CC BY
26
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
УДК 532.5
В. В. Орлов
КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ, ВЫТЕКАЮЩЕЙ ИЗ ОТКРЫТОГО СОСУДА
Рассмотрена задача о собственных движениях вращающейся жидкости, частично заполняющей цилиндрический бак при наличии истечения через жесткое дно. Задача решена в квазистационарной постановке в рамках модели идеальной жидкости с учетом гидравлических потерь при протекании жидкости через дно сосуда. Исследован спектр собственных чисел и выявлены характеристики волновых движений жидкости, приведены результаты расчетов волновых чисел и комплексного коэффициента затухания.
Постановка задачи. Пусть идеальная несжимаемая жидкость заполняет цилиндрический сосуд радиуса Я0 на глубину Н и вращается вместе с ним вокруг оси ОХ3 с постоянной угловой скоростью ш0 и вытекает через поверхность слива Е со скоростью Введем следующие обозначения: О — область, занимаемая жидкостью, £ — твердая боковая стенка, Г0 — невозмущенная свободная поверхность. Введем подвижную систему координат ОХ1Х2Х3 с осями, связанными с невозмущенной свободной поверхностью, т.е. вращающимися с угловой скоростью <^0, и перемещающуюся вместе с ней со скоростью У0.
Рассмотрим задачу о малых движениях жидкости, близких к установившемуся движению. Будем считать, что за характерное время исследуемых движений жидкости область, занимаемая жидкостью, не успевает существенно измениться. Тогда для определения поля V = V (х, Ь) скоростей частиц жидкости относительно установившегося движения имеем следующую задачу, записанную в подвижной системе отсчета:
д V ->
— - 2шо(Я х к) = -V?, (1)
V ■ V =0 в Q, (2)
V ■ п = 0 на £, (3)
др + Vpо ■ V = 0 на Го, (4)
д Ь
р = 7V ■ пЕ на Е, (5)
V(x, 0) = ^°(х). (6)
Здесь пЕ — нормаль к поверхности £; р — модифицированное дар 0
вление р = —, р — отклонение давления от равновесного значения;
Р
7 = £ (Уе — У0), £ — коэффициент сопротивления поверхности слива. Условие на поверхности слива получается на основе линеаризации уравнения для перепада давления на поверхности слива и используется при расчете динамических характеристик ракет на жидком топливе [1].
Исключая переменную V, уравнения (1)-(6), записанные в подвижной системе отсчета, приведем к краевой задаче, записанной в цилиндрической системе координат (х, г, п, ¿), для одной переменной — р(х, г, п, £)■
Формулировка краевой задачи. Получим соотношение для возмущенного давления р, исключив из уравнения (4) вектор скорости V. Для этого умножим обе части уравнения (1) скалярно на Vp0 и после несложных преобразований получим условие на свободной поверхности, которое может быть использовано для сосудов произвольной формы, вращающихся вокруг оси ОХ3 с произвольной угловой скоростью
Тогда уравнения (1)-(6) могут быть записаны относительно переменной р(х, г, п, ¿):
д2 / д2р 1 dp 1 д2p д2p
dt2 \ дr2 r дr r2 дг/2 дx2
1 д 4p 8Р_
|Vpc| д44 - д2 1д
= —2ш0
)
4ш,
2
дх2
= 0
в Q,
(7)
Vp ■ Vpo |Vpo |
дpo
|Vpo| дt
i дp \д xi
| V p o дp дp^
4ш20
дх2 дх2 дх
oi
д2p + дp дp0 дt2 дх3 дх3
на Г0,
д2 дp дt2 дr
2ш,
1 д 2p
r дtдn
= 0
на S,
дp 1 дp о
дх y дt
на S,
(8) (9) (10)
p(X, 0) = p0
дp(x, 0) 0 = pi
дМх, 0) = 0 д? =
дМх, 0) = 0 ' д t2 = p2'
х = (х, r, п)-
(11)
При значении коэффициента сопротивления 7 = то (отсутствие слива) задача (7)—(11) представляет собой задачу о движениях вращающейся жидкости, частично заполняющей круговую цилиндрическую емкость [2]-[7].
Медленное вращение. Пусть скорость вращения такова, что свободная поверхность остается почти плоской. Тогда выражение для не-
1
возмущенного давления, р0 вместо р0 = — ш0т2 — дх3 + С, можно использовать р0 = —дх3 + С и соответственно |Ур0 | = д• Учитывая это допущение, соотношение (8) можно представить в виде
д t2
д2р dp д t2 g д х3
4и>2
д2р др + 9-
дt2 дх3
= 0.
Рассмотрим задачу о собственных движениях жидкости. Будем искать решение в виде бегущих волн р(т, п,х,Ь) = Р(т, х)е(гтп-ш), т = 0 , ± — , ±2 ,.... Тогда, вместо системы (7)—( 11), для каждого заданного числа т получим спектральную задачу:
д 2P 1 д P m2 д 2P
--1-----P +--
дг2 r дг r2 дх2
О2(
(О2 + 4<)( О2 P + g |Х) =0
)
4^2
д 2 P
д х2
на Г0,
= 0
в Q, (12)
(13)
2 д P m
О2---2u0Oi—P = 0
дг r
д P „ — + О-P = 0
дх y
m = 0,± 1,± 2,
на S,
на £,
(14)
(15)
При отсутствии свободной поверхности (условие (8) заменяется на
др
условие —— = 0 на Г0) получаем задачу, приведенную в работах [9,10].
д хз
Здесь О — комплексный коэффициент затухания волновых движений жидкости. Если положить 1тО > 0, то число т < 0 будет соответствовать прямым волнам, бегущим в сторону вращения жидкости, число т > 0 — обратным волнам, а число т = 0 — случаю стоячих волн.
В дальнейшем нас не будут интересовать решения, при которых О = 2ш0г. Поэтому граничное условие (13) можно переписать в виде дР
О2Р + д дР = 0.
дх
Вывод характеристических уравнений задачи. Пусть Я0 — характерный размер. Введем безразмерные параметры £, £, Л, у, £ при помощи соотношений
'R
Z = ßRo; £ = kRo; X = OJ —; y =
Y = 2 Ro
; £ = 2Шо\ —,
gR0 g
где безразмерные параметры £ и £ характеризуют движения жидкости соответственно в осевом и радиальном направлениях и связаны с соб-
ственным числом Л спектральной задачи (12)-(15) формулой
е2С 2
Л2 = ^. (>6)
Используя метод разделения переменных, будем искать решение задачи (12)-(15) в виде
Р (х,г) = X (х)Я(т).
Разделяя переменные, получим две задачи для определения функций X(х) и Я(т):
-X'' = -z 2X, X' + A2X = 0 (X = 0),
(- -*=- f) ■
X' = -1 , C X fx = -Я =
2
(17)
- R" + 1 R' - m r\ = £2 R
^ Г 2 J
C -R' = mR r = 1,
(18)
л/ё-с2
где символ 0 означает производную от функции по соответствующей безразмерной координате. Отметим, что используя формулу (16), задачи (17), (18) всегда можно переписать в другом виде для определения любых двух параметров из трех неизвестных — С, С, Л.
Решением уравнения (17) будет являться следующая функция:
X(x) = Cx cosh С— + C2 sinh (—.
Ro Ro
Решением уравнения (18) с учетом его ограниченности в нуле явля-
(V
£— R0
Подставив указанные функции в граничные условия задач (17) и (18) на поверхности слива Е и на боковой поверхности S, получим трансцендентные уравнения для определения безразмерных волновых чисел С, С и собственного числа Л:
- , Л С \ H Y - Л + [- + = 0; (19)
1 (AC
A П - C + ^
Jm-i(£) m( ,е\
11 + * V;
Jm(£) £
£2Z 2 £2 - C
(20)
S2C 2
A2 = -г-Чт • (21)
Исследование трансцендентных уравнений. В уравнениях (19)-(21) целые функции tanh СН, /(£) = (£)/Дт(£) являются трансцендентными мероморфными функциями комплексных переменных £ и £. Следовательно, можно предположить, что уравнения (19)-(21) будут иметь комплексные решения С = С(г^ + ¿С(г), £ = £(г^ + ¿£(г) и Л = Л(г) + + ¿Л«.
Получение аналитических выражений для собственных чисел С, £, Л — корней системы трансцендентных уравнений (19)—(21) — представляет определенные трудности, поэтому воспользуемся подходом, описанным в работе [10] для решения нелинейных уравнений. Сначала запишем уравнения (19)—(21) в виде системы двух уравнений, выразив С через Л и £:
1
Y - Л + Jm-1 (С )
Jm (С )
(-
У£2 + Л2
С
+ Y
С
We2 + Л2
)
tanh
СЛ H
Ve2 + Л2 Ro
mi ,e\
= m 0+! ij-
= 0, (22)
(23)
При численном решении, чтобы найти каждую пару корней, необходимо задать их первые приближения.
В случае т = 0 решение системы сводится к решению первого уравнения с использованием корней £, полученных из решения второго уравнения системы, сводящегося к уравнению « (£) = 0, которое, как известно из работы [8], имеет счетное множество действительных корней £п, п = 1... то. Для одного оставшегося неизвестного Л первое приближение можно получить из графического решения аналогично тому, как это было описано в работе [10]. Для этого приведем уравнения (22) и (23) к одному уравнению относительно Л и построим диаграммы
Im (Л) 2,0
1,5
1,0
0,5
-0,5
/
1 i у /
/
/ 1
Y ^ Г
-0,1 0 0.2 0Л
0,8 а)
1,2
1т(Х) 2,0
1,5
1,0
0,5
1,6 Яе(Л)
-0,5
/ /
/1 / /
с ^ ^
\
-0,1 0 0,1 0,4
0,8 Ь)
1,2 1,5 Re(Ä)
Рис. 1. Графическое решение уравнений (22) и (23) в плоскости комплексного переменного Л: т = 0, Н = 2, ^ = 3,83, е = 1, 7 = 0,5 (а) и 7 = 0,275 (б)
равенства нулю его действительной (сплошная линия) и мнимой (штриховая кривая) части (рис. 1,а). Пересечение линий дает корень Л. Рассмотрим подробно графическое решение, построенное для уравнения (22) при £1 = 3,83 (см. рис. 1,а). Следует отметить, что каждому числу £п соответствует бесконечное количество корней Л и, соответственно, С. Можно выделить четыре группы корней, различающихся по их расположению на комплексной плоскости. Введем дополнительный индекс I и условимся, что I = — 1 будет соответствовать большим по величине действительным корням Л (точка 1, см. рис. 1,а). Действительным корням, располагающимся вблизи точки О, присвоим индекс I = —2 (точка 2, см. рис. 1), индекс 0 будет соответствовать корню с модулем |Л| > е, лежащему вблизи мнимой оси (точка 4, см. рис. 1,а). Группе корней 3, лежащей вблизи мнимой оси с модулем 0 < |Л| < е присвоим индексы I = 1... то. Тогда решение системы (12)-(15) можно записать в виде
p — £ p
0п1. 1=-2
Простым корням Л уравнений (22) и (23) соответствуют различные формы колебаний, для их идентификации воспользуемся выражением для вертикальной составляющей скорости малых возмущений жидкости, полученным из системы (12)-(15), при этом компонент скорости зависит от времени по закону V = Увгтг1-Пг, т.е.
1 д Р
V = —-—. (24)
дх
С учетом равенства (24) выражение для V0nl можно записать в виде
V — 1 Znl Т (Р r
VOni — —5—т— Jo in-p;-
R0 Л nl V R0,
Un f) [cos R (cosh # R + sinh znr) f ) + V Ro / _ Ro \ Ro Ro J
+ i sin & R ftanh znr) R + coth znr) f) Ro \ Ro Ro J
Действительным корням уравнений (22) и (23) отвечают волновые апериодические движения жидкости. Амплитуда этих движений больше на поверхности слива. Мы назовем их волнами слива. Такие же решения были получены и для полностью заполненного сосуда [10].
Наличие свободной поверхности, по сравнению с полностью заполненным сосудом, приводит к появлению еще одной группы волновых движений — волн на свободной поверхности жидкости, для которых |Л| > е. На рис. 1 им соответствует точка 4. Наличие слива переводит
волновые движения на свободной поверхности из колебаний с постоянной амплитудой в колебания с малым декрементом затухания (действительная часть корня — точка 4).
Группе корней 3, располагающейся вблизи отрезка [0, ег] (см. рис.1, а, точки 3) соответствуют волновые движения, амплитуда которых принимает максимальные значения в глубине жидкости. Это внутренние волны. Решения, соответствующие внутренним волнам, образуют двухиндексное множество для каждого фиксированного числа т. В данном случае из-за наличия слива внутренние волны — это затухающие колебания с малым декрементом затухания.
Графическое решение, построенное для того же значения £ = 3,83, но при 7 = 0,275 (см. рис. 1,б) показывает, что может существовать такая комбинация параметров задачи, при которой не существует ни одного действительного решения и, соответственно, чисто апериодические движения невозможны. Вместо действительных корней (точки 1 и 2 на рис. 1, а) появляются пары комплексно-сопряженных чисел, отвечающих быстро затухающим волновым движениям (точки 1 и 2, см. рис. 1, б).
Асимптотика больших индексов. Волны слива. Асимптотическое поведение волн слива и внутренних волн при больших индексах получим, если воспользуемся асимптотическими выражениями для функций Бесселя:
2 / Л п
- 4 - 2
^У^!COS ^ 4 - ^ -
14m2 — 1 ( n mn \ \
— sin ^ro — 4 —
Ym(£ro) sin ro — 4 — mf) +
1 4m2 — 1 ( n mn \ \ + ö—-cos (4 ro —---— ) .
8 £г0 V 0 4 2
Подстановка этих разложений в условие на боковой поверхности приводит к следующему асимптотическому уравнению для чисел £ и Л:
, пп 4т2 Л + 3 Л + 8гет£
1ап(£ — т---) =---. (26)
2 4 —8 Л£ + 4гет3 — гет
Граничное условие на свободной поверхности при больших значениях £ запишется в виде
1 л _ с
^ —Л- с + ^ Л2 = 0,
/■ Л ,
откуда находим ( = — и получаем выражение для Л:
7
А = л/4 2y 2 —
2^,2 _ £2
Решая с учетом этого выражения уравнение (26), получим окончательно
1 З7 + 8гет + 4т27
8 4qY
А mq = \J Цг q 72 —
11
где £д = (д — 1)п +— тп +— п, д ^ то. 24
Волны на свободной поверхности. Для получения приближенного решения для поверхностных волн воспользуемся приближением малости вращения е ^ 0:
£ = £о + е£х.
Выражение для £1 может быть получено в следующем виде:
£ ■ ^го(£о)
£1 = гт--^. (27)
т
Л(£о)Ц ^ 7™(£о) +
Для нахождения воспользуемся выражением, полученным из граничного условия на свободной поверхности:
1 — А — — v) tanh(CH) = 0; (28)
здесь в = 1/7. Учитывая малость слива (в ^ 0), будем искать Л как
Л = Ло + в Л1.
Подставляя это выражение в уравнение (28) и группируя слагаемые по параметру в, получим уравнение для нахождения 1:
—С + 2С Л1 — 1апЬ(С Н) Л2 = 0.
Учитывая, что Ло = \/—£о 1апЬ(£оЛ"), а ( = £о, выражение для Л запишется в виде
А = yj—4o tanh(4oH) + ±ß(1 — tanh(4o#)2).
После подстановки выражения для Л и разложения (25) в (27) и преобразований, учитывающих малость слива и приближение больших индексов, можно записать выражение для поправки £х:
6 = -
и соответственно,
m
Сmq ^q e
m\[jq
-m + 42'
Viq
-т + £2
Быстрое вращение. Рассмотрим случай быстрого вращения, кото -рый реализуется, когда величина центробежного ускорения значительно больше ускорения сил тяжести (<^0го ^ д) или в случае вращения с любой угловой скоростью в условиях невесомости. Сделаем допущение, что при этом свободная поверхность жидкости принимает форму цилиндра радиуса г0, коаксиально расположенного по отношнению к боковой поверхности, между плоскостями х = 0 и х = — Н.
В случае быстрого вращения граничное условие на свободной поверхности (8) можно записать в виде
1 д4р д2 др 1 2 / д2р\ 1 д
2( - i (]_ дЛ Я4^0 V-=jvpoidt \Г0^) •
|Уро| д^4 д£2 дг |Уро | °Ч д^^ 0 |^о| д^г дп
Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущем разделе, получим характеристическую систему трансцендентных уравнений для определения волновых чисел £, С и собственного числа Л:
Вт (£) — 4(Л2 + 1) Ет (£) = 0; (29)
го
Л = 7С tanh(Z Я); (30)
С 2
Л2 = £Г—<2 - С3»
где
Dm(£) = Dm[J, l]Dm[Y, Го] - Dm [Y, l]Dm[J, Го] ) = Dm[J, l]Ym(^ro) - Dm [Y, 1] Jm (Ы; i \ 1
Dm[J, Го] - -m ( 1 + jj — J(£ro) + ^Jm-1 (Сго); Dm[Y, Го] - -m ( 1 + ^ 1Y(Ы + СYm-l(4Го)•
Для изучения поверхностных волн и получения приближенных асимптотических решений, удобнее воспользоваться предыдущей системой несколько другого вида. Перейдем от функций Бесселя 3 и У к модифицированным функциям Бесселя I и К. Пусть а = ¿£.
Окончательно система примет вид для случая т = 0
^о (а) + —-гГ (а) = 0,
ro О/2 - а)
(32)
где
^о (а) = а[Кх (а)1х (го а) - К (го а)1х (а)]; Со (а) = Ко (го а)1х (а) + К (а)1о (го а).
Случай стоячих волн, т = 0. Исключая Л из уравнений (29)—(31), получим систему трансцендентных уравнений относительно неизвестных £ и С:
£[3х(£)Ух(£го) - Ух(£)3х(£го)]-
4£2 ___ , __..........(33)
ro (С2 - Z2) tanh(Z H) =
[Yi (С) Jo(Cro) - Ji (C)Y> (Cro)] = 0;
в
в=Y.
7
(34)
Эту систему можно представить в виде одного комплексного уравнения относительно комплексной переменной С, выразив £ через С из второго
уравнения ( С = ^ К2 +
в2
2 - .. Графическое решение этой систе-1апЬ2 С Ну
мы уравнений позволяет выделить несколько групп корней в зависимости от их расположения на комплексной плоскости (рис. 2). Можно
Рис. 2. Графическое решение уравнений (33) и (34) в плоскости комплексного переменного С: т = 0, Н = 2,г0 = 0,1; в = 0,1
Im(Z)
j Ш LJ--------d_J-
0 2 4 6 ß 10 12 /4 16 ReK)
Рис. 3. Графическое решение уравнений (33) и (34) для внутренних волн и волн на свободной поверхности: т = 0, Н = 2,г0 = 0,1, в = 0,1
отметить, что качественно это решение сходно с решением для коаксиального цилиндра, за исключением дополнительной группы корней, отвечающей поверхностным волнам. При данном соотношении исходных параметров существуют две группы действительных решений — стремящихся к бесконечности и к 0 (точки 1 и 2, см. рис. 2). Внутренние и поверхностные волны характеризуются комплексными числами, группирующимися вдоль мнимой оси С (области 3 и 4, см. рис. 2, и корни,
1п
отмеченные знаком "*", на рис. 3), с точкой накопления г—. Численные
_ Н
значения решений приведены в табл. 1-4 (при т = 0; Н = 2; в = 0,1).
Таблица 1
Волны слива ) ^ го). Результаты вычисления С, С и Л
Таблица 2
Волны слива ) ^ 0). Результаты вычисления С, С и Л
n Ro = 0,1 Ro =0,3 Ro =0, 5 n Ro = 0,1 Ro =0,3
Z 1,09723 1,74562 2,71861 z 0,0487210 0,0329412
1 С 1,10201 1,74849 2,72044 1 С 1,03065 1,520410
Л 10,7032 17,4238 27,1850 Л 0,0473251 0,0216711
Z 4,97777 6,56750 9,29099 z 0,0103548 0,00834263
2 С 4,97877 6,56827 9,29153 2 С 4,82940 5,99388
Л 49,7777 65,6750 92,9099 Л 0,00214412 0,00139186
Z 8,55366 11,1199 15,6278 z 0,00600572 0,00487969
3 С 8,55424 11,1204 15,6282 3 С 8,32581 10,24691
Л 85,5366 111,199 156,278 Л 0,000721338 0,000476212
Внутренние волны. Результаты вычисления £, £ и Л
n Ro = 0,1 R0 = 0, 3 R0 = 0, 5
С 0,0279198 + 1,57113i 0,0245503 + 1,57097г 0,0204681 + 1,57086г
1 £ 0,863014 + 0,00659767г 1,29873+ 0,00763185г 1,87263+ 0,00709264г
Л 0,00516172+ 0,876588г 0,00672802+ 0,770817г 0,00634404 + 0,642719г
С 0,00987228 + 1,57080г 0,00810693 + 1,57080г 0,00628810+ 1,57080г
2 £ 4,81564+ 0,0001715985г 5,96474 + 0,000297711г 7,79526+ 0,000251168г
Л 0,00177154+ 0,310109г 0,00124098 + 0,254665г 0,000766023+ 0,197536г
С 0,00590634 + 1,57080г 0,00482942 + 1,57080г 0,00364465 + 1,57080г
3 £ 8,31887+ 0,0000519953г 10,2337 + 0,0000805366г 13,6288 + 0,0000466642г
Л 0,000674767 + 0,185545г 0,000456881 + 0,151716г 0,000262569+ 0,114498г
Таблица 4
Волны на свободной поверхности. Результаты вычисления £, £ и Л
n Ro = 0,1
С 0,0161210 + 3,14167г
2 £ 0,0140764 + 0,494303г
Л 0,000600129 + 1,01261г
Случай бегущих волн, т = 0. Для дальнейшего решения удобно привести систему (29)-(31) к одному уравнению относительно комплексного переменного С:
Dr
(УС( (YZ tanh(Z Я))2 +1))
Z 1 (YZtanh(Z#))2 4((YZ tanh(Z i?))2 + 1)
Em
Го
\
(yZ tanh(Z #))'
\ \
7
= 0.
(35)
Здесь, как и в случае с закрытым крышкой сосудом, можно отметить существование двух групп бегущих волн — совпадающих с направлением вращения жидкости и противоположных ему, т.е. прямых и
1
Z
1
I /
/ ----
/ у / ( / I 1
/ / / / 1 1 1 1
•0.10 -'—LJ--L_J--—
' / 2-3 4 5 Reß)
Рис.4. Графическое решение уравнения (57) для волн слива: т = 1, Н = 2,
в = 0,1
обратных волн. В случае бегущих волн действительные решения, отвечающие волнам на поверхности слива, становятся комплексными. Это хорошо видно на рис. 4 ииз табл. 5-7 (при т = 1; Й = 2; в = 0,1).
Таблица 5
Волны слива ) ^ го). Результаты вычисления С, С и Л
n Ro =0,1 Ro = 0,3 Ro = 0, 5
1 Z 1,87826-0,0411437i 2,19093 -0,0352369i 2,97048 - 0,0252734i
С 1,88093-0,0410845i 2,19321 -0,0352000i 2,97216-0,0252591i
Л 18,7624-0,414350i 21,9025-0,353222i 29,7043 - 0,252772i
2 Z 5,53129-0,00360453i 6,78825-0,00309701i 9,393623 - 0,00227862i
С 5,53219-0,00360394i 6,78899 - 0,00309667i 9,39416 -0,00227849i
Л 55,3129 -0,0360453i 67,8825-0,0309701i 93,9362 - 0,0227862i
3 Z 8,97410-0,00136230i 11,2614-0,00112431i 15,6907-0,000813715i
С 8,97465-0,00136222i 11,2619-0,00112427i 15,6910-0,000813699i
Л 89,7410-0,0136230i 112,614 -0,0112431i 156,907-0,00813715i
Асимптотика больших индексов. Поверхностные волны. Получим здесь асимптотические формулы для определения волновых чисел и частот поверхностных волн и волн слива соответственно при I ^ го и п ^ го. Используя асимптотические разложения [11] для 1т(г) и Кт (г), имеем
К- (г ) = \/1Н 1+4тг-т2+-}; (36)
4т2 - 12
Л/2ПГ Г 1!
Внутренние волны. Результаты вычисления £, £ и Л
n Ro = 0,1 R0 =0, 3 R0 = 0, 5
С 0,00976087+ 1,57081i 0,00842577 + 1,57080г 0,006514116+ 1,57080г
1 £ 4,87639 - 0,00247590г 5,72309 - 0,00224120г 7,51363 - 0,00180837г
Л 0,00158510+ 0,306612г 0,00122389 + 0,264680г 0,000765900 + 0,204636г
С 0,00592207 + 1,57080г 0,00489403 + 1,57080г 0,00364647 + 1,57080г
2 £ 8,29599-0,00157110г 10,0954 - 0,00120547г 13,6219-0,000752314г
Л 0,000643097 + 0,186039г 0,000449768 + 0,153746г 0,000256196+ 0,114555г
С 0,00422871 + 1,57080г 0,00342540 + 1,57080г 0,00251605 + 1,57080г
3 £ 11,7194-0,00111749г 14,5123 -0,000751635г 19,8104 - 0,000386185г
Л 0,000338876 + 0,132846г 0,000226437 + 0,107610г 0,000124287 + 0,0790434г
Таблица 7
Волны на свободной поверхности. Результаты вычисления
С, £ и л
n Ro = 0,1 R0 =0, 3
С 0,0382638 + 1,57172г 0,0363305 + 1,57156i
1 £ 0,0217781 +0,870696г 0,0231992+ 0,755479г
Л 0,000354586+ 1,20116г 0,00260097 + 1,140456г
X -0,832527 - 0,000245764г -0,876838 - 0,00199975г
С 0,0192853 + 3,14171г 0,0193741 + 3,14170г
2 £ 0,0111619+ 1,77266г 0,0129395 + 1,78989г
Л 8,95222e-005 + 1,21122г 0,000621260 + 1,21678г
X -0,825615 -6,10218е-005г -0,821837 - 0,000419609г
Подставим эти выражения в уравнения (29) и (32). Рассмотрим сначала асимптотику поверхностных волн при т = 0. После алгебраических преобразований получим асимптотическое уравнение
3 Л5 2 (В ^ \ П
ж3 + — х - х — 52 + 1--5 = 0, (38)
8 V 8 У 8 ^ ;
а 1
где х = —; Л = 35 - 3то; В = 4(3го + 1); — = 3(1 - то); 5 = — Щ Щ
— бесконечно малая величина. Используя метод неопределенных коэффициентов, получим
х = 1 - 25 + 382 - —53, 8 '
откуда асимптотику волнового числа ат1 и асимптотическую формулу
для частоты поверхностных волн можно представить как
Л 23 D 1 \ п ,
ami = ßi 1---1- — — — — + O(ß- ) (l ^те);
V ßi ß^ ö ßt J
Ami = 2W/2 (1 + 4ß" - 3ß-2 + 8ß"3) + °(ß-"3) (l ^
При выводе асимптотических формул в случае m = 0 ограничимся главным членом в асимптотических выражениях (36) и (37). Тогда, вместо асимптотического уравнения (38), получим уравнение
3 m2 2 3 / m \,2 4m — m2 r2
ж3 + — S2x3 + m + — + 4 Sx2 +----S2x — x+
—o V L0 / —o
+ m—^-Sx2 \/l — x2---— S2x/ 1 — x2 + m —-—0 S/1 — x2—
—o —о —o
1 + 0 0 — т—--о = и.
Используя метод неопределенных коэффициентов, находим
ж = 1 — 20 + 2(1 + т)02 — 2т2 О3.
Откуда определяем асимптотические выражения для волнового числа а и частоты Л:
(
а = ßA 1---Ь 2
A = 2 %ßi
1/2
2
ßi
1
1
m
ß2 m
2ßi
2m2 ß3
+ m ßi2
)
+ O(ß-"3)
(1 + m)2
2ß3
■) + O(ß-"3).
Полученные асимптотические формулы показывают, что частоты поверхностных прямых волн (т < 0) меньше, чем частоты поверхностных обратных волн (т > 0).
Волны слива. Выражение, описывающее асимптотическое поведение волн слива и внутренних волн, можно получить, если воспользоваться асимптотическими выражениями для функций Бесселя:
Jm(^ro)
\S(COS ('
1 4m2 — 1
п mn
C ro — 4 — ~
8 Cro
sin ro — 4 ——));
^ ^ ^ ^ ^ - 4 - Т^ +
14т2 — 1 / п тп \\
+---т-еоэ 5г0----.
8 5г0 V5 0 4 2 ))
Подставляя эти разложения в уравнение (29), получим следующее асимптотическое уравнение для чисел 5 и С:
1ап(5(Г0 — 1)) = Ф(5, С, т, 7, Г0) + «7-1Ф(5, С, т, 7, Г0), (39)
где Ф и Ф — дробно-рациональные функции волновых чисел 5, С, т. В случае отсутствия слива (7 ^ го), волновые числа С оказываются
равны £ = , I = 1, 2,..., а трансцендентное уравнение (39) имеЙ
ет только действительные решения, определяющие волновые числа 5 внутренних волн.
Решение уравнения (39) в комплексной плоскости 5 представим в виде
5 = 50 + (40)
2д — 1 п
где 50 = —-— --, 9 = 90,90 + 1,... — корни уравнения
2 1 — Г0
ео1(5о(1 — г0)) =0. Подставив выражение (40) в уравнение (39), определим поправку г и окончательное асимптотическое выражение для 5:
А т --и;-
52 с ег(г-0 — 1),
/ A m \
i=е. jjö+iä?öw)J' q ^
где А = 4т272(г0 — 1) + 72 + 2гТ + 3г072, С = 8г072(г0 — 1).
Для случая т = 0 имеем приближенное решение
5 = 5(0) _ г0(1 — Гр)
/1-^(0) .
Обсуждение результатов решения. При анализе полученных результатов следует отметить появление решений, не встречающихся в задачах без слива, а также изменение традиционных решений под влиянием наличия слива. Прежде всего, наличие поверхности слива определяет возможность появления на ней волновых движений — волн слива. Причины их появления впервые рассматривались в работе [9]. Волны слива характеризуются волновыми и собственными числами — решениями соответствующих систем уравнений. В общем случае, это апериодические затухающие волновые движения. Появление в системе поверхности слива также отражается и на существующих в ней колебательных движениях. Внутренние волны и волны на свободной поверхности превращаются в затухающие волновые движения.
Медленное вращение. В случае стоячих волн (т = 0) получаем действительные решения для волн слива двух групп — с действительными волновыми числами £, стремящимися к 0 и к го. Это означает наличие на поверхности слива апериодических решений, быстро затухающих по времени и вглубь жидкости. При этом увеличение слива приводит с увеличению степени затухания. Соотношение между скоростью вращения и степенью сопротивления сливу также может приводить к появлению кратных корней для низших тонов колебаний, а затем и комплексно-сопряженных решений для соответственного тона. Таким же образом уменьшение сопротивления сливу увеличивает затухание внутренних волн и волн на свободной поверхности. В случае бегущих волн (т = 0) — поверхностных, внутренних и волн слива — получаем две группы решений — прямые и обратные волны, отличающиеся направлением распространения и основными волновыми параметрами. Наличие поверхности слива в этом случае также приводит к появлению на ней волн слива, но уже не являющихся апериодическими, как в случае осесимметричных колебаний. Волны слива становятся бы-строзатухающими колебательными движениями, степень затухания которых зависит от скорости слива. Поверхностные и внутренние волны, как и в случае стоячих волн, являются затухающими колебательными движениями. Степень их затухания также зависит от скорости слива. При этом для всех групп волн при определенной скорости вращения прямые волны могут не существовать.
Быстрое вращение. В отличие от медленного вращения свободная поверхность располагается параллельно оси вращения. Здесь, также как и в случае медленного вращения, наличие слива приводит к появлению волновых движений на его поверхности. В случае стоячих волн обе группы поверхностных волн (с С, стремящимся к 0 ик го) являются аперидическими движениями с действительным коэффициентом затухания Л. Бегущие волны — это затухающие колебательные движения с колебательной составляющей, более выраженной для поверхностных и внутренних волн, и затухающей составляющей, более выраженной для волн слива.
Автор выражает признательность канд.физ.-мат.наук А.Н. Тем-нову за плодотворные консультации по всем вопросам, обсуждаемым в статье.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колесников К. С. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем. - М.: Машиностроение, 1971. - 260 с.
2. С оболев С. Л. О движениии симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // Журн. прикл. мех. и техн. физ. - 1960. - № 3. - С. 20-55.
3. Григорьев Ю. Н. О спектре пучка операторов задачи С.Л. Соболева // Динамика сплошной среды, Новосибирск. - 1974. - № 17. - С. 12-18.
4. Копачевский Н. Д., Радякин Н. К. О малых колебаниях идеальной капиллярной жидкости, вращающейся в осесимметричном сосуде. // Вопросы вычислительной математики и техники. - Киев: Наукова думка, 1976. С. 3-25.
5. Гонткевич В. С. Собственные колебания вращающейся жидкости в сосудах // Гидромеханика. Республ. межвуз. сб. - Киев, 1972. - Вып. 20. - C. 52-58.
6. Рвалов Р. В. Краевая задача о свободных колебаниях вращающейся идеальной жидкости // Известия АН СССР, МЖГ. - 1973. - № 4. - С. 81-88.
7. Копачевский Н. Д. Малые движения и нормальные колебания системы тяжелых вязких жидкостей. - Харьков: Физико-технический институт низких температур, препринт, 1978. Препринт № 33-77. - 60 с.
8. Ватсон Т. И. Теория Бесселевых функций. Ч.1. - М.: И.И.Л.,1949. - 797 с.
9. Орлов B. В., Т е м н о в А. Н. Малые движения жидкости, вытекающей из бака. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997.
10. Орлов В. В., Темнов А. Н.: Колебания вращающейся жидкости, вытекающей из закрытого сосуда // ИФЖ, Минск, 2000. - С. 165-173
11. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Сти-ган. - М.: Наука, 1979.
Статья поступила в редакцию 01.06.2003
Владимир Владимирович Орлов родился в 1967 г., окончил в 1990 г. МГТУ
им. Н.Э. Баумана. Автор 2 научных работ в области динамики жидкости.
V.V. Orlov (b. 1967) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in
1990. Author of 2 publications in the field of fluid dynamics.
УДК 533.6
A. И. Пастухов, Е. К. Галемин,
B. А. Денисов
К РАСЧЕТУ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КРЫЛЬЕВ С КОНЦЕВЫМИ ШАЙБАМИ В НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ
Задача расчета аэрогидродинамических характеристик тонких крыльев с концевыми шайбами решена на основе нелинейной теории непрерывной вихревой поверхности. Предлагаемый метод применим для крыльев больших и малых относительных удлинений, он учитывает размеры шайб и положение их по хорде крыла.
Состояние вопроса и описание эксперимента. Вопрос о применении концевых шайб для улучшения аэрогидродинамических характеристик (АГДХ) крыла конечного размаха, вообще говоря, не является новым. Опубликованные исследования относятся в основном
