CC BY
11
К. В. Полякова, Ю. И. Шевченко
6. Близникас В. И. Неголономное дифференцирование Ли и линейные связности в пространстве опорных элементов // Литовский мат. сб. 1966. Т. 6, № 2. С. 141—209.
7. Шевченко Ю. И. Связность в составном многообразии и ее продолжение // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1992. Вып. 23. С. 110—118.
K. Polyakova, Yu. Shevchenko Laptev — Lumiste's methods of giving connection and geometrical vectors
Two modes for the giving fundamental-group connection in a principal bundle are described: Laptev — Lumiste's method by means of connection forms and dual method by means of horizontal vectors. Universality of the first method in comparison with the second one is shown.
УДК 514.75
Ю. И. Попов
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
Нормальные связности касательно г-оснащенной гиперполосы Нт(Л) аффинного пространства
Дано задание нормальных центроаффинных связ-ностей гиперполосы Нт(Л) и ее Л-, L-подрасслоений, а также внутренней (касательной) аффинной связности гиперполосы Нт(Л). Построены тензоры кривизны этих связностей.
Ключевые слова: гиперполоса, связность, расслоение, тензор кривизны.
Схема использования индексов: 1^,К = 1,п; i,j,k,l = 1, т ; р, q,t = 1,г ; а, Ь, с = г +1, т ; а,¡,у = т +1,п -1; а,¡3 = т +1,п ; А,В = {а;а} ;
= {Р, а} ; А, В = {а,а,п} ; Р,() = {р,а,п} ; 8 = т-г.
Оператор дифференцирования V действует по закону
_dTqha тфа ^c T^b
a
r
pafin pafin tafin p pcfin a parn fi
+Ttbafí a + Tqcan a + Tqbr c -Tqbafí c.
pafin t pafin c pafin r pafin n
1. В n-мерном аффинном пространстве An рассмотрим m-мерную регулярную гиперполосу Нт(Л) [1; 2]. Пусть гиперполоса Нт(Л) оснащена полем r-мерных касательных плоскостей Л (Л-подрасслоение) [3] (здесь r < m < n). Поле Л-плоскостей порождает сопряженное ему поле касательных (т-г)-мерных плоскостей L (L-подрасслоения) относительно асимптотического пучка тензоров Щ базисной поверхности Vm гиперполосы Нт(Л). Известно [5], что необходимым и достаточным условием сопряженности плоскостей Л(А) и L(A) является обращение в нуль тензора {b'p¡a}, т. е.
ъ;а _ 0 v Ъ% _ 0. (1)
Отнесем n-мерное аффинное пространство Ап к подвижному реперу R _ {M,es}, дифференциальные уравнения ин-финитезимального перемещения которого имеют вид
dM _aIWI, de¡ _afWK. (2)
Инвариантные формы С, С аффинной группы удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства
d&K _юС ^aLK,dC_aL лю[. (3)
Совместим вершину М репера R с текущей точкой А базисной поверхности Vm. Пусть {ep } с Л(A) , {e~a}c L(A) ,
{ё }с E(A), где (n-m-1)-плоскость Е(А) является характеристикой гиперполосы Н,п(Л) [2; 3]. Канонизированный таким образом репер есть репер 1-го порядка. Нами показано [5], с учетом соотношений (1)—(3), что в репере R1 гиперполоса Hm^)cAn задается уравнениями
an = 0,аа = 0, с" = 0, anp = bnpqa4, сопа = ЪпаЪюъ,
ар = ъ;с, с: = ъа, с = л;,с', (4)
с а=;>',<=;а,<=;а,
= Ъ;С, VЪ""Ъ = КСУЪ^ + b"pq а" = ЪPqC, ЧЪаА + ЪЪ а" = Ъ^а1, v;am + ;;q 8*аап = Латс, (5)
аЪ аЪ n аЪг ' рг pq г n pij ' v '
v;p. + Ъп 8еар = ;рс, у;а. = ;а..аг, v;p. = ;р.а
аг ас г n агу ^ > аг aij > аг aij
и соотношениями
Ъ!п]=0,ЪааЬ]=^tj=^
Ъ;;аЬ] = Ъср[х]с, Ксъс[м] = К1ръ;п, (6)
ъа; hl = Ъсг Ъ" , ъаъсг , = ; ъv
pq [аЪ] р[а Ъ]с> ас [pq] а[ р q]t
2. Адаптируем репер R1 полю нормалей N(A) 1-го рода гиперполосы Нт(Л), выбирая вектор ~ёп || N(A). В этом случае
юап = га, ар = сai = , (7)
n pi ' n pi ' n pi ' v '
а поле нормалей 1-го рода N(A) определяется уравнениями
v; =y,vrm =;а. (8)
Таким образом, уравнения (4), (5), (7), (8) вместе с соотношениями (6) задают оснащенную гиперполосу Нт аффинного пространства Ап.
def
Из (2) следует, что при фиксации точки A = x базисной поверхности Vmc Нт плоскости Nx (нормаль 1-го рода) и Тх (касательная плоскость) остаются неподвижными. Следовательно, на Vm возникает нормальное N(Vm) и касательное T(Vm) расслоения [6].
Структурные уравнения касательного расслоения T(Vm) в силу (2), (4)—(7) имеют такой вид:
da* =С ас1-, dap = as лар + Í2p, daа =ас,, лаа +&,
у ' q q s q ' Ъ Ъ с Ъ '
daЬ; =аЪ а ар +&p,daa =аг лаа +Па,
Ъ Ъ г Ъ ' р р г р'
где
Qp = rt лар + rt лар + rt лар = (bpr.lp., + batS'Àp., ■
q q ; q a q n I q[i J qt ¡1 ~\a\j J
+b"5'rÀp, .,)rt л rt = Rp.rt л rt,
qt ll mjJ/ qij '
Q =®ал®а лт"р + tf„ лтап = (АЬР[,Ь;.] + b^ô^ ■ лrt = R.rt лrt,
Р a p , n p
q; =rt ла1+Щ л rt =
= (Kôô^Pj] + bôPjjrt* ла} = RPjrt n; =rtp л< +rt л< =
(9) (10) (11) (12)
Щ. = b'Mj + KtÔAj + W^P (13)
К. = ¿РЛш + + W^r (14)
RPj = KôAPj] + Kôtpjp (15)
Rapj = КЛК. + КЛКш- (16)
Следуя работам [6; 7], приходим к выводу, что в касательном расслоении T(Vm) возникает аффинная связность у без кручения с формами связности соР, rt, , со;, сор, соар и 2-формами кривизны (9)—(12), причем компоненты тензора кривизны R'kj = {Rpj ,Rbaij ,Rpj ,R"Pj } этой связности имеют
строение (13)—(16).
Связность у в касательном расслоении T(Vm) назовем внутренней (касательной) аффинной связностью гиперполосы Нт(Л)сАп [8].
3. Структурные уравнения нормального расслоения N(Vm) с учетом (2), (4), (6), (7) можно представить в виде
(a), drta = 0,
da a=a a л ai + naa, drt=nn,
где
Я = а'а л а? = А'ЬШ л а' = Вшак л а', (а)
'а [ки']гш ак'
к ла',
(18)
/О а „г л „а т г ^ а ^к л „' п а ^к л „'
•Я = 0, лВ = А:[кЬ'],а Ла = Кпк'а Ла
Я =К[кЪ]ак л а' = 0,
Я" = а: л аП = А^ЬПа л а' = Впмак ла1,
В1к1 = Кс[кЬ1Л, (а) Кк1 = Ап[кЬ"]г, В" = А' = 0 В" = А' Ь:
ак' а[к ']' ' лиИ _ Л:[^']г'
(19)
Согласно работам [6; 7], получаем, что в нормальном расслоении К(Ут) возникает центроаффинная связность у1 с формами связности (17) и 2-формами кривизны (18), компоненты тензора кривизны = {В^} которой имеют стр°ение (19).
Связность у1 в дальнейшем будем называть нормальной центро-аффинной связностью оснащенной гиперполосы Нт(Л).
4. Аналогично можно построить нормальную аффинную связность ф1 в расслоении Кп_г(Ут) нормалей 1-го рода для Л-подрасслоения гиперполосы Нт(Л). Структурные уравнения нормального расслоения Кп_г(Ут) имеют следующее строение:
1 В С В , /-\В 1 : В : ,
ааА = аА лаС + ЯА , ааА =аА л ав + ЯА, ¿ар = аВ л аА + Яр, ¿а" = Я",
: : к : ' : : '
(20)
где
•А = аА лаВ, аА = {ар,ар} а1В = {аbp,а?}, •А = ( арАЛш + ЬААшВлВ = вАала, (21) Я" = ар л а" = А^]Ь"ма' л в = В"Ара' л в, (22) •А = а" л а" = А^В л в = ВАв' л В, (23) Я" =а" л а" +аа л а" =
=( адЬ*+А:ЛЬ:Ь)В' лв = в:а лв,
RAj - ¿A[,b\Bp\j] + b"A[,K\j] ' RAj - AA[,Sj]b"pq ' (25) RA - ТКю - o,Rnnj - Kfib,, + AS*-
5. Построим аффинную связность у1 в расслоении Nn_s(Vm) нормалей 1-го рода L-подрасслоения гиперполосы Нт(Л). Структурные уравнения нормального расслоения Nn_s(Vm) имеют вид
dwTQ -wTR awQ + OQ, dan - wQ awQ + OR,
dwTn - wQ a wQ + OTn, dw" - O
n n Q n ' n n
(26)
где
OQ -wW aaT - {wap,waJ, wQ - {apw }, OQ - (¿T[,bQa\j] + bnpqSpsqi2Q\j])wi aW - j aW, (27) OT -wT awT - (КЛш)а1 aW - j aW, (28) OR -wT awI - (b^ATT^S^Jw1 aw - RTJw1 aw , (29) onn -wT aWI +wp aW"p -- (bPrKSSi + bTShW awj - j aW,
(30)
где
йе/ йе/ йе/
л = = (ККУ,
= + КЛ^Лш' К* = (31)
= К[гЛ]'Ку = ЪмЛП8Л +
Так как в каждой точке хеУт определена характеристика Ех гиперполосы Нт(Л) [1], причем ЕхсКх, то на базисной поверхности Ут определено расслоение характеристик Е(Ут), которое представляет собой нормальное (п-т-1)-мерное подрасслоение Кп-т-1(Ут) [6]. Структурные уравнения расслоения Е(Ут) определяются уравне-
ниями (17а)—(19а). Связность в расслоении E(Vm) назовем нормальной центроаффинной характеристической связностью rç1 гиперполосы Нт(Л).
Список литературы
1. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Труды семинара по векторному анализу. Вып. 8. М., 1950. С. 197—272.
2. Попов Ю. И. Регулярные гиперполосы аффинного пространства : учебное пособие. Калининград, 2011.
3. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы гиперполос проективного пространства : учебное пособие. Калининград, 2011.
4. Акивис М. А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 7—31.
5. Попов Ю. И. Касательно r-оснащенные гиперполосы Нт аффинного пространства / РГУ им. И. Канта. Калининград, 2007. Деп. в ВИНИТИ 23.04.07, № 445-В2007.
6. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: монография. Ереван, 1990.
7. Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 7—70.
8. Попов Ю. И. Внутренняя геометрия регулярных гиперполос аффинного пространства / КГУ. Калининград, 1997. Деп. в ВИНИТИ, 1199-В97.
Yu. Popov
Normal connections of the tangential equipped hyperband in the affine space
Normal center-affine connections of hyperband Нт(Л), its L-, Л-sub-bundle and inner (tangential) affine connection of hyperband are given. Curvature tensor of the connections are constructed.
