Нормальные колебания жидкости, вытекающей из вращающегося бака Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.078.2: 623.5 DOI: 10.18698/2308-6033-2019-8-1907

Нормальные колебания жидкости, вытекающей из вращающегося бака

© В.В. Орлов, А Н. Темнов

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Выполнен анализ колебаний жидкости, полностью или частично заполняющей топливный бак и вращающейся вокруг продольной оси ракеты-носителя. Актуальность проблематики обусловлена необходимостью оценки влияния внутрибаковых устройств (измерительных, заборных, демпфирующих и других устройств) на колебания жидкого топлива. Приведены постановки задач о движении несжимаемой вращающейся жидкости, вытекающей из осесимметричного бака произвольной формы через заборное устройство, и выполнено подробное исследование для топливного отсека в виде цилиндра как наиболее распространенного на практике. Представлены решения задач о нормальных (собственных) колебаниях жидкости с граничными условиями на свободной поверхности и поверхности с сопротивлением — поверхности слива заборного устройства.

Ключевые слова: нормальные колебания, заборное устройство, топливный отсек, дискретный спектр, функция Бесселя

Введение. Впервые исследование колебаний жидкости с учетом ее вытекания было предложено В.В. Кирилловым [1] и продолжено в работах [2-4]. В упомянутых работах рассматривались задачи для жидкости, занимающей часть цилиндрического бака, с учетом кинематического условия вытекания через дно. В трудах других авторов [5-7] приведена постановка модельной задачи о малых движениях идеальной несжимаемой жидкости, вытекающей из топливного бака с заборными устройствами, а также решения задач для цилиндрических и конических баков. В этих работах заборное устройство представлялось в виде бесконечно тонкой пластинки с отверстиями, называемой поверхностью слива заборного устройства или для краткости — поверхностью слива.

Исследование этих задач показало, что спектр нормальных движений несжимаемой жидкости обладает двумя ветвями собственных значений: дискретным множеством действительных чисел, расположенных на положительной части вещественной оси, и дискретным множеством комплексно-сопряженных чисел, расположенных вблизи мнимой оси. Действительным собственным значениям отвечают апериодические режимы движения жидкости, происходящие преимущественно вблизи дна топливного отсека, а комплексно-сопряженным числам — режимы затухающих колебаний, происходящие в основном на свободной поверхности жидкости. Цель настоящей работы — исследовать нормальные

колебания идеальной несжимаемой вращающейся жидкости, вытекающей из топливного отсека через заборное устройство.

Постановка задачи. Пусть идеальная несжимаемая жидкость заполняет осесимметричный топливный бак с неплоским дном на глубину Н ив установившемся движении вращается вместе с ним вокруг оси Ох3 с постоянной угловой скоростью ю0 (рисунок), вытекая

через поверхность слива Е заборного устройства со скоростью VЕ. Обозначим через Q область, занимаемую жидкостью, через £ твердую боковую стенку, через Г0 невозмущенную свободную поверхность. Введем подвижную систему координат Ох1 х2 х3, оси которой связаны с невозмущенной свободной поверхностью, т. е. вращаются с постоянной угловой скоростью ю0 и перемещаются вместе с ней с постоянной

скоростью У0.

Вращающийся топливный отсек с заборным устройством

Рассмотрим задачу о малых движениях жидкости, близких к установившемуся движению. Будем считать, что за характерное время исследуемых движений область, занимаемая жидкостью, не успевает существенно измениться. Тогда для определения поля скоростей V = у(х, ^), х = (х1, х2, х3) частиц жидкости относительно установившегося движения имеем следующую задачу, записанную в неинерци-альной подвижной системе отсчета:

дг -

— + 2юо (V х к) = -Ур; дt

У-г = 0 в Q;

др

— + Уро- V = 0 на Го; д£

V -п = 0 на Б; р = уу - й£ на X;

V (х, 0) = V 0( х),

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

где к — единичный вектор оси Ох3; У — оператор «набла»; р = р '/р — модифицированное давление (р' — отклонение давления от равно-

^ 1 л

весного значения

р0 = 2 — (х12 + х2)- ^3 + с 2

плотность

жидкости); п, п2 — нормали к поверхностям Б,Е соответственно; у = Ъу^ — обобщенный коэффициент сопротивления (Ъ — коэффициент сопротивления поверхности слива).

Условие на поверхности слива, полученное на основе линеаризации уравнения Бернулли для перепада давления на поверхности слива, используется при расчете динамических характеристик топливных магистралей [8].

Исключая переменную V, систему уравнений (1)-(6), записанную в подвижной системе отсчета, можно привести к эволюционной задаче, записанной в неинерциальной цилиндрической системе координат (г, п, х, t) относительно одной переменной — р(г, п, х, t):

дt2 1

2 ^д2р+1 др+д2р +д2рл

дг2 г дг дг2 дп2 дх

+ 4ю

2 д_р_ дх 2

= 0 в 0;

(7)

д4р д2

Ур0 дt4 дt21 Ур,

Ур-Ур0

Ур0

г4ю2

д р + дР_ М.

дt2 дх дх

= -2ю

0

1 1 д2р

Ур0 г дtдn

на Г0;

д др н 2 др

2 + 4ю2— пх

дt2 дп дх

о 1 д2 р л 0

-2ю0--— = 0 на Б;

г дtдп 1 д 2 р

д др „ 2 др

-у-^ + пх -2Ю0~—-т—

дt2 дп дх г дtдп

( -\3 д р

дt3

+ 4-2 £

дх

на X;

р (х0) = р0. др( х, 0) = р0. д2 р( х, 0) = о д3р( х, 0) = р (х,0)=р; - р1; " р2; "

рз0.

(8)

(9) (10) (11)

0

При значении коэффициента сопротивления у = ^ (отсутствие слива) задача (7)—(11) представляет собой задачу о движениях вращающейся жидкости, частично заполняющей осесимметричную емкость, изученную в работах [9-15].

Нормальные колебания при отсутствии свободной поверхности. Рассмотрим сначала задачу о собственных движениях жидкости при отсутствии свободной поверхности. Найдем функцию р(г, п, х, t) в виде

суммы бегущих волн, т. е. положим р(г, п, х, ^) = £Р(г, х)в1ПЩ_ш, т = 0, ± 1, ±2,..., где О — комплексный коэффициент затухания волновых движений жидкости.

При отсутствии свободной поверхности (условие (8) заменяется

на условие — = 0 на Г0 ) из системы уравнений (7)-(10) для каждого дх

заданного числа т получим спектральную задачу:

О2

( 2 о 1 зг> ,„„2 з2 о ^ д2р

+ 4^0^ = 0 в 0; (12)

дх

д2 р+1 эр _ т. р+э2р ^

дг2 г дг г2 дх2

/

дР

= 0 на Го; (13)

дх

О2 — + 4ю2 —пх _ 2щО1тР = 0 на (14)

дп дх г

О2 дР + 4ю2 _0 — дР =1 о(о2 + 4ю2)Р на (15)

дп дх г дп г v '

т = 0, ± 1, ± 2,... .

Если поверхность слива плоская, граничное условие (15) упрощается и принимает вид

дР 1

— + О-Р = 0 на 2. (16)

дх у

Если положить 1т О > 0, то число т < 0 будет отвечать прямым волнам, бегущим в сторону вращения жидкости, а число т > 0 — обратным волнам. При т = 0 имеем случай стоячих волн.

Если функция Р(г, х) известна, то компоненты вектора скорости могут быть определены из выражения

^(г, х) =2 \ 2 1^Р(г,х), (17)

О2 + 4ю 0

где линейное преобразование Ь задается формулой

Г а -2ш о о 1

ь = 2ю о а 0

0 о а2+4юо

а

а векторный оператор V имеет вид

^ л дР _ .тР. дР_

VP(r, x) = — ^ + г-+ — •

дг г дх

Пусть Яо — характерный размер. Введем безразмерные параметры Ъ, ', у с помощью соотношений:

С = Ъ = кЯо; к

о _

; У:

У

2ю

о

2Юо

(18)

где д, к — размерные волновые числа, а безразмерные параметры £ и Ъ связаны с собственным числом к спектральной задачи (12)-(15) формулой

С2

к2=■

2

ъ2-с

Для цилиндрического бака радиусом Яо с плоской поверхностью слива решением задачи (12)—(14), (16), удовлетворяющим ограниченности в нуле, будет, например, функция Р(г, х) =

= С/

Яо,

еЬ

£— (где /т — функция Бесселя первого рода

т-го порядка), подставив которую в граничные условия (14), (16) на боковой поверхности $ и на поверхности слива Е, получим систему характеристических уравнений для определения безразмерных волновых чисел £ и Ъ :

У Л (&):

/т-1 (Ъ) = т /т (Ъ) Ъ

1 + ^

(19)

(20)

й Н гдеН=ЯГ-

1

Систему трансцендентных уравнений (19), (20) при заданных величинах у и Н будем исследовать для различных чисел т = 0, ± 1, ±2,..., определяющих моды колебаний рассматриваемой гидромеханической системы.

Под модой колебаний т-го порядка будем понимать совокупность безразмерных волновых чисел ^, ^ и собственного числа X вместе с относящимися к ним собственными и присоединенными функциями.

Из приведенных трансцендентных уравнений (19), (20) следует, что в случае стоячих волн (т = 0) достаточно рассмотреть трансцендентное уравнение (19):

Л(СН)= . 2° 2 , ек, а = 1/ у, (21)

0« — С

где К — дискретное положительное множество чисел |^0» }~=1 с единственной предельной точкой на бесконечности и асимптотическим поведением чисел [16]:

?0п ~ - + пп + O

\п j

п ^ те.

Здесь и далее О и о — символы Ландау. Используя графические решения, можно показать, что уравнение (21) при задании H, а, ^0п имеет два вещественных корня Zo,n,-i и Zo,n-2, если кривые пересекаются, и бесконечное множество комплексно-сопряженных корней (l = 1, 2, 3, ...), если пересечение отсутствует [17].

Пусть п фиксировано (^0п = const). При больших значениях l решение уравнения (21) имеет вид

у . nl

4>0п1 = г = H

'l H 4

v Yn l /

+ o(Г5) + ^ + io(Г5), l (22)

v ' ylrc v '

Пусть теперь / фиксировано (/ = -1, / = -2). Из графического

решения уравнения (19) тогда следует, что при п ^те (^0п ^ те)

корень Со,п,—1 стремится к ^0», а корень Со,п,-2 — к нулю. Поэтому

значения £о,»,—1, Со,»,—2 при п ^ те получим в виде

а 2

Со,»,—1 = ^о»— 2), п (23)

Со,»,—2 = + ° »), » ^ (24)

0п

При известных значениях и собственные числа , а следовательно, и комплексный коэффициент затухания О исходной спектральной задачи (12)-(14), (16) могут быть определены по формулам:

Х0 п/ -

г2 ; О0п/ -2^0п/®0, 1 --2-1, 1 2 3

Ъ0п/ -£0п/

п -1, 2, 3,...,

(25)

которым отвечают волны с максимальной амплитудой на поверхности слива:

/

,-1 (Г, х) - Соп^0 £0п ~

V К

Л у

sh £

Л

\

г sh

К0 у

г2

=0и

2£

Л

+ о (£-2)

0 п

К0

о

Н £0 п

=—+ о (^п

К)

/ --1;

/ --2,

где Ж0п/ — вертикальная компонента скорости; С0п1 — константа, выбираемая из условий нормирования.

Собственным числам X0п/ (/-1, 2, 3, ...; п-1, 2, 3, ...), найденным по формуле (25), отвечают волновые движения во вращающейся жидкости с максимальной интенсивностью в глубине жидкости, т. е. внутренние волны. Для подтверждения этого воспользуемся асимптотическим выражением (22) для волновых чисел ^0и/, которые

можно представить в виде ^0п/ - С(г) + гС( ) (/ ^ п — фиксировано Г) ^ ^(г)), где ), — действительная и мнимая части комплексного числа. Подставив значение ^0и/ в выражение для вертикальной компоненты скорости, получим

Щ,п,/(г, х) - С0п/^0

^ Г ^ £ 0п ТТ" ^0

1 Ч

- Н < х < 0.

В случае неосесимметричных колебаний (т = 1) систему трансцендентных уравнений (17), (18) можно свести к одному трансцендентному:

J2

р (0 =

J1

о

Т

2

^ Л

/о_ -1 ^ (сн)

0. (26)

В отличие от случая т = 0, в котором п было фиксировано, числа % находились независимо и комплексные корни £0 П1, определяемые из формулы (21), формировались вблизи мнимой оси, при т = 1 параметры % вычисляются после нахождения чисел £ по формуле

% =

Й2 (ср)

Можно показать, что в данном случае имеется бесконечное множество комплексных корней (%1п/}£=1,п=1, |^1п/}/=1,п=1. Последние формируются как вдоль мнимой, так и вдоль действительной осей комплексной плоскости £. Численные исследования решений при т =1 показывают, что и в этом случае возможно существование как внутренних волн, так и волн слива.

Проведенное исследование при отсутствии свободной поверхности показало, что совокупность нормальных колебаний состоит из внутренних волн и волн слива. Внутренние волны характерны для вращающейся жидкости и образуются во всем ее объеме. Волны слива образуются на поверхности слива, они экспоненциально затухают в глубь жидкости.

Медленное вращение жидкости со свободной поверхностью.

Пусть скорость вращения такова, что свободная поверхность Г0

^ гтг- \

Тогда для невозму-

остается почти плоской

щенного давления р0 вместо выражения

Ро= ^ ко

1 2 2 — 8 Г

-х

+ С

_ /

можно использовать выражение ро = -gxз + С и, соответственно, |Ур0| = g. С учетом этого допущения соотношение (8) примет вид

д2 ( д 2р др

дt2

дt

2 + g дх3 у

+ 4ю2

д 2 р др

дг

2 + g дх3 у

: 0 на Г0.

(27)

Сформулируем задачу о собственных движениях жидкости. Решение задачи (7), (9), (10) с граничным условием (27) на свободной поверхности будем искать также в виде бегущих волн

р(г, п, х, t) = Р(г,х)е

1тц-Ш

т = 0, ± 1, ± 2,

Тогда вместо

системы (12)—( 14) для каждого заданного числа т спектральную задачу:

получим

2

О2

Гд2Р 1 ЭР _ Р+д^Р

дг2 г дг г2 дх2

д 2 Р

+ = 0 в б;

д х

Р+g ЭР

дх

= 0

/

О2 — + 4ю200-пх _2ю20/—Р = 0 Эи Эх г

—+01Р = о

дх у

да = 0, ± 1, ± 2,

на Г о, на £, на 2,

(28) (29)

(32) (31)

Пусть Я2 — характерный размер. Введем безразмерные параметры А,, у, е с помощью соотношений:

С = МР>; £ = кЯ2; А = 0Р;; е = 2юо,Р, (32)

\ g л^Р V g

где безразмерные параметры £ и ^ характеризуют движения жидкости соответственно в осевом и радиальном направлениях и связаны с собственным числом А спектральной задачи (28)—(31) формулой

еС

А

(33)

Отметим, что, используя (33), задачу (28)—(31) можно переписать в другом виде для определения любых двух параметров из трех неизвестных А.

Решением уравнения (28) в случае цилиндрического бака будет функция

Р( х, г) =

Г \ /

^ — С^ — + С^ —

С 1 Р Т)

V р А Р р

^т •

/

Подставив указанную функцию в граничные условия (29)-(31) на свободной поверхности Г2, боковой поверхности £ и на поверхности слива 2, получим систему трансцендентных уравнений для определения безразмерных волновых чисел А, £ и ^ :

_ 1

у — +

1 А

га с, '

._Га> у

С *

J V ^2 7

2;

да

^т_1 _

а 2 —-252 §2

1+/1 А

У

2

(34)

(35)

(36)

Численное исследование трансцендентных уравнений (34)-(36) показало, что при наличии свободной поверхности и медленном вращении жидкости к совокупности нормальных колебаний жидкости относятся три типа волновых движений: волны слива, внутренние и поверхностные волны.

Быстрое вращение жидкости со свободной поверхностью. Рассмотрим теперь случай быстрого вращения, который реализуется либо когда величина центробежного ускорения значительно больше

ускорения свободного падения (ю2К0 » g; £ » 1), либо при

вращении с любой угловой скоростью в условиях невесомости [18]. Сделаем допущение, что при этом свободная поверхность жидкости принимает форму цилиндра радиусом г0' (г0' - г0К0), симметрично

расположенного по отношению к боковой поверхности осесиммет-ричного сосуда между плоскостями х - 0 и х - -Н, которые являются поверхностью крышки и поверхностью слива соответственно.

В случае быстрого вращения граничное условие (8) на свободной поверхности преобразуется к виду

1 д4 р д2 др 1 2 д2 р „ 11 д 2р

|Ур<)| дt4 дt2 дп |Ур^ " дt2 |Ур<)| Г дtдц

Рассмотрим задачу о собственных движениях жидкости. Будем искать решение задачи (7), (9), (10) с граничным условием (37) на свободной поверхности в виде бегущих волн р(г, п, х, t) -

- Р(г, х)в,гщ~°', т - 0, ± 1, ± 2, .... Тогда для определения собственного параметра О и собственных функций Ртп/ для каждого заданного числа т получим краевую задачу

О2

Гд2Р 1 дР т2 д2РЛ

--1-----Р +--

дг2 г дг г 2 дх2

+ - 0 в Q; (38)

дх

д 2 Р

дР 1 О2 + 4ю2 „ 2ю0 т

— ---2—0 Р + —0 —

дг г0 ю2 О г0

Р + —° —Р на Г0; (39)

О2 — + 4ю2 —пх - 2ю0О1тР - 0 на (40)

дп дх г

дР 1

— + 01Р - 0 на 2; (41)

дх у

дР

дх

- 0 на 20, (42)

х-0

т - 0, ± 1, ± 2, ....

Решение уравнения (38), удовлетворяющее граничным условиям, может быть записано в виде

Р(г, х) - [ ЛЗт (^) + Б¥т (^)] Cch Г С -х 1, (43)

V Яэ)

где А, В, С — некоторые константы; ¥т (£г") — функция Бесселя

второго рода т-го порядка.

Подставим функцию Р(г, х) в граничные условия на свободной поверхности и на боковой поверхности и введем безразмерные параметры X, у:

" У

О _

2ю0 2ю0

Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущем разделе, получим трансцендентные уравнения для определения волновых чисел £, ^ и собственного числа X в виде системы уравнений относительно коэффициентов А, В:

а11 А + а12Б - 0; а21 А + а22Б - 0. Определитель этой системы должен быть равен нулю:

а11а22 - а12а21 - 0.

Здесь

(44)

(45)

а11 - — -^т (£) ;

а12 КЬ^ (£);

а21 - ^0(£г0 ) + ¥2 (Щ Х) (£г0 ); а22 - Щр'т (^) + ¥2 (т, X) ¥т (^);

/ о \ ,

¥2 (т, X) --4 (1+ Х2 )-

т

Т'

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

Раскрыв выражения для производных от функций Бесселя и приняв во внимание граничное условие на дне, получим систему трансцендентных уравнений для определения волновых чисел £ , С, и собственного числа X:

4 (X2 +1)

От -Ет (£)- 0;

г0

X - у^Ь (СН);

С2

X-

£2 -С2

(51)

(52)

(53)

где

От ($) " От (.1т Л) От (7т, г2 ) От (7т,1)От (. т, г2; (54)

Ет ($) " От (.т,1)7т ($г2 )_ От (7т,1).т ($г2 ).

В выражении (54)

От (Ут , Г2 ) = _т ^ + | У 1 7т ($ )+$т-1 ($ ) ;

От (.т, г2 )"_т

V АУ г2 '1

V А/

— .т ($г2 ) + $/т_1 ($г2 ). г2

(55)

(56)

(57)

Случай стоячих волн (т = 2). Исключая А из уравнений (51) и (52), получим систему трансцендентных уравнений относительно неизвестных $ и £:

'$[./1 ($) 71 (&, )_71 ($) .1 (&, )]_

4$2

($2 ч2)

г2

[71 ($) /2 ($ )_/ ($) 72 ($)] = 2;

л (Н ) =

в

в=1. У

(58)

(59)

Эту систему можно представить в виде одного уравнения относительно комплексной переменной выразив $ через £ из / I-~-л

второго уравнения

в2

. Графическое решение этой

л2 (Н)

системы уравнений [19] позволяет выделить несколько групп корней в зависимости от их расположения на комплексной плоскости. Следует отметить, что качественно это решение сходно с решением для вращающегося коаксиального цилиндра с вытекающей из него жидкостью, за исключением дополнительной группы корней, отвечающей поверхностным волнам.

Численное исследование трансцендентных уравнений (58), (59) показало, что при быстром вращении множество нормальных колебаний жидкости, как и при медленном вращении, состоит из трех типов волновых движений: волн слива, внутренних и поверхностных волн.

Случай бегущих волн (т Ф 2). В этом случае для дальнейшего нахождения решений удобно привести систему (51)-(53) к одному уравнению относительно комплексной переменной £ :

в„

1

[уел (сд )]2

+1

{[УС*ь (сд)

+1

1 ^п

г0

[у^ (сд )]2

+1

0.

(60)

Здесь, как и в случае сосуда с закрытой крышкой, можно отметить существование двух групп бегущих волн — совпадающих с направлением вращения жидкости и противоположных ему, т. е. прямых и обратных волн. В случае бегущих волн действительные решения, отвечающие волнам на поверхности слива, становятся комплексными. В случае т = 1 множество нормальных колебаний жидкости, как и при т = 0, состоит из трех типов волновых движений: волн слива, поверхностных и внутренних волн.

Поверхностные волны. Получим здесь асимптотические формулы для определения волновых чисел и частот поверхностных волн при / ^ те, п = соnst и волн слива при п ^ те, / = соnst. Подставим в уравнения (58), (59) асимптотические разложения [16]:

V I \ п -г\ 4т -12 Кт (г) = Л—е г -Л +-+

тК ' \2х I 11-

(61)

1т (г) =

42

е-1-

пг

4т2 -12 1!-8 г

- + ...>.

(62)

Рассмотрим сначала асимптотику поверхностных волн при т = 0. Используя метод неопределенных коэффициентов, получим асимптотику волнового числа а т1 (а = и асимптотическую формулу

для частоты поверхностных волн:

ат1 = Д/

' 2 3 В 1 Л

1--+ —Т---3

Д/ Д2 8 Д3

9(Д-3 ) , / ^те; (63)

1 ( 5 3 9 ^

Ьт1 = Т Д 2 1 + Т Д-1 -Т Д-2 +9Д-3 +9(Д-3), / ^ те, (64)

2 у 4 2 8 у

где Д/ = / ж/И; В = 3(/ -1)//.

При выводе асимптотических формул в случае т Ф 0 ограничимся главным членом в асимптотических выражениях (61), (62). Тогда вместо асимптотических уравнений (63), (64) получим

2

а-| 1--+ 2

1 + т 2т

(|-3); (65)

2 + т 1 + т (1 + т)

21 I2 2|3

(|-3). (66)

Асимптотические формулы (65), (66) показывают, что частоты поверхностных прямых волн (т < 0) меньше, чем частоты поверхностных обратных волн (т > 0).

Обсуждение исследования. При анализе полученных результатов следует отметить появление решений, не встречающихся в задачах без слива, а также изменение известных решений под влиянием вытекания жидкости. Прежде всего, наличие поверхности слива заборного устройства определяет возможность появления на ней волновых движений — волн слива. Причины их возникновения впервые рассматривались в работе [5]. Волны слива характеризуются волновыми и собственными числами — решениями соответствующих систем уравнений. В общем это апериодические затухающие волновые движения. Появление в системе поверхности слива также отражается и на существующих в системе колебательных движениях. Внутренние волны и волны на свободной поверхности превращаются в затухающие волновые движения.

При медленном вращении для случая стоячих волн (т = 0) получаем две группы действительных решений для волн слива — с действительными волновыми числами стремящимися к нулю или к бесконечности. Это означает наличие на поверхности слива апериодических волновых движений, быстро затухающих во времени и в глубь жидкости. При этом увеличение скорости приводит с увеличению степени затухания. Соотношение между скоростью вращения и степенью сопротивления сливу также может приводить к появлению кратных корней для низших тонов колебаний, а затем и комплексно-сопряженных решений для соответствующего тона. Таким же образом уменьшение сопротивления сливу (коэффициент у) заборного устройства увеличивает затухание внутренних волн и волн на свободной поверхности.

В случае бегущих волн (т Ф 0) для каждой группы волн (поверхностных, внутренних и волн слива) получаем две группы решений — прямые и обратные волны, различающиеся направлением распространения и основными волновыми параметрами. Наличие слива через заборное устройство приводит к возникновению волн слива, которые не являются апериодическими, как в случае осесимметричных колебаний. Волны слива становятся быстрозатухающими колебатель-

ными движениями, степень затухания которых в наибольшей степени зависит от скорости слива. Поверхностные и внутренние волны, как и в случае стоячих волн, являются затухающими колебательными движениями, степень затухания которых также в наибольшей степени зависит от скорости слива. При этом для всех групп волн при определенной скорости вращения прямые волны могут не возникать.

В случае быстрого вращения, в отличие от медленного вращения, свободная поверхность располагается параллельно оси вращения. Здесь, как и в случае медленного вращения, вытекание жидкости приводит к появлению волновых движений на поверхности слива заборного устройства. В случае стоячих волн обе группы поверхностных волн (с волновым числом Z, стремящимся к нулю или к бесконечности) являются апериодическими движениями с действительным коэффициентом затухания X. Бегущие волны — затухающие волновые движения с колебательной составляющей, более выраженной для поверхностных и внутренних волн, и с затухающей составляющей, более выраженной для волн слива. Определенные соотношения между коэффициентом сопротивления сливу у и глубиной заполнения сосуда Н могут привести к отсутствию низших тонов колебаний для волн на свободной поверхности.

Заключение. Проведенное исследование колебаний вращающейся жидкости, частично заполняющей топливный бак, при наличии истечения через заборное устройство показало, что рассматриваемая гидродинамическая система обладает как дискретным вещественным спектром собственных чисел, так и дискретным спектром комплексно-сопряженных собственных чисел. Вещественному спектру отвечают апериодические режимы движений жидкости, которые более значительно выражены волнами слива, комплексно-сопряженным собственным числам отвечают затухающие колебания преимущественно поверхностных и внутренних волн.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Кириллов В.В. Исследование колебаний жидкости в неподвижном сосуде с учетом ее вытекания. Тр. МФТИ, 1960, вып. 5, с. 19-25.

[2] Моисеев Н.Н., Петров А.А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. Москва, ВЦ АН СССР, 1966, 270 с.

[3] Кононов Ю.Н. О колебаниях физического маятника, содержащего идеальную жидкость переменной массы. Математическая физика и нелинейная механика, 1985, вып. 3 (37), с. 17-20.

[4] Лимарченко О.С. Динамика резервуара с жидкостью со свободной поверхностью в режиме равномерного истечения. Прикладная механика, 1993, т. 30, № 5, с. 63-68.

[5] Орлов В.В., Темнов А.Н. Малые движения жидкости, вытекающей из бака. Современные методы теории функций и смежные проблемы. Сб. тез. докл. Воронеж, Воронежский гос. ун-т, 1997, с. 124.

[6] Дьяченко М.И., Орлов В.В., Темнов А.Н. Колебания жидкого топлива в цилиндрических и конических емкостях. Наука и образование, 2013, № 11, с. 175-192. Б01: 10.7463/1113.0623923

[7] Нгуен З.Х., Темнов А.Н. Задачи динамики космических конструкций с жидким топливом, вытекающим из сферических емкостей. XL Академические чтения по космонавтике, посвященные памяти академика С.П. Королёва и других выдающихся отечественных ученых — пионеров освоения космического пространства «Королёвские чтения — 2016». Сб. докл. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016, с. 30, 31.

[8] Колесников К.С. Динамика ракет. 2-е изд. Москва, Машиностроение, 2003, 520 с.

[9] Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. Журн. прикл. мех. и техн. физ., 1960, № 3, с. 20-55.

[10] Копачевский Н.Д. Малые движения и собственные колебания идеальной вращающейся жидкости. Физико-технический институт низких температур АН УССР, Препринт, № 38-77. Харьков, 1978, 54 с.

[11] Рвалов Р.В. Краевая задача о свободных колебаниях вращающейся идеальной жидкости. Известия АН СССР, МЖГ, 1973, № 4, с. 81-88.

[12] Гонткевич В.С. Собственные колебания вращающейся жидкости в сосудах. Гидромеханика. Республ. межвуз. сб., 1972, вып. 20, с. 52-58.

[13] Клишев О.П., Мордыга Ю.О. Математические модели динамики вращающихся разгонных блоков с учетом подвижности жидкого топлива в баках. Актуальные вопросы проектирования космических систем и комплексов. Сб. науч. тр., вып. 5. Российская академия космонавтики им. К.Э. Циолковского, НПО им. С.А. Лавочкина. Москва, 2004, с. 349-354.

[14] Григорьев Ю.Н. О спектре пучка операторов задачи С.Л. Соболева. Динамика сплошной среды, 1974, № 17, с. 12-18.

[15] Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск, НГУ, 1970, 164 с.

[16] Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. Москва, Изд-во иностр. лит-ры, 1949, 797 с.

[17] Орлов В.В., Темнов А.Н. Колебания вращающейся жидкости, вытекающей из закрытого сосуда. Инженерно-физический журнал, 2000, с. 165-173.

[18] Копачевский Н.Д., Радякин Н.К. О малых колебаниях идеальной капиллярной жидкости, вращающейся в осесимметричном сосуде.

Вопросы вычислительной математики и техники. Киев, Наукова думка, 1976, с. 3-25.

[19] Орлов В.В. Колебания вращающейся жидкости, вытекающей из открытого сосуда. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2004. № 1, с. 3-20.

Статья поступила в редакцию 05.07.2019

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Орлов В.В., Темнов А.Н. Нормальные колебания жидкости, вытекающей из вращающегося бака. Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 8. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2019-8-1907

Орлов Владимир Владимирович — соискатель-исследователь, кафедра «Космические аппараты и ракеты-носители», МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: v_orlov@list.ru

Темнов Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Космические аппараты и ракеты-носители», МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: antt45@mail.ru

Normal oscillations of liquid flowing from the rotating tank

© V.V. Orlov, A.N. Temnov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The purpose of the study was to analyze oscillations of liquid which partially or completely fills the fuel tank rotating around the longitudinal axis of the launch vehicle. The relevance of the problem is substantiated by the importance of assessing the effect of the intake, measuring, damping devices and other inner tank devices on the liquid fuel oscillations. The study introduces the formulation of problems on the motion of an incompressible rotating liquid flowing from an axisymmetric tank of arbitrary shape through the intake device, and gives a detailed study conducted for the fuel compartment in the form of a cylinder as the most common one. Finally, we give the solutions of the problems on normal, i.e. natural, oscillations of the liquid with boundary conditions on a free surface and a surface with resistance — the intake drain surface.

Keywords: normal oscillations, intake, fuel compartment, discrete spectrum, Besselfunction

REFERENCES

[1] Kirillov V.V. Trudy MFTI — Proceedings of Moscow Institute of Physics and Technology, 1960, iss. 5, pp. 19-25.

[2] Moiseev N.N., Petrov A.A. Chislennye metody rascheta sobstvennykh chastot kolebaniy ogranichennogo obema zhidkosti [Numerical methods for calculating the natural frequencies of oscillations of a limited volume of liquid]. Moscow, Computing Center Academy of Sciences of USSSR Publ., 1966, 270 p.

[3] Kononov Yu.N. Matematicheskaya fizika i nelineinaya mekhanika (Mathematicalphysics and nonlinear mechanics), 1985, iss. 3 (37), pp. 17-20.

[4] Limarchenko O.S. Prikladnaya mekhanika — International Applied Mechanics, 1993, vol. 30, no. 5, pp. 63-68.

[5] Orlov V.V., Temnov A.N. Malye dvizheniya zhidkosti, vytekayushchey iz baka [Small movements of liquid flowing out of the tank]. Sovremennye metody teorii funktsii i smezhnye problem. Sbornik tezisov dokl. [Modern methods of the theory of functions and related problems. Collection of abstracts]. Voronezh, Voronezh State University Publ., 1997, p. 124.

[6] Dyachenko M.I., Orlov V.V., Temnov A.N. Nauka i obrazovanie — Science and Education, 2013, no. 11, pp. 175-192. DOI: 10.7463/1113.0623923

[7] Nguyen V.H., Temnov A.N. Zadachi dinamiki kosmicheskikh konstruktsiy s zhidkim toplivom, vytekayushchim iz sfericheskikh emkostey [Problems of the dynamics of space structures with liquid fuel flowing from spherical containers]. XL Akademicheskie chteniia po kosmonavtike, posviashchennye pamiati akademika S.P. Koroleva i drugikh vydaiushchikhsia otechestvennykh uchenykh - pionerov osvoeniia kosmicheskogo prostranstva «Korolevskie chteniya-2016». Sb. dokladov [XL Academic readings in astronautics dedicated to the memory of academician S.P. Korolev and other prominent Russian scientists — pioneers of space exploration "Korolev readings-2016". Coll. reports]. Moscow, BMSTU Publ., 2016, pp. 30, 31.

[8] Kolesnikov K.S. Dinamika raket [Missile dynamics]. 2nd ed. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003, 520 p.

[9] Sobolev S.L. Zhurnal prikladnoy mekhaniki i tekhnicheskoy fiziki (Journal of Applied Mechanics and Technical Physics), 1960, no. 3, pp. 20-55.

[10] Kopachevskiy N.D. Malye dvizheniya i sobstvennye kolebaniya idealnoy vrashchayushcheysya zhidkosti [Small movements and natural oscillations of an ideal rotating liquid]. Fiziko-tekhnicheskiy institut nizkikh temperatur. Preprint (ILTPE Preprint), no. 38-77. Kharkov, 1978, 54 p.

[11] Rvalov R.V. Izvestiya ANSSSR, MZhG — Fluid Dynamics, 1973, no. 4, pp. 81-88.

[12] Gontkevich V.S. Gidromekhanika. Resp. mezhved. sb. (Hydromechanics. Republ. interdepart. coll.), 1972, no. 20, pp. 52-58.

[13] Klishev O.P., Mordyga Yu.O. Matematicheskie modeli dinamiki vrashchayushchikhsya razgonnykh blokov s uchetom podvizhnosti zhidkogo topliva v bakakh [Mathematical models of the dynamics of rotating booster blocks taking into account the mobility of liquid fuel in tanks]. Aktualnye voprosy proektirovaniya kosmicheskikh sistem i kompleksov. Vyp. 5. Sbornik nauchnykh trudov [Current problems in design of space systems and complexes. No. 5. Coll. Sc. papers]. Moscow, 2004, pp. 349-354.

[14] Grigorev Yu.N. Dinamika sploshnoy sredy (Continuum dynamics), 1974, no. 17, pp. 12-18.

[15] Zelenyak T.I. Izbrannye voprosy kachestvennoy teorii uravneniy s chastnymi proizvodnymi [Selected problems of the qualitative theory of partial differential equations]. Novosibirsk, NSU Publ., 1970, 164 p.

[16] Watson G.N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press, 1922, 811 p. [In Russ.: G.N. Watson. Teoriya Besselevykh funktsiy. Ch. 1. Moscow, Izd. inostr. lit. Publ., 1949, 797 p.].

[17] Orlov V.V., Temnov A.N. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal — Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2000, pp. 165-173.

[18] Kopachevskiy N.D., Radyakin N.K. O malykh kolebaniyakh idealnoiy kapillyarnoy zhidkosti, vrashchayushcheysya v osesimmetrichnom sosude [On small oscillations of an ideal capillary liquid rotating in an axisymmetric vessel]. Voprosy vychislitelnoy matematiki i tekhniki [Problems of computational mathematics and technology]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1976, pp. 3-25.

[19] Orlov V.V. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering, 2004, no. 1, pp. 3-20.

Orlov V.V., degree seeking applicant, researcher, Department of Spacecraft and Launch Vehicles, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: v_orlov@list.ru

Temnov A.N., Cand. (Phys.-Math.) Sc., Department of Spacecraft and Launch Vehicles, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: antt45@mail.ru