CC BY
23
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 155, кн. 4 Физико-математические науки
2013
УДК 514.765.1
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ТРЕХМЕРНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С НЕРАЗРЕШИМОЙ ГРУППОЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. I. НЕРАЗРЕШИМЫЙ СТАБИЛИЗАТОР
Н.П. Можей
Аннотация
В работе представлена локальная классификация трехмерных однородных пространств, допускающих нормальную связность. В статье рассмотрен только случай неразрешимой группы Ли преобразований с неразрешимым стабилизатором. Локальная классификация однородных пространств эквивалентна описанию эффективных пар алгебр Ли. Описаны все инвариантные аффинные связности на таких однородных пространствах вместе с их тензорами кривизны и кручения. Исследованы алгебры голономии однородных пространств и найдено, когда инвариантная связность нормальна. В работе использован алгебраический подход для описания связностей, методы теорий групп Ли, алгебр Ли и однородных пространств.
Ключевые слова: нормальная связность, однородное пространство, группа преобразований, алгебра голономии.
Понятие нормальной связности для риманова многообразия ввел Э. Картан в своих лекциях в Сорбонне в 1926-1927 гг. (см. [1]). Многообразия с нулевым кручением (то есть плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно Д.И. Перепелкин [2, 3] и Ф. Фабрициус-Бьерре [4], а также Э. Картан. Итоги этих исследований подведены в монографии Б. Чена [5]. Ряд исследований посвящен общим вопросам нормальных связностей, их интересную характеристику дал Номидзу [6]. Среди трехмерных однородных пространств широкий класс образуют однородные пространства с неразрешимой группой преобразований. Первыми классификацию таких пространств провели Морозов и его студент в [7], правда, не были указаны необходимые и достаточные условия эквивалентности различных действий. В настоящей работе рассмотрены трехмерные однородные пространства с неразрешимой группой преобразований и неразрешимым стабилизатором, допускающие нормальную связность. Пространства с разрешимым стабилизатором будут рассмотрены в 2-й части статьи.
Пусть M - дифференцируемое многообразие, на котором транзитивно действует группа G, (M, G) - однородное пространство, G = Gx - стабилизатор произвольной точки x € M. Проблема классификации однородных пространств (M, G) равносильна классификации (с точностью до эквивалентности) пар групп Ли (G, G), где G С G, так как многообразие M может быть отождествлено с многообразием левых смежных классов G/G (см., например, [8]). Изучая однородные пространства, важно рассматривать не саму группу G, а ее образ в Diff(M), другими словами, достаточно рассматривать только эффективные действия группы G на многообразии M. Пусть g - алгебра Ли группы Ли G, а g - подалгебра, соответствующая подгруппе G. Пара (g, g) алгебр Ли называется эффективной, если
61
62
Н.П. МОЖЕЙ
подалгебра g не содержит отличных от нуля идеалов g. Изотропное действие группы G на касательном пространстве TxM - это фактордействие присоединенного действия G на g: s.(x + g) = (Ads)(x) + g для всех s G G, x G g. При этом алгебра g действует на TxM = g/g: x.(y + g) = [x, y] + g для всех x G g,y G g. Пара (g, g) называется изотропно-точной, если точно изотропное представление подалгебры g. С геометрической точки зрения это означает, что естественное действие стабилизатора Gx, x G M на TxM имеет нулевое ядро. Там, где это не будет вызывать разночтения, будем отождествлять подпространство, дополнительное к g в g, и факторпространство m = g/g.
Поскольку однородное пространство допускает аффинную связность, g -модуль g/g точен. Аффинной связностью на паре (g, g) называется такое отображение Л : g ^ gl(m), что его ограничение на g есть изотропное представление подалгебры, а все отображение является g-инвариантным. Хорошо известно (см., например, [9]), что инвариантные аффинные связности на однородном пространстве (M, G) находятся во взаимно-однозначном соответствии с аффинными связностями на паре (g, g). Поскольку тензоры кривизны и кручения инвариантны относительно действия группы Ли G, то они однозначно определяются тензорами на касательном пространстве к многообразию, причем эти тензоры инвариантны относительно изотропного действия. Тензор кручения T G Inv T21(m) и тензор кривизны R G Inv T31(m) имеют вид
T(xm, Ут) = ЛИУт — Л(У^т - [x У]m, R(^ Ут) = ^(x) Л(У)] - Л([x, У])
для всех x, у G g. Переформулируем теорему Вана [10] об алгебре группы голономии инвариантной связности: алгебра Ли группы голономии инвариантной связности Л : g ^ gl(3, R) на паре (g, g) - это подалгебра алгебры Ли gl(3, R) вида V + [Л(д), V] + [Л(д), [Л(д), V]] + ■ ■ ■ , где V - подпространство, порожденное множеством {^(x), Л(у)] — Л([x,y])|x,y G g}. Положим ад равной подалгебре в gl(3, R), порожденной множеством {Л^); x G g}. Первоначально ад была введена в рима-новом случае Б. Костантом [11] и использовалась А. Лихнеровичем [12] и Г. Ваном [10] в более общей ситуации. Если h* - алгебра Ли группы голономии, то h* С ад С N(h*), где N(h*) - нормализатор h* в gl(3, R). Будем говорить, что
инвариантная связность нормальна, если h* = ад.
Опишем пару (g, g) при помощи таблицы умножения алгебры Ли g. Через {ei,...,en} обозначим базис g (n = dimg). Будем полагать, что подалгебра Ли g порождается векторами ei,...,en_3, а {en-2,en-i,en} - базис m, для определенности обозначим его {и1,и2,из}. Для нумерации подалгебр используем запись d.n, а для нумерации пар - запись d.n.m, соответствующие приведенным в [13], здесь d - размерность подалгебры, а n - номер подалгебры в gl(3, R), m - номер пары (g, g). Будем описывать аффинную связность на однородном пространстве через образы базисных векторов Л(и1), Л(и2), Л(из), тензор кривизны R - через R(ui,u2), R(u1,U3) , R(u2,U3) , а тензор кручения T - через T(и1,и2), T(и1,из), T(и2, из). Предполагается, что переменные обозначены латинскими буквами и принадлежат R, а параметр обозначен Л, подалгебры с одинаковыми номерами, но разными значениями параметра Л не сопряжены друг другу.
Для нахождения изотропно-точных пар коразмерности 3 нужно классифицировать (с точностью до изоморфизма) все точные трехмерные g-модули U (это эквивалентно классификации подалгебр в gl(3, R) с точностью до сопряженности).
Лемма 1. Любая неразрешимая подалгебра алгебры Ли gl(3, R) сопряжена одной и только одной из следующих подалгебр:
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
63
dim g = 3
3. x z y —x ; 4. xy z y ; 5. —y yx z
z —x —x —z
dim g = 4
xz Ax + y z x + y z x z y
1. u y ; 2. u Ax — y ; 3. u xz ; 5. —z x u
x u x — y —y —u x
dim g = 5
xu xuv uv
1. v y ; 2. z —x u ; 3. x y
z z —x
dim g = 6
xzw Ax + y z w v w x v w
1. u y v ; 2. u Ax — y v ; 3. x z ; 4. Ax + y z
x y u u Ax — y
dim g = 7 dim g = 8 dim g = 9
x u t x w t x z v
v y w ; 2. y u . 1. w y — x u . 1. gl(3,R)
z v z t s —y
Доказательство. Пусть g - неразрешимая подалгебра в gl(3, R). Тогда g содержит полупростую подалгебру Леви а, где а = [а, а] С sl(3, R). Любая полупростая подалгебра в gl(3, R) сопряжена одной из следующих подалгебр:
(i)
x z y —x ; (ii) —x xy z ; (iii) xy z y
—y —z z —x
(iv) sl(3,R).
Подалгебры (ii) и (iii) максимальны в sl(3, R). Поэтому если а сопряжена подалгебре (ii) или (iii), то g имеет одну из форм 3.4, 3.5, 4.3, 4.5.
Если подалгебра а сопряжена sl(3, R), то g = sl(3, R) или g = gl(3, R).
Рассмотрим подробнее случай, когда а сопряжена подалгебре (i). Тогда а-модуль gl(3, R) - прямая сумма изотипных компонент: gl(3, R) = а ® mi ® m2, где модули mi и m2 в подходящем базисе имеют вид
mi
x 0 0\
0 x °) x,y e R m2
0 0 y) J
0 0 v
0 0 w
s t 0
s,t,v,w € R
Так как g - подмодуль а-модуля gl(3,R), то g - прямая сумма пересечений: g = (g П а) ® (g П mi) ® (g П m2).
64
Н.П. МОЖЕЙ
Если g П m2 = {0}, то g С а ® mi. Поэтому g - редуктивная подалгебра. Заметим, что подмодуль mi является инвариантным относительно сопряжений, сохраняющих подалгебру а, то есть подалгебра g сопряжена одной и только одной из следующих подалгебр:
при g П mi = {0} g сопряжена 3.3. при dim(g П m1) = 1 g сопряжена 4.1 или 4.2. при dim(g П m1) = 2 g сопряжена 5.1.
Поскольку m2 , как и подмножество в gl(3, R), порождает алгебру Ли sl(3, R), имеем, что g ^ m2 . Тогда а-модуль m2 - прямая сумма двух изоморфных простых подмодулей m2 = ni ® П2, где
ni
'0 0 v
0 0 w
v0 0 0,
v,w £ R
n2
000
000
.s t 0;
определим изоморфизм п : ni - n2 как
/0 0 x /0 0 0
п I 0 0 У 1 = 1 I0 0 0
0 0 0 -y x 0
Таким образом, если m2 П g = {0} , то
m2 П g = (a + en)(ni) =
0 0 c
0 0 ay
—ву f3x 0
s,t £ R
x,y £ R
где a, в £ R и a2 + в2 = 0. Однако если aft = 0, то множество m2 П g порождает всю алгебру Ли sl(3, R). Поэтому a = 0 или в = 0. Тогда g П m2 - нильпотентный радикал в g .В подходящем базисе он имеет вид
а)
0 x у\ 1
0 0 °) x, y £ R или b)
0 0 0/
0 0 x
0 0 y
0 0 0
Так как g С N(g П m2), для случаев а) и b) имеем
xw t x и t
а) g С У и ; b) g с v у w
v z z
x, y £ R
Тогда g сопряжена одной и только одной из алгебр Ли 5.2, 5.3, 6.1-6.4, 7.1, 7.2. □
Для каждой такой подалгебры найдем изотропно-точные пары.
Лемма 2. Любая пара (g, g) типа 3.3 эквивалентна одной и только одной из следующих пар:
1. ei e2 ез Ui U2 U3
ei 0 2e2 —2ез Ui —U2 0
e2 —2e2 0 ei 0 Ui 0
ез 2ез - ei 0 U2 0 0,
ui —ui 0 —U2 0 0 0
и2 U2 —Ui 0 0 0 0
из 0 0 0 0 0 0
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
65
2. e1 e2 eз «1 «2 «з
e1 0 2e2 —2eз «1 — «2 0
e2 —2e2 0 e1 0 «1 0
eз 2eз —e1 0 «2 0 0,
«1 — «1 0 —«2 0 «з 0
«2 «2 — «1 0 —«з 0 0
«з 0 0 0 0 0 0
3. e1 e2 eз «1 «2 «з
e1 0 2e2 —2eз «1 — «2 0
e2 —2e2 0 e1 0 «1 0
eз 2eз —e1 0 «2 0 0.
«1 — «1 0 —«2 0 0 «1
«2 «2 — «1 0 0 0 «2
«з 0 0 0 —«1 — «2 0
Доказательство. Пусть E = {ei, eз} - базис в g, где
0 0 0 1 0
0 —1 0), e2 = (0 0 0
0 0 0 0 0 0
ез
0 0 0
1 0 0
0 0 0
Через h обозначим нильпотентную подалгебру алгебры Ли g, порожденную вектором ei. Заметим, что g - полупростая алгебра Ли. Имеем g = g(~2)(h) ф g(_1)(h) ® g(0)(h) Ф fl(1)(h) Ф g(2)(h), где
g(-2)(h)= Мез, g(-1)(h) = М«2, g(0)(h) = Rei Ф М«з, g(1)(h) = М«1, g(2)(h) = Re2.
Поэтому [«1,«2] = + аз«з, [«1,«з] = в1«1, [«2,«з] = 72«2- Используя тож-
дество Якоби, видим, что а1 = 0, в1 = 72, а «372 = 0. Рассмотрим следующие случаи:
1°. аз = 72 = 0. Тогда пара (g, g) эквивалентна тривиальной паре (g1, g1).
2°. аз = 0, 72 = 0. Тогда отображение п : g2 ^ g, где
n(ei) = ei, i = 1, 2, 3, п(«1) = «1, п(«2) = «2, п(«з) =— из,
аз
показывает эквивалентность пар (g,g) и (g2,g2)-3°. аз = 0, 72 = 0. Отображение п : 5з ^ g, где
n(ei) = ei, i = 1, 2, 3, п(«1) = «1, п(«2) = «2, п(из) = 72«з,
показывает, что пары (g, g) и (дз, gз) эквивалентны.
Поскольку dimDg1 = dim Dg2, мы видим, что пары (g1, g1) и (g2, g2) неэквивалентны. Поскольку dimDgз = dim Dg1, заключаем, что пары (0з, gз) и (g1, g1) неэквивалентны. Поскольку Zg2 = М«з и Zgз = 0, заключаем, что пары ^з, gз) и (fl2, g2) неэквивалентны. □
Заметим, что у пары 3.3.1 разложение Леви g имеет вид {{-2«2, -2«1, «з}, {—4e1 + 2«2, —4e2 — 2«1, —4eз}}, g полупроста, у пары 3.3.2 разложение Леви g -{{«з, — «2,«1}, {2e2 + 2«1 + «з, —2eз,e1 — «2}}, у пары 3.3.3 разложение Леви g -{{—2«2, —2«1, «з}, {—4e1 + 2«2, —4e2 — 2«1, —4eз}}.
66
Н.П. МОЖЕЙ
Лемма 3. Любая пара (g, g) типа 3.4 эквивалентна одной и только одной из следующих пар:
1. ei e2 eз Ui и2 из
ei 0 e2 —eз Ui 0 —из
e2 —e2 0 ei 0 Ui и2
e3 eз —ei 0 и2 из 0,
ui — Ui 0 —u2 0 0 0
u2 0 —ui —из 0 0 0
из из —u2 0 0 0 0
2. ei e2 рз Ui и2 из
ei 0 e2 —рз Ui 0 —из
e2 —e2 0 ei 0 Ui и2
eз р^з —ei 0 и2 из 0,
Ui — Ui 0 —и2 0 e2 —ei
и2 0 —Ui —из —e2 0 —рз
из из —и2 0 ei рз 0
3. ei e2 рз Ui U2 из
ei 0 e2 —рз Ui 0 —из
e2 —e2 0 ei 0 Ui и2
рз рз —ei 0 U2 из 0.
Ui — Ui 0 —U2 0 —e2 ei
и2 0 —Ui —из e2 0 рз
из из —и2 0 —ei —р^з 0
Доказательство. Пусть E = {ei, в2, вз} - базис в g, где
/1 О
в\ = 10 0
в2 =
0 0 1
010 0 0 1 000
вз =
000
100
010
Через h обозначим нильпотентную подалгебру алгебры Ли g, порожденную вектором в\. Имеем g“(h) = g“(h) х U“(h) для всех a G h*. Таким образом,
g(0)(h) = Rei ® Ru2, g(1)(h) = Re2 ® Rui, g-1)(h) = Re3 ® Ммз,
[ui,u2] G g(1)(h), [ui,из] G g(0)(h), [и2,мз] G g(-1)(h)
и [ui,U2] = a2e2 + aiui, [и1,из] = biei + @2U2, [и2,из] = C3e3 + 73U3.
Используя тождество Якоби, видим, что bi = —0,2, в = ai, С3 = —0,2, 73 = ai.
Положим p = 02 + a2/4 и рассмотрим следующие случаи:
1°. p = 0. Тогда отображение п : g 1 ^ g, где
n(ei) ei, i 1: 2: 3? п(и1) u1 ^ e2 ,
n(u2) = U2 + -2- ei, п(из) = из + -2 e3,
показывает эквивалентность пары (g, g) и тривиальной пары (gi, gi).
2°. p > 0. Тогда пара (g, g) эквивалентна паре (g2, g2), достаточно рассмотреть отображение п : g2 ^ g, где n(e*) = ei, i = 1, 2, 3,
n(ui) = (ui — 22e^//p, n(u2) = (и,2 + 22e^ //p, п(из) = (из + Щ-e^j /у/p.
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
67
3°. p < 0. Пара (g, g) эквивалентна паре (g3, дэ), отображение п : g3 ^ g имеет
вид
n(ei) = ei, i = 1, 2, 3, п(м- ) = -p(u\ — Щ-e2^ / \—p, п(п2) = (м2 + a- ei)/V~P, п(из) = (v,3 + О- e3j/V~p.
Поскольку dimr(g-) = dimr(g2) и dim r(g-) = dimr(g3), то пара (g-, g1) не эквивалентна паре (g2, g2) и (g3, дз). Так как g3 - простая алгебра Ли (g3 = sl(2, C)r ), а алгебра Ли g2 не проста (g2 = sl(2, R) х sl(2, R)), то пары (g2, д2) и (д3, д3) не эквивалентны. □
Заметим, что у пары 3.4.1 разложение Леви g имеет вид {{м2, — м3, и-}, {e2, —e3 — U2,e- + u-}}, g полупроста, у пары 3.4.2 g полупроста, у пары 3.4.3 g также полупроста.
Лемма 4. Любая пара (д, g) типа 3.5 эквивалентна одной и только одной из следующих пар:
1. e- e2 e3 м- м2 м3
ei 0 e3 —e2 —м3 0 м-
e2 —e3 0 e- —м2 м- 0
e3 e2 —e- 0 0 —м3 м2
Ui м3 м2 0 0 0 0
и2 0 — м- м3 0 0 0
и3 —м- 0 —м2 0 0 0
2. e- e2 e3 м- м2 м3
ei 0 e3 —e2 —м3 0 м-
e2 —e3 0 e- —м2 м- 0
e3 e2 —e- 0 0 —м3 м2
u- м3 м2 0 0 e2 e-
и2 0 — м- м3 —e2 0 e3
и3 —м- 0 —м2 —e- —e3 0
3. e- e2 e3 м- м2 м3
ei 0 e3 —e2 —м3 0 м-
e2 —e3 0 e- —м2 м- 0
e3 e2 —e- 0 0 —м3 м2
u- м3 м2 0 0 —e2 —e-
и2 0 — м- м3 e2 0 —e3
м3 —м- 0 —м2 e- e3 0
Доказательство. Пусть E = {e1, e2, e3} - базис в g, где
0 0
0 0 0
1 1—1 0 0
0 1 0
1 1—1 0 0
0 0 0
e3
0 0 0
0 0 1
0 1 1—1 0
Тогда, используя тождество Якоби, мы видим, что пара (g, g) имеет вид
e- e2 e3 м- м2 м3
e- 0 e3 —e2 —м3 0 м-
e2 —e3 0 e- —м2 м- 0
e3 e2 —e- 0 0 —м3 м2
м- м3 м2 0 0 a2e2 + 0:3 м3 a2e- — 03 м2
м2 0 — м- м3 —a2e2 — а3Щ 0 a2e3 + 03 м-
м3 —м- 0 —м2 О3м2 — a2e- —a2e3 — 03м- 0
68
Н.П. МОЖЕЙ
Положим р =1
1 2 а2 — 4 аз
12
при а2 = 4а3 и рассмотрим следующие случаи:
1°. 4а2 = а\. Пара (g, g) эквивалентна паре (gi, gi), достаточно рассмотреть отображение п : g i ^ g, где
n(ei) = ei, i = 1, 2, 3, n(ui)= Mi+^a3e3, n(u2)= U2 — ^«зе1, п(щ)= щ+^«зе2.
2°. 4a2 > a3 • Пара (g, g) эквивалентна паре (g2, g2), отображение п : g2 ^ g имеет вид
n(ei) = ei, i = 1, 2, 3,
n(ui) = p(ui + 2 азез), п(щ) = p(u2 — ^ «3ei), п(из) = р(из + ^ aзe2).
3°. 4a2 < a3. Тогда пара (g, g) эквивалентна паре ^з, gз), отображение п : gз ^ ^ g имеет вид
n(ei) = ei, i = 1, 2, 3, n(ui) = p(ui + ^ aзeз), n(u2) = р(щ
2 aзel), п(uз) = р(щ + 2 aзe2).
Поскольку r(gi) = {0} и r(g2) = г^з) = {0}, мы видим, что ни одна из пар
3.5.2 и 3.5.3 не эквивалентна паре 3.5.1. Заметим, что алгебра Ли g2 проста (g2 = sl(2, C)r ), а алгебра Ли g3 не проста ^з = su(2) х su(2)). Отсюда следует, что пары
3.5.2 и 3.5.3 неэквивалентны. □
Заметим, что у пары 3.5.1 разложение Леви g имеет вид {—u2, ui, —uз}, {eз, u2 — — e2,ei — uз}}, g полупроста, у пары 3.5.2 g полупроста, у пары 3.5.3 g также полупроста.
Лемма 5. Любая пара (g, g) типа 5.3 эквивалентна одной и только одной из следующих пар:
1. ei e2 eз e4 e5 ui u2 uз
ei 0 0 e2 0 ei 0 ui 0
e2 0 0 0 ei —e2 0 0 ui
eз —e2 0 0 e5 —2eз 0 0 u2
e4 0 —ei —e5 0 2e4 0 uз 0,
e5 —ei e2 2eз —2e4 0 0 u2 —uз
ui 0 0 0 0 0 0 0 0
u2 —ui 0 0 —uз —u2 0 0 0
uз 0 —ui —u2 0 uз 0 0 0
2. ei e2 eз e4 e5 ui u2 uз
ei 0 0 e2 0 ei —3ei 1 —2 1 e5 + 2 ui —e4
0 0 0 —3e2 11
e2 ei —e2 —eз 2e5+2 ui u2
eз —e2 0 0 e5 —2eз 0 0
e4 0 —ei —e5 0 2e4 0 0
e5 —ei e2 2eз —2e4 0 0 u2 —u^
ui 3ei 11 2e5 — 2 ui 3e2 0 0 0 0 — 3u2 —3uз
u2 eз 0 —u^ —u2 3u2 0 0
11 0 3uз 0 0
uз e4 — "2e5 — 2 ui —u2
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
69
Доказательство. Пусть E = {ei, в2, ез, е4, e$} - базис в g, где
0 1 0 0 0
0 0 0), е2 = ( 0 0 0
0 0 0 0 0 0
ез
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
е5
0 0 0
0 1 0
0 0 1 1—1
Через h обозначим нильпотентную подалгебру алгебры Ли g, порожденную вектором е5. Тогда
g(-1)(h) = Rei, g(1)(h) = Кез, g(0)(h) = Ке5, U(0) (h)= Киь
g(2)(h)= Кез, g(-2)(h) = Re4,
u(1)(h) = Ru2, u(-1)(h) = Киз,
Прямыми вычислениями получаем, что
[е1,е2]=0,
[е1, ез] = е2, [е1,е4]=0,
[e1, е5] = e1, [е1,М1]=0,
[e1,U2] = 2pe5 +иь [е1,из] = 3ре4,
[е2, ез] = -ез, [е2, е4] = е1, [e2, е5] = —e2,
[е2,щ] = 3ре2,
[е2, U2] = рез,
[e2, из] = Ре5 + uU
[ез, е4] = е5,
[eз, е5] = —2eз, [ез,М1] = 3рез, [ез, м2] =0,
[eз, из] = u2,
[e4, е5] = 2e4, [е4,М1] = —3ре4, [е4, U2] =0,
[e4, мз]=0,
[е5,М1]=0,
[е5, М2]= U2, [e5, из] = —из-
Поскольку g“(h) = g“(h) х U“(h) для всех a G h*, то
[u1,U2] = a,2e2 + a2U2, [и1,из] = Ъщ1 + взиз, [м2,мз] — С5е5 + 71U1.
Используя тождество Якоби, мы видим, что a2 = —ЗР71/2, a2 =0, 61 = ЗР71/2, вз = Зр, С5 = ЗР71/2. При р = 0 отображение п : g1 ^ g такое, что п(е*) = еi, i = 1, . . . , 5, п(и1) = и1, п(и2) = и2 — 71 е2, п(из) = из + 7^1, устанавливает эквивалентность пар (g1, g1) и (g, g).
При р = 0 пара (g, g) эквивалентна паре (g2, g2), отображение п : g2 ^ g имеет вид
п(е1)
п(ез)
3 е1,
1
ез,
р 3р
п(и1) = — 2 и1 — ^2 е5,
п(из) = Зриз е1.
6
п(е2)
п(е4)
1 е2, п(и2) = Зри2 + 1 е2,
З
e4,
п(е5) = e5,
Поскольку алгебра Ли g2 проста, пары (g1, g1) и (g2, g2) неэквивалентны. □
Заметим, что у пары 5.3.2 g полупроста, а разложение Леви g имеет вид {{е1, е2}, {—(1/2)е1 + е5, е2 — 2ез, 2е4}} .
Для остальных подалгебр рассуждения аналогичны.
Теорема 1. Все вещественные пары (g, g) коразмерности З (где алгебра g и подалгебра g неразрешимы), допускающие нормальную связность, имеют вид З.З.1, З.З.2, З.З.З, З.4.1, З.4.2, З.4.З, З.5.1, З.5.2, З.5.3, 5.З.2 . Аффинные связности на них, тензоры кривизны и кручения, алгебры голономии имеют вид
Пара Аффинная связность
со о о о о о О
О О со"
S-. CN ос
,_г с<Г о О
о ° ©н &н
О ^ о 1 CN
S-. ос
CN О CN о S-.
^ о о S-. о Й° 1 1 О
О ^ о
О О со
н М со
СО СО СО
со со со
н (М СО
^ ^ ^
со со со
н (М СО
ю ю ю со со со
5.3.2
см со т—1 см
со со
со со со со
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 71
Пара
Тензор кручения
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.5.1
3.5.2
3.5.3 5.3.2
(0,0, 2рз,2), (pi,3 - Г1,1,0, 0), (0,pi,3 - Г1,1,0)
(0,0, 2рз,2 - 1), (pi,3 - ri,i, 0,0), (0,pi,3 - ri,i, 0)
(0,0, 2p3,2), (pi,3 - ri,i - 1,0, 0), (0,pi,3 - ri,i - 1, 0) (2Pi,2, 0, 0),(0, 2pi,2,0),(0,0, 2pi,2)
(2pi,2, 0, 0) , (0, 2pi,2,0) , (0, 0, 2pi,2)
(2pi,2, 0, 0) , (0, 2pi,2,0) , (0, 0, 2pi,2)
(0, 0 2p2,3) , (0, ^2,3, 0) , (-2P2,3, 0, 0)
(0, 0, 2p2,3) , (0, 2P2,3, 0) , (-2P2,3, 0, 0)
(0, 0, 2p2,3) , (0, 2P2,3, 0) , (-2P2,3, 0 0)
______________(0, 0, 0), (0,0, 0), (-2ri,2,0, 0)__________
В случае 3.3.1 связность нормальна, если r3,3 = -2ri,i, pi,3 = 0,p3,2 = 0,
тогда алгебра голономии совпадает с sl(3, R); в случае 3.3.2 связность нормальна, если pi,3 = 0, p3,2 = 0, тогда при r3,3 = -2ri,i алгебра голономии совпадает с sl(3, R), а при r3,3 = -2ri,i алгебра голономии совпадает с gl(3, R); в случае
3.3.3 связность нормальна, если r3,3 = -2ri,i , pi,3 = 0, p3,2 = 0, тогда алгебра голономии совпадает с sl(3, R).
72
Н.П. МОЖЕЙ
В случае 3.4.1 связность нормальна, если pi,2 = 0, тогда алгебра голономии
S2 S1 0
S3 0 S1
0 S3 -S2
в случае 3.4.2 связность нормальна, если pip2 = 1, тогда алгебра голономии совпадает с приведенной в случае 3.4.1; в случае 3.4.3 связность является нормальной при любом pi,2, алгебра голономии совпадает с приведенной в случа,е 3.4.1.
В случае 3.5.1 связность нормальна, если р2,з = 0, тогда алгебра голономии
0 — S1 — S2
S1 0 — S3
S2 S3 0
в случае 3.5.2 связность является нормальной, алгебра голономии совпадает с приведенной в случае 3.5.1; в случае 3.5.3 связность нормальна,, если Р2,з2 = 1, тогда алгебра голономии совпадает с приведенной в случае 3.5.1.
В случае 5.3.2 связность нормальна, если ri,2 = 0, тогда алгебра голономии -sl(3, R).
Доказательство. Классификация изотропно-точных пар проведена в леммах. Осталось найти аффинные связности, их тензоры кривизны и кручения, алгебры голономии и определить, при каких условиях связность является нормальной. Пусть
(pi,i pi,2 Р1,э\ (qi,i qi,2 Ч1,з\ hip ri,2 ri,3\
Р2,1 Р2,2 Р2,3 I , Л(М2)= I q2,i q2,2 q2,3 I , Л(из)= I r2,i Г2,2 Г2,3 I
P3,i Р3,2 Р3,з) \q3,1 q3,2 43,3/ \r3,i Г32 Гз,з)
для некоторых Рi,j, qi}j, ritj G R (для всех i,j = 1, 2, 3).
Пусть далее (g, g) - локально однородное пространство 3.4.1, тогда
1 0 0 0 1 0 0 0 0
Л(еО= |0 0 0 I , Л(в2)= I0 0 1 I , Л(в3)= I1 0 о|,
\0 0 -1) \0 0 0) \0 1 0/
так как ограничение отображения Л на g есть изотропное представление подалгебры. Отображение является g -инвариантным, следовательно,
[Л(вД Л(м1)] = Л([еьм1]) ^ [Л(el), Л(м1)] = Л(м1).
Получаем Р1д = 0, pl,з = 0, Р2,1 = 0, Р2,2 = 0, Р3д = 0, Р3,2 = 0, Р33 = 0.
[Л(в2), Л(м1)] = Л([в2,ui]) ^ [Л(в2), Л(м1)] = 0. Поэтому Р2,3 = Рl,2. Так как
[Л(в3), Л(м1)] = Л([в3, ui]) ^ [Л(в3), Л(м1)] = Л(м2), то qi,i = -pl,2, qi,2 =
= qi,3 = q2,i = 42,2 = 0, q2,3 = 0, q3,i = 0, q3,2 = 0, q3,3 = pl,2. Поскольку [Л(в3), Л(и2)] = Л([в3,и2]) ^ [Л(в3), Л(«2)] = Л(М3), получаем rM = r^ =
= ri,3 = 0, r2,i = Р1,2 , r2,2 = 0, Г3,2 = -Р1,2, r2,3 = Г3д = r3,3 = 0. Условия [Л(вД Л(м3)] = -Л(м3), [Л(в2),Л(м2)] = Л(м1), [Л^),Л(и2)] = 0, [Л(в2), Л(м3)] = = Л(м2), [Л(в3),Л(м3)] = 0 выполняются. Таким образом,
(0 Р1,2 0 \ /-Р1.2 0 0 \ ( 0 0 0\
Л(«1)= (0 0 Р1,2|, Л(М2)= ( 0 0 0 L Л(М3)= I —Р1,2 0 0 L
\0 0 0 ) V 0 0 Р1,^ V 0 —Р1,2 0/
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
73
Тензоры кривизны есть
/° Pl,2 0 \
Д(м1,И2) = [Л(м1),Л(м2)]-Л([м1,М2])=Л(м1)Л(м2) -Л(и2)Л(и1)-0= I 0 0 p2,2 I,
0 0 0
i-Pl,2 0 0 \
R(u1, из) = [Л(и), Л(из)] - Л([иьиз]) = [Л(и), Л(из)] - 0= I 0 0 0 J,
V 0 0 р2,2/
/ 0 0 0\
R(u2,u3) = [Л(и2), Л(из)] - Л([и2,из]) = [Л(и2), Л(из)] - 0= I -P2,2 0 °J-
0 -P12,2 0
Тензор кручения есть
T(U1,U2) = Л(и1)(и2)т - Л(и2)(и1)т - [u1,U2]m = (2p1,2 0 0),
T(и1,из) = Л(и1)(из)т - Л(из)(и1)т - [и1,из]т = (0 2P1,2 0),
T(и2,из) = Л(и2)(из)т - Л(из)(и2)т - [и2,из]т = (0 0 2р1д).
Положим ag равной подалгебре в gl(3, R), порожденной множеством {Л(х); х G g}:
ag
S2 Si 0
S3 0 Si
0 S3 -S2
Подалгебра h* = V + ^(g),V] + [Л(д), [Л(д),У]] + ••• , где V = {[Л(х),Л(у)] -- Л([х,у])|х,у G fl}, совпадает с подпространством, порожденным множеством V при p1,2 =0 и, таким образом, h* = ag, то есть связность нормальна при p1,2 = = 0. При P12 = 0 алгебра голономии нулевая, а значит, связность не является нормальной.
Для случаев 3.4.2 и 3.4.3 рассуждения аналогичны приведенным в случае 3.4.1.
Пусть далее (g, g) - локально однородное пространство 3.5.1, тогда
Л(е1)
0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0J , Л(е2) = I-1 0 0J , Л(ез) = I 0 0 1
-1 0 0 0 0 0 0 10
так как ограничение отображения Л на g есть изотропное представление подалгебры. Отображение является g-инвариантным, следовательно, [Л(ез), Л(и1)] = = Л([ез,и1]) ^ [Л(ез), Л(и1)] = 0. Получаем Р1,з = 0, Р1,2 = 0, Рз,1 = 0, Рз,2 = -Р2,з, Рз,з = Р2,2, Р2,1 = 0, Рз,з = Р2,2. [Л(е2),Л(и1)] = Л([е2,и1]) ^ [Л(е2), Л(и1)] = -Л(и2). Следовательно, ^1,1 = 0, 91,2 = Р1,1 - Р2,2, 91,з = = -Р2,з, 92,1 = -Р2,2 + Р1,1, 9з,1 = Р2,з, 92,2 = 92,з = 9з,2 = 9з,з = 0. Поскольку [Л(е1), Л(и1)] = Л([е1,и1]) ^ [Л(е1), Л(и1)] = -Л(из), то тзд = -p2,2 + Р1,1,
Г1,2 = Р2,з, Г1,з = -Р2,2 + Р1,1, Г2,1 = -Р2,з, Пд = Тц = Г2,з = Гз,2 = Гз,з = 0. Так
как [Л(е1), Л(и2)] = 0, то рц = Р1,1, поскольку [Л(е2), Л(и2)] = Л(и1), получаем Р1,1 =0, условия [Л(е2), Л(из)] =0, [Л(ез), Л(из)] = Л(и2), [Л(ез), Л(и2)] = -Л(из), [Л(е1), Л(из)] = Л(и1) выполняются. Таким образом,
0 0 0 0 0 -Р2,з 0 Р2,з 0
Л(и1)= I 0 0 Р2,з J , Л(и2)= I 0 0 0 J , Л(из)= I Р2,з 0 0 J .
0 - Р 2 , з 0 Р 2 , з 0 0 0 0 0
74
Н.П. МОЖЕЙ
Прямыми вычислениями получаем, что тензоры кривизны и кручения совпадают с выписанными в теореме.
Связность нормальна, если fy* = ag, то есть р2,з = 0, тогда алгебра голономии есть
(0 -si — s2\
si 0 -S3 I,
S2 S3 0 J
при p2,3 = 0 алгебра голономии нулевая, и связность не является нормальной. Для случаев 3.5.2 и 3.5.3 рассуждения аналогичны приведенным в случае 3.5.1. Рассмотрим пару 3.3.2, тогда
Л(е1)
0 0
0 1 1—1 0
0 0 0
Л(в2)
0 1 0
0 0 0
0 0 0
Л(ез)
0 0 0
1 0 0
0 0 0
так как ограничение отображения Л на g есть изотропное представление подалгебры. Отображение является g-инвариантным, следовательно, |A(ei), Л(м1)] = = Л([е1, Mi]) ^ [Л(е1), Л(м1)] = Л(м1). Получаем pi, i = 0, pi, 2 = 0, p2,1 = 0, P2,2 = 0, p2,3 = 0, рз, 1 = 0, рз,3 = 0. Поскольку [Л(ез), Л(м1)] = Л([ез,м1]) ^ [Л(ез), Л(м1)] = Л(М2), то qi, 1 = 0, qi, 2 = 0, qi, з = 0, q2,1 = 0, q2,2 = 0, q2, з =
= Pi, з, qз, i = Рз, 2, qз, 2 = 0, сз, з = 0. Так как [Л(е1), Л(мз)] = 0, получаем ri, 2 = 0, ri, з = 0, Г2, i = 0, Г2, з = 0, гз, i = 0, гз, 2 = 0. Поскольку [Л(е2), Л(мз)] = 0, то Г2,2 = ri, 1. Таким образом, получаем, что
Л(м1)
0 р1,з I0 0 0I r1,1 0 0
0 0 ), Л(м2) = 0 р1з 1 , Л(мз) = ( 0 r1,1 0
рз2 0 —рз,2 0 0 0 0 гзз
(для остальных базисных векторов условия [Л(е^), Л(м)] = Л([е^,и^]) выполняются). Прямыми вычислениями получаем, что тензоры кривизны и кручения совпадают с требуемыми в теореме.
При р1,з = 0, рз,2 = 0, гз,з = —2ri,i алгебра голономии совпадет с gl(3, R).
Действительно, при гз,з = ri,i
[[Л(и1), Л(и2)] — Л([м1, м2]), Л(и1)] = [Д(и1, U2), Л(и1)]
О 0 3р2,з рз,2
0 0 0
0 —3р1,з рз,2 0
и
000
[[Л(и1),Л(и2)] — Л([и1,и2]),Л(и2)] = [Д(и1,и2),Л(и2)] = I 0 0 3р2,зрз,2 I
\3р1,з рз,2 0 0 /
порождают всю sl(3, R), при гз,з = ri,i
[Л(и1), Л(из)] — Л([и1, из]) = R(ui, из) и [Л(и2), Л(из)] — Л([и2, из]) = R(u2, из)
порождают всю sl(3, R))), поскольку гз,з = —2ri,i, добавляя
[Л(и1), Л(и2)] — Л([и1,и2]) = R(ui,U2),
получаем gl(3, R). В этом случае связность является нормальной, так как ag = = gl(3, R).
НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
75
При pi,3 = 0, рз,2 = 0, гз,з = — 2ri,i алгебра голономии есть sl(3, R) (так как у всех матриц нулевой след, рассуждения аналогичны случаю Г3 3 = —2ri,i). В этом случае связность является нормальной.
При pi,3 = 0, рз,2 = 0, т3,з = ri,i или pi,3 = 0, рз,2 = 0, гз,з = ri,i алгебра
голономии трехмерная разрешимая и, соответственно, не совпадает с алгеброй ag, порожденной Л(д). В остальных случаях алгебра голономии не более чем одномерна, то есть связность не является нормальной.
Случаи 3.3.1 и 3.3.3 рассматриваются аналогично случаю 3.3.2.
Рассмотрим пару 5.3.2, тогда
I0 1/2 °\ I0 0 1/2
Л(е1) = I 0 0 01 Л(е2) = I 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Л(ез)
0 0 0
0 0 1
0 0 0
Л(в4)
0 0 0
0 0 0
0 1 0
Л(еб)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Л(ев)
0 0 0
0 1 0
0 0 1 1—1
так как ограничение отображения Л на g есть изотропное представление подалгебры. Отображение Л является g-инвариантным, следовательно,
[Л(е1), Л(«1)] = Л([е1, Mij) ^ [Л(е1), Л(и1)] = —3Л(е1),
получаем р2,2 = pi, 1 — 3, р2,з = 0, р2, i = 0, рз, i = 0. Поскольку [Л(е2), Л(и1)] =
= Л([е2, Mi]) ^ [Л(е2), Л(и1)] = — 3Л(е2), то рз, з = р1, i — 3, рз, 2 = 0. Так
как [Л(ез), Л(м1)] = Л([ез,м1]) ^ [Л(ез), Л(м1)] = 0, то р^ 2 = 0. Поскольку [Л(е4), Л(м1)] = Л([е4,м1]) ^ [Л(е4), Л(м1)] = 0, то р1, з = 0. Так как
[Л(е2), Л(М2)] = —Л(ез), то qз, i = 0, ®, 2 = 0, ^з,з = qi, 1, q2,1 = 2. Поскольку
[Л(е1), Л(м2)] = ^Л(м1) — ^Л(еб), то qi, 1 = 2, q2,2 = qi, i,q2, з = 0. Так как
[Л(ез), Л(м2)] = 0, имеем qi, 2 = 0. Поскольку [Л(е4), Л(и2)] = Л(из), то ri, 1 =
= 0, ri, 2 = qi,з, ri, з =0, Г2, i = 0, Г2,2 =0, Г2, з = 0, гз, i = 2, гз, 2 = 0, гз,з = 0. Так как [Л(е3), Л(м2)] = Л(и2), имеем р1, i = 0. Таким образом, получаем, что
Л(м1)
20 0 0 0 —Г1,2\ 0 Г1,2
0 —1 0 l, Л(и2) = I 2 0 0 Ь Л(из) = I 0 0
00 1 0 0 0 2 0
0
0
0
(для остальных базисных векторов условия [Л(е^), Л(и^)] = Л([е^,и^]) выполняются). Тензоры кривизны и кручения совпадают с выписанными в теореме.
Связность нормальна, если ri,2 = 0, тогда h* = ag и алгебра голономии совпадает с sl(3,R) (при ri,2 = 0 алгебра голономии нулевая).
В случае 5.3.1 алгебра голономии нулевая, то есть связность не является нормальной. Прямыми вычислениями получаем, что остальные изотропно-точные пары с неразрешимой группой преобразований и неразрешимым стабилизатором также не допускают нормальную связность (в частности, размерность алгебры голономии у них меньше, чем размерность подалгебры, поэтому dim h* < dim ag и h* = ag). □
Автор выражает искреннюю благодарность своему учителю Комракову Борису Петровичу за постановку задачи и полезные замечания.
76
Н.П. МОЖЕЙ
Summary
N.P. Mozhei. Normal Connections on Three-Dimensional Homogeneous Spaces with a NonSolvable Transformation Group. I. A Non-Solvable Stabilizer.
In this paper we present a complete local classification of three-dimensional homogeneous spaces admitting a normal connection. We consider only the case of a non-solvable Lie group of transformations with a non-solvable stabilizer. The local classification of homogeneous spaces is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras. We describe all invariant affine connections on those homogeneous spaces together with their curvature and torsion tensors. We study the holonomy algebras of homogeneous spaces and find when the invariant connection is normal. We use an algebraic approach for describing the connections as well as methods of the theories of Lie groups, Lie algebras and homogeneous spaces.
Keywords: normal connection, homogeneous space, transformation group, holonomy algebra.
Литература
1. Картам Э. Риманова геометрия в ортогональном репере (По лекциям Э. Картана, читанным в Сорбонне в 1926-1927 гг.; пер., обр. и ред. С.П. Финикова). - М.: Моск. гос. ун-т, 1960. - 307 с.
2. Перепелкин Д.И. Кривизна и нормальные пространства многообразия Vm в Rn // Матем. сборник. - 1935. - Т. 42, № 1. - С. 81-120.
3. Перепелкин Д.И. О параллельных подмногообразиях в евклидовом (или римановом) пространстве // Докл. АН СССР. - 1935. - Т. 1. - С. 593-598.
4. Fabricius-Bierre F. Sur varietes a torsion nulle // Acta Math. - 1936. - V. 66. - P. 49-77.
5. Chen B.Y. Geometry of submanifoids. - N. Y.: M. Dekker, 1973. - 298 p.
6. Nomizu K. Uniqueness of the normal connections and congruence of isometric immersions // Tohoku Math. J. - 1976. - V. 28, No 1. - P. 613-617.
7. Ким Сен Ен, Морозов В.В. Об импримитивных группах трехмерного комплексного пространства // Y4em зап. Казан. ун-та. - 1955. - Т. 115, кн. 14. - С. 69-85.
8. Онищик А.Л. Топология транзитивных групп преобразований. - М.: Физматлит, 1995. - 384 с.
9. Nomizu K. Invariant affine connections on homogeneous spaces // Amer. J. Math. -1954. - V. 76, No 1. - P. 33-65.
10. Wang H.C. On invariant connections over a principal fibre bundle // Nagoya Math. J. -1958. - V. 13. - P. 1-19.
11. Кostant В. On differential geometry and homogeneous spaces // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1956. - V. 42, No 5. - P. 258-261.
12. Lichnerowicz А. Geometrie des groupes de transformations. - Paris: Dunod, 1958. - 193 p.
13. Komrakov B., Tchourioumov A., Mozhey N. et al. Three-dimensional isotropically-faithful homogeneous spaces: Vol. 1-3 // Preprint series. Institute of Mathematics. University of Oslo. Pure mathematics. - Oslo: Inst., Univ, 1993. - No 35-37.
Поступила в редакцию 11.09.13
Можей Наталья Павловна - кандидат физико-математических наук, докторант, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: mozheynatalya@mail.ru
