Имитационное моделирование пространственного распространения эпидемий (на примере холеры) с применением метода клеточных автоматов с помощью программы AnyLogic Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.94

05.13.01 - системный анализ управление и обработка информации (по отраслям)

Башабшех Мурад Махмуд

Тверской государственный технический университет (ТвГТУ)

Россия, Тверь Соискатель, инженер E-Mail: [email protected]

Масленников Борис Иванович

Тверской государственный технический университет (ТвГТУ)

Россия, Тверь Доктор технических наук. Профессор E-Mail: [email protected]

Имитационное моделирование пространственного распространения эпидемий (на примере холеры) с применением метода клеточных автоматов с помощью программы Лпу^к

Аннотация: В работе рассматривается разработка моделирования пространственного распространения холеры на основе вероятностного клеточного автомата. Распространение эпидемии является пространственно-распределённой динамической системой, для описания пространственно-временного поведения которой возможно применение моделей класса клеточных автоматов. Клеточные автоматы являются дискретными динамическими системами, представляющая собой совокупность одинаковых клеток, одинаковым образом соединенных между собой. Все клетки образуют, так называемую, решетку клеточного автомата. Решетки могут быть разных типов, отличаясь как по размерности, так и по форме клеток. Каждая клетка является конечным автоматом, состояния которого определяются состояниями соседних клеток и, возможно, ее собственным состояниям. В клеточных автоматах, как моделях вычислений, не рассматриваются входные и выходные воздействия. Клетки могут располагаться на одномерной прямой, плоскости или в многомерном пространстве. Состояние клетки в следующий момент времени задается как функция от ее собственного состояния и состояний соседей в текущий момент времени. На основе результатов исследования разработан программный комплекс - управляемая моделями система поддержки принятия решений. Для реализации разработанной модели была выбрана графическая среда компьютерного имитационного моделирования в среде AnyLogic. Программное обеспечение для имитационного моделирования показал что, инструмент обладает современным графическим интерфейсом и позволяет использовать язык Java для разработки моделей.

Ключевые слова: Клеточные автоматы; имитационное моделирование;

математическая модель; эпидемическая заболевания; модель холера; динамическая система; Anylogic.

Идентификационный номер статьи в журнале 135TVN613

Murad Bashabsheh

Tver State Technical University Russian Federation, Tver E-Mail: [email protected]

Boris Maslinkov

Tver State Technical University Russian Federation, Tver E-Mail: [email protected]

Simulation modeling of the spatial spread of epidemics (cholera for example) using the method of cellular automata \ using the Anylogic

Abstract: In article consider the development of modeling spatial spread of cholera based on probabilistic cellular automata. The epidemic is spatially distributed dynamic system to describe the spatial-temporal behavior of the application of models that class of cellular automata. Cellular automata are discrete dynamical systems, which is a collection of identical cells, the same way interconnected. All cells form, the so-called lattice cellular automaton. Lattice can be of different types, differing both in dimension and shape of cells. Each cell is a finite state machine whose states are determined by the states of neighboring cells, and possibly her own states. In cellular automata as computational models are not considered input and output actions. Cells can be placed on a onedimensional line, plane or in a multidimensional space. The next state of a cell is defined as the time function of the state of its own and neighbor states at the current time. On the basis of research results developed software system - model-driven decision support system. To implement the developed model was chosen graphical environment of computer simulation modeling in AnyLogic. Software for simulation showed that the tool has a modern graphical interface and allows the use of the Java language for modeling.

Keywords: Cellular automata; simulation modeling; mathematical model; epidemic diseases; model of cholera; dynamical system; Anylogic

Identification number of article 135TVN613

Предлагаемая в настоящей работе модель распространения холеры создана с использованием модели вероятностного клеточного автомата (КА). Актуальность разработки проблемно-ориентированных систем управления ограничением эпидемических заболеваний не вызывает сомнения. Важнейшим инструментом изучения этих систем являются адекватные математические модели прогнозирования пространственного распространения эпидемии. К настоящему времени создано значительное количество таких теоретически обоснованных моделей, опирающихся на сложный математический аппарат. К общему недостатку этих моделей относят трудность применения для создания карт пространственно-временного распространения эпидемических заболеваний с учётом сложной формы географических объектов и других пространственно-определённых факторов [1].

При аппаратной реализации клеточные автоматы обычно называют однородными структурами. Клетки могут располагаться на одномерной прямой, плоскости или в многомерном пространстве. Каждая клетка имеет заданное количество «соседей», определяемых постановкой задачи, и может находиться в одном из нескольких состояний. Соседи устанавливаются или по наличию общих границ у клеток, или с помощью графа. Время в такой системе изменяется дискретно, такт за тактом. Состояние клетки в следующий момент времени задается как функция от ее собственного состояния и состояний соседей в текущий момент времени. Вид этой функции определяет поведение клеточного автомата.

При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы. Компартменты могут представлять реальные биологические или социальные объекты, а также могут быть просто удобной математической абстракцией. В настоящее время широкое распространение получило использование компартментных моделей. Существуют стохастические компартментные модели распространения эпидемии в условиях реализации мероприятий по активному выявлению заболевших, позволяющие прогнозировать развитие эпидемического процесса в популяции с учетом пространственного переноса заболевания. При этом сообщество, в котором протекает эпидемия, делится на нескольких групп (компартментов) на основе значений характеристик, важных с эпидемической точки зрения.

Важными особенностями клеточных автоматов являются следующие правила:

• Способность элементов к пространственному перемещению и применение

понятия состояния к новому положению;

• Состояние каждой ячейки обновляется в результате выполнения

последовательности дискретных постоянных шагов во времени;

• Переменные в каждой ячейке изменяются одновременно ("синхронно"), исходя

из значений переменных на предыдущем шаге;

• Правило определения нового состояния ячейки зависит только от локальных

значений ячеек из некоторой окрестности данной ячейки [1-3].

Разработанная нами модель распространения холеры представлена на рисунке 1. Модели динамики передачи холеры, которые описывают с четырьмя состояниями для популяции и двумя состояниями для холерных вибрионов: восприимчивых к заболеванию (Susceptible); инфекционный симптоматический (symptomatic infection); инфекционный бессимптомный (asymptomatic infection); восстановленный (Recovered); высокая-инфекционных холерных вибрионов (Вн ); низкая-инфекционных холерных вибрионов (BL ) [6,7,8].

Рис.1. Модели передачи динамики холеры

Где Б- Число индивидов в компартменте восприимчивых, /5 - число инфекции симптоматический, IА - число инфекции бессимптомный, Я- число выздоровевших, Вн -высоко-инфекционных холерных вибрионов, Въ - низкая инфекционных холерных вибрионов.

Все параметры рассматриваемой модели приведены в таблице [6,7,8].

Таблица

Параметр Описание значение диапазон

а Пропорция населения, пьющего загрязненную воду различный 0-1

Рм Скорость пьющих загрязненных ВН холерных вибрионов 1/день 1/day -1.5/day

Рь Скорость пьющих загрязненных ВЬ холерных вибрионов 1/день 1/day -1.5/day

Км Высоко инфекции холерных вибрионов инфекционных концентрации KL /50 kL /700 - kL/10

KL Низко инфекции холерных вибрионов инфекционных концентрации (106) cells/ml

X Скорость распада от Вн холерных вибрионов к снижению инфекционных состояний В1 (5h) 1

6L Естественной смерти от холерного вибриона без Вн вибриона в окружающую среду (30d)-1

И Частота естественной смерти (61yr )-1

Vs Частота смерти от симптоматической холеры 0,01(d) 1

Y Скорость восстановления (5d)-1

Р Скорость 0,76 0.5 - 0.98

£s Скорость выделения холерных вибрионов, 50cells / ml - d 10 - 50

симптоматического пациента

£а Скорость выделения холерных вибрионов, бессимптомного пациента 0,5cells / ml - d 0.5 - 10

П Скорость появления новых восприимчивых в популяциями

M Коэффициент скорость миграция

j Число соседей

Рис. 1 задается системой дифференциальные уравнения модели распространения холеры. В данном случае системой имеют вид (1) (при А1=1):

S.BU

dS _и п — - П - а(Зн dt

~JL - (1 - P)afiH dt н К „ + B„

KH + BH

S B j j

-aB —^ uS + M.y S - M.y S;

Pl KL + BL u y ' V

(1 - p)apL

S.Br

i-1 j

Kl + Bl

- VsIs + M.y Is. -M.y Is;

d-- papHiS^B-H + papL

dR j j

— -r(Is + IA)-uR + M.y R - M.y R;

dt i-1 i-1

S .Bl

KL + Bl

i -1 j

- UIA + M.£ IAh - M.£ IA ;

dBH

dt

B

dt

■ - £SIS + £AIA -ZBH + M.y BH, - M.y BH ;

i-1 i-1

-XBH -SLBL + M^L, -M5]BL ;

(1)

Для решения системы (1) используются рекуррентные соотношения. В данном случае системой имеют вид (2) (при А1=1):

SB SB j J

St+1 + St + П-aPH v I -aB^-r^-uSt + M.y Stt -M.y St;

KU + BU KT + BT i-1

h - h, + (1 - P)aBH

'■‘t •‘•‘t St .Bh

i-1

j

USISt + M.y ISit M.y tt ;

t+ Кн, + BHt kl, + bl, i-1

S .B S .B J j

^ - + Рарн vv \ + PapL vv X— uIat + M y Iait - M y Iat;

KHt + BHt

KLt + BL,

Rt+1 - R, + r(is, + и) - u + M y Ru - M y R,;

i-1 i-1

j j

BHt+j - Bh, +£SIS, +£aIa, - XBHt +M .y Bh, - M .y BH, ;

i-1 i-1

B^ - Bh +XBHt SLBh + M.y -M£бц;

Nt+1 - St+1 + !t+1 + Rt+1;

(2)

Модель миграции (Migration) представляет популяцию как множество элементарных популяций. Каждая популяция обрабатывается отдыльным процессором. Эти популяции развиваются независимо друг от друга в течение одинакового количества поколений T (время изоляции). По истечении времени изоляции происходит обмен особями между популяциями (миграция). Количество особей, подвергшихся обмену (вероятность миграции), метод отбора

особей для миграции и схема миграции определяет частоту возникновения генетического многообразия в популяциях и обмен информацей между популяциями [2,9].

При моделировании миграционных потоков и перемешивания популяции на основе клеточных автоматов между элементарными популяциями, которые соответствует ячейкам, происходит миграция. Отбор особей для миграции может происходить следующим образом: интенсивность миграции постоянно для всей популяции; миграция происходит из всех групп равномерно [3,4].

Суть рассматриваемого метода моделирования пространственного распространения эпидемических заболеваний состоит в использовании комбинированной математической модели. Предлагаемая модель представляет собой вероятностный клеточный автомат, каждая ячейка которого представляет собой модель элементарной популяции с глобальным перемешиванием. Динамика состояния ячейки описывается стохастической компартментной моделью распространения заболевания с учётом миграционных процессов [1,5].

Для реализации разработанной модели была выбрана графическая среда компьютерного имитационного моделирования в среде AnyLogic. Системно-динамическое представление модели показано на рисунке 2. Накопители обозначаются прямоугольниками, поток - вентилем, а вспомогательные переменные - кружками. Стрелки обозначают причинноследственные зависимости в модели.

Рассмотрим пример. На рисунке 2 изображена структура классической модели распространения эпидемии построенная в графическом редакторе инструмента моделирования Powersim. В этой модели исследуется зависимость динамики числа заболевших (например, гриппом) и выздоровевших после болезни [10].

Рис. 2. Диаграмма классов динамической модели распространения эпидемии в среде AnyLogic

[10].

Модель реализации описывается системой алгебро-дифференциальных уравнений:

d(PotentialAdopters) . , .

— -------------i---- - -AdoptionRate

dt

Начальное значение : TotalPopulation

d(Adopters) . ,

--------------- + AdoptionRate

dt

Infection Rate = PotentialAdopters x Effectiveness of the external

. , „ „ , . . „ PotentialAdopters

Recovery Rate - Adopters x ContactRate x AdoptionFraction x------------i----

TotalPopulation

AdoptionRate = Infection Rate + Recovery Rate

В модели приняты следующие условные обозначения для накопителей:

• Potential Adopters (Потенциальные потребители);

• Adopters (Потребители, которые уже принял).

Поток, моделирующий процесс потребления обозначен как Adoption Rate.

В модели используются переменные:

• Infection rate - доля заразных больных в единицу времени;

• Recovery rate - доля выздоровлений в единицу времени;

Интенсивность процесса, приобретения продукта моделируется потоком Adoption Rate

Константы-параметры модели:

• Total Population (Численность населения);

• Contact Rate (Число контактов);

• Effectiveness of the external (Эффективность внешнего);

• Adoption Fraction (Сила убеждения);

Модель создается с «нуля». Построение модели начинается с создания накопителей (Potential Adopters) и (Adopters), соединенных потоком (Adoption Rate). Для создания модели нужно использовать палитру «Системная динамика».

Чтобы создать поток нужно, соединяющий накопители нужно разместить накопители, задать им имена (см. рисунок 3).

Рис.3. Размещение накопителей

Выделите накопитель (Potential Adopters), затем выполните на нем двойной щелчок левой кнопкой мыши и соедините его с помощью стрелки потока с накопителем Adopters, выполнив на нем двойной щелчок мышью (см. рисунок 4).

Рис. 4. Соединение накопителей. Фаза 1

Затем нужно присвоить потоку имя AdoptionRate, так как это показано на рисунке 5

[10].

Рис.5. Накопители, соединенные потоком. Фаза 2.

Для реализации разработанной модели с помощью программы AnyLogic нами приняты, использовать метода клеточного автомата при моделировании комбинированной модели распространения эпидемий (на примере холеры).

При параметрической идентификации имитационной модели используются данные отчётов специально разработанной медицинской информационной системы. Модуль вычисления параметров модели является набором хранимых процедур, выполняющихся на сервере баз данных. Все компоненты программного комплекса разработаны и испытаны в среде Лпу1о§іе.

Современные программные пакеты научно-инженерных расчётов и компьютерного моделирования, позволяют достаточно эффективно исследовать динамические свойства сложных систем, численными методами не прибегая к аналитическим исследованиям. Разработанная имитационная модель имеет сложную структуру. Основной её элемент — это динамическая модель, описываемая системой алгебро-дифференциальных уравнений. Кроме того, в её составе есть элементы, которые описываются логистической и составной линейной функциями. В подобных случаях, вместо аналитических или численных решений уравнений математической модели её проще реализовать методами аналоговых вычислений.

На рисунке 6 приведена схема географической сети системы распространения холеры

[1,7].

□В1

Рис. 6. Граф географической сети системы холеры

В работе нами принято, комбинации двух моделей холеры с использованием метода клеточного автомата. В связи с этим разработанная нами собственная динамическая модель распространения холеры, состоит из двух элементов:

• Компартментная модель распространения холеры в популяции;

• Использование модель эффективности процесса клеточного автомата;

Основными особенностями предложенной модели являются наличие состояния клетки, которое описывает препятствие; вероятностный характер правил перехода.

На рисунке 7 приведена схема модели распространения холеры в популяции на основе клеточного автомата в среде Лпу1о§іе [1].

var27 гіі тагЗ

Рис. 7. Схема модели распространения холеры в популяции

На рисунке 8 представлены результаты исследования модели распространения холеры на основе клеточного автомата.

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Институт Государственного управления,

Рис. 8. Результаты исследования распространения холеры на основе КА

Выводы

Из графиков следует, что количество выявленных больных кратковременно увеличивается, но в связи с уменьшением числа инфицированных. Снижение количества инфицированных членов популяции после повышения эффективности процесса выявления.

В начале время наблюдается с увеличением числа больных в течение времени 1=10 лет, уменьшается значений максимуму число инфицировано с течением времени и, следовательно, снижение наблюдается значительное снижение числа больных. В то же время от 1=0-30 отметим увеличение количество восстановленных популяций.

В состоянии высоко-инфекционных холерных вибрионов пик инфекции наблюдается приблизительно через 15 лет, затем снижается с течением времени. С другой стороны в состоянии низко-инфекционных холерных вибрионов через 35 лет.

Процесс передачи инфекции происходит медленно по сравнению с высокоинфекционных холерных вибрионов, поэтому необходимость больше времени, чтобы достичь пика инфекции [1].

Заключение

В работе рассмотрено исследования распространения эпидемий в стохастической модели с применением метода клеточного автомата. Результаты исследование свидетельствует о том, что результаты использования разработанной модели позволяет определить особенности функционирования этого метода для прогнозной оценки эпидемиологической ситуации в контактируемых рамках.

Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности применения клеточного автомата при моделировании распространения холеры. Предложенная модель на основе клеточного автомата способна легче интегрировать мобильность и взаимодействие между вектором и хозяином.

Преимущества клеточных автоматов могут оказаться полезными для идентификации и прогнозирования эпидемических заболеваний, клеточные автоматы являются идеальным вариантом для параллельных вычислений, они могут эффективно и точно использоваться в многопроцессорных системах, в том числе таких, как распространение эпидемий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Башабшех М. М., Масленников Б. И., Скворцов А. В. Комбинированная имитационная модель пространственного распространения эпидемических заболеваний по холере на основе вероятностного клеточного автомата//Интернет-журнал «Науковедение». 2013 №3 (16) [Электронный ресурс].-М. 2013. - Режим доступа: http://naukovedenie.ru/PDF/42tvn313.pdf.

2. М.М.Башабшех, А.В.Скворцов, Б.И.Масленников. Совмещение вероятностных клеточных автоматов и компартментных моделей для прогнозной оценки пространственного распространения эпидемиологических заболеваний. Сб. Трудов НТК. Конференции: «Интеграция науки и образования-производству, экономике» , 12 декабря 2012. Том 2. С10. Тверь.

3. Башабшех.М.М, Скворцов.А.В, Масленников.Б.И. Применение клеточных автоматов для моделирования пространственного распространения эпидемиологических заболеваний. Вестник тверского государственного технического университета: Научный журнал. Тверь: ТвГТУ. №1, 2013. Вып.23. 9 с.

4. Башабшех.М.М, Скворцов.А.В, Масленников.Б.И. Применение динамических систем методами вероятностного клеточного автомата к имитационному моделированию процесса распространения эпидемии холеры. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. №4 (Апрель) 2013 г. Раздел информационные системы. С.226-228. Курск, 2013 [Электронный ресурс]. URL: http://j urnal.org/articles/2013/inf5.html.

5. Масленников. Б. И. Математическое обеспечение информационноаналитической медицинской системы программные продукты и системы/ Б. И. Масленников, А. В. Скворцов международное научно-практическое приложение к международному журналу «Проблемы теории и практики управления».- 2008.-C.158-160.

6. David M. Hartley, J. Glenn Morris Jr., and David L. Smith. Hyperinfectivity: A Critical Element in the Ability of V. Cholerae to Cause Epidemics.

7. C. T. Codeco. Endemic and Epidemic Dynamics of Cholera:The Role of the Aquatic Reservoir. BMC Infect.Dis., 1:1, 2001.

8. Capasso and S. L. Paveri-Fontana. A Mathematical Model for the Cholera Epidemic in the European Mediterranean Region. Rev.Epidem.Sante Publ, 27:121-132, 1979.

9. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы [Текст]: Учебно-методическое пособие / под ред. Тарасевича-Астрахань. Ю.Ю. Панченко. Т.В // издательский дом "Астраханский университет" , 2007- С.87.

10. Карпов Ю. Г. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5. — СПб: БХВ-Петербург, 2006. — 400 с. — ISBN 5-94157-148-8.

Рецензент: Дмитриев Геннадий Андреевич, д.т.н., профессор, заслуженный деятель науки и техники РФ, зав. Кафедрой Автоматизации технологических процессов Тверского государственного технического университета, E-Mail: [email protected]

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Институт Государственного управления,

REFERENCES

1. Bashabsheh M. M., Maslennikov B. I., Skvorcov A. V. Kombinirovannaja imitacionnaja model' prostranstvennogo rasprostranenija jepidemicheskih zabolevanij po holere na osnove verojatnostnogo kletochnogo avtomata//Internet-zhurnal «Naukovedenie». 2013 №3 (16) [Jelektronnyj resurs].-M. 2013. - Rezhim dostupa: http://naukovedenie.ru/PDF/42tvn313.pdf.

2. M.M.Bashabsheh, A.V.Skvorcov, B.I.Maslennikov. Sovmeshhenie verojatnostnyh kletochnyh avtomatov i kompartmentnyh modelej dlja prognoznoj ocenki prostranstvennogo rasprostranenija jepidemiologicheskih zabolevanij. Sb. Trudov NTK. Konferencii: «Integracija nauki i obrazovanija-proizvodstvu, jekonomike» , 12 dekabrja 2012. Tom 2. S10. Tver'.

3. Bashabsheh.M.M, Skvorcov.A.V, Maslennikov.B.I. Primenenie kletochnyh avtomatov dlja modelirovanija prostranstvennogo rasprostranenija jepidemiologicheskih zabolevanij. Vestnik tverskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta: Nauchnyj zhurnal. Tver': TvGTU. №1, 2013. Vyp.23. 9 s.

4. Bashabsheh.M.M, Skvorcov.A.V, Maslennikov.B.I. Primenenie dinamicheskih sistem metodami verojatnostnogo kletochnogo avtomata k imitacionnomu modelirovaniju processa rasprostranenija jepidemii holery. Zhurnal nauchnyh publikacij aspirantov i doktorantov. №4 (Aprel') 2013g. Razdel informacionnye sistemy. S.226-228. Kursk, 2013 [Jelektronnyj resurs]. URL: http://jurnal.org/articles/2013/inf5.html.

5. Maslennikov. B. I. Matematicheskoe obespechenie informacionno-analiticheskoj medicinskoj sistemy programmnye produkty i sistemy/ B. I. Maslennikov, A. V. Skvorcov mezhdunarodnoe nauchno-prakticheskoe prilozhenie k mezhdunarodnomu zhurnalu «Problemy teorii i praktiki upravlenija».- 2008.- C. 158-160.

6. David M. Hartley, J. Glenn Morris Jr., and David L. Smith. Hyperinfectivity: A Critical Element in the Ability of V. Cholerae to Cause Epidemics.

7. C. T. Codeco. Endemic and Epidemic Dynamics of Cholera:The Role of the Aquatic Reservoir. BMC Infect.Dis., 1:1, 2001.

8. Capasso and S. L. Paveri-Fontana. A Mathematical Model for the Cholera Epidemic in the European Mediterranean Region. Rev.Epidem.Sante Publ, 27:121-132, 1979.

9. Panchenko T.V. Geneticheskie algoritmy [Tekst]: Uchebno-metodicheskoe posobie / pod red. Tarasevicha-Astrahan'. Ju.Ju. Panchenko. T.V // izdatel'skij dom "Astrahanskij universitet" , 2007- S.87.

10. Karpov Ju. G. Imitacionnoe modelirovanie sistem. Vvedenie v modelirovanie s AnyLogic 5. — SPb: BHV-Peterburg, 2006. — 400 s. — ISBN 5-94157-148-8.