Нормальные формы вырожденных автономных и неавтономных дифференциальных уравнений с максимальной жордановой цепочкой длины два и три Текст научной статьи по специальности «Математика»



Серия «Математика»

2015. Т. 11. С. 58—71

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК УДК 517.9.

Нормальные формы вырожденных автономных и неавтономных дифференциальных уравнений с максимальной жордановой цепочкой длины два и три *

Б. В. Логинов

Ульяновский государственный технический университет Ю. Б. Русак

Департамент социального сервиса правительства Австралии

Л. Р. Ким-Тян

Национальный исследовательский технологический университет МИСиС

Аннотация. Стандартная методика построения нормальных форм адаптирована для вырожденных дифференциальных уравнений в случае существования жордановой цепочки максимальной длины и соответственно максимальной равномерной дифференциальной жордановой цепочки. Приведен ряд примеров. Некоторые из приведенных нормальных форм получены в случае неавтономных систем при использовании определяемых в работе дифференциальных жордановых цепочек.

Ключевые слова: вырожденные дифференциальные уравнения, нормальные формы, жордановы цепочки, дифференциальные жордановы цепочки.

В п-мерных пространствах Е\, Е2 рассматриваются дифференциальные уравнения (ДУ) вида

* Данная работа выполнена в рамках государственного задания 2014/232 Министерства образования и науки России. Тема научно-исследовательской работы «Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций, установок, приборов, устройств при аэрогидродинамическом, тепловом и ударных воздействиях» и при поддержке гранта РФФИ № 15-01-08599.

Введение. Постановка задачи.

АХ = ^ (х,м), ^ (0, м) = 0

(0.1)

c вырожденным линейным оператором A при производной, подпространство нулей N(A) которого одномерно, N(A) = р(1) и достаточно гладкой нелинейностью

Ax' = B (p)x + R(x,v), \\R(x,^)\\ = o(\\x\\). (0.2)

Известна роль обобщенной жордановой структуры (ОЖС) в задачах теории ветвления [1; 2] и качественной теории ОДУ [3; 4]. Следуя [1], определим B-жорданову цепочку (B-ЖЦ) нуля р = р(1)

оператора A соотношениями

= = 0, к = 1,р-1] ^ = 1,

(0.3)

где — базисный элемент подпространства нулей N (A*). B-ЖЦ оператора A максимальна, если p = n.

В монографии [2] рассмотрены теория разрешимости вырожденных линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах с использованием метода Ляпунова - Шмидта.

Целью данной работы является развитие методики построения нормальных форм для вырожденных систем ДУ вида (0.2). Для сокращения объема работы опущены результаты для систем с максимальной ЖЦ длины четыре. Отметим, что уравнение вида (0.2) описывает модели аэроупругости при трансзвуковом обтекании пластин и оболочек потоком газа [6].

1. Нормальные формы для вырожденных автономных дифференциальных уравнений в пространствах размерности 2,3 — непараметрический вариант.

Далее будут рассматриваться вырожденные ДУ

Ax' = F (x) = Bx + R(x), F (0)=0, ||R(x)|| = o(||x||). (1.1)

При этом в размерностях 3 и 4 будет существенно использоваться техника работы [7]. Однако для сокращения объема работы результаты для размерности 4 опущены.

А. Максимальная жорданова цепочка длины два.

Пусть dim E1 = 2 и элементы р(1) ,р(2) образуют базис E1. Тогда, применением редукции Ляпунова-Шмидта, уравнение (1.1) приводится к системе:

x'2 = x1 + f (x1,x2), 0 = x2 + fif(x! ,x2), (1.2)

где функции f и g удовлетворяют условиям: f (0, 0) = 0, g(0, 0) = 0 и Df (0, 0) = 0, Dg(0, 0) = 0.

Заменой переменных yi = xi + f (x^x2), y2 = x2 система (1.2) приводится к виду

У2 = У1, 0 = y2 + h(yi,y2) (1.3)

Если функция h(yi,y2) аналитична и не зависит от yi, то в некоторой окрестности точки (0, 0) yi = 0, y2 = 0 будет единственным решением системы (1.3). Если функция h(yi,y2) зависит от yi, то в некоторой окрестности точки yi = 0, y2 = 0 по теореме о неявной функции

y2 = G(yi), G(0) = 0, G'(0)=0. (1.4)

Поэтому она может быть записана в виде: y2 = G(yi) = y^H(yi). График функции G(yi) в окрестности (0, 0) плоскости yi, y2 назовем многообразием решений системы (1.3). Подставив G(yi) в первое уравнение системы (1.3),

построим векторное поле на многообразии решений

(2yiH (yi)+ у2Н'(у1))у1 = yi (1.5)

или

(2Н (yi) + yiH'(yi))y/1 = 1, yi = 0. (1.6)

Если Н(0) = 0, то уравнение (1.6) имеет решение yi = f (t), f (0) = 0. В этом случае для исходного вырожденного уравнения нарушается единственность решений в точке (0, 0). Если Н(0) = 0, то yi = 0 является особой точкой для векторного поля на многообразии решений.

В. Максимальная жорданова цепочка длины три.

При dim Ei =3 уравнение (1.1) редуцируется к системе:

x2 = Xi + fi(xi ,Х2 ,Хз), x3 = X2 + f2(Xi,X2,X3), 0 = X3 + h(Xi,X2 ,X3).

(1.7)

Замена переменных yi = xi + fi(xi,x2,x3), y2 = x2, y3 = x3 приводит систему (1.7) к виду

У2 = yi, У3 = У2 + g2(yi,y2,y3), 0 = У3 + g3(yi,y2,y3), (1.8)

где, как и прежде, g2(0, 0, 0) = 0, g3(0, 0, 0) =0 и Dg2(0, 0, 0) = 0, Dg3(0, 0, 0) = 0. Для построения нормальной формы (1.8) определим, какие мономы второй степени функции g2(yi,y2, У3) могут быть уничтожены подходящей заменой переменных

yi = zi + hi (^i,^2,^3), У2 = ^2 + h2(Z2,Z33), У3 = Z3 + Л,3(22,23). (1.9)

Дифференцируя y2, У3 по t, y2 = z2 + dh2/dz2 • z'2 + dh2/dz3 • z'3, y'3 = = z'3 + dh3/dz2 • z2 + dh3/dz3 • z'3, и обозначая через H вектор-функцию (h2,h3)T, запишем

(/+ +ощ-1( *) = (/+вщ-1( у+= (/+вн)-'( ч + ,+2 '+1 в).

Так как при малых значениях 2 : (I + БЫ) 1 = (I — БЫ) + 0(||21|2) , то система примет вид:

Ш = ( » +1 +2+0—+0(112 ||2). а1°)

Если мы рассмотрим однородные полиномы второй степени, то из (1.10) получим:

д,21дх2 • ¿1 + дк2/дг3 • ¿2 — '1 = 0, (1.11)

д'з/дх2 • ¿1 + д'з/дхз • ¿2 — '2 = д22). (1.12)

Здесь д22) — полином второй степени из струи функции д2. Поскольку '1 произвольный полином второго порядка зависящий от переменных ¿1, ¿2, ¿з, его выбор позволяет всегда удовлетворить уравнение (1.11). Таким образом, остается установить для каких многочленов д22) можно (нельзя) подобрать многочлены '2, 'з, так чтобы удовлетворялось уравнение (1.12). Многочлены '2, 'з являются линейными комбинациями мономов: ¿2, ¿з, ¿2 • ¿з, тогда как д22) являются линейной комбинацией мономов: ¿2, ¿з, ¿2 • ¿з, ¿2, ¿1 • ¿2, ¿1 • ¿з. Подставляя возможные значения полиномов '2, 'з в левую часть (1.12) , находим, что она может принимать следующие значения: х1 • х2, х1 • хз, х\, х\, х2 • хз. Таким образом, только моном ¿2 не может быть устранен заменой переменных вида

(1.9).

Перейдем теперь к устранению мономов третей степени. Повторяя предыдущие рассуждения, получим систему

д'2/д¿2 • ¿1 + д'2/дхз • ¿2 — '1 = 0, (1.13)

д'з/дх2 • ¿1 + д'з/дхз • ¿2 — '2 = д2з), (1.14)

в которой '1, '2, 'з и д2з) — полиномы третьего порядка. Как и выше первое уравнение всегда можно удовлетворить подходящим выбором '1, поэтому рассмотрим второе уравнение. Возможные варианты для '2, 'з теперь: х2, г% • ¿з, г2 • х2, тогда как для д2з) это: ¿з, х2, ¿2 • ¿з, ¿з • ¿2, ¿2 • ¿з, ¿2 • ¿2, ¿2 • ¿1, ¿з • , • ¿2 • ¿з. Нетрудно проверить, что мономы ¿з, ¿2 • ¿2, ¿2 • ¿з не уничтожаются при любом выборе '2 и 'з.

Рассмотрим теперь мономы степени п. Интерес представляет только уравнение

д'з/дх2 • ¿1 + д'з/дхз • ¿2 — '2 = д^, (1.15)

в котором Л-2, Лз и д2п) — полиномы и-го порядка. Возможные варианты для д2П это: ¿4, , ^з), ^з),..., ¿1 ^з), где Qs(z2, ¿з) — моном степени в. Остальные варианты можно не рассматривать, так как они уничтожаются выбором Л-2. Так как ¿1 входит в левую часть уравнения (1.15) в первой степени, то мономы г™, zn-1Q1(z2,z3), zn-2Q2(z2,z3),...,z2Qn-2(z2,гз) не могут быть уничтожены никаким выбором Л2 и Лз. С другой стороны, мономы z1Qn-1(z2,z3) уничтожаются с помощью выбора: Лз = az2Qn-1(z2), Л2 = bz2z3дQn-1/дz3.

Таким образом, для аналитической функции / система (1.7) приводится к нормальной форме:

z2 = Zl, z3 = Z2 + Z2/2(Zl,Z2,Zз), 0 = Zз + fз(Zl,Z2,Zз) (1.16)

Рассмотрим некоторые частные случаи системы (1.16):

1. Предположим, что функция /з зависит только от Z2. Тогда второе уравнение (1.16) превращается в уравнение:

Z2 = /3^2^1 - Z2/4(Zl,Z2) (1.17)

(здесь функция /4 получена из /2 подстановкой z3 = — /з^2). По теореме о неявной функции из уравнения (1.17) находим: Z2 = /5^1) и, учитывая третье уравнение системы (1.16), z3 = /б^). Эти два уравнения определяют "многообразие решений"(1.16) в окрестности нуля. Векторное поле на этом многообразии получается переносом векторного поля:

/5 (^к = (1.18)

В точке Zl = 0 могут осуществляться особенности двух типов: если /5 (z1) = z1 нарушается единственность: существуют решения z1 = 0 и Zl = Ь. Этот случай осуществляется например для системы (1.16) вида:

z2 = Zl, z3 = Z2 + z2, Zз = х^. (1.19)

Во втором случае, когда /5 имеет 0 выше первого порядка, производная на решении стремится к бесконечности при приближении к Zl = 0.

2. Предположим, что функция /3 зависит только от Zl. Тогда (1.16) превращается в систему:

z2 = Zl, —/3 (Zl)z/l = Z2 + z2 /4(Zl,Z2), (1.20)

для которой прямая Zl =0 является линией вырождения (за исключением случая /з = 0, когда решение существует только в точке Zl = 0, z2 = 0, z3 = 0). Для любой точки (z1,z2) z1 =0 система (1.20) имеет единственное решение выходящее из этой точки. Исследуем поведение такого решения в окрестности оси Zl = 0. Будем предполагать, что

—/зЫ = zk1 ^(^), ^(0) > 0,

случай Г(0) < 0 рассматривается аналогично. Уравнение

+ ¿1и(г1,г2) = 0

в силу теоремы о неявной функции определяет кривую М (график (г1 ,Н(г1)) неявной функции г2 = Н(г1), Н(0) = 0 в окрестности точки (0,0)). Векторное поле, задаваемое системой (1.20), можно переписать в виде (и,У) = (г2 + 4(г1,г2) ¡¿^Г(г1 ),г1). В первом квадранте над кривой М оно будет направлено, как показано на рисунке от оси %2. В первом и четвертом квадрантах под кривой М оно будет направлено по направлению к оси %2. Таким образом, верхняя половина оси %2 отталкивает поток справа, а нижняя половина — его притягивает. Ситуация в левой полуплоскости зависит от четности числа к. Если число к четно, то верхняя полуось притягивает поток слева, а нижняя полуось его отталкивает, а если число к нечетно, то наоборот.

Для исследования поведения решений уравнения

4 = гь гк Г^К = г2 + ^(¿ь^) (1.21)

в окрестности точки (0, 0) можно использовать технику «раздувания» особенности. Сделаем замену: г2 = и ■ г1 и перейдем от переменных г1, г2 к переменным г1, и : и' ■ г1 + и ■ г'1 = г1 , г\Г(г-^г^ = и ■ г1 + г^С(г1,и ■ Х\). Умножим первое уравнение системы на г^Г(г1) и вычтем второе уравнение, умноженное на и. Получим и' ■ г\+1Е(г{) = г\+1Ег) — и2 ■ г1 — и ■ г"^С(г1,и ■ г1), г[ ■ гкГ(г1) = и ■ г1 + г"^С(г1,и ■ г1). Эта система имеет тот же фазовый портрет, что и система и' = гкГ (г1) — и2 — и ■ г1С(г1,и■ г1 ),г'1 = и■ г1 + г"^С(г1 ,и■ г1), так как они при г1 =0 "делением" сводятся к одному и тому же уравнению первого порядка. Последняя система имеет неэлементарную особенность в точке (0, 0) поэтому для ее исследования проведем еще одно «раздувание»: от переменных г1, и перейдем к переменным г1, V : и = V ■ г1, V ■ г1 + V ■ г'1 = г\Г(г1) — у2 ■ г2 — V ■ г2С(г1 ,уг2), г[ = V ■ г2 + г2С(г1,у ■ г2), или у' ■ г1 = г^Г(г1) — 2у2 ■ г"2 — 2v ■ г^С(г1 ^г2). Таким образом, система приводится к виду: V' = гк-1Г(г1) — 2v2 ■ г1 — 2v ■ г1С(г1 ^г2), г'1 = V ■ г2 + z^G(г1,v ■ г2),

который по приведенным выше соображениям имеет тот же фазовый портрет, что и система:

у' = гк-2Е(¿1) — 2-и2 — 2у • С(г1 ,уг2), г'1 = V • ¿1 + г^^,у • ¿2)■

В случае С(0, 0) = 0 эта система имеет невырожденную линейную часть и мы можем применить теорему Гробмана-Хартмана. Заметим, что на прямой (г1 = 0, у) будут две особые точки (0, 0) и (0, —С(0, 0)) и систему нужно исследовать в окрестности каждой из них. Если С(0, 0) = 0, то для исследования особенности потребуются дальнейшие «раздувания». Например, если С^^) = ¿1, то система V = z'k-2F(¿1) — 2у2 — 2у • г1, г1 = V • г1 + г2 упрощается после перехода к переменным г1,ш : V = ш • г 1,ш' • г 1 + ш • г'1 = г lk-2F(г 1) — 2w2 • г2 — 2w • г2, г'1 = ш • г2 + г 2, ^ ' • г1 = г^-2F(г1) — 3ш2 • г2 — 3ш • х^. Как и выше система ' = zk-3F(г1) — 3ш2 • г1 — 3ш • г1, г[ = ш • г"^ + г2 имеет тот же фазовый портрет, что и система ш' = z,k-4F(г1) — 3ш2 — 3ш, г'1 = ш • г1 + г1, для которой справедлива теорема Гробмана-Хартмана.

3. Рассмотрим теперь общий случай, когда функция /з(г1,г2) зависит от обеих переменных г1 и г2. Здесь через /з снова обозначена функция выражающая гз через г1 и г2 из уравнения (1.16), которая существует в силу теоремы о неявной функции. Система (1.16) перепишется в виде:

г2 = г1, д/з/дг1 • г[ = г2 + г2/2(г1,г2) — д/з/дг2 • гь (1.22)

Уравнение д/з(г1 ,г2)/дг1 = 0 определяет множество (не обязательно многообразие) вырождения системы (1.22). Однако если точки этого множества являются одновременно нулями правой части второго уравнения (1.22) вырождения может не быть. Это иллюстрирует следующий пример:

г2 = г1, ¿з = г2 + г2, гз = г2 • г1 (1.23)

который имеет решения г1 = г0 + г2 = г0 + £ • г0 + £2/2, гз = г2 • г1. При этом в точке г1 =0, г2 = 0, гз = 0 нарушается единственность решения, так как помимо указанных уравнению (1.23) удовлетворяет тривиальное решение.

Для каждой ветви г2 = V(г1), V(0) = 0 (если такие найдутся) решений уравнения д/з/дг1 (г1,г2) = 0 можно провести исследование поведения потока в окрестности этой ветви аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пункте. Кривая М здесь является графиком неявной функции определяемой уравнением

г2 + г2/2(г1 г — д/з/дг2 • г1 = 0.

V

м

г^Щг,)

Случай, когда ветвь V лежит на кривой М, требует дополнительного рассмотрения.

Поведение решений системы (1.22) в окрестности точки (0, 0) в случае, когда точки (г\,Х2) не являются решениями уравнения

не лежат на кривой М и осях координат, можно, как и выше, исследовать, «раздувая» особенность. Для системы (1.22) сделаем замену координат = и ■ г\ и перейдем от переменных г\, к переменным х\, и : и' ■х1 + и^х'1 = х1, д/3/дх1 ■х'1 = их\+х2/2(х1 ,и^х1)—д/3/дх2 ■х1. Умножим первое уравнение системы на д/з/дх1 и вычтем второе уравнение, умноженное на и : и'х1д/3/дх1 = х1д/3/дх1 — и2х1 — их2/2(х1 ,их1) +

их1д/3/дх2 , или и'д/3/дх1 = д/3/дх1 — и2--их1/2(х1 ,их1) + ид/3/дх2,

х 'д/3/дх 1 = и■ х 1 + х 2/2(х\,и■ х 1) — д/3/дх2 ■ х 1. Как и выше, эта система имеет тот же фазовый портрет, что и система и' = д/з/дх 1 — и2 — их 1/2(х 1,их 1 ) + ид/3/дх2, х' = и■ х 1 + х2/2(х 1,и■ х 1) — д/3/дх2 ■ х 1, которая может быть далее упрощена одним или несколькими «раздуваниями» в зависимости от вида функций /2 и /3.

Замечание 1. Исследование случая максимальной ЖЦ длины четыре опускается для сокращения объема статьи. Здесь как и для максимальной ЖЦ длины три используется техника работы [7].

2. Вырожденные неавтономные дифференциальные

Л. Линейные неавтономные дифференциальные уравнения.

Рассматривается достаточно общий частный случай для уравнения

д/з(х1 ,х2 )/дх1 = 0,

уравнения.

Ах' = в(г)х, г е (а,Ь),

(2.1)

в предположении, что A, B(t) : E1 — E2 , dim E1 = dim E2 = n, A -вырожденный оператор, dim N (A) = 1 и N (A) = {у}, N (A*) = {ф}, функция B(t) обладает нужной степенью гладкости.

Определение 1. Элементы y(k)(t) образуют B(t) —дифференциальную жорданову цепочку (ДЖЦ) нуля оператора A, если они удовлетворяют соотношениям

Ay(k+1)(t) = B(t)y(k)(t) — A{y(k)(t)}', k = 1,...,p(t), у(1) = у и (B(t)y(p(t)),ф) =0, (2.2)

здесь первые p(t) — 1 уравнений предполагаются разрешимыми, а последнее неравенство является условием обрыва ДЖЦ.

Замечание 2. Элементы ДЖЦ являются дифференцируемыми функциями.

Определение 2. В(Ь)-ДЖЦ нуля оператора А : у(1)(£),■■■, у(р(4)) (Ь) называется равномерной, если р(Ь) = р.

Определение 3. В(Ь) -равномерная ДЖЦ нуля оператора А : у(1) (Ь), ■ ■■,у(р)(Ь) называется максимальной, если при любом Ь ее элементы образуют базис пространства Е1 т. е. р = п.

В этом разделе будем считать, что существует максимальная равномерная дифференциальная жорданова цепочка нуля оператора А : ^ (Ь).

Лемма 1. Существует набор функционалов 7(1) (Ь), ■ ■■, 7(п) (Ь), гладко зависящий от Ь и биортогональный к элементам у(1) (Ь), ■ ■■,у(п) (Ь).

Пусть векторы е1, ■■■, еп образуют базис пространства Е1 и и1, ■■■, ип набор биортогональных к нему функционалов. Разложим векторы у(к> (Ь) по базису e1, ■■■, еп.

у(1) = аие1 +-----+ а1п еп,

у(2) (Ь) = а21(Ь)е1 + ••• + а,2п(Ь)е,п,

y(n) (t) = a„i(t)ei +-----+ ann(t)en.

В силу формул акв(Ь) = (<р(к\Ь),и3) функции ак3^) являются дифференцируемыми по Ь. Определяя функционалы 7(в)(Ь) в виде: 7(в)(Ь) =

bsi(t)ui + ■ ■ ■ + +bsn(t)un, получим систему

0 = anbsi(t) +-----+ ain bsn(t),

1 = asi(t)bsi(t) +-----+ asn(t)bsn(t),

0 = ani(t)bsi(t) +-----+ ann(t)bsn(t),

для определения функций bsm (t). Так как det[as&(t)] =0, t G [a,b] из формул Крамера следует, что функции bsm(t) дифференцируемы.

Следствие 1. Если x(t) - решение вырожденного ДУ (2.1) и x(t) = = £i(t)p(i^1 + ■ ■ ■ + £n(t)p(n (t), то функции £s(t) - дифференцируемы. Это следует из формул £s(t) = (x(t),j(s(t)).

Теорема 1. Если существует максимальная 'равномерная ДЖЦ нуля оператора A : p(i), ..., p(n) (t), то вырожденное ДУ (2.1) имеет только нулевое решение.

Пусть x(t) — решение вырожденного ДУ (2.1) и

x(t)= £i(t)p(i) +■ ■ ■ + £n(t)p(n)(t). (2.3)

Подставляя (2.3) в (2.1) A(£' (t)p(i) + £2 (t)p(2) + &(t)W{2) (t)}' + ■ ■ ■ + £'n(t)p(n) + +£n(t){p(n)(t)}') = B(t)(£i(t)p(i) + ■ ■ ■ + £n(t)p(n)(t)), перепишем это уравнение в виде: £'2Ap(2) + £'3Ap(3) + £'4Ap(4) +-----+ £'nAp(n) +

bA{v(2)}'+£sA{^3) }'+ + ■ ■ ■ +£n-iAW(n-i)}'+£nAW(n)}' - £iB(t)p(i) -

£2B(t)p(2) - £зВ(t)p(3)------£n-iB(t)p(n-i) - £nB(t)p(n) = 0.

Сравнивая элементы, стоящие в одной колонке по формулам (2.2), получаем:

(£2 - £i)Ap(2) + (£3 - £2)+ Ap(3) + ■ ■ ■ +

+ (£n - £n-i)Ap(n) + £n A{p(n)}' - £nB (t)p(n) = 0. (2.30)

Применяя к равенству (2.30) функционал ф, находим, что £n(t) = 0. Тогда

(£2 - £i)Ap(2) + (£'3 - £2W3) +■ ■ ■ + (£'n - £n-iWn) = 0,

и так как элементы Ap^2 (t),..., Ap(n\t) линейно независимы, то

£2 - £i =0,£':3 - £2 = 0,...,£ - £n-i =0. Отсюда следует £n-i(t) = 0,..., £2(t) = 0, £i(t) = 0 или x(t) = 0 .

Б. Нелинейные неавтономные дифференциальные уравнения.

В условиях существования максимальной ДЖЦ нуля оператора А рассматривается нелинейное уравнение

Ах' = В(Ь)х + К(х,г), Ь е (а, Ь); \\Е(х,Щ = о(||х||)■ (2.31)

Повторяя выполненные ранее преобразования к уравнению (2.31), придем вместо уравнения (2.30) к уравнению

(£2 — б)Ау(2) + £—б)Ау(з) + ••• + (еп—£п-1)Ау(п)+

+ £п А{у(п)}' — £пВ (Ь)у(п) — Е(6у(1) + ••• + £п У(п),Ь) = 0^ (2.32)

Векторы Ау(2) (Ь),^^ Ау(п) (Ь) линейно независимы для любого Ь и образуют базис пространства 1т А, а вместе с вектором В (Ь)у(п) (Ь) - базис пространства Е2. Они также гладко зависят от параметра Ь. Подобно лемме 1, можно построить биортогональную к ним систему функционалов ф(к)(Ь) гладко зависящих от Ь.

(Ау(к) (Ь),ф(1) (Ь)) =0, (В(Ь)у(п)(Ь),ф(1) (Ь)) = 1, (2.33)

(Ау(к)(Ь),ф(п+2-)(Ь)) = 5к3,з = 2,п; (В(Ь)у(п)(Ь),ф(1+г)(Ь)) = 0, г = 1, ■■■,п — 1. Применяя функционал ф(1)(Ь) к равенству (2.32), получаем

£п = (Д(6у(1) + ••• + £пУ(п),Ь),ф(1) (Ь)),

отсюда, по теореме о неявной функции находим £п = Fn(е-]^^^, £п-1,Ь), где Fn(0, ■■■,0,Ь) =0 и Б^ Fn (0, ■ ■■,0,Ь) =0. Применяя к (2.32) функционал ф(2)(Ь) (8 = п, г = 1 в (43)), получаем

еп — £п-1 = —£п(В {у(п) }',ф(2) (Ь)) + (Я(£1У(1) + • • • + £пУ(п) ,Ь),ф(2) (Ь)) или £п = £п-1 + Fn-1 (£1, ■ ■ ■ ,£п-1,Ь), причем как и выше

Fn-l(0, ■ ■■,0,Ь) = 0 и Б^ Fn-l(0,■■■,0,t) =0, и т. д. Наконец, применение функционала ф(п) (Ь) дает

£2 = £1 + ^(^■■■^п-ъЬ),

где Fl(0,■■■,0,t) = 0 и БсFl(0,... ,0,Ь) = 0.

Таким образом, в случае существования максимальной равномерной ДЖЦ нуля оператора А вырожденное ДУ (2.31) сводится к системе

£2 = £1 + ^(^■■■^п-ъЬ), ^(0,---,0,ь) = 0,

••• Б^ Fi (0,- ■ ■ ,0,Ь) = 0, (2.34)

£'п = £п-1 + ^-1 (£1, ■ ■ ■,£n-1,t), £п = Fn(£1, ■ ■ ■ ,£п-1,Ь)

т. е. к дифференциальному уравнению разветвления в корневых подпространствах.

C. Неавтономные вырожденные дифференциальные уравнения с максимальной равномерной ЖЩ длины 2.

В этом разделе рассматриваются вырожденные ДУ вида:

Ax' = B(t)x + R(x,t), t e (a, b); \\R(x,t)\\ = о(||ж||). (2.35)

Как и прежде, операторы B, A и R действуют из пространства Ei в пространство E2, dim E1 = dim E2 = 2 и элементы B(¿)-ЖЦ у(1), у(2) нуля оператора A образуют базис E1. Функция R достаточно гладкая и R(0,t) = 0, Rx(0,t) = 0. Тогда, согласно (2.34), уравнение (2.35) приводится к системе

x2 = x1 + f(x1,t), 0 = x2 + g(x1,t), (2.36)

где функции f и g удовлетворяют условиям f (0, t) = g(0, t) = 0 и Df (0, t) = Dg(0,t)=0.

Замена переменных y1 = x1 + f (x1,t), y2 = x2, приводит систему (2.36) к виду:

У2 = У1, 0 = У2 + h(y1 ,t), h(0,t)=0 (2.37)

Если функция h(y1,t) не зависит от y1, то в некоторой окрестности точки t = 0, y2 = Y(t) и y1 = Y'(t). Если Y(t) = 0, то это не единственное решение системы (2.36) при условиях y1(0) = 0 и y2(0) = 0, — другим будет y1 (t) = 0 и y2 (t) = 0.

Если функция h(y1 ,t) зависит от y1, то y2 = —h(y1,t) и, так как h(0,t) =0 и Dyh(0,t) = 0, она записывается как: h(y1,t) = — y2H(y1,t). Подставляя выражение для y2 в первое уравнение системы (2.37), находим

{2yH(y1,t) + y29H(y1 ,t)/dy1}y[ = y1 — y2dH(y1,t)/dt ^

^ {2H(y1,t) + y1dH(y1,t)/dy1 }y[ = 1 — y1dH(y1,t)/dt. (2.48)

Если H(0, 0) = 0, то уравнение (2.48) имеет решение y1 = f (t) такое что f(0) = 0. Тогда для исходного вырожденного уравнения нарушается единственность решений в точке (0,0). Если H(0,0) = 0, то y1 = 0 является особой точкой для уравнения (2.48).

Замечание 3. При использовании понятия максимальной дифференциальной жордановой цепочки проведены исследования неавтономного ДУ для случаев максимальных цепочек длин 3 и 4, аналогичные изложенным в пункте 3 в настоящей работы. Эти результаты мало отличаются от там приведенных, но технически гораздо более громоздкие, ввиду того что, привлекая технику работы [7], приходится рассматривать

не векторные пространства, а модули над кольцом гладких функций переменной г (полиномы е коэффициентами гладко зависящими от г). Поэтому исследование неавтономного ДУ с максимальными ДЖЦ длин три и четыре опущено для сокращения объема статьи.

Список литературы

1. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М. : Наука, 1969.

2. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. - Dortrecht, Kluwer Academic Publ., 2002. - 548 p.

3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. - М. : МЦНМО, 1999.

4. Ван Д. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости / Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. - М. : МЦНМО, 2005.

5. Логинов Б. В. Нормальные формы вырожденных автономных дифференциальных уравнений с максимальной жордановой цепочкой и простейшие приложения // Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак, Л. Р. Ким-Тян // Вестн. Юж.-Урал. ун-та.

6. Marszalek W. Fold points and singularity induced bifurcation in inviscid transonic flow / W. Marszalek // Physics Letters A. - 2012. - Vol. 376, issues 28-29. -P. 2032-2037. http://dx.doi.org/10.1016Zj.physleta.2012.05.003

7. A simple global characterization for normal forms of singular vector fields / C. Elphick, E. Tirapegui, M. E. Brachet, P. Coullet, G. Iooss // Physica 29D. -North-Holland, Amsterdam, 1987. - P. 95-127.

Борис Владимирович Логинов, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «высшей математики:», Ульяновский государственный технический университет, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, (e-mail: bvllbv@yandex.ru)

Юрий Борисович Русак, кандидат физико-математических наук, доцент, Департамент социального сервиса правительства Австралии, Австралия, г. Канберра, (e-mail: irousak@gmail.com)

Луиза Ревмировна Ким-Тян, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математики», Национальный исследовательский технологический университет МИСиС, 119049, г. Москва, Ленинский проспект, д. 4, (e-mail: kim-tyan@yandex.ru)

B. V. Loginov, Yu. B. Rousak, L. R. Kim-Tyan Normal Forms of the Degenerate Differential Autonomous and Non Autonomous Equations with the Maximal Jordan Chain of Length Two and Three

Abstract. Standard methods of normal form construction are adapted for degenerate differential equations in the case of the existence of maximal length Jordan chain. For n=2 and 3 examples are considered. Some of indicated normal forms are obtained for non autonomous systems at the usage of determined in the article differential Jordan chains.

Keywords: degenerate differential equations, normal forms, Jordan chains, differential Jordan chains.

References

1. Vainberg M.M., Trenogin V.A. Theory of branching of solutions of non-linear equations. Noordhoof International Publishing, Leyden, 1974.

2. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Dortrecht, Kluwer Academic Publ., 2002. 548 p.

3. Arnold V.I. Geometricheskie metody v teoriy obiknovennykh differentsialnykh uravneniy [Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations]. Moscow, 1999.

4. Shui-Nee Chow, Chengzhi Li, Duo Wang. Normal Forms and Bifurcation of Planar Vector Fields. Cambridge University Press, 1994. 484 p.

5. Loginov B.V., Rousak Yu.B., Kim-Tyan L.R. Normal forms of the degenerate autonomous differential equations with the maximal Jordan chain and simple applications. Bulletin of South-Ural University, Series Mathematics, 2015, no 4.

6. Marszalek W. Fold Points and Singularity Induced Bifurcation in Inviscid Transonic Flow. Physics Letters A., 2012, vol. 376, issues 28-29, pp. 2032-2037, http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2012.05.003

7. Elphick C., Tirapegui E., Brachet M.E., Coullet P., Iooss G. A Simple Global Characterization for Normal Forms of Singular Vector Fields. Physica 29D, North-Holland, Amsterdam, 1987, pp. 95-127,

Boris Vladimirovich Loginov, Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Professor, Ulyanovsk State Technical University, 32, Severny Venetz st., Ulyanovsk, 432027, (e-mail: bvllbv@yandex.ru)

Yuriy Borisovich Rousak, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Department of Families, Housing, Community Services and Indigenous Affairs, Government of Australia, Canberra, Australia (e-mail: irousak@gmail.com)

Luisa Revmirovna Kim-Tyan, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), National University of Science and Technology (MISIS), Moscow, 4, Leninskii pr., 119049, (e-mail: kim-tyan@yandex.ru)