CC BY
2ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №5
33
УДК 511
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЛИЖАЙШЕГО СОСЕДА НА ПРЯМОЙ С ПОМОЩЬЮ КЛЕТОЧНОГО АВТОМАТА С ЛОКАТОРАМИ
Д. И. Васильев1, Э. Э. Гасанов2
Рассматривается применение модели клеточного автомата с локаторами к задаче поиска ближайшего соседа на прямой. Модель клеточного автомата с локаторами подразумевает возможность каждой ячейке автомата передавать через эфир сигнал на сколь угодно большие расстояния. Ранее было показано, что такая возможность позволяет решать задачу поиска ближайшего соседа за логарифмическое время. В работе получена логарифмическая нижняя оценка для сложности этой задачи.
Ключевые слова: клеточные автоматы, однородные структуры, поиск ближайшей точки.
The paper considers the application of the locator cellular automaton model to the closest neighbour search problem. The locator cellular automaton model assumes the possibility for each cell to translate a signal through any distance using the ether. It was proven earlier that the ether model allows us to solve the problem with logarithmic time. In this paper we have derived a logarithmic lower bound for this problem.
Key words: cellular automata, homogeneous structures, the closest neighbour search problem.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-5
1. Введение. Понятие клеточного автомата было введено Дж. фон Нейманом [1-3] для описания процессов самовоспроизведения в биологии и технике. Эта модель развивалась и использовалась в работах А. Беркса [4], Э. Мура [5], В. Б. Кудрявцева, А. С. Подколзина, А. А. Болотова [6] и других исследователей [7-9].
Клеточный автомат — это математический объект с дискретными пространством и временем. Пространство поделено на клетки, в каждой из которых находится элементарный автомат. Такты времени задаются натуральными числами. Состояние автомата каждой пространственной клетки определяется очень простыми правилами взаимодействия, которые предписывают изменения состояния автомата каждой клетки в следующем такте времени в ответ на текущее состояние автоматов соседних клеток.
В работе Э. Э. Гасанова [10] было введено понятие клеточного автомата с локаторами, которое отличается от понятия обычного клеточного автомата тем, что допускает передачу информации не только между соседними ячейками, но и на любое расстояние посредством передачи сигнала в эфир. В настоящей работе рассматривается применение этой модели к одномерной задаче поиска ближайшего соседа на прямой, состоящей в том, что произвольно отмечены особая точка, называемая центральной, и несколько других, которые будем называть общими, и необходимо понять, какая из общих точек находится ближе к центральной. Классический клеточный автомат решает эту задачу за время, пропорциональное расстоянию до ближайшего соседа. В работе [11] явно построен клеточный автомат с локаторами, решающий данную задачу за логарифмическое время. Мы доказываем нижнюю логарифмическую оценку для этой задачи и тем самым получаем порядок временной сложности решения этой задачи. Заметим, что полученная нижняя оценка справедлива только для одномерного случая. В работе [12] первым автором предложен константный по времени алгоритм решения двумерной задачи поиска ближайшего соседа с помощью клеточных автоматов с локаторами.
1 Васильев Денис Игоревич — мл. науч. сотр. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: denis.vasilev.igor@gmail.com.
Vasilev Denis Igorevich — Junior Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Theory of Intelligent Systems.
2Гасанов Эльяр Эльдарович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: el_gasanov@mail.ru.
Gasanov Elyar Eldarovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of the Chair of Mathematical Theory of Intelligent Systems.
34
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №5
2. Постановка задачи и формулировка результатов. Как уже сказано, в [10] было введено понятие клеточного автомата с локаторами. В работе Г. В. Калачева [13] были выявлены некоторые неточности приведенного в [10] определения. Наиболее точное определение клеточного автомата с локаторами дано Д. Э. Ибрагимовой в [14].
В настоящей работе мы не будем приводить общее понятие клеточного автомата с локаторами, а определим только его сужение на одномерный случай.
В определении клеточного автомата с локаторами используется понятие рационального телесного угла, но в одномерном случае имеются только 3 рациональных телесных угла, которые мы обозначим = {х € М : х < 0}, VI = {х € М : х > 0}, ^п = V—! и VI. Телесный угол vп называется полным.
Одномерным клеточным автоматом с локаторами называется восьмерка а = (Ъ, ф, V, С, +, Ь,<,0), где Ъ — множество одномерных векторов с целыми координатами; ф — некоторое конечное множество, называемое множеством состояний; в множестве ф выделено одно состояние д0, называемое состоянием покоя; V = {-1,1} — множество из двух векторов из Ъ; С — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом е; +--коммутативная полугрупповая операция, заданная на С; Ь = {^1^1} — множество из двух описанных выше рациональных телесных углов в М; < — функция, зависящая от переменных х0,х—1 ,х1, 2_1,21; < : ф3 х С2 ^ ф, <(ч0, е) = д0; Ч0 = (д0,д0,д0) € ф3, е = (е, е) € С2; 0 — функция, зависящая от переменных х0,х—1 ,х1, 2_1,21; 0 : ф3 х С2 ^ С; 0(чо,^) = е, ^ € С2. Элементы множества Ъ называются ячейками клеточного автомата а, элементы множества ф — состояниями ячейки клеточного автомата а. Множество V называется шаблоном соседства клеточного автомата а и состоит из двух соседей — ближайшего соседа слева и ближайшего соседа справа. Элементы множества С называются сигналами вещания. Множество Ь называется шаблоном локаторов клеточного автомата а и состоит из двух локаторов — смотрящего влево и смотрящего вправо. Функция < называется локальной функцией переходов автомата а, функция 0 — функцией вещания автомата а. Переменные х0,х—1 ,х1 принимают значения из ф, переменные 2—1,21 — из С. Состояние д0 интерпретируется как состояние покоя, а условие <(ч0 , е) = д0 — как условие сохранения состояния покоя. Ячейки, находящиеся в состоянии, отличном от д0, будем называть активными. Условие 0(чо= е означает, что ячейка в состоянии покоя, не имеющая активных соседей, посылает в эфир нейтральный элемент, что можно интерпретировать как то, что она не посылает сигналы в эфир.
Если а € Ъ, V — телесный угол из Ь, то через V(а) обозначим телесный угол, полученный параллельным переносом угла V в точку а, т.е. ^^а) = {х € М : х < а}, v1(а) = {х € М : х > а}.
Если а € Ъ — ячейка клеточного автомата а, то множество V(а) = {а, а — 1, а + 1} называется окрестностью ячейки а, а множество Ь(а) = {v_1(a), v1 (а)} — множеством локаторов ячейки а.
Состоянием клеточного автомата с локаторами а назовем пару (д, /), где д — произвольная функция, определенная на множестве Ъ, принимающая значения из С и называемая состоянием эфира, / — произвольная функция, определенная на множестве Ъ, принимающая значения из ф и называемая распределением состояний клеточного автомата с локаторами а. Такую функцию можно интерпретировать как некую мозаику, возникающую в одномерном пространстве в результате приписывания каждой точке с целочисленными координатами некоторого состояния из множества ф и некоторого сигнала из множества С. Множество всевозможных состояний клеточного автомата с локаторами обозначим £.
Если а € Ъ, (д, /) — состояние клеточного автомата с локаторами а, то значение д(а) называем сигналом ячейки а, определяемым состоянием (д, /), а значение /(а) — состоянием ячейки а, определяемым состоянием (д, /). Значения
Ф_1(а) = £ д(6), Ф1(а) = £ д(6) (1)
Ье^-1(а)ПЪ Ь&и 1 (а)ПЪ
называем значениями локаторов v_1 и v1 ячейки а, определяемыми состоянием (д, /). Здесь суммирование сигналов осуществляется с помощью определяющей операции + полугруппы С. Отметим, что в формулах (1) используются формально бесконечные суммы и, чтобы они были определены, мы либо будем считать, что только конечное число слагаемых в суммах отлично от нейтрального элемента, либо предположим, что полугруппа (С, +) является идемпотентным моноидом, т.е. для любого Н € С выполнено Н + Н = Н.
Отметим также, что если бы у нас в шаблоне локаторов Ь был локатор, соответствующий полному телесному углу, то его значение было бы равно
ФП(а)= £ д(Ь) = ф_1(а)+ Ф1(а),
Ье^(а)ПЪ
т.е. его значение полностью определялось бы значениями локаторов и VI, поэтому полный локатор является избыточным в одномерном случае и мы не включаем его в шаблон локаторов
На множестве £ определим глобальную функцию переходов Фст клеточного автомата с локаторами а, полагая Фст(д, /) = (д',/'), где (д, /), (д', /') € £ и для любой ячейки а € Ъ выполняются тождества
д'(а) = ф(/(а), /(а - 1), /(а + 1), ф-^а), ф?(а)), (2)
/'(а) = р(/(а), /(а - 1), /(а + 1),ф-1 (а), ф\(а)). (3)
Содержательная интерпретация отображения Фст такова, что сигнал каждой ячейки и состояние каждой ячейки "после перехода" определяются по состоянию окрестности ячейки и по значениям локаторов "до перехода" с помощью законов ф и ^ одинаково для всех ячеек.
Поведениями клеточного автомата с локаторами а называем такие последовательности (до, /о), (д1 ,/1), (д2, /2), • • • его состояний, для которых выполняется (д»+1,/г+1) = Фст(дг,/г) для всех г = 0,1, 2,..., причем (дг, /г) называется состоянием клеточного автомата с локаторами а в момент г, а (д0, /0) — начальным состоянием клеточного автомата с локаторами а.
Сформулируем задачу поиска ближайшего соседа на прямой. Пусть на Ъ задано начальное состояние I = (до,/о) клеточного автомата, удовлетворяющее следующим условиям:
1) любой ячейке присвоено одно из трех состояний ; ца, *}, где * — это состояние покоя, т.е. для любой ячейки а € Ъ выполнено /о(а) € {ц^; Ца, *};
2) есть лишь одна ячейка, которой присвоено состояние ца, и эта ячейка соответствует центральной точке;
3) есть лишь конечное и непустое множество ячеек, которым присвоено состояние qs и которые соответствуют общим точкам;
4) все ячейки не посылают в эфир сигналы, т.е. для любой ячейки а € Ъ выполнено до (а) = е.
Решением задачи поиска ближайшего соседа, соответствующей начальному состоянию I, назовем состояние 7р = (др, /р) автомата, удовлетворяющее следующим условиям:
1) ячейке, которой в I было присвоено состояние ца, присвоено состояние цар;
2) ближайшей к ячейке в состоянии цар из тех, которым в I было присвоено состояние qs, присвоено состояние цье , если она находится слева от ячейки в состоянии цар, и цяе, если справа; если таких ячеек две, то правой присваивается состояние *, а левой — состояние цье;
3) ячейкам, которые находятся между ячейками в состояниях цар и ц^е, присваивается состояние ц^р; ячейкам, которые находятся между ячейками в состояниях цар и цяе, присваивается состояние цдр;
4) остальные ячейки находятся в состоянии *;
5) все ячейки не посылают в эфир сигналы, т.е. для любой ячейки а € Ъ выполнено др(а) = е.
Скажем, что клеточный автомат с локаторами а решает задачу поиска ближайшего соседа, если
из любого начального состояния I, удовлетворяющего описанным выше условиям, он переходит в соответствующее I описанное выше финальное состояние /р и ни одно промежуточное состояние не содержит ячеек в состояниях цар , Цье , Цке , Цьр и цдр.
Отметим, что классический клеточный автомат можно воспринимать как клеточный автомат с локаторами, у которого все ячейки все время посылают в эфир нейтральный элемент е. Тогда в данной постановке никакой классический клеточный автомат не может решить задачу поиска ближайшего соседа, поскольку просто не сможет стереть все пометки qs ввиду того, что просто не будет знать, все ли он стер или что-то осталось. Но если отказаться от требования, чтобы все общие точки были стерты, и разрешить состояниям цар, Цье, Цке, Цьр и цдр появляться постепенно, то задачу в такой модификации можно решить с помощью классического клеточного автомата за время, пропорциональное расстоянию до ближайшего соседа.
Назовем общим положением задачи поиска ближайшего соседа задачу, в которой с обеих сторон от ячейки в состоянии ца есть хотя бы по одной ячейке в состоянии qs. Пусть Т^ — время, за которое произвольный автомат а решает задачу поиска ближайшего соседа I (положим Т^ = то, если автомат а не решает задачу I).
Теорема. Для любого одномерного клеточного автомата с локаторами а и мощностью алфавита вещания, равной М, и любого общего положения задачи поиска ближайшего соседа I выполнено > где в — расстояние от ячейки в состоянии qc до ближайшей ячейки в состоянии qs в задаче I.
3. Доказательство теоремы. Скажем, что элемент Н конечной полугруппы О имеет предпе-риод в (в € Ъ, 0 ^ 8 < |О|) и период р (р € N 1 ^ р ^ |О|), если для любого к € N выполнено вН + кН = вН + (к + р)Н.
Лемма 1. Для любого элемента h конечной произвольной полугруппы G существуют предпе-риод s, 0 ^ s < |G|, и период p, 1 ^ p ^ |G|.
Доказательство. Поскольку полугруппа G конечная, то среди элементов h, 2h, 3h,... , (|G| + 1)h найдутся два равных. Пусть это элементы fcih и k2h, ki < k2, 1 ^ ki ^ |G|, 2 ^ k2 ^ |G| + 1. Обозначим s = k1 — 1, p = k2 — k1. Заметим, что из ограничений на k1, k2 следует, что 0 ^ s < |G|, 1 ^ p ^ |G| и s + p ^ |G|. Пара найденных равных элементов в новых обозначениях запишется как (s + 1)h и (s + p + 1)h. Из детерминированности групповой операции следует, что бесконечная цепочка h, 2h, 3h,... образует периодическую с периодом p последовательность начиная с элемента (s + 1)h, откуда следует утверждение леммы.
Пусть X, Y € Z, T € N, X < Y, T < Y — X, [X, Y] = {x € Z : X ^ x ^ Y}. Тогда состояние (g, f) одномерного клеточного автомата будем называть периодическим с периодом T на отрезке [X, Y], если функции f и g имеют (не обязательно минимальный) период T на этом отрезке, т.е. если для любого x € [X, Y — T] выполнено g(x + T) = g(x) и f (x + T) = f (x).
Лемма 2. Пусть I = (g, f) — периодическое состояние с периодом T на отрезке [X, Y], n = Y—
X+T -1
X + 1 — длина отрезка [X, Y], B = ^ g(x) — элемент полугруппы G, p и s — соответственно
x=X
период и предпериод элемента B, n > (2(s +1) + p)T. Тогда любой одномерный клеточный автомат с локаторами а = (Z, Q, V, G, +, L, 0) с начальным состоянием I в следующий такт перейдет в состояние I1 = $CT(g, f), которое будет периодическим с периодомpT на отрезке [X + (s + 1)T; Y —
(s + 1)T ].
Доказательство. Согласно формулам (2) и (3) состояние и сигнал вещания ячейки с координатой x на следующем такте будут равны соответственно ^>(f (x), f (x — 1), f (x + 1), ф_ 1(x), (x)) и 0(f (x), f (x — 1), f (x +1), ф_ 1(x), (x)). Установим наличие периода pT на отрезке [X + (s + 1)T, Y — (s + 1)T] для всех аргументов этих функций. Отметим, что поскольку n = Y — X + 1 > (2(s + 1)+ p)T, то отрезок [X + (s + 1)T, Y — (s + 1)T] содержит более pT точек.
Поскольку (s + 1)T > 0, если x € [X + (s + 1)T, Y — (s + 1)T], то x — 1 € [X, Y] и, значит, тройка функций f (x), f (x — 1), f (x + 1) периодическая с периодом T на отрезке [X + (s + 1)T, Y — (s + 1)T] по условию леммы.
Покажем, что функция ф_ 1(x) периодическая на отрезке [X + (s + 1)T, Y — (s + 1)T] с периодом pT. Пусть ж € [X + (s + 1 )Т, Y — (s + 1 + р)Т], а = ~~ целая часть от деления х — X на Т,
b = (x — X) mod T — остаток от деления x — X на T. Учитывая периодичность функции g(x) на отрезке [X, Y] с периодом T, а также, что a ^ s + 1 и p — период элемента B, имеем
X -1 X+b-1 X -1 X+b-1
0-1(x + pT)= £ g(k) + (a + p)B + £ g(k)= £ g(k)+ aB + £ g(k) = ^(x).
к=—те k=X к=—те k=X
Пусть, как и ранее, х € [X + (s + 1)Т, Y - (s +1 +р)Т], с = , d = (Y -х) mod Т. Учитывая,
что c ^ s + 1 + p, получаем
те те
<^(x + pT) = (c — p)B + £ g(k)= cB + £ g(k)= <^(x).
k=Y-d k=Y-d
Таким образом, все аргументы функций выходов и переходов совпадают для x и x + pT, что означает наличие периодической с периодом pT последовательности на отрезке [X + (s + 1)T, Y — (s + 1)T] как для состояний, так и для сигналов вещания. Лемма доказана.
Введем операции удлинения периодической части. Пусть (g, f) — периодическое состояние с периодом T на отрезке [X, Y], Y — X + 1 > T. Тогда операция удлинения периодической части справа UTp добавляет к периодической части справа m фрагментов длины T так, чтобы полученное состояние было периодическим на [X, Y + mT] и чтобы хвост исходного состояния после точки Y и хвост удлиненного состояния после точки Y + mT совпадали, т.е. Um(g, f) = (g', f') — такое преобразование, что если x ^ Y, то g'(x) = g(x), f'(x) = f (x), если Y < x ^ Y + mT, то g'(x) = g'(x — T), f '(x) = f '(x — T), и если x > Y + mT, то g'(x) = g(x — mT), f'(x) = f (x — mT). Аналогично операция удлинения периодической части слева Wm(g, f) = (g', f') — такое преобразование, что если x ^ X, то g'(x) = g(x), f'(x) = f (x), если X — mT ^ x < X, то g'(x) = g'(x + T), f'(x) = f'(x + T), и если x < X — mT, то g'(x) = g(x + mT), f'(x) = f (x + mT).
Для операций удлинения периодической части справа и слева справедливо следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть T, m € N, X, Y € Z, X < Y, (g, f) — периодическое состояние с периодом T
X+T -1
на отрезке [X, Y ], n = Y — X + 1, n > (2(s + 1) + p)T, B = ^ g(x) — элемент полугруппы G,
x=X
p и s — соответственно период и предпериод элемента B, (u, v) = Upm(g, f), (w,z) = WTm(g, f), a = (Z, Q, V, G, +,L,^>, ф) — одномерный клеточный автомат с локаторами, (g',f') = Фст(д, f), (u',v') = Фст(u, v) и (w',z') = Фст(w,z). Тогда (g',f') — периодическое состояние с периодом pT на отрезке [X + (s + 1)T,Y — (s + 1)T] и (u',v') = UpT(g',f'), (w',z') = WpT(g',f' ).
Доказательство. Пусть г = J, Q = п mod T и D = 9(х)- По условию г > 2(s + l)+p.
Для операции удлинения справа рассмотрим следующие случаи.
1) Пусть ж < X. Тогда
ж— 1
Ф-1(ж)= £ g(x) = Ф—i(x),
X—1 те X—1 те
Ф1(ж) = £ g(x) + rB + D + £ g(x) = £ g(x) + (r + pm)B + D + £ g(x) = Ф'(ж).
fc=^+1 k=Y+1 fc=^+1 k=Y+1
2) Пусть ж € [X, F - (s + 1)T], с = , d = (Y - x) mod Т. Тогда, учитывая, что с ^ s + 1, имеем
ж— 1
Ф— 1(ж)= £ g(x) = Ф—1 (ж),
fc=—<re
те те
Ф?(ж) = cB + £ g(x) = (c + pm)B + £ g(x) = Ф' (ж).
k=Y—d k=Y—d
3) Пусть ж € [X + (s + 1)T, У], a = , b = (x - X) mod Т. Тогда, учитывая, что a ^ s + 1, имеем
X—1 X+b—1 X—1 X+b—1
Ф—1(ж) = £ g(x) + aB + £ g(k) = £ g(x) + (a + pm)B + £ g(k) = Ф—1(ж + pmT),
fc=—<re k=X fc=—<re k=X
тете
Ф1 (ж) = £ д(ж) = £ и(ж) = Ф'(ж + pmT).
fc=^+1 fc=^+1+pmT
4) Пусть ж > Y. Тогда
X—1 ж—1 X—1 ж— 1
Ф—1(ж) = £ д(ж) + rB + D + £ g(k) = £ д(ж) + (r + pm)B + D + £ g(k) = Ф—1(ж + pmT),
fc=—<re k=Y+1 fc=—<re k=Y+1
тете
Ф1 (ж) = £ д(ж) = £ и(ж) = Ф'(ж + pmT).
k=x+1 fc=^+1+pmT
Поскольку при ж ^ Y — (s + 1)T выполнено f(ж — 1) = v^ — 1), f (ж) = v^), f (ж + 1) = v^ + 1), то согласно формулам (2) и (3) с учетом случаев 1 и 2 получаем g'(ж) = u'(ж) и f (ж) = v '(ж).
Аналогично при ж ^ X + (s + 1)T выполнено f (ж — 1) = v^ — 1 + pmT), f(ж) = v^ + pmT), f(ж + 1) = v^ + 1 + pmT), откуда с учетом случаев 3 и 4 получаем g'(ж) = u'(ж + pmT) и f' (ж) = v' (ж + pmT).
То, что (g', f') — периодическое состояние с периодом pT на отрезке [X + (s + 1)p, Y — (s + 1)p], следует из леммы 2.
Покажем, что (u', v') = U^T(g', f'). Выше мы уже установили, что если ж ^ Y—(s+1)T, то u'(ж) = g'(ж) и v'(ж) = f'(ж), и что если ж ^ X + (s + 1)T+pmT, то u'(ж) = g'(ж — pmT) и v'(ж) = f'(ж — pmT). Отсюда, в частности, следует, что если ж > Y — (s + 1)T + pmT, то u'(ж) = g'(ж — pmT) и v'(ж) = f'(ж — pmT), а также, что если X + (s + 1)T + pmT ^ ж ^ Y — (s + 1)T + pmT, то u'(ж) = g'(ж — pmT) и v'(ж) = f'(ж — pmT), но поскольку состояние (g', f') периодическое на [X + (s + 1)T, Y — (s + 1)T] c периодом pT, то состояние (u', v') периодическое на [X + (s + 1)T + pmT, Y — (s + 1)T + pmT] c
периодом рТ. Осталось показать периодичность (и',-и') на [У — + 1)Т + 1,Х + (з + 1)Т + ртТ], т.е. показать, что при У — (8 + 1)Т < х ^ X + (8 + 1)Т + ртТ выполнено и'(х) = и'(х — рТ) и -'(ж) = -'(ж — рТ).
Итак, пусть ж € [Г - (в + 1)Т + 1,X + (в + 1 )Т + ртТ], а = Ъ = {х - X) тоё Т,
с = , (I = (У — ж) тоё Т. Тогда, учитывая, что а>8 + 1+рис>« + 1+р, имеем
X -1 X+Ь-1 X -1 X+Ь-1
ф-1(х) = £ и(х) + аВ + £ и(Л) = £ и(х) + (а — р)В + £ #(Л) = Ф-1(х — рТ),
й=-те fc=X й=-те fc=X
те те
Фи(х) = сВ + £ и(х) = (с — р)В + £ #(х) = Фи(х — рТ).
Отсюда в силу того, что -(х — 1) = -(х — 1 — рТ), -(х) = -(х — рТ), -(х + 1) = -(х + 1 — рТ) при х € [У — (8 + 1)Т + 1,Х + (8 + 1)Т + ртТ], получаем и'(х) = и'(х — рТ) и -'(х) = (х — рТ).
Тем самым мы показали, что (и',-') = ЦТ(#', /'). Случай операции удлинения справа доказан. Случай операции удлинения слева доказывается аналогично. Лемма доказана. Лемма 4. Пусть Т,т,Ь е П, Х,У е I,, X < У, п = У - X+ 1, а = (до,/о) - периодиче-
ское состояние с периодом Т на отрезке [X, У], а = ф, V, С, +, Т, 0) — одномерный клеточный
автомат с локаторами, М = |С| > 1, п >
2.\ / / '-\у—р • 2Г.М1. (ио,ьо) = и™{М1)\до,1о), (ыо^о) =
!) (#о, /о), (#о, /о), (#1, /1), (#2, /2), . . . , (ио, -о), («1, -1), («2, -2), . . (^0, ¿о), (^1,^1), (^2, ¿2), . . . — поведения клеточного автомата с локаторами а для начальных состояний (#о, /о), («о, -о), (-шо, ¿о) соответственно, т.е. (#¿+1, /¿+1) = Ф^(«¿+ъ-+1) = Фст(и,-), (^+1,^+1) = Фст для всех г = 0,1, 2,.... Тогда для любого целого г, 0 ^ г ^ ¿, выполнено #(а) = и (а) = ^¿(а) и /¿(а) = -¿(а) = ¿¿(а).
Доказательство. Обозначим X; = X + МТУ^ = У - МТг = 0,1,... , Индукцией по г, г = 0,1,..., ¿, покажем, что (#, /¿) — периодическое состояние с периодом p¿,
p¿ ^ М¿Т, на отрезке [X¿,У¿], (и,-) = !) (#,/) и (од,^) = !) (#,/¿), где p¿,r¿ —
некоторые натуральные числа.
Базис индукции: г = 0. Утверждение индукции следует из условий леммы.
Индуктивный переход. Предположим, что утверждение индукции верно для г < ¿. Покажем, что оно верно для г + 1.
Итак, справедливо, что (#, /¿) — периодическое состояние с периодом p¿, p¿ ^ M¿T, на отрезке
X (и,-) = ирт(М (#/) и ) = (# ,/¿).
Xi+pi-1
Пусть В = ^ ^¿(х) — элемент полугруппы С, р и 8 — соответственно период и предпериод
x=Xi
элемента
Оценим длину отрезка [X¿,У¿]:
М ^ 1 М4 — 1 М ^ 1
//.: V .V I 2МТ- > '21'М' + 2МТ--2МТ-=
М-1 М-1 М-1
М — 1
= 2ТМЬ + 2 А /' ' 1 / —- > 2ТМЬ + 2.\1Г{ М1 ' - 1) = МгТ(Шь~г - 2) > + 1) + р).
М— 1
Тем самым длина отрезка [X¿,У¿] удовлетворяет условию леммы 3. Поскольку (#¿+1,/¿+1) = (#,/¿), (u¿+l,v¿+l) = Фст(u¿,v¿), (^¿+1,^+1) = Фст(w¿,z¿) и (u¿,v¿) = Цр^(М!) (g¿/¿) =
Цр^ р (g¿,/¿), (w¿,z¿) = ^ п (g¿,/¿) = ^р^ р (#,/), то мы полностью на-
ходимся в условиях леммы 3.
Отсюда получаем, что (#¿+1, /¿+1) — периодическое состояние с периодом p¿p на отрезке [X¿ + (8+
1№— (s+1)p¿] и («¿+ь^+1) = р (#¿+1 ,/¿+1), (^¿+1 ,^¿+1) = (#¿+1 ,/¿+1).
Приняв р%-\-\ = РгР и = Тг^р-, мы заключаем, что доказали индуктивный переход. Тем самым утверждение индукции полностью доказано. Остается заметить, что число а = 1.^2^] является серединой каждого из отрезков [Х^,!^], г = 0,1,...,Поэтому из определения
операций удлинения периодической части справа и слева сразу получаем, что дг(а) = «¿(а) = -шг(а) для любого г, 0 ^ г ^ ¿. Лемма доказана.
Теперь мы готовы доказать основную теорему.
Доказательство. Рассмотрим произвольное общее положение задачи поиска ближайшего соседа !о = (до,/о). Пусть вь — расстояние от центральной ячейки до ближайшего левого соседа, а вд — до ближайшего правого соседа. Пусть в = шт(вь, вд).
Предположим, что некоторый одномерный клеточный автомат с локаторами решает задачу за время £ и £ ^ гДе М — мощность алфавита вещания С. Отсюда получаем в — 1 ^
6М* > 2М^г + 2Мг. Отметим, что в начальной конфигурации между центральной ячейкой и ближайшим соседом ровно в - 1 ячейка в состоянии покоя и каждая из этих ячеек посылает в эфир нейтральный элемент группы. Следовательно, начальное состояние является периодическим с периодом 1 на отрезке длины в — 1 между центральной ячейкой и ближайшим соседом. Пусть ячейка а является серединой этого отрезка.
Для определенности предположим, что вь > вд. В финальном состоянии, т.е. в момент ¿, ячейка а по определению окажется в состоянии цдр.
Возьмем натуральное число т, такое, что т(М!)* > вь — вд. Рассмотрим начальное состояние
(ио,-ио) = (до, /о), являющееся удлинением периодической части справа. Так как т(М!)* >
вь — вд, то в этом состоянии ближайшим соседом окажется ячейка, находящаяся слева от "центральной" на расстоянии вь. Поскольку начальные состояния (до,/о) и (-ио,г>о) удовлетворяют условиям леммы 4 и 8—1 > 2+2Мг, то согласно лемме 4 в момент £ будет выполнено г^(а) = /¿(а) = Но этого не может быть, так как для начального состояния (-ио,г>о) ближайшая ячейка находится слева. Получили противоречие. Следовательно, предположение, что существует одномерный клеточный автомат с локаторами, который решает задачу за время £ ^ ^ёмС^гО) было неверным.
Случай, когда вь ^ вд, рассматривается аналогично, только следует удлинять периодическую часть влево.
Теорема доказана.
Авторы выражают благодарность к.ф.-м.н. Г. В. Калачеву за ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971.
2. Neumann J. von. Collected Works. N.Y., 1961-1963.
3. Neumann J. von. Theory of self-reproducing automata. London, 1966.
4. Burks A. Essays on Cellular Automata. University of Illinois Press, 1971.
5. Мур Э.Ф. Математические модели самовоспроизведения // Математические проблемы в биологии. М.: Мир, 1966.
6. Кудрявцев В.Б., Подколзин А.С., Болотов А.А. Основы теории однородных структур. М.: Наука, 1990.
7. Кудрявцев В.Б., Гасанов Э. Э., Подколзин А. С. Теория интеллектуальных систем: В 4 кн. Книга четвертая. Теория автоматов. М.: Издательские решения, 2018.
8. Титова Е.Е. Конструирование движущихся изображений клеточными автоматами // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2014. 18, № 1. 153-180.
9. Калачев Г.В., Титова Е.Е. О мере множества законов движения точки, реализуемых клеточными автоматами // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. 22, № 3. 105-125.
10. Гасанов Э.Э. Клеточные автоматы с локаторами // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2020. 24, № 2. 120-133.
11. Васильев Д. И. Поиск ближайшего соседа на прямой с помощью клеточного автомата с локаторами // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2020. 24, № 3. 99-119.
12. Васильев Д.И. Поиск ближайшего соседа на плоскости с помощью клеточного автомата с локаторами // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2021. 25, № 4. 83-87.
13. Калачев Г.В. Замечания к определению клеточного автомата с локаторами // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2020. 24, № 4. 47-56.
14. Ибрагимова Д. Э. Сложение векторов на прямой с помощью клеточного автомата с локаторами // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2022. 26, № 4. 134-162.
Поступила в редакцию 15.03.2023
