CC BY
23
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 156, кн. 1 Физико-математические науки
2014
УДК 514.765.1
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ТРЕХМЕРНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С НЕРАЗРЕШИМОЙ ГРУППОЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. II. РАЗРЕШИМЫЙ СТАБИЛИЗАТОР
Н.П. Можей
Аннотация
Представлена локальная классификация трехмерных однородных пространств, допускающих нормальную связность. В статье рассмотрен только случай неразрешимой группы Ли преобразований с разрешимым стабилизатором. Локальная классификация однородных пространств эквивалентна описанию эффективных пар алгебр Ли. Описаны все инвариантные аффинные связности на таких однородных пространствах вместе с их тензорами кривизны и кручения. Исследованы алгебры голономии однородных пространств и найдено, когда инвариантная связность нормальна. В работе использован алгебраический подход для описания связностей, методы теорий групп Ли, алгебр Ли и однородных пространств.
Ключевые слова: нормальная связность, однородное пространство, группа преобразований, алгебра голономии.
Цель настоящей работы - описать трехмерные однородные пространства с неразрешимой группой преобразований, допускающие нормальную связность, сами связности, их тензоры кривизны, кручения и алгебры голономии. Понятие нормальной связности для риманова многообразия ввел Э. Картан [1], интересную характеристику таких связностей дал К. Номидзу [2], классификация трехмерных однородных пространств с неразрешимой группой преобразований в комплексном случае проводилась в [3]. Настоящая статья является продолжением работы [4], в которой приведен более подробный тематический обзор, а также обоснование применяемых методов, при изложении сохранены обозначения, введенные ранее. В данной работе продолжается изучение трехмерных однородных пространств, допускающих нормальную связность, в 2-й части внимание сосредоточено на пространствах с неразрешимой группой преобразований и разрешимым стабилизатором.
Пусть М - дифференцируемое многообразие, на котором транзитивно действует группа G,G=GX стабилизатор произвольной точки х £ М. Проблема классификации однородных пространств (М, G) равносильна классификации пар групп Ли (G, G) [5]. Пусть g - алгебра Ли группы Ли G, a g - подалгебра, соответствующая подгруппе G. Если однородное пространство допускает аффинную связность, то g-модуль g/g точен, а пара (g, д) является изотропно-точной. Для нахождения всех изотропно-точных пар нужно классифицировать (с точностью до изоморфизма) все точные трехмерные g-модули U (это эквивалентно классификации подалгебр в gl(3, R) с точностью до сопряженности, все такие подалгебры найдены в (6], дальнейшая нумерация соответствует приведенной там). Ограничимся случаем с ненулевым стабилизатором, так как все остальные однородные
51
52
Н.П. МОЖЕЙ
пространства - трехмерные группы Ли. Там, где это не будет вызывать разночтения, будем отождествлять подпространство, дополнительное к g в g, и факторпространство m = g/g. Аффинной связностью на паре (g, g) называется такое отображение Л : g ^ gl(m), что его ограничение на g - изотропное представление подалгебры, а все отображение g-инвариантно, инвариантные аффинные связности на однородном пространстве (М, G) находятся во взаимно-однозначном соответствии [7] с аффинными связностями на паре (g, g).
Опишем пару (g, g) при помощи таблицы умножения алгебры g; через {ei,..., en} обозначим базис g (n = dimg). Будем полагать, что подалгебра Ли g порождается векторами ei,..., еп_з, a {en_2, en-1, en} - базис m, для определенности обозначим его {u1,u2,u3}. Для нумерации подалгебр используем запись d.n, а для нумерации пар — запись d.n.m, соответствующие приведенным в [6], здесь d - размерность подалгебры, a n - номер подалгебры в gl(3, МД m - номер пары (g, g). Будем описывать аффинную связность на однородном пространстве через образы базисных векторов Л(и1), Л(и2), Л(и3), тензор кривизны R - через R(u1,u2), R(u1,u3), R(u2, u3), a тензор кручения T - через T(u1,u2), T(u1,u3), T (u2, u3). Предполагается, что переменные обозначены латинскими буквами и принадлежат М, а параметр обозначен ц, подалгебры с одинаковыми номерами, но разными значениями параметра ц не сопряжены друг другу.
Теорема 1. I. Пусть g - подалгебра алгебры JIu gl(3, М) такая, что пара (g, g) допускает нормальную связность, g неразрешим a, a g разрешима (g = {0}). Тогда g сопряжена одной и только одной из следующих подалгебр:
х у и x Z
4.21 Z ; 3.13 У
fix
ц = -1;.
ц = 0 ’
3.19
У Z
x
—х
У z X Z X У х X
3.21 X —х ; 3.25 У ; 2.8 У ; 2.9 -2 У 2 У ; 2.17 У
ж у X X X X
2.21 У ; 1-1 —х ; 1-3 —х ; 1-5 ; 1.8 X
—х
II. Пара (g, g) коразмерности 3, допускающая нормальную связность, такая, что g неразрешима, a g разрешима (g = {0}), эквивалентна одной и только одной из следующих пар:
4.21.11 ei е2 ез e4 u1 u2 из
ei 0 е2 0 e4 u1 0 0
е2 -е2 0 e4 0 0 e2 + u1 0
ез 0 -e4 0 0 0 —2e3 u2
е4 -е4 0 0 0 0 —e4 e2 + u1
U\ —U\ 0 0 0 0 0 0
и2 0 —e2 — u1 2e3 e4 0 0 —2u3
из 0 0 — u2 —e2 — u1 0 2u3 0
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
53
3.13.6
ei
e2
ез
ui
U2
из
ei б2 ез ui U2 из
0 —Ме 2 (1 - /х)е3 ui 0 М^
Ме2 0 0 ез 2е2 u2
(М - 1)ез 0 0 0 ез ui ;
—ui —ез 0 0 — ui 0
0 —2е2 —ез ui 0 2 uз
—MU3 —U2 —ui 0 —2 ^ 0
3.19.14 ei ег ез ui М2 мз
ei 0 -ег ез 0 u2 —^
ег ег 0 0 0 ui 0
ез -ез 0 0 0 0 ui
U\ 0 0 0 0 ез е2
М2 — М2 —ui 0 —ез 0 el
м3 мз 0 —ui —е2 —е! 0
М
3.21.6 ei ег ез ui М2 мз
ei 0 -ез ег 0 — ^ u2
ег ез 0 0 0 ui 0
ез -ег 0 0 0 0 ui
U\ 0 0 0 0 е2 ез
М2 мз — ui 0 —е2 0 el
м3 — u2 0 — ui —ез —el 0
-1,0,
3.21.7 ei ег ез ui М2 мз
ei 0 -ез ег 0 — ^ u2
ег ез 0 0 0 ui 0
ез -ег 0 0 0 0 ui
U\ 0 0 0 0 —е2 —ез
М2 мз — ui 0 е2 0 —el
м3 — u2 0 — ui ез el 0
3.25.30 ei ег ез ui М2 мз
ei 0 0 ег 0 ui 0
ег 0 0 0 0 е2 ui
ез ег 0 0 е2 2ез u2
U\ 0 0 —е2 0 —ui 0
М2 —ui —е2 —2ез ui 0 2^
м3 0 —ui —u2 0 —2^ 0
2.8.7 ei ег ui М2 м3 2.9.12 ei ег ui М2 мз
ei 0 0 ei 0 ui ei 0 -ег ui —2 м2 2 м3
ег 0 0 0 u2 0 ег ег 0 0 0 ui
U\ -ei 0 0 0 U\ —ui 0 0 е2 0
М2 0 — u2 0 0 0 М2 2m2 0 —е2 0 —el
м3 —ui 0 —^ 0 0 м3 —2m3 — ui 0 el 0
2.17.27 ei ег ui М2 мз 2.21.4 ei ег ui М2 м3
ei 0 0 2ei ег ui ei 0 ег ui 0 —^
ег 0 0 е2 0 u2 ег -ег 0 0 ui u2
U\ —2ei —е2 0 u2 2^ ’ — Wl 0 0 ui u2
М2 -ег 0 — u2 0 0 М2 0 —ui —ui 0
м3 — Wl —u2 —2^ 0 0 м3 —u2 — u2 —^ 0
54
Н.П. МОЖЕЙ
1.1.5 ei ui М2 м3 1.1.7 ei ui М2 м3
ei 0 ui — u2 0 ei 0 ui —u2 0
U\ — Ui 0 ei 0 , U\ —ui 0 ei + u3 0
М2 U2 —ei 0 0 М2 М2 —ei — u3 0 0
из 0 0 0 0 из 0 0 0 0
1.3.3 ei ui М2 м3 1.3.4 ei ui М2 м3
ei 0 —u2 ui 0 ei 0 —u2 ui 0
U\ М2 0 ei + u3 0 , U\ М2 0 -ei + u3 0
М2 — Ui —ei — u,3 0 0 М2 — ui CO 1 0 0
из 0 0 0 0 из 0 0 0 0
1.3.5 ei ui М2 м3 1.3.6 ei ui М2 м3
ei 0 — u2 ui 0 ei 0 —u2 ui 0
U\ М2 0 ei 0 , U\ М2 0 —ei 0 ,
из —ui —ei 0 0 М2 — ui ei 0 0
из 0 0 0 0 из 0 0 0 0
1.5.19 ei ui М2 из 1.8.2 ei ui М2 м3
ei 0 ei 0 ui ei 0 0 ui u2
U\ -ei 0 0 u3 , U\ 0 0 ui u2
М2 0 0 0 0 М2 —ui —ui 0 u3
из —ui —u3 0 0 из — М2 —u2 —■м3 0
Подалгебра 1.3 допускает риманову метрику, 2.21, 1.1, 1.8 - псевдориманову метрику, а 4.21, 3.13, 3.19, 3.21, 3.25, 2.8, 2.9, 2.17, 1.5 не допускают инвариантную метрику, пары 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6 допускают риманову метрику, 2.21.4, 1.1.5,
1.1.7, 1.8.2 - псевдориманову метрику, а 4.21.11, 3.13.6, 3.19.14, 3.21.6, 3.21.7, 3.25.30,
2.8.7, 2.9.12, 2.17.27, 1.5.19 не допускают инвариантную метрику.
Доказательство. Классификация разрешимых подалгебр в gl(3, R) приведена, например, в [6]. Для каждой такой подалгебры найдем изотропно-точные пары и выберем пары, допускающие нормальную связность, а также выпишем сами аффинные связности, их тензоры кривизны и кручения, алгебры голономии.
Рассмотрим, например, подалгебру g в gl(3, R) типа 2.21. Пусть E = {ei,e2} -базис в g,
1 0 0 \ 0 1 0
ei = Л^Д = 0 0 0 i e2 = ЛД2) = 0 0 1
\0 0 -1/ \0 0 0
так как ограничение отображения Л на g есть изотропное представление подалгебры. Через h обозначим нильпотентную подалгебру алгебры Ли g, порожденную вектором ец Имеем g“(h) = g“(h) х U “(h) для всех a G h* -Тогда g(0) (h) D D Rei, U(1)(h) D Rui, g(1)(h) D Rei, U(0)(h) D Ru2, U(-1)(h) D Ru3. В силу тождества Якоби получим
ei б2 ui М2 м3
ei 0 б2 ui 0 —u3
ег -62 0 0 ui u2
U\ — U\ 0 0 aiui aiu2
М2 0 — ui —aiui 0 aiu3
М3 u3 — u2 —aiu2 —aiu3 0
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
55
При а.\ = 0 отображение п : 04 ^ 0, где п(еД = ei, п(е2) = е2, n(ui) =
= — mi, 7г(м2) = — м2, 7г(мз) = — мз, устанавливает эквивалентность пар ai ai ai
и 2.21.4. При ai = 0 тара (0, 0) тривиальна, алгебра 0 является разрешимой и не входит в рассматриваемый в работе класс алгебр. Разумеется, пары не сопряжены друг другу, так как в случае 2.21.4 алгебра 0 не является разрешимой.
Пусть
Л(м1)
Pi,i Pi,2 Pi,3\ fqi,i qi,2 qi,3\ /ri,i r i,2 r 1,3
P2,i P2,2 P2,3 ) , Л(u2) = ( q2,i q2,2 q2,3) , Л(uз)= ( r2,i R2,2 r2,3
,P3,i P3,2 P3,3/ \q3,i q3,2 q3,3/ \r3,i r3,2 r3,3
для некоторых , q^j, r^j С R (при i,j = 1,2,3). Пусть, далее, (0,0) -пара 2.21.4. Отображение является 0-инвариантным, следовательно, из равенства [Л(е2),Л(м1)] = Л([е2,М1]) имеем [Л(е2),Л(м1)] = 0, поэтому P2,i = 0, p2,2 = Pi,i, Р2,3 = pi,2, P3,i = 0, P3,2 = P2,i, P3,3 = Pi,i, P3,2 = 0. Поскольку [Л(е1),Л(м1)] =
= Л([еьм1]), то [Л(е1),Л(м1)] = Л(мД Pi,i = Pi,3 = 0. Так как [ЛД2),Л(м2)] = = Л([е2,М2]), то [Л(е2),Л(м2)] = Л(мД q2,2 = qi,i + Pi,2, q2,3 = qi,2 + Pi,3, q3,3 = = q2,2 + Pi,2, q2,i = q3,i = q3,2 = 0. Если [Л(е1),Л(м2)] = ЛЦеь^]), а значит,
[Л(е1),Л(м2)] = 0, то qi,2 = qi,3 = 0. Поскольку [Л(е2),Л(м3)] = Л^,^]), то [Л(е2), Л(М3)] = Л(М2), qi,i = -Pi,2 = Г2,1 = Г3,2, Г2,2 = Гi,i, Г2,3 = ri,2, Г3,1 = 0, r3,3 = r2,2. Из равенства [Л(е1),Л(м3)] = Л([е1,м3]) вытекает, что [Л(е1),Л(м3)] = = — Л(м3), тогда ri,i = rij2 = rij3 = 0; получаем связность
0 Pi,2 0 \ /—Pi,2 0 0 \ / 0 0 0\
Л(м1) = ( 0 0 Pi,2 ) , Л(м2) = I 0 0 0 I , Л(м3) = I —Pi,2 0 0 1 .
\0 0 0 ) V 0 0 Pi,2/ V 0 —Pi,2 0/
Для остальных подалгебр рассуждения аналогичны. В частности, рассмотрим подалгебру 3.21. Пусть E = {е1, е2, е3} - базис в 0, где
/0 0 0\
е1 = Л(е1) =10 0 1) , е2 =Л(е2)
\0 -1 0/
0 1 0\
0 0 0) , е3 = Л(е3)
0 0 0/
0 0
0 0 0
0 0 0
Через f обозначим нильпотентную подалгебру алгебры Ли 0, порожденную вектором е1. Рассмотрим комплексный обобщенный модуль (0C, UC). Положим ei = = е.^ ® 1, i =1, 2, 3, и му = Uj ® 1, j = 1, 2, 3. Тогда E = {ei, e2, e3} - базис 0C. Векторное пространство UC может быть отождествлено с C3, пусть {Ui,U2,U3} -стандартный базис в UC. Тогда
0(O)(fC) = C ei, 0(i)(fC)= C (e2 + ies), 0(-i)(fC)= C (e — ieg), (UC)(0)(fC) = Cei, (UC)(+i)(fC) = C (м2 + i«3), (UC)(-i)(fC)= C (м2 — m3)
И
[е1, е2] = — е3,
[е1,е3] = е2, [е2,е3] = 0,
[е1, ui] = 0, [е2, ui] = pe2, [е3,М1]= peз, [е1,М2]= qeз — U3, [е2,М2]= ui, [е3,М2]= pel, [е1,М3] = U2 + reз, [e2,uз] = —pel, [eз,uз]= Ui;
56
Н.П. МОЖЕЙ
имеем (gC)(0)(hC) = Cei + CUi, (gC)(i)(hC) = C (£2 + *£3)+ C(u2 + Ш3), (gC)(-i)(hC) = = C (м2 - *из) + C (£2 - *£3). Поэтому [ui,U2] = 0,262 + озез + «2^2 + «з«з, [мьмз] = = б2в2 + Ьзвз + ^2^2 + взмз, [м2,м3] = ciei + Y1M1.
При p = 0, используя тождество Якоби, видим, что (g, g) эквивалентна (g2, g2), где последняя имеет вид
ei е2 е3 Mi м2 из
ei 0 —63 е2 0 —мз м2
е2 63 0 0 е2 м1 —е1
е3 -е2 0 0 ез е1 м1 .
U\ 0 —е2 -ез 0 м2 мз
м2 из — М1 -е1 —М2 0 0
из — М2 е1 —Mi —мз 0 0
Здесь отображение п : g2 ^ g 5 п(е* ) = е*, * = 1, 2, 3, п(мj
= 1, 2, 3. Полученная алгебра g является полупростой. Отображение Л является g-инвариантным, следовательно, [Л(е3), Л(м1)] = Л([е3, ui]), откуда [Л(е3), Л(м1)] = = Л(ез), [Л(е2),Л(м1)] = Л(е2), [Л(е1),Л(м^] = 0, [Л(ез),Л(м2)] = Л(е1); непосредственной проверкой получаем, что соответствующая система не имеет решений, пара не допускает аффинную связность.
При p = 0, используя тождество Якоби, видим, что [м1,м2] = о2е2, [м1,м3] = = 02ез, [м2,мз] = 02е1 + Y1M1, q = 0. При 02 = r = 0 тара (g, g) эквивалентна тривиальной паре (g1, g 1), отображение п : g ^ gi, п(е*) = е*,
Yi
i = 1,2,3, 7i{u\) = mi, я(м2) = м2 — — е3, я(м3) = м3 — е2. Полученная
алгебра g является разрешимой и не входит в рассматриваемый в работе класс алгебр. При о2 = 0, r = 0 тара (g, g) эквивалентна (g3, g3), п : g3 ^ g, п(е*) = е*,
* = 1,2,3, 7t(mi) = -мь 7г(м2) = I (и2- уез) , k(u3) = ± (u,3 - у e2j . Полученная алгебра g также является разрешимой и не входит в рассматриваемый в работе класс алгебр.
При о2 > 0, r = 0 отображение п : g4 ^ g такое, что п(е1) = т1, п(е2) = = ^уе2, -(ез) = ф;ез, tt(mi) = ф;ии ^(м2) = — (м2-|е3|, тг(м3) =
= __ (из — е2^), устанавливает эквивалентность пар (g,fl) и (g4,04), где по-
л/ог V 2 /
следняя имеет вид
б\ е2 63 м1 м2 из
ei 0 —63 62 0 —мз м2 + ез
62 63 0 0 0 м1 0
63 -62 0 0 0 0 м1
U\ 0 0 0 0 е2 ез
м2 из — м1 0 —е2 0 е1
из CN 3 1 со 0_) 1 0 —м1 —ез —е1 0
Отображение Л является g-инвариантным, следовательно, [Л(ез), Л(м1)] =
= Л([ез, ui]) ^ [Л(ез), Л(м1)] = 0, [Л(е2), Л(м1)] = 0, [Л(е1), Л(м1)] = 0,
[Л(ез), Л(м2)] = 0, [Л(е2), Л(м2)] = Л(м1), [Л(е1), Л(м2)] = -Л(мз), [Л(е1), Л(мз)] = = Л(е3) + Л(м2); непосредственной проверкой получаем, что соответствующая система не имеет решений и пара не допускает аффинную связность.
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
57
При а2 < 0, r = 0 нетрудно проверить, что пара (fl, g) эквивалентна паре (05,05)
ei e2 e3 ui u2 из
ei 0 -e3 e2 0 —U3 U2 + е3
e2 e3 0 0 0 ui 0
e3 -e2 0 0 0 0 ui
U\ 0 0 0 0 —е2 —е3
u2 M3 —ui 0 е2 0 —el
M3 C3 3 1 CO 1 0 —ui е3 е! 0
Отображение Л является g-инвариантным, следовательно, [Л(ез), Л(и^] = 0, [Л(е2),Л(мх)] = 0, [Л(ех),Л(мх)] = 0, [Л(ез),Л(и2)] = 0, [Л(е2),л(и2)] = Л(иД [Л(ех),Л(и2)] = —Л(и3), [Л(ех),Л(и3)] = Л(е3) + Л(и2); непосредственной проверкой получаем, что система уравнений не имеет решений и пара не допускает аффинную связность.
При а2 > 0, r = 0 тара (fl, g) эквивалентна паре (fl6,0е), то есть 3.21.6,
отображение п : fl6 ^ g, п(е*) = е*, i = 1,2,3, п(иi)
1
п(и2) =
1 / Yi \ 1 / Yi N
= м2 —— е3 , 7г(м3) = м3 —— е2 . Отображение Л является д-ин-
л/о2 V 2 / л/аг V 2 /
вариантным, следовательно, [Л(е3), Л(и1)] = Л([е3, и1]), поэтому [Л(е3), Л(и1)] =0, [Л(е2),Л(и1)] = 0, [Л(е1),Л(и1)] = 0, [Л(е3),Л(и2)] = 0, [Л(е2),Л(и2)] = Л(и1), [Л(е1),Л(и2)] = —Л(и3), [Л(е1),Л(и3)] = Л(и2); непосредственной проверкой полу-
чаем связность
0 0 0\
Л(ul) = 0 0 0) , Л(и2)
\0 0 0
0 qi,2 qi,3 \ 0 —qi,3 qi,2
0 0 0 ) , Л(и3) = 0 0 0
0 0 0 / \0 0 0
При а2 < 0, r = 0 тара (fl, g) эквивалентна паре (fl7, g7), то есть 3.21.7. Отображение Л является g-инвариантным, непосредственной проверкой получаем, что связность совпадает с приведенной для 3.21.6.
Заметим, что dim[Dg2, g2] = dim[Dg*, fl*], где i G {1, 3, 4, 5, 6, 7}; dimDgi = = dim Dg6, dim Dg1 = dim Dfl7; любая подадгебра Леви в g6 изоморф на sl(2, R) и любая подалгебра Леви в fl7 изоморф на su(2); dim Dfl3 = dim Dg4, dim Dfl3 = = dim Dg5; любая подадгебра Л еви в g4 изоморф на sl(2, R) и любая подалгебра Леви в 05 изоморфна su(2). Отсюда следует, что пары (g*, g*), i G {1, 2,..., 7}, не эквивалентны друг другу.
Рассмотрим теперь, например, подалгебру 1.3; пусть {е1} - базис в g, где
( 0 1 °\
е1 =Л(е1) = 1—1 0 0 I .
V 0 0 0/
Тогда (с точностью до Aut(g, g)) имеем [е1,и1] = —и2, [е1,и2] = и1, [е1,и1] = = ре1, р G R. Положим [ui,U2]= а1е1 + aiui + «2U + a3U3, [ui,U3]= b^i + ви + + в2и2 + в3и3, [и2, и3] = с1е1 + Yiui + Y2u2 + Y3u3. Проверив тождество Якоби, получаем «3р = 0, «2 = «1 = Y3 = 0, в3Р + ci =0, в + Yi = 0, Y2 — А — Р = 0, Y3P — bi =0, Y2 — ei + Р = 0, eiai = 0, eia3 = 0. Изоморфизм п : g' ^ g, п(е^ = = el, n(ui) = ui, n(u2) = U2, n(u3) = U3 + ^еь устанавливает эквивалентность
58
Н.П. МОЖЕЙ
паР (д, fl) и (д', д'), где последняя имеет вид
ei U1 U2 и3
ei 0 — «2 «1 0
U\ U2 0 а1е1 + аз«з в1«1
U2 —«1 — -а1е1 — аз«з 0 в1«2
u3 0 —в1«1 —в1«2 0
Пусть а\а3 = 0. Тогда пара (д,д) эквивалентна паре 1.3.3 или паре 1.3.4: п : 03(4) —► 0, 7r(ei) = еь 7t(mi) = у/\'аГ\и1, тг(и2) = V/MM2, тг(мз) = — и3. Пары
«3
1.3.3 и 1.3.4 не эквивалентны, поскольку подалгебра Леви 1.3.4 изоморфна su(2), а подалгебра Леви 1.3.3 - sl(2, R).
Пусть аз =0, а\ ф 0. Тогда пара (g,g) эквивалентна паре 1.3.5 или паре 1.3.6: я : g5(6) —> g, 7r(ei) = е\, tt(ui) = л/\а\\ мц 7г(м2) = \J\a1\u2, и{и3) = м3. Пары 1.3.5 и 1.3.6 не эквивалентны, поскольку подалгебра Леви 1.3.6 изоморфна su(2), а подалгебра Леви 1.3.5 - sl(2,R). Эти пары не эквивалентны парам 1.3.3 и 1.3.4, так как dimDgs^ П д = 0, a dimDg3,4 р| д = 0. Пусть а3 = 0, ai = 0. Тогда пара (0, д) эквивалентна паре 1.3.7, п : 07 ^ д, п(е1) = e1, п(и1) = u1, п(м2) = «2, п(и3) = a-1u3 (0 разрешима и не входит в рассматриваемый в работе
так как ее
1,
, 6,
класс алгебр). Пара 1.3.7 не эквивалентна парам 1.3л, i нильпотентный радикал имеет нетривиальный подмодуль.
Пусть а3 = а1 =0, в1 = 0. Тогда пара (0, д) эквивалентна паре 1.3.2, п : д2 ^ д, п(е1) = e1, п(и1) = u1, п(и2) = u2, п(и3) = Д «3 (0 разрешима и не входит в рассматриваемый в работе класс алгебр). Если а3 = а1 = в1 = 0, то пара (д, д) тривиальна (д разрешима и не входит в рассматриваемый в работе класс алгебр). Пара 1.3.1 не эквивалентна парам 1.3л, i = 3,..., 6, так как 1.3.1 разрешима. Пары 1.3 л, i = 1, 3, 4, 5, 6, 7, и 1.3.2 не эквивалентны, поскольку пары
1.3. i имеют нетривиальный центр Z(д7) = RU3.
Прямыми вычислениями получаем, что нормальную связность допускают пары 1.3.3—1.3.6. Поскольку отображение Л является д-инвариантным, [Л(е1), Л(м1)] = = Л([е1, u1]), а значит, [Л(е1), Л(и1)] = — Л(и2), получаем p2j1 = —p1j2, щд =
= —Р1,2 — Р2,1, q1,2 = —P2,2 + P1,1, q1,3 = —P2,3, q2,1 = —P2,2 + P1,1, ?2,2 = P1,2 + P2,1,
q2,3 = P1,3, q3,1 = —P3,2, q3,2 = P3,1, q3,3 = 0. Так как [Л(еД, Л(м2)] = Л(м1), имеем
Р1,з'
Р2,3
0
= 0, Р2,1 = 0, Р1,2 = 0.
Г2,3 = Г1,3 = = Г3,2 = Г3,1 =
( 0 0
Л(«1) = (0 0
\Р3,1 Р3,2
( 0 0
Л(«2) = ( 0 0
V — Р3,2 Р3,1
j ( Г1,1 Г 1,2
Л(«з) = —Г1,2 Г1,1
! 1 0 0
Проведя выкладки, аналогичные приведенным выше, получаем пары, таблицы умножения и изотропные представления которых приведены в теореме 1. Для других разрешимых подалгебр однородных пространств с неразрешимой д, допускающих нормальную связность, нет. Выпишем для найденных пар разложение Леви
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
59
Пара Разложение Леви
4.21.11 {{8e4,-8e2—8ui,ei,ui},{-32e3,8e4+16u2,16e2+16ui-32u3}}
3.13.6 {{2мь e3, ei}, {4e2, e3 + 4m2, Щ + 4m3}}
3.19.14 {{—62, иi, e3}, {—Mi + м2, —м3, e\ — ег}}
3.21.6 {{—ез, ег, mi}, {—м3, —Mi + м2, e\ — e3}}
3.21.7 {{mi, &21 —e3}, {—m3, Mi + м2, — e\ — e3}}
3.25.30 {{2мь eb e2}, {4e3, e2 + 4m2, mi + 4m3}}
2.8.7 {{м2, 62}, {ei, mi, m3}}
2.9.12 {{mi, —62}, {—2m2, 2mi+2m3, —ei—ег}}
2.17.27 {{м2, e2}, {2еь e2 + мь 2e2 + 2m3}}
2.21.4 {{ei + м2, — &2 + Mi}, {mi, —m3, м2}}
1.1.5 {{«3}, {—ei, —mi, —м2}}
1.1.7 {{«3}, {—ei — m3, —Mi, —м2}}
1.3.3 {{«3}, {ei + m3, Mi, м2}}
1.3.4 {{«3}, {—ei + m3, —Mi, —м2}}
1.3.5 {{«3}, {ei, mi, м2}}
1.3.6 {{«3}, {—ei, —mi, —м2}}
1.5.19 {{^2}, {ei, mi, m3}}
1.8.2 {{—ei + Mi}, {mi, м2, m3}}
Тогда аффинные связности на найденных парах имеют вид
Пара
0 0 pi,3
4.21.11
0 0 0 0 0 0
Связность
0 0 0 \ / r 11 0 0
0 1 pi,3 I , I 0 ri,i 0
0 0 -1 ) \ 0 1 ri,i+pii3
3.13.6, yu=0
0-1 pi,3 \ 0 0 0 \ l ri,i 0 0 \
0 0 0 1,1 0-192,3 ),( 0 ri,i+pii3-92,3 Г2,3 I
00 0/ \00 1/ \0 -1 ri,i+pi,3)
3.13.6, yU=-1
3.19.14
0 -1 0
0 0 P2,3
0 0 0
0 0 0 \
0 0 0 1
0 0 0 /
0 0 0 / 0 0 0
0 1 1—1 0 -P2,3 0 0
0 0 1—1 V 0 -1 0
0 9i,3 \ / 0 r i,2 0
0 0 I , ( 0 0 0
0 0 / V 0 0 0
3.21.6
3.21.7
0 0 0 \ /0 9i,2 9i,3
0 0 0 I > ( 0 0 0
0 0 0 / 1 0 0 0
0 -qi,3 9i,2
0 0 0
0 0 0
3.25.30
0 -1 pi,3 \ / 0 0 9i,3
0 0 0 I , ( 0 -1 pi,3
0 0 0 ) \ 0 0 1
ri,i -9i,3 ri,3 0 rii 0
0 -1 r i,i+pi,3
60
Н.П. МОЖЕЙ
2.8.7
1/2 0 pi,3 \ / 0 0 0 \ / r 1,1 0 r 1,з \
0 0 0 I , I 0 0 92,3 ), ( 0 Г2,2 0 I
0 0 1/2 У у 0 0 0 ) \ -1/2 0 ri,i+pi,3)
2.9.12
тривиальная
2.17.27
2.21.4
1.1.5
1.1.7
-1 0 pi,3 \ /00 91,3 \ / ri,i -91,3 r 1,3 \
0 0 p2,3 ), ( -10 92,3 ), ( -Р2,3 ri,i+pi,3—92,3 r2,3 )
00 ^ \ 00 ^ V -1 0 ri,i+pi,3 )
( 0 pi,2 0 \ ( Pi,2 00 \ ( 0 0 0 \
0 0 pi,2 1 , ( 0 0 0 1 , ( -pi,2 0 0 1
у 0 0 0 J \ 0 0 pi,2 ) \ 0 -pi,2 0 )
( 00 pi,3 \ ( 0 0 0 \ ( ri,i 0 0 \
( 0 0 0 ) , ( 0 0 92,3 ) , ( 0 r2,2 0 )
\ 0 Р3,2 0 / \ 93,1 0 0 / \ 0 0 r3,3 /
1.3.3
1.3.4
0 0 pi,3 \ / 0 0 -p2,3 \ / ri,i r 1,2 0 \
0 0 p2,3 I , ( 0 0 pi,3 I , ( r 1,2 ri,i 0 I
P3,1 P3,2 0 J \ -P3,2 P3,i 0 J \ 0 0 r3,3 J
1.3.5
1.3.6
1.5.19
0 0 pi,3 \ / 0 0 -p2,3 \ / ri,i r 1,2 0 \
0 0 p2,3 I , ( 0 0 pi,3 I , ( r 1,2 ri,i 0 I
P3,1 P3,2 0 / \ -p3,2 P3,i 0 J \ 0 0 r3,3 J
1/2 pi,2 pi,3 \ / 91,1 9i,2 9i,3 \ / r 1,1 r 1,2 r 1,3 \
0 0 P2,3 I , ( 0 92,2 92,3 I , ( -P2,3 r2,2 r2,3 I
0 0 pi,i+1 / \ 0 0 91,1 У \ -1/2 pi,2 ri,i+pi,3 У
1.8.2
0 pi,2 Pi,3
0 0 pi,2
0 0 0
-pi,2 91,2 91,3 \ / ri,i r 1,2 r 1,3
0 0 9i,2+Pi,3 I, ( Pi,2 ri,1+91,2 ri,2+91,3
0 0 pi,2 У \ 0 -pi,2 ri,1+291,2+pi,3
Тензор кручения T £ Inv T21(m) и тензор кривизны R £ Inv T31(m) имеют вид T(xm,ym) = A(x)ym - A(y)xm - [x, y]m, R(xm,ym) = [Л(х), Л(у)] - Л([х,у]) для всех x, y £ 9, в частности, в случае 2.21.4 тензор кривизны определяется по формулам
R(ui,u2) = [A(ui), Л(и2)] - A([ui, U2]) =
= Л(м1)Л(м2) - Л(м2)Л(м1) - Л(м1)
0 Р2,2 - Р1,2 0 0
0 0
2 0 )
Р2,2 - Р1,2 I , 0 /
R(ui, U3) = [Л(«1), Л(м3)] - Л([мь U3]) =
[Л(м1), Л(м3)] - Л(м2)
■Р2,2 + Р1,2 0 0
0 0
0 0
0 p2,2 - Р1,2
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 61
R(U2, из) = [Л(и2), Л(из)] - Л([п2,и3}) =
/ 0 0 0\
[Л(и2), Л(из)] — Л(из) = I —pi,2 + Pi,2 0 0| ,
V 0 —P2,2 + Pi,2 °/
а тензор кручения - по формулам
T(ui,U2) = Л(и1)(и2)т — Л(и2)(и1)т — [и1,и2]т = { 2pi,2 — 1 0 0 ),
T(и1,из) = Л(и1)(из)т — Л(из)(и1)т — [ui, из]т ^ 0 2pi,2 — 1 0 ),
T(и2,из) = Л(и2)(из)т — Л(из)(и2)т — [и2,из]т ^ 0 0 2pi,2 — 1 ).
Проведя аналогичные вычисления, получаем
(—i
00
00
43
со
4
43
43
43
43 43
со со ~1 ~1
со со
^ \
1 2 2
"со "со
J, J,
43 43
to to
4
4
43 со со ^ to СО
4
43 "со со ^
4
43
43
43
4
О to й
43 to w 43 ^
4° I
со -$ 43 н-
43
43
43
о
43
I
•з
со
"со
43
43
I
' -з 43
43
О О |
4
e‘ej-i‘efee‘i<i-e‘z6z‘e<i
z‘£d«‘«d-z‘Zdi‘ed о\ /T'sfes'id-s'zfez'scf
to to to
(—*• to CO
СЛ (—i
to to
2
"со
03
CO
1
О О
43
I
43
4
'4
43
'4
2
CO |
_ I to
О 1 кС5
to ^
05 CO
to
"со
~1
I
Ю
~1
I
43
CO
03
to
03
о
43
"to
to
4
IO w
•4 ^
I ~w
CO 43
-1 to
1 43 ~1 4" ^ CO 00 | 1 CO
"to to О О 1 43 _ "to О О to со 4^ i w + 43 л £ £ 43 I i° ^ CO -s 43 r I 4^ со О 1 кС5 to ^ 03 со to "со
"to CO _L "CO 43 ^ to ^
О О О "to "со J-1, 1 i° CO
43
Н.П. МОЖЕЙ
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
63
1.3.4
1.3.5
1.3.6
1.5.19
0 0 —P2,3r3,3-ri,2Pl,3+ri,lP2,3
0 0 Р1,3Г3,3—T,lPl,3—T,2P2,3
v-P3,2ri,1-p3,iri,2+r3,3P3,2 Р3,1Г1,1-Р3,2Г1,2-Г3,3Р3,1 0
-Pl,3P3,2+P2,3P3,1-ri,1 Pi,3P3,1+P2,3P3,2+1-г,2 0
-P2,3P3,2-Pi,3P3,1-1+ri,2 -Pl,3P3,2+P2,3P3,l-ri,l 0
0 0 -2P2,3P3,i+2Pi,3P3,2-r3,3
0 0 Pl,3r3,3-ri,lPl,3-ri,2P2,3
0 0 P2,3r3,3+ri,2Pl,3-ri,lP2,3
. P3,iri,l-P3,2ri,2-r3,3P3,l P3,iri,2+P3,2ri,l-r3,3P3,2 0
0 0 -P2,3r3,3-ri,2Pl,3+ri,lP2,3
0 0 Pl,3r3,3-ri,lPl,3-ri,2P2,3
4-P3,2ri,l-P3,iri,2+r3,3P3,2 P3,iri,l-P3,2ri,2-r3,3P3,l 0
-Pl,3P3,2+P2,3P3,l Pl,3P3,l+P2,3P3,2-1 0
-P2,3P3,2-Pl,3P3,l+1 -Pl,3P3,2+P2,3P3,l 0
0 0 -2p2,3P3, i+2p i, 3P3,2 ,
0 0 Pl,3r3,3-ri,lPl,3-ri,2P2,3
0 0 Р2,3Г3,3+Г1,2Р1,3-Г1,1Р2,3
ЧР3,1Г1,1-Р3,2Г1,2-Г3,3Р3,1 Р3,1Г1,2+Р3,2Г1,1-Г3,3Р3,2 0
0 0 -Р2,3Г3,3-Г1,2Р1,3+Г1,1Р2,3
0 0 Pl,3r3,3-ri,lPl,3-ri,2P2,3
V-P3,2ri,l-p3,irii2+r3,3P3,2 Р3,1Г1,1-Р3,2Г1,2-Г3,3Р3,1 0
-Pl,3P3,2+P2,3P3,l Pl,3P3,l+P2,3P3,2+1 0
-P2,3P3,2-Pl,3P3,l-1 -Pl,3P3,2+P2,3P3,l 0
0 0 -2p2,3P3,i+2pi,3P3,2
0 0 Р1,3Г3,3 r l,lPl,3 r 1,2P2,3 1
0 0 Р2,3Г3,3+Г1,2Р1,3-Г1,1Р2,3
ЧР3,1Г1,1-Р3,2Г1,2-Г3,3Р3,1 Р3,1Г1,2+Р3,2Г1,1-Г3,3Р3,2 0
0 0 -Р2,3Г3,3-Г1,2Р1,3+Г1,1Р2,3'
0 0 Pl,3r3,3-ri,lPl,3-ri,2P2,3
v-P3,2ri,l-p3,iri,2+r3,3P3,2 Р3,1Г1,1-Р3,2Г1,2-Г3,3Р3,1 0
0 -qi,2/2+pi,2q2,2-qi,ipi,2 -qi,3+pi,2q2,3-qi,2P2,3
0 0 P2,3qi,1-2,2P2,3-2,3/2
0 0 0
/-Pl,2P2,3-Pl,3/2-ri,i -3ri,2/2+pii2r2,2+Pl,3Pl,2-ri,lPl,2 A
0 2pi,2P2,3-r2,2 B
0 0 -pi,2P2,3-Pl,3/2-ri,i_
A = -2r 1,3 + Р1,2Г2,3 + Pl,32 - ri,2P2,3,
B = Р2,3Г1,1 + 2p2,3Pl,3 - Г2,2Р2,3 - 3^/2,
64
Н.П. МОЖЕЙ
I -qi,2P2,3- 91,3/2 91,1-1,2+91,2-2,2+ 91,2-2,3+91,3P1,3--1,292,3 \
+ 91,3P1,2 -1,191,2 -1,292,2
P2,391,1-92,2P2,3-92,3/2 P1,292,3+91,2P2,3 H
\ 0 91,1P1,2+91,2/2-p1,292,2 91,3/2-p 1,292,3 )
H = 92,2-2,3 + 92,3-1,1 + 92,3P1,3 + P2,391,3 - -2,292,3 - -2,391,1
1.8.2
0 P1,22 - P1,2 3p1,3P1,2 - P1,3
0 0 P1,22 - P1,2
0 0 0
P1,22+P1,2 91,2P1,2-P1,3P1,2-91,2 P1,291,3+2P1,391,2+P1,32-91,3\
0 0 91,2P1,2+2P1,3P1,2-91,2-P1,3 I,
0 0 P1,22-P1,2 )
91,2P1,2 -1,1 --1,2P1,2+91,22-P1,291,3--1,2 A \ -P1,22+P1,2 -P1,3P1,2--1,1-91,2 B I ,
0 -P1,22+P1,2 C )
A =-2P1,2-1,3+391,291,3+91,3P1,3--1,2P1,3--1,3,
B = 91,22+2P1,391,2+P1,32--1,2P1,2--1,2-91,3, _______________C = 91,2Pl,2+Pl,3Pl,2--l, 1-291,2~Pl,3________________
Пара Тензор кручения
4.21.11 (0,0,0), (pij3 - r 1,1,0, 0), (0,pij3 - r 1,1,0)
3.13.6, /1 = o (0,0, 0), (pij3 — Г1Д, 0,0), (0, 2<й,3 -1*1,1 - Pi,3,0)
3.13.6, /л = — 1 (0,0,0), (0,2p2,3,0), (0,0,0)
3.19.14 (0,0, 0), (0, 0,0), (<71,3 - 1*12,0, 0)
3.21.6 (0,0, 0), (0, 0,0), (2</i,3, 0,0)
3.21.7 (0,0, 0), (0, 0,0), (2</i,3, 0,0)
3.25.30 (0,0, 0), (pi,3 - 1*1,i,0,0), (291,3,pi,3 — 1*1,1, 0)
2.8.7 (0,0, 0), (pi,3 - 7*1,1,0,0), (0, <72,3 - 1*2,2, 0)
2.9.12 нулевой
2.17.27 (0, 0,0), (P1,3 - -1,1,2P2,3,0), (291,3, 292,3 - -1,1 - P1,3,0)
2.21.4 (2pi,2 - 1, 0,0), (0, 2pi,2 -1,0), (0, 0, 2pi,2 - 1)
1.1.5 (0,0,753,2 - 93,1) , (711,3 - 1*1,1,0,0) , (0, <72,3 - 1*2,2,0)
1.1.7 (0,0,713,2 - 93,1 - 1), (711,3 - 1*1,1,0,0), (0, <72,3 - 1*2,2, 0)
1.3.3 (0,0,2753,2-1), (751,3-1*1,1,952,3+1*1,2,0) , (-752,3-1*1,2,951,3-1*1,1,0)
1.3.4 (0,0,2713,2-1) ,(751,3-1*1,1,952,3+1*1,2,0) ,(-952,3-1*1,2,951,3-1*1,1,0)
1.3.5 (0,0,2713,2) ,(751,3-1*1,1,952,3+1*1,2,0) ,(-952,3-1*1,2,951,3-1*1,1,0)
1.3.6 (0,0,2713,2), (751,3-1*1,1,952,3+1*1,2,0), (-952,3-1*1,2,951,3-1*1,1,0)
1.5.19 (951,2-91,1,0,0), (951,3-Г1,1,2712,3,0), (91,3-1*1,2,92,3-1’2,2,91,1-Pi,2)
1.8.2 (2711,2-1,0,0), (711,3-7-1,1,2711,2-1,0), (91,3-7*1,2,751,3-1*1,1,2711,2-1)
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
65
Алгебра Ли группы голономии инвариантной связности Л : g ^ gl(3, R) на паре (g,g) - это подалгебра алгебры Ли gl(3,R) гада h* = V + [Л(д),У] + + [Л(д), [Л(д),У]] + ..., где V - подпространство, порожденное множеством {[Л(х), Л(у)] — Л([х,у])\х, у £ g}. Прямыми вычислениями находим
Пара
Алгебра голономии
4.21.11
r 1,1=0, pi,3=0
pi 0 0
0 pi 0
0 0 pi
p2
Pi
Pi,3=0, Y = 2ri,i/pi,3 I 0 P5+(1+y)P6 P3
0 P4 —P5+(l+Y)Pe t
иначе
нулевая
3.13.6, yu=0
q2,3=2pi,3, Г2,3=Р?3, ri,i=0
q2,3=2pi,3, Г2,3=Р?3, ri,i=0
pi 0 0
0 pi 0 0 0 pi
P6 P2 Pi 0 P5+P6 P3
0 P4 —P5+P6
0 P2 Pi
q2,3=2pi,3, r2,3=p?j3, ri,i=0 I 0 p5 P3
0 p4 p 5
q2,3=2pi,3, r2,3=(q|,3+q2,3)/4, y = 2ri,i/(2Pi,3 — q2,3)
Yp3 p2 pi
0 (y + 1)p3 0 0 0 (y + 1)p3
q2,3=2pi,3, r2,3=(q2,3+q2,3)/4, y = 2ri,i/(2Pi,3 — q2,3)
3.13.6, yu=—l
P2,3=0
Yp6 p2 pi \
0 (y+1)p6+p5 p3 , иначе нулевая
0 p4 (y+1)p6—p5 /
sl(3, R)
P2,3=0
нулевая
3.19.14
3.21.6
3.21.7
0 p2 pi
0 p3 0
0 0 —p3
0 pi p2
0 0 —p3
0 p3 0
66
Н.П. МОЖЕЙ
3.25.30
2.9.12
2.21.4
Pi,3=r 1,3=0, ri,i=0
Pi,3=ri,i=0, r 1,3=0
Pi,3=0, ri,3=0, ri,i=0
Pi,3=0, Y = 2ri,i/pi,3
иначе
Pi 0 0
0 Pi 0
0 0 Pi
0 Pi P2 ^
0 0 0
0 0 0 У
Pi P2 P3
0 Pi 0
0 0 Pi
YP6 P2 Pi
0 P4+(1+Y )P6 P3
0 P5 -P4+(1+y)P6
нулевая
Pi,2=0, 1 Pi,2=0, 1
P2 0 Pi
0 -2p2 0
0 0 2P2
( P3 Pi 0 '
I P2 0 Pi
V 0 P2 —P3
нулевая
Положим ag равной подалгебре в gl(3, R), порожденной множеством {Л(х); x £ g}. Связность нормальна, если f* совпадавт с ag . Определим, в каких случаях связность является нормальной. Для пары 4.21.11 связность нормальна, если Pi 3 =
= — 2ri,i = 0, тогда алгебра голономии есть
Pi P2 P3
0 P4 P5
0 P6 —P4
При p1,3 = 0 алгебра
голономии не более чем одномерна и связность нормальной не является, при Pi,3 = — 2ri,i образ Л(д) те лежит в алгебре голономии, поэтому f* = ag.
У пары 3.13.6 (р = 0) связность является нормальной при q2 3 = 2ri i + 2p13,
ri,i = 0, r2,3 = (q2,3 + q2,3)/4, тогда алгебра голономии есть
Pi P2 P3 \
0 P4 P 5 1
0 P6 —P4/
ни - - это sl(3, R)
. При
р = — 1 связность нормальна, если p2 3 = 0, алгебра голономии
У пар 3.19.14, 3.21.6 и 3.21.7, 2.9.12 связности являются нормальными, у пары 2.21.4 связность нормальна, если p1,2 =0,1, у пары 3.25.30 связность нормальна, если pi,3 = 0 (y = 2ri,i/pi,3), алгебры голономии приведены в таблице.
Для пары 2.8.7 связность является нормальной при p1 3 = —2r1 1,
ri,3 = 1/2p1,3^ q2,3 = 0, тогда алгебра голономии есть
= 0, r1,3 = 1/2p1,32, q2,3 = 0, тогда алгебра голономии есть
[ Pi, 3 = —2ri,i, Г2,2 = 0,
'Pi 0 P2 \
0 P3 0 ) , либо при
P4 0 —PiJ
Pi,3 = —2ri,i,
(Pi 0 P2
I P4 P5 P6
\P3 0 —Pi
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
67
Для пары 2.17.27 связность нормальна при q^3 = 0, q2,з = 2pi,3 + 3од, тогда алгебра голономии - это sl(3, МД либо при q1,3 = 0, q2,3 = 2p1j33r1j1 - gl(3, R),
(Pi 0 p2 P3 0 P4
P 5 0 -pit
(Pi 0 p2N Ps 0 P4
P5 0 P6,
P1,3 + 2r 1,1
либо при q1,3 = 0, r 1,3 = P1,32/4, r1,1 + P1,3 - q2,з = 0, Y
^P5 + YP6 0 pi
Ps P6 P2
P4 0 P5 + YP6,
2r1,1 + 2p1,3 - 2q2,з
У пары 1.1.5 связность нормальна, если P1,3q3,1=P3,2q2,3 Г2,2=-'1,Ь Г3,3=0,
тогда алгебра голономии есть
Pi 0 P1,3P2 \
0 -Pi q2,3Ps I;
q3,1Ps P3,2P2 0 J
P1,3=0, q3,1P3,2q2,3 = 0 Гз,3=-'2,2-Г1,1,
(Г3,3=Г2,2, P3,2q2,3 = 1/2 ИЛИ Гз,з = Г2д),
P1,3=0, q3,1=0, P3,2q2,3 = 0 Г3,3=-Y,2-0,1, (Г3,3=Г2,2, P3,2q2,3 = 1/2 ИЛИ Гз,з = Г2,2),
P1,3 = 0, q3,1=0, P3,2q2,3 = 0 Гз,3=-*2,2-Г1,1,
(0,3=0,2, Рз,242,3 Д 5 ИЛИ г3,3 Д г2,2),
P1,3 = 0, q3,1 = 0 P3,2=0 q2,3 = 0 0,3=—’2,2 Г 1,1, (о,з=Од, P1,3q3,1 = 1/2 шш гз,з = Г1,1),
P1,3 = 0, q3,1 = 0 P3,2=0 q2,3=0 Гз,3=-*2,2-Г1,1, (о,з=Од, P1,3q3,1 = 1/2 шш гз,з = rM),
P1,3 = 0, q3,1 = 0 P3,2 = 0 q2,3=0, 0,3=—Y,2 r 1,1, (гз,з=Т1,1, P1,3q3,1 = 1/2 шш гз,з = rM),
Pi 0 0
Ps P2-Pi P4
P5 P6 —P2
Pi 0 0
0 P2-Pi Ps
0 P4 —P2
Pi Ps P4
0 P2-Pi P5
0 P6 —P2
Pi 0 Ps
P4 P2-Pi P5
P6 0 —P2
Pi 0 Ps
0 P2-Pi 0
P4 0 —P2
Pi Ps P4
0 P2-Pi 0
P5 P6 —P2
P1,3q3,1 = P3,2q2,3 = 0 Гз,3=-*2,2-Г1,1,
У пары 1.1.7 связность нормальна, если
P1,3q3,1=P3,2q2,3 (г2,2=-Г 1,1 = 0 ИЛИ Г2,2=-Г1,1=0, P3,2q2,3 = 1), гз,з=0 (r1,1 =-1 или P1,3q3,1 = 0),
sl(3, М).
Pi 0 P1,3P2
0 -Pi q2,3Ps
q3,1Ps P3,2P2 0
тогда алгебра голономии есть
68
Н.П. МОЖЕЙ
Р1,343,1=Р3,242,3 = 0,
Г2,2 2^1,Ь Гз,3=^(г2,2+Г1,1),
(Р1+-1ДР4 0
0 -Р1+Г2,2Р4
V
43,1Р3 Р3,2Р2
Р1,3Р2 42,3Р3 -2,2 + - 1,1
-P4
2
Р1,3=0, 43,1Р3,242,3 = 0 -3,3=—2,2—1,1,
{Г3,3=Г2,2 = 1/2 Р3,242,3 = 1/2 ИЛИ -3,3 = -2,2, -1,1 =—-),
Р1,3=0, 43,1=0 Р3,242,3 = 0 —3,3=—2,2 —1,1,
(—3,3=—2,2 = 1/2 Р3,242,3 = 1/2 ИЛИ -3,3 = -2,2, -1,1 =—-),
Р1,3 = 0, 43,1=0 Р3,242,3 = 0 -3,3=—2,2 -1,1,
(-3,3=-2,2 = 1/2 Р3,242,3 = 1/2 ИЛИ -3,3 = -2,2, -1,1 =—-),
Р1,3 = 0, 43,1 = 0 Р3,2=0 42,3 = 0 -3,3=—2,2 -1,1,
(-3,3=-1,1 =-1/2 Р1,343,1 = 1/2 ШШ -3,3 = -1,1, -2,2 = 1),
Р1,3 = 0, 43,1 = 0 Р3,2=0 42,3=0 -3,3=--2,2—-1,1,
(-3,3=-1,1 =-1/2 Р1,343,1 = 1/2 ШШ -3,3 = -1,1, -2,2 = 1),
Р1,3 = 0, 43,1 = 0 Р3,2 = 0 42,3=0 -3,3=—2,2 -1,1,
(-3,3=-1,1 =—1/2 Р1,343,1 = 1/2 ШШ -3,3 = -1,1, -2,2 = 1),
Р1 0 0
Р3 Р2—Р1 Р4
Р5 Р6 —22
Р1 0 0
0 Р2—Р1 Р3
0 Р4 —22
Р1 Р3 Р4
0 Р2—Р1 Р5
0 Р6 —22
Р1 0 Р3
Р4 Р2—Р1 Р 5
Р6 0 —22
Р1 0 Р3
0 Р2—Р1 0
Р4 0 —22
Р1 Р3 Р4
0 Р2—Р1 0
Р5 Р6 —22
Р1,343,1 = Р3,242,3 = 0 -3,3=—2,2—-1,1 5l(3, R),
Р1,343,1 = Р3,242,3 = 0 -3,3 =—2,2—-1,1 fll(3, R).
Прямыми вычислениями получаем, что другие однородные пространства с неразрешимой группой преобразований и разрешимым стабилизатором не допускают нормальную связность. □
Автор выражает искреннюю благодарность своему учителю Комракову Борису Петровичу за постановку задачи и полезные замечания.
Summary
N.P. Mozhei. Normal Connections on Three-Dimensional Homogeneous Spaces with a NonSolvable Transformation Group. II. A Solvable Stabilizer.
In this paper we present a complete local classification of three-dimensional homogeneous spaces admitting normal connection. We consider only the case of a non-solvable Lie group of transformations with a solvable stabilizer. The local classification of homogeneous spaces is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras. We describe all invariant affine connections on those homogeneous spaces together with their curvature and torsion tensors. We study the holonomy algebras of homogeneous spaces and find when the invariant connection is normal. We use an algebraic approach for describing the connections as well as methods of the theories of Lie groups, Lie algebras and homogeneous spaces.
Keywords: normal connection, homogeneous space, transformation group, holonomy algebra.
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
69
Литература
1. Картам Э. Риманова геометрия в ортогональном репере (По лекциям Э. Картана, читанным в Сорбонне в 1926-1927 гг.; пер., обр. и ред. С.П. Финикова). - М.: Моек, гос. ун-т, 1960. - 307 с.
2. Nomizu К. Uniqueness of the normal connections and congruence of isometric immersions // Tohoku Math. J. - 1976. - V. 28, No 1. - P. 613-617.
3. Ким Сен Ен, Морозов В.В. Об импримитивных группах трехмерного комплексного пространства // Учен. зап. Казан, ун-та. - 1955. - Т. 115, кн. 14. - С. 69-85.
4. Можей Н.П. Нормальные связности на трехмерных однородных пространствах с неразрешимой группой преобразований. I. Неразрешимый стабилизатор // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2013. - Т. 155, кн. 4. - С. 61-76.
5. Онтцик А.Л. Топология транзитивных групп преобразований. - М.: Физматлит, 1995. - 384 с.
6. Komrakov В., Tchourioumov A., Mozhey N. et al. Three-dimensional isotropically-faithful homogeneous spaces: Vol. 1-3 // Preprint series. Institute of Mathematics. University of Oslo. Pure mathematics. - Oslo: Inst., Univ, 1993. - No 35-37.
7. Nomizu K. Invariant affine connections on homogeneous spaces // Amer. J. Math. -1954. - V. 76, No 1. - P. 33-65.
Поступила в редакцию
11.09.13
Можей Наталья Павловна - кандидат физико-математических наук, докторант, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: [email protected]
