировку Лагранжа (ТЬ) - использование начальной геометрии тела и модифицированную формулировку Лагранжа (ИЬ) -использование геометрии, созданной предыдущим этапом нагружения [6].

Для описания деформированного состояния окрестности рассматриваемой точки используют симметричный тензор второго ранга

г/ =

хх Е ух Е гх

ху Е уу Е гу

хх Е уг Е гг

(6)

который называют тензором конечной деформации Грина или Грина - Ла-гранжа.[3]

При рассмотрении элементарных деформаций компоненты £/у малы

по сравнению с единицей, поэтому тензор деформации Грина возможно преобразовать в тензор малых деформаций (тензор Коши) [1, 2, 6]:

ге =

1 1

Е х 2 1 ху 21 гх

1 1

2 1 ху Е у 21 уг

1 1

~Т^7‘Х 21 Е г

(7)

Компоненты тензора (5) фактически характеризуют деформации (удлинения и повороты) волокон, первоначально параллельных осям координат.

Связь между тензорами (4) и (5) становится более понятной после рассмотрения их компонентов: для (4) имеем

, к = 1,2,3.

(8)

и

а для (5) -

Эи,- Эи і

і +

д\і

(9)

Ъщ ди;

где и — компоненты вектора смещения.

^

Необходимо отметить, что рассматриваемые тензоры и их компоненты относятся к Лагранжевым переменным (Лагранжево описание), вводя Эйлеровы переменные, можно получить тензор деформаций Альманси -Эйлера:

/ -V - - \

. (10)

Эх 7- Эxі Эxі Эх,-

V У 1 ' У /

Из (10) аналогичными рассуждениями можно получить тензор малых деформации в Эйлеровом описании, который с точностью до малых высшего порядка совпадет с (7) и (9).

Вводя понятие тензора градиентов и и тензора I с компонентами

Эх ■

- —-; /гу = Ьц, можно записать общий вид всех тензоров деформации

и

[7]:

’Ч'

Т

е(т)

1 (и2т -1).

2т

(11)

Варьируя значения т, можно получить (6), (7) и т.д.

Значение коэффициента ш соответствует той или иной величине, которую принимают за меру деформации, например, для деформации Грина-Лагранжа принято [7]

е _ dx^ - dxQ

2dxQ

(12)

Выражения, подобные (12), можно составить и для других представлений деформации.

Для практического применения в инженерных расчетах выражения (6) - (11) довольно сложны, поэтому более наглядным выглядит интерпретация (11) в следующем виде [1]:

е = 1(1-Га). (13)

а

Варьируя значения а, получим следующие выражения для деформаций (таблица).

Различные представления деформаций

Значение а (по формуле (13)) Обозначение Деформация в функции от X Деформация в функции от Хд и х1 Название

-2 £б £с _ 2 (х2-1) 2 2 £ _ х1 - х0 £^ _ 2 2 х0 Деформации Грина (или Грина -Лагранжа)

-1 £ £_ X-1 £_ х1 - х0 х0 Относительная деформация

^0 е £ _ 1п(Х) £ _ 4 а) Чх0 ) Истинные (логарифмические) деформации (деформация Генки)

1 - £ _ 1 - X-1 £_ х1 - х0 х1 -

2 £ А £ а _ 21 -х"2) 2 2 £ _ х1 - х0 £ А _ 2 2 х2 Деформации Альманси -Эйлера)

Необходимо отметить, что в принципе в выражении (13) значение а может быть любым, так, например, если принять а = 3, то мерой деформа-

3 3

,1_. _ с1х 1 -¿/хп „

ции аналогично (12) будет являться выражение £ = —-——Однако

Зс1хо

практически рассматривают диапазон от -2 до 2 [1].

Важно отметить тот факт, что зависимость (11) описывает деформированное состояние окрестности какой-либо точки континуума, а (13) оперирует конечной и начальной конфигурацией образца, например, при растяжении. Таким образом, - это бесконечно малая, например хг-, длина образца при испытании на растяжение (начальная или конечная). Поэтому к переходу от, строго говоря, правильного соотношения (11) к выражению (13) следует относиться осторожно (подробнее в [1]).

Особого внимания заслуживают замечания и вывод, сделанный в [8]: «...при пластическом деформировании теряют всякий смысл такие понятия, как материальные линии, поверхности и объемы. Как следствие, теряют смысл понятия отчетной и актуальной конфигурации и традиционные меры деформации». С данным утверждением можно соглашаться, можно оспаривать, однако в приведенном выше обзоре, к примеру, фигурируют такие понятия, как материальное волокно, большие параллельные перемещения, вращения волокон и т.д. Возникают справедливые вопросы: где в металлах и их сплавах волокна, как практически измерить деформацию окрестности материальной точки? Еще Г.Генки в своей работе [9] писал: «Все тела являются поликристаллическими. Напряжения и деформации определяются лишь для элемента, содержащего тысячи кристаллических зерен. Истинные напряжения и деформации на границах зерен мы называем микронапряжениями и микродеформациями. Эти микронапряжения и микродеформации в настоящие время не могут быть определены, так как измерения дают лишь средние статические данные». Разумеется, наука шагнула вперед, и последнее не представляет сложности -можно видеть зерно до деформации и оценивать его после деформации. Однако сложно ожидать от инженера измерений каждого зерна до деформации и после, чтобы уяснить для себя суть происходящих явлений на всех уровнях от микро до макро. Его задача - разработать технологический процесс для конкретного материала, чтобы он не разрушился в процессе обработки, и для конкретного оборудования, чтобы оно не вышло из строя. Для этого он должен использовать простую методику расчета деформации. Так как наблюдается разрыв в использовании математического аппарата, который строго правилен, и физики происходящих явлений, обратимся к

следующему фундаментальному положению - условию постоянства объема и предположению, что с энергетической точки зрения осадка образца и его последующее растяжение до прежнего размера - процессы идентичные.

Новая мера деформаций. В общем случае любая мера конечной линейной деформации должна быть максимально простой функцией начальной и конечной геометрии образца, т.е. гх = /(х§\х\), и при этом необходимо, чтобы условие постоянства объема в деформациях выполнялось наиболее просто и точно. Поиск функций вида гх = /(х§\х\) ограничим только теми, в которых содержится величина, выражающая абсолютную деформацию, т. е. Ах = х\ - хд. Из всех возможных вариантов примем в рассмотрение следующую меру деформации:

ГДе Хтах - большее ИЗ Х| И Х().

Обратим внимание на рассмотренный выше пример - осадка с 10 до 8 мм и затем растяжение с 8 до 10 мм. По зависимости (1) имеем существенные расхождения величины деформации при осадке и растяжении.

По аналогии можно ввести также меру

ГДе Хтщ - МеНЬШее ИЗ XI И Х().

Предложенные меры интересны тем, что имеет место следующее равенство:

Если правую часть разделить на 2, то она будет представлять собой

Можно показать, что последнее выражение дает численные значения для деформаций, более близкие к логарифмическому представлению, чем приведенные в таблице. Таким образом, основываясь на (14) - (16) очевидно, что мера (14) - самая простая мера, наиболее близкая по результатам вычислений к истинным деформациям.

Условие постоянства объема. Пусть дана произвольная заготовка в виде прямоугольного параллелепипеда с размерами После деформации его размеры стали при этом /д < 1\; ¿о - Ь\; /го > \ и

£ =

XI - х0

(14)

хтах

£ =

х1 - х0

(15)

хтіп

х1 - х0 + х1 - х0 = х1 - х0 + х1 - х0

(16)

х0 х1 хтах хтіп

А/ = 1\ - /о > 0; АЬ = Ь\ - ¿о ^ 0; Л/г = Ъ\ - /гд < 0. Пусть мерой деформации по направлению / служит величина £/, по аналогии соответственно введем и £/,. Условие постоянства объема запишем следующем образом:

Если же аналогично рассмотреть условие постоянства объема в де формациях, рассчитанных по (1), то

Условия (19) и (20) представляют точные выражения в деформациях условия постоянства объема, как это сделано в [10]. Сравнивая их с классическим выражением

можно сделать вывод, что выражение (21) можно получить из (19) и (20) путем пренебрежения членами высших порядков малости. Заметим при этом, что при преобразовании из (19) «жертвовать» приходится значительно меньшей величиной, чем при работе с уравнением (20). Для малых деформаций такое упрощение вполне приемлемо, однако для реальных величин деформаций влияние отброшенных членов может быть вполне весомым. Попробуем его оценить.

Сравним выполнение условия (21) для деформаций, рассчитанных по представлению (14) и (15) и по приведенным в таблице формулам (рисунок).

/0 • Ь0 • ¿0 - /1 • ь1 • ¿1

(17)

или

¿0 • ¿0 • ¿0 — (¿0 ^ А/) • (¿0 ^ А/) • (¿0 ^ АИ).

(18)

/1 .(1 -е/)• ¿1 (1 -еь ) -И- — /1 • ¿1 • ¿1,

1 + е И

(1 -е/М1 -еь) — 1 + еИ, 1 - еь - е/ + еь •е/ — 1 + еИ 5 еИ + еь + е/ - еь •е/ — 0.

(19)

еИ ^ еь ^ е/ ^ еь •е/ еь •еИ еи •е/ еь •е/ •еИ 0.

(20)

е И + еь + е/ — 0 5

(21)

коэф. вытяжки

Сравнение точности выполнения условия постоянства объема (21) для различных мер деформаций: по оси абсцисс коэффициент вытяжки (3), по оси ординат погрешность (%) в предположении,

что еь — е/

Из рисунка видно, что расчет по представлению (14) дает результаты вычислений деформаций по зависимости (21) более точные, нежели иные выражения для деформаций (см. таблицу и (15)). Необходимо отметить, что точно условие (21) выполнится только при расчете деформации по (2), однако условие (19) принципиально не намного сложнее (21), и реальные расчеты можно поводить и по нему.

Вывод. Предложена мера линейной деформации в виде (14) обладает по сравнению с общепринятыми мерами следующими особенностями и преимуществами:

- мера проста в представлении и удобна для любых расчетов;

- физический смысл предложенной меры вполне очевиден и не вызывает сомнений;

- при оценке деформаций, сопровождающихся уменьшением линейного размера, предложенная мера полностью совпадает с общепринятой;

- при оценке деформаций, сопровождающихся увеличением линейного размера, предложенная мера оценивает степень деформации в пределах, аналогичных пределам степени деформации при уменьшении линейного размера (от 0 до 1, или от 0 до 100 %);

- при оценке деформаций в условиях плоского деформирования предложенная мера дает абсолютное выполнение условия постоянства объема в классической форме (21);

- при объемной деформации погрешность выполнения условия постоянства объема в его классической форме существенно меньше, чем при использовании общепринятых мер деформации;

- возникает реальная возможность для инженерных расчетов использовать строгое условие постоянства объема в виде (19), так как при применении новой меры деформации его форма записи существенно упрощается по сравнению с условием (20), полученным с применением известных мер деформации.

Актуальность применения предложенной меры деформации определяется еще и следующим. В последние годы широкое применение в научных и инженерных расчетах получили численные методы расчетов, основанные на пошаговом анализе конечно-элементных моделей тех или иных процессов ОМД. При этом каждый конечный элемент сетки, хотя его и стремятся сделать минимально возможным по размерам, отнюдь не бесконечно мал, а каждый шаг нагружения (или перемещения инструмента) также имеет вполне конкретную величину. Вследствие этого при использовании традиционных мер деформации и классического условия постоянства объема при определении деформации каждого элемента на каждом шаге анализа модели неизбежно появление реальной погрешности вычислений, для компенсации которой необходимо предусматривать те или иные искусственные меры, существенно усложняющие программы вычислений и соответственно увеличивающие их трудоемкость. Как видно из рисунка, применение предлагаемой меры деформации позволит в разы снизить эти погрешности, а при использовании условия постоянства объема в виде (19) вовсе их избежать.

Таким образом, получаем меру линейной деформации в форме (14), которая отвечает требованию простоты расчета и более точно отражает условие постоянства объема, чем, например, относительные деформации, наиболее близка к истинным деформациям, понятна и очевидна для любого специалиста, и ее применение может быть рекомендовано как новая база инженерных и научных расчетов процессов обработки давлением.

Список литературы

1. Rees D. Basic Engineering Plasticity // An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. 2006.

2. Винтовая экструзия - процесс накопления деформации / Я.Е. Бейгельзимер и [др.]. Донецк: ТЕ АН, 2003. 87 с.

3. Специальные технологические процессы и оборудование обработки давлением / В.А. Голенков и [др.]. М: Машиностроение, 2004. 464 с.

4. Голенков В.А., Радченко С.Ю. Технологические процессы обработки металлов давлением с локальным нагружением заготовки. М.: Машиностроение, 1997,226 с.

5. Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов. М.: Машиностроение, 1969. 503 с.

6. Рудаков К.Н. UGS Femap 9.3 Геометрическое и конечноэлементное моделирование конструкций. Киев, 2009. 296 с.

7. Seth B.R. Generalized strain measures with applications to physical problems // Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and F lu id Dynamics. Oxford: Pergamon Press, 1964. P. 162-172.

8. Жилин П.А. Основные уравнения теории неупругих сред. // Тр. XXVIII школы-семинара “Актуальные проблемы механики”. Санкт-Петербург, 2001. С. 14-58.

9. Генки Г. Новая теория пластичности, упрочнения, ползучести и опыты над неупругими металлами // Теория пластичности: сб. статей. М.: ИЛ, 1948. С. 114-135.

10. Хензель А., Шпиттель Т. Расчет энергосиловых параметров процессов обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1982. 360 с.

S.J. Radchenko, D.O. Dorokhov

THE NEW FORM OF REPRESENTATION OF THE MEASURE LINEAR DEFORMATIONS

Deformation measures: engineering strain, Hencky strain (logarithmic strain) strain, Eulerian-Almansi strain and Green-Lagrangian strain has been considerate, their will be analyzed and presented their physical sense. For elimination of some lacks of traditional measures of deformation the new measure has been offered which is answering the requirements of simplicity and performance of a condition of a constancy of volume.

Key words: engineering strain, Hencky strain (logarithmic strain), Eulerian-Almansi strain, Green-Lagrangian strain, condition of a constancy of the volume, new measure of deformation.